初一数学动点问题例题集

初一数学动点问题集锦

1、如图，已知△A3。中，A8=AC=10厘米，8C=8厘米，点。为

AB得中点.

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运

动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.

①若点Q得运动速度与点P得运动速度相等，

经过1秒后，ASP。与△CQP就是否全等，请说明A

理由；（\Q

②若点Q得运动速度与点P得运动速度不相/YzA

PC

等，当点Q得运动速度为多少时、能够使△取。与

△CQP全等？

（2）若点Q以②中得运动速度从点C出发，点P以原来得运动

速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间

点p与点Q第一次在△A8C得哪条边上相遇？

解：（1）①1=1秒，

...8P=CQ=3xl=3厘米，

••••=10厘米，点。为.得中点，

...即=5厘米.

又•.•厘米，

PC=8—3=5厘米PC=BC—BP,BC=8,

PC=BD.

又

:.NB=2C,

:.△BPD9XCQP（4分）

②...山工也，BP±CQ,

又••△BPD也△CQP,ZB=ZC,贝ijBQ=PC=4,CQ=BD=5

_BP_4

.•.点P,点。运动得时间‘一7一3秒，

CQ515

%=—r=v4=—4

3厘米/秒.（7分）

（2）设经过％秒后点P与点。第一次相遇,

—x=3x+2xlO

由题意，得4

80

X——

解得3秒.

—x3=80

.•.点P共运动了3厘米.

80=2x28+24,

.•.点P、点。在回边上相遇，

80

•••经过了秒点P与点。第一次在边A3上相遇.（12分）

2、直线‘=一工”+6与坐标轴分别交于A、5两点，动点P、。同时从

。点出发，同时到达A点，运动停止.点。沿线段。斗运动，速度为每

秒1个单位长度，点尸沿路线。一8一A运动.

（1）直接写出人3两点得坐标；

（2）设点Q得运动时间为/秒，△°PQ得面积为S,求出S与「之

间得函数关系式;

S-史

(3)当5时，求出点尸得坐标，

并直接写出以点°、P、Q为顶点得平行

四边形得第四个顶点用得坐标.

解(1)A(8,0)B(0,6)1分

(2)OA=8,08=6

A3=10

8。

—=O

点。由。到A得时间就是1(秒)

6+10个

--------=2

•••点P得速度就是8(单位/秒)1分

当尸在线段上运动(或0W.W3)时-，OQ=t,OP=2t

s=t21分

当尸在线段曲上运动(或3<fW8)时，OQ=t,AP=6+1。-2，=16-2r,

PDAPp[)_48—6r

如图，作于点。，由而=茄，得5,1分

I324

"2"=一/+『

1分

(自变量取值范围写对给1分，否则不给分.)

3如图，在平面直角坐标系中，直线1：y=-2x—8分别与x轴，

y轴相交于A,B两点，点P(0,k)就是y轴得负半轴上得一个动

点，以P为圆心，3为半径作。P、

(1)连结PA,若PA=PB,试判断。P与x轴得位置关系，并说

明理由；

(2)当k为何值时，以。P与直线1得两个交点与圆心P为顶点

得三角形就是正三角形？

在RtAAOP中，k2+42=(8+k)2,

.•.k=-3,...OP等于。P得半径，

二.OP与X轴相切、

(2)设。P与直线1交于C,D两点，连"之nV一

结PC,PD当圆心P在线段OB上时，作PE±

CD于E、

j_3

VAPCD为正三角形，.,.DE=2CD=2,

PD=3,

36

：.PE=~,第(2).

VZAOB=ZPEB=90°,ZABO=ZPBE,

.,.△AOB^APEB,

3>/3

旭=殁，即义=三

ABPB475PB,

PB*,

•••2

PO=BO-PB=S-^^-

二.2,

.P(0,*-8)

心亚-8

2、

3至

当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P(0,一丁-8),

3厉

k=-2—8,

3席3A

.•.当卜=丁-8或1<=一丁一80寸，以。P与直线1得两个交点

与圆心P为顶点得三角形就是正三角形、

4(09哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中，点O就是坐标

原点，四边形ABCO就是菱形，点A得坐标为(一3,4),

点C在x轴得正半轴上，直线AC交y轴于点M,AB边交y轴

于点H.

(1)求直线AC得解析式；

(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发，沿折线ABC

方向以2个单位/秒得速度向终点C匀速运动，设△PMB得面积为

S(Sr0),点P得运动时间为t秒，求S与t之间得函数关系式(要

求写出自变量t得取值范围)；

(3)在(2)得条件下，当t为何值时，ZMPB与NBCO

互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角得正切值.

28.(1)过点A作AE±x轴垂足为E(如图1)

•■•A(-3,4).-.AE=40E=3.-.OA=VAE2+OEJ=5

•四边形ABCO为菱形.-.OC=CB=BA=OA=5,-.C(5,0)1分

5k+b=Ok

设直线AC的解析式为:y=kx+b

-3k+b=44

直线AC的解析式为:y=-f41分

⑵由(1)得M点坐标为(0*)cOM号

如图1,当P点在AB边上运动时

由题意得0H=4

.&今BP・MH省5-2t)4

.••s=-1-t+%(ow啥).........2分

当P点在BC边上运动时，记为P,C\x

vrOCM=£BCMCO=CBCM=CM

.-.△OMC^ABMC.-.OM=BM=^-ZMOC=zLMBC=90°

图1

.&匆B・BM=：(2t-5)¥.・.S亭-今/<tW5).•2分

(3)设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K•.ZAOC=NABC.•/AOM=4ABM

•1•ZMPB+Z.BC0=90°ZBAO=ZBCOZBAO+rAOH=90°

.'.ZMPB=Z.AOH.,.乙MPB=aMBH

当P点在AB边上运动时，如图2

vZ.MPB=Z.MBH,-.PM=BMvMHlPB

.-.PH=HB=2.\PA=AH-PH=1.\t=J-...•••i分

2

•.AB#OCAZPAQ=Z.OCQ

.AQ_AP1

・・・4AQP=2CQ0/.△AQP^ACQO

“CQ-布-亍

在RtAAEC中AC=VAEJ+EC2=V45+8r=4VT

.AQ呼QC=1^L

在RtAOHB中OB=VHB2+HO2xVW=2VT

•.AC10BOK=KBAK=CK图2

,-.OK=VTAK=KC=2VT.-.QK=AK-AQ=^^.-.tanZ.OQC=^1-=1-……...1分

当P点在BC边上运动时，如图3vZ.BHM=zlPBM=90oZ.MPB=ZLMBH

11

..tan乙MPB=tanZMBH鹏

BriiDBP-2

；.BP邛门=3…1分

36

,-.PC=BC-BP=5-4?-=|-

33

由PC〃OA同理可证△PQC-aOQA.CQ_=CP_

*,AQ-A0

/CQ=-J-AC=Vr.-.QK=KC-CQ=Vr

\OK=VTz.tanZOQK=1分

图3

综上所述，当t=十时，乙MPB与乙BCO互为余角，直线0P与直线AC所夹锐角的正切值为衣

当t=乌时，4MPB与乙BCO互为余角，直线0P与直线AC所夹锐角的正切值为1

0

5.

得速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来得速度沿AC返回;

点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长得速度向点B匀速运动.伴

随着P、Q得运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线

QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动,

点P也随之停止.设点P、Q运动得时间就是t秒(t>0).

(1)当t=2时;AP=,点Q到AC得距离就是；

(2)在点P从C向A运动得过程中，求4APQ得面积S与

t得函数关系式；(不必写出t得取值范围)

(3)在点E从B向C运动得过程中，四边形QBED能否成

为直角梯形？若能，求t得值.若不能，请说明理由；

(4)当DE经过点C时-，请直接写出t得值.

8

解：⑴1,5；

(2)作QF_LAC于点F,如图3,AQ=CP=t,AP=37.

由△AQFs^ABC,BC=7?万=4,

得45..•/5.

14

,.5=严『

S=--t2+-t

即55.

（3）能.

①当DE〃QB时、如图4.

VDE±PQ,APQIQB,四边形QBED就是直角梯形.

此时NAQP=90。.

AQAP

由△APQsaABC,得前=丽,B

E

D

t3-t9

即旷了.解得"=W.

②如图5,当PQ〃BC时，DE1BC,四边形QBED就是直角梯

形.

此时NAPQ=90°.

AQAP

由△AQPs^ABC,得益=就，

t_3-t

即广亍.解得"

_5_45

(4)"5或

①点P由C向A运动，DE经过点C.

连接QC,作QGLBC于点G,如图6.

3,4,

M„„=[-(5-Z)]2+[4--(5-Z)]2

PC=t,QC=QG+CG255

、345

It2f2=[T(5-O1~+[4--(5-r)]".^=—

由PpCr=QnCr,得55,解得2.

②点P由A向C运动，DE经过点C,如图7.

(6-r)2=[j(5-r)]2+[4-^(5-z)]2r=—_

55,14]

6如图，在RCABC中，ZACB=90。，4=60。，种

8c=2.点。就是AC得中点，过点。得直线/从与\

AC重合得位置开始，绕点。作逆时针旋转，交AB,

边于点。.过点C作〃”交直线/于点E,设直

线/得旋转角为a.

(1)①当。=度时，四边形口8。就

是等腰梯形，此时A。得长为

②当。=度时，四边形皿6。就是直角梯形，此时得

长为

(2)当。=90°时，判断四边形直WC就是否为菱形，并说明理由.

解(1)①30,1；②60,1、

5；...............................4分

(2)当Na=900时，四边形EDBC就是菱形、

Za=ZACB=900,「.BC〃ED、

,/CE//AB,四边形EDBC就是平行四边

形、................6分

在Rtz\ABC中，ZACB=900,NB=600,BC=2,

.•.NA=300、

二.AB=4,AC=2百、

AO=-2AC=6/o、

...........8分

在Rt^AOD中，ZA=300,，AD=2、

.•.BD=2、

.•.BD=BC、

又二•四边形EDBC就是平行四边形,

.•.四边形EDBC就是菱

形................10分

7如图，在梯形ABCO中，

A//D,=B>,C,=544~DZ=4

点例从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度得速度向终点C运动；

动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度得速度向终点

。运动.设运动得时间为f秒.

(1)求8。得长.

(2)当时-，求f得值.

(3)试探究：/为何值时，AMNC为等腰三角形.

解：(1)如图①，过人、。分别作AKL8C于K,DH上BC于H,

则四边形AD"K就是矩形

KH=AD=3.1分

AK=ABsin45°=4=4

在RtAABK中,2

BK=A/?Fcos45°=472=4八

在n△CDH中，由勾股定理得，HC=4^=3

BG=AD=3

GC=10—3=74分

由题意知，当M、'运动到f秒时，CN=t,CM=10-2r.

••DG//MN

ZNMC=ZDGC

又NC=NC

4MNCs4GDC

CNCM

；.CD=~CG5分

t_10-2/

§P5=7

50

解得，"行6分

(3)分三种情况讨论:

①当NC=MC时，如图③，即f=10-2f

10

"了7分

（图③）七。=为。」（般硼=5-.

由等腰三角形三线合一性质得22、

EC5-t

.cosc=-----=------

在RtACEN中，NCt

CH3

cosc-二一

又在RtADWC中，CD5

5-t3

.厂方

_25

解得”58分

解法二：

•；NC=NC,ZDHC=NNEC=90°

ANECs^DHC

NCEC

；.~DC~~HC

t_5-t

即『亍

=25

.J一百8分

__FC=-NC=-

③当政V=MC时，如图⑤，过M作M/FCN于J点、22

解法一：（方法同②中解法一）

1

g』上=?

MC10—2/5

60

解得七万

HM

解法二：

（图⑤）

VZC=ZGZMFC=ZDHC=90°

/.XMFCsXDHC

FCMC

/.HC-DC

1

2f_io-2r

即3—5

60

t=——

17

10_2560

综上所述，当"不、"百或'=一行时，△MNC为等腰三角形9

分

8如图1,在等腰梯形AB。中，AD//BC,E就是AB得中点，过

点E作交CO于点F.AB=4,BC=6,N6=60。、

（1）求点后到BC得距离；

（2）点P为线段“上得一个动点，过户作PM_LEF交BC于点M,

过M作MN〃”交折线ADC于点N,连结PN,设EP=x、

①当点N在线段AD上时（如图2）,△脚得形状就是否发生改

变？若不变，求出△尸批得周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段。。上时（如图3）,就是否存在点P,使△加为

等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求得无得值；若不存在，请

说明理由、

解（1）如图1,过点E作EG，/于点G.1分

•:E为AB得中点，A,---------------\£）

BE=gA8=2.-------------------\

Bg_______________

在即AEBG中，ZB=60°,ZBEG=30°.2分G

图1

BG=-BE=\,EG=A/22-12=A/3.

2

即点E到BC得距离为后3分

（2）①当点N在线段4。上运动时，△PMN得形状不发生改变.

•.­PM1EF,EG1EF,：.PM//EG.

•;EF//BC,；,EP=GM,PM=EG=C.

同理MN—AB—4.4分^

如图2,过点P作于〃，

/NMC=NB=60°,ZPMH=30°.

i6

PH=—PM=二

22

3

MH=PMcos300=工

2

35

NH=MN—MH=4—二=一.

则22

PN=<NH〜PH2

在Rt/\PNH中,

APMN得周长=PM+PN+MN=g+b+4.6分

②当点N在线段上运动时，△PMN得形状发生改变，但△MNC

恒为等边三角形.

当PM=PN时-，如图3,作PR，MN于R,则MH=NR.

3

MR=一.

类似①,2

MN=2MR=3.7分

就是等边三角形，.•.MC=MN=3.

止匕时，x=EP=GM=BC-BG—MC=6-"3=2.g分

M

图5

当MP=MN时，如图4,这时MC=MN-MP=V3.

止匕时，x=EP=GM==5-6.

当NP=NM时，如图5,/NPM=NPMN=3U°.

则/PMN=120°,又/MNC=60°,

/,ZPNM+/MNC=180°.

因此点P与尸重合，APMC为直角三角形.

MC=PMtan30°=1.

止匕时，％=EP=GM=6-1-1=4.

综上所述，当》=2或4或"6）时，"MN为等腰三角形.10

分

9如图①，正方形ABCD中，点A、B得坐标分别为（0,10）,

（8,4）,

点C在第一象限.动点P在正方形ABCD得边上，从点A出发

沿A-BfC-D匀速运动,

同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点

时，两点同时停止运动，

设运动得时间为t秒.

(1)当P点在边AB上运动时，点Q得横坐标x(长度单位)关于

运动时间t(秒)得函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时得

坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C得坐标;

(3)在(1)中当t为何值时，△OPQ得面积最大，并求此时P点

得坐标;

(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A-BfCfD匀速

运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件得t得值；若

不能，请说明理由.

(2)过点B作BF±y轴于点F,BE±x轴于点E,贝!J班'=8,

OF=BE=4

；,AF=10-4=6.

在RtZVKFB中，AB=^7e=\o3分

过点C作CG，x轴于点G,与EB得延长线交于点H.

4BC=9°。,AB=8C.-.AABF^ABCH.

•BH=AF=6,CH=BF=8

•・•

.・.OG=FH=8+6=14,CG=8+4=12.

...所求C点得坐标为(14,12).4分

(3)过点P作PM，y轴于点M,PNJ_x轴于点N,

则△APMs^ABF.

APAMMPtAMMP

/.~AB~~AF~~BF.W~~T~~T.

3434

AM=-/,PM=TPN=OM=10——t,ON=PM=-f

55.：.55.

设AorQ得面积为S(平方单位)

I34732

S=AX(IO--O(1+/)=5+—r

251010(0</<10)5分

说明:未注明自变量得取值范围不扣分.

47

,10_47

a=~—2x(-3)6

,/io<0.•.当1。时，△OPQ得面积最大

分

9453

此时P得坐标为(不，10).7分

_5295

(4)当‘或"石时，OP与PQ相等.9分

10数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD就是

正方形，点E就是边BC得中点.^EF=90,且EF交正方形外角4DCG

得平行线CF于点F,求证：AE=EF.

经过思考，小明展示了一种正确得解题思路：取AB得中点M,

连接ME,则AM=EC,易证△AME乌△瓦为，所以=

在此基础上，同学们作了进一步得研究：

（1）小颖提出：如图2,如果把“点E就是边BC得中点”改

为“点E就是边BC上（除B,C外）得任意一点”，其它条件不变,

那么结论"AE=EF”仍然成立，您认为小颖得观点正确吗？如果正确,

写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3,点E就是BC得延长线上（除C点

外）得任意一点，其她条件不变，结论"AE=EF”仍然成立.您认为

小华得观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明

理由.

解：（1）正确.（1分）

证明：在上取一点M,使AM=EC,连接ME.4卜（2分）

：.BM=BE.:.NBME=45。，二=135°."工

B~EC

b就是外角平分线，

ZDb=45。，

Z£CF=135°

NAME=ZECF.

ZAEB+NBAE=90°,ZAEB+ZCEF=90°,

...NBAE=ZCEF.

.-.△AME^ABCF（ASA）.（5分）

AE=EF.（6分）

（2）正确.（7分）

证明：在BA得延长线上取一点N.

使AN=CE,连接NE.（8分）

BN=BE.

：.NN=NPCE=45°

四边形"CD就是正方形,

AD//BE.

・・.ZDAE=/BEA.

・•.ZNAE=ZCEF

:./\ANE^/\ECF（ASA）.（10分）

..AE=EF.（11分）

11已知一个直角三角形纸片。A,其中

Z4。售X）02.如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中,

折叠该纸片，折痕与边。8交于点C,与边相交于点。.

（I）若折叠后使点8与点A重合，淤点C得坐标;

（II）若折叠后点8落在边0A上得%,?，设。夕=乙

试写出，关于x得函数解析式，并确定范围；

0A

（HI）若折叠后点B落在边0A上得点阪，，且使求此

时点。得坐标.—x

解（I）如图①，折叠后点B与点A市'

则△ACO会△5CO、JRx

设点c得坐标为（°,MW>°）、

则BC=0B—0C=4-m、

于就是AC=BC=4-加、

在RtZXAOC中，由勾股定理，得ACJOC2+O4,

3

即（4-加）2=疗+22,解得加=5、

二点C得坐标为I2人4分

（II）如图②，折叠后点8落在0A边上得点为心

则△B'C。乌△BCD、

由题设OB'=x，℃=y,

贝I]B'C=BC=OB-OC=4-y,

在RtAB'OC中，由勾股定理，得5。2=0厂+0相、

222

•••（4-j）=y+x>

y---x2+2

即’86分

由点方在边办上，有0—W2,

12°

•♦・解析式"干（°,<2）为所求、

•••当0Wx<2时，>随比得增大而减小，

%yW2

•••、得取值范围为2-、7分

（III）如图③，折叠后点B落在。A边上得点为3",且丁。〃。8、

则NOCB"=NCB"D、

又NCBD=NCB"D,ZOCB"=4CBD,有CB"〃BA、

Rt/XCOB"sRtAfiOA、

OB"OC

有为了=而，得0c=208"、9分

在RtABffOC中,

设西气（x>0）,则OC=23

由（II）得结论，得8°,

解得/=-8±4后.玉>0,.,.飞=-8+4石

•・•点C得坐标为（°'8逐叫、I。分

12问题解决4蟀

如图（1）,将正方形纸片ABC。折叠，使点B落在\\

N

图（1）

CE_1

CO边上一点E（不与点C,。重合），压平后得到折痕MN.当而一5

AM

时，求两得值.

方法指导：

娱肥冕需得值，可先求BN、AM得长，不妨设：AB=2

CE_1AMCE_1

在图（1）中，若而=5'则所得值等于若而="则

AMCE1A