工程数学线性代数同济大学第五版课后习题答案

bfcfbcel111114abcdef111

a1001b1001c1001d

解

a10001ab10r1ar21bOb11011c01dO0a01Oc11d

adabac3dc2abalc(l)(l)lclcdO1dO10

adabedabcdad1(1)(1)32ab11cd5证明：

a2abb2

aab2b(ab)3;111

证明

a2abb2c2ca2aba2b2a22aba2b2a2aab2b0111c3cl02abb2a2

3aba(1)(ba)(bal2(ab)ba2b2a3

axbyayxyzaybzazbxax(a3b3y;azbxaxbyaybzzxyi正明axbyay

aybzazbxaxazbxaxbyaybz

xaybzazybxaxzaxbyayxaxbyaybzxaybzzyzazbxayazbzxax

zaxbyyxyaybzabxyz

abzxy(a3b3zxyl)2

1)2

1)2

1)2(a(b(c(d

2a2(a2b2(bc(cd2(d证明2)22)22)22)2(a(b(c(d3)23)20;3)2

3)23)3)(ccccccl得)3)43322

3)222

2

ab2c2d22(a(b(c(d21)1)21)21)2(a(b(c(d2)22)22)22)2(a(b

(c(d

a2ab22bc22cd22da2

b2

c2

d22a2b2c2d

12al2b12cl2d32a32b32c32d5(cccc得)4332512212012

1221111abcda2222bcda4b4c4d4(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a

bed);证明

11ab22aba4b4111lObacadab(ba)c(ca)d(da)

b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2111dc(ba)(ca)(da2b22(ba)c(ca)d

(da)111(ba)(ca)(daOcbdb0c(cb)(cba)d(db)(dbal(ba)(ca)(d

a)(cb)(dbc(clba)d(dba=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abed)

x100x111cdc2dc4d0000

000anan1an2x1a2xalxnalxn1anlxan

证明用数学归纳法证明

当n2时D2xlx2alxa2命题成立a2xal

假设对于(n1)阶行列式命题成立即

Dn1xn1alxn2

则Dn按第一列展开有an2xanIDnxDn1an(l)n

10x11

1

00x

001

xDn1anxnalxn1

anlxan

因此对于n阶行列式命题成立

6设n阶行列式Ddet(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻

转依次得

D1

anlall

ann

aln

n(n1)2

D2

alnall

ann

anlD3

annanl

aln

all证明DID(2

DD3D

证明因为Ddet(aij)所以

D1

anlall

ann

aln

all

(l)nanl

alnann

alla21

n1

(l)nanl(1)

a21

a2naln

a2nann

a31

a3n

(1)同理可证

D2

12

(n2)(n1)

D

n(n1)2

D

T

2

11In

n(n1)2

anl

ann

(1)

2

D(1)

2

D

D3(

D2n(n1)2

(n(n1)

2

n(n1)

DDD(1)

7计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)a1(1)Dn

是0

解

1,其中对角线上元素都是a未写出的元素都aDn

aOOOaOOOaOOOlOOOlOOOO(按第n行展开)aOOaOOOaO

0(l)n0a0

000

a

(1)n1(1)n01000(n1)(n1)a(l)2naaa(n1)(n1)

a(n2)(n2)

aa;

xananan2an2(a21)(2)Dn

xaaxaa解将第一行乘(1)分别加到其余各行得

DnxaaaxxaOaxOxaaOO

ax0

00xa再将各列都加到第一列上得x(nl)aaaOxaOOOxaDnaOO

Oxa[x(nl)a](xa)n1000(3)Dn1an(al)nan1(al)n1(an)n(an)n

lan1a1a11;«根据第6题结果有

2

Dn11a1a11an

n1(al)n1an(al)n(an)n1(an)n此行列式为范德蒙德行列式

Dn1n(n1)2[(ai1)(aj1)]n1ij1n(n1)2

[(ij)]n1ij1(1)2n1ij1n(n1)21(ij)n1ij1(ij)an(4)

D2n

cn

解alblcldlbn;dnan

D2n

cnbn(按第1行展开)alblcldldnan1an

alblcldl

bn10

cn10

dn100dn

0an1

(1)

2n1

bnlaiblcldl

bncn1cn

dn0

再按最后一行展开得递推公式

D2nandnD2n2bncnD2n2即D2n(andnbncn)D2n2

于是

D2n

ni2

(aidibici)D2

而

D2D2n

albladbe

cldlllll

所以

n

(aidibici)

i1

(5)Ddet(aij)其中aijij|;

解aij|ij|

0123

1012

210111113210

lllnInnn40

Dndet(aij)

nln2n3n4

rlr2

r2r3

nln2n3n4

111111111111

c2cl

c3cl

n12n32n42n5

11110222002200020000n

(l)nl(nl)2n2

(6)Dn

al111a211

1an

1

1,其中ala2

an0

解

1al111a2

Dn

1

11

1

1an

clc2c2c3

al00a2a200a3a3

000

000000

an1an110an1anO0al100a21

100a3

1

11an1

1011an

000

111

aa12

100

110011

n

000000100010001

ala2an

000000

1a11a21a3

000

01

a

000

a)(1(aal2n

n

001

1nln

aiilai1i

8用克莱姆法则解下列方程组

xlx2x3x45

4xxl2x2x34

(1)

2x13x2x35x43x1x22x311x4

220

解因为

11D3

1231

111415211142

D1

5

22012311114121111142D23

5220

所以

1D323Dxl

D

1231

1

xl5x26x30(2)x25x36x40

x35x46x50x45x51

5x16x2

51

24426D

42011

DD2x31x2

DD

1

1231231

1112

11141211

284

3x4

5

21420D1D

解因为

560001560OD1560665

001500015

60000560DI15601507D2

00150015

510001060005600015010151145

D3

56100150001060703D4000500115

60015601560212015001156010156001500001000

015395D5所以xx12665665x3665x4665x4665

1x1x2x309问1m取何值时齐次线性方程组xlmx2x30有非零xl2mx2x30

解？

解系数行列式为

11ID1mmml12nl令D0得

m0或11

于是当m0或11时该齐次线性方程组有非零解

(11)x12x24x3010问1取何值时齐次线性方程组2x1(31)x2x30有xlx2

(11)x30非零解？

解系数行列式为

1241314D2311211111111011

(11)3(13)4(11)2(11)(31)(11)32(11)213

令D0得

1012或13

于是当1012或13时该齐次线性方程组有非零解

第二章矩阵及其运算

1已知线性变换

xx12yl.2y2y3

23yly2x2y5y3

33yl23y3

求从变量Xlx2x3到变量yly2y3的线性变换

解由已知

xl221y

xl

x23135yy2

332

21

故yyl2321x

2xl749yl

y231253x2633274y2

3y3

yyl7x14x29x3

26x13x2y7x3

33x12x24x3

2已知两个线性变换

x

12yly3

xyyl3zlz2

x242yyl3y22y3

31y25y3y22zlz3

3z23z3

求从zlz2z3到xlx2x3的线性变换

解由知

xy

xl2012

x2

52yl

232

34142031310

y212520013lzlzz23

613zl1249z210116z3

xl6zlz23z3所以有x212zl4z29z3x3lOzlz216z31113设A111

111B123124051求3AB2A及ATB

111123111解3AB2A31111242111111051111

0581113056211129011121322217204292

058056290111123ATB111124

111051

4计算下列乘积

4317(1)12325701

解

43171232570147321117(2)231577201356493(2)

(123)21

3解（123)2(132231)(10)1

2⑶1(12)3解

21(12)32(1)2211)123(1)3231301212

12122412361(4)21400113414

解

12140011341431306782056allal2al3xl(5)(xlx2x3)

al2a22a23x2al3a23a33x3解

allal2al3xl

(xlx2x3)al2a22a23x2

al3a23a33x3

(allxlal2x2al3x3al2xla22x2a23x3

222axaxax1x22al3xlx32a23x2x31112223332al2xxlal3xl

a23x2a33x3)x2x3

5设A1213

(DABBA吗？

解ABBAB1012问

因为AB3446BA1238所以ABBA

(2)(AB)2A22ABB2吗？解(AB)2A22ABB2

因为AB2225(AB)2222225258141429688121034101615

27但A2ABB22

2238411所以(AB)A

(3)(AB)(AB)A2B2吗?

解(AB)(AB)A2B2

22ABB

因为AB2225AB0201

而

(AB)(AB)22020625010913802822AB4113417

故故B)(AB)A2B2

6举反列说明下列命题是错误的

(1)若A20则A0

解取A0100则A20但A0(2)若A2A贝ijA0或AE

解取A1100则A2A但A0且AE

⑶若AXAY且A0则XY解取

A1000

X11Y111101贝ijAXAY且A0但XY

7设A

2解A10求A2A311101010

1111211Aki01010A3A2A

21111

311

A

k

kl10

1

8设A1010

求Ak

0011

1解首先观察

A2

10101120011101000111020112021112

A3

130312A2A31

013031312

4A4

1041314612

A3

A413

00

A5

A4A0150514

015

Ikklk1Ak

Ik20lk2

klk100Ik

用数学归纳法证明当k2时显然成立假设k时成立，则k1时，

k

Iklk1

A

k1

Ak

A

0lk2

Ik200

klk1

Ik

10100011Ilk1(kl)lk1

0Ik1

0(kl)kk12(kl)lk1Ik1

由数学归纳法原理知

Ik220Ikklk1

00IkIkklk1Ak

9设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵

证明因为ATA所以

(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB

从而BTAB是对称矩阵

10设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA

证明充分性因为ATABTB且ABBA所以

(AB)T(BA)TATBTAB

即AB是对称矩阵

必要性因为ATABTB且(AB)TAB所以

AB(AB)TBTATBA

11求下列矩阵的逆矩阵

(1)1225

1解A221Ali故A1存在因为5

AA*All21A12A225221故

A1*|Acosqsinq(2)sinqcosq

5221

解AcosqsinqA|10故A1存在因为sinqcosq

A*AllA21

A12A22

cosqsinqsinqcosq

所以

A1A*|Acosqsinqsinqcosq121(3)342541

1211|A20故A存在因为解A342541

AllA21A31

A*A12A22A32

A13A23A33420136132142

所以

1A*A|A

ala2132167021

(4)

20an

0(ala2

anan0)解Aal0a2由对角矩阵的性质知1

al0

A1a2

0an

12解下列矩阵方程

(1)2153X4216

解X1251

342163

125

(2)X22111

1111043132

1

解X1132

43221

1101

11

131013432233302

221353

(3)142031

12X1101W1

X114230112110

243110121011261

36010

12121140

(4)10101001

00001X00011024

103

201421620823ft?X

01010000111431002010011200101010143100

10020100100112001021013410213利用逆矩阵解下列线性

方程组xl2x23x31

(1)2x12x25x323x15x2x33

解方程组可表示为

123xl122522351x33

故

1xl12311x222520x335130

从而有

xl1x20x30

xlx2x32(2)2xx23x313x12x25x30解方程组可表示为

111xl

213x2325x3210

1

故

xlx2x3111213325210503

故有xl5x20x33

14设Ak0(k为正整数)证明(EA)1EAA2Ak1证明因为Ak0所以EAkE

又因为

EAk(EA)(EAA2Ak1)

所以(EA)(EAA2Ak1)E由

定理2推论知(EA)可逆且

(EA)1EAA2Ak1

证明一方面有E(EA)1(EA)

另一方面由Ak0有

E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)

(EAA2Ak1)(EA)

故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)

两端同时右乘(EA)1就有

(EA)1(EA)EAA2Ak1

15设方阵A满足A2A2E0证明A及A2E都可逆求A1及(A2E)1

证明由A2A2E0得

A2A2E即A(AE)2E

或A

2(AE)E

由定理2推论知A可逆且Al(AE)

2

由A2A2E0得

A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E

或(A2E)

4(3EA)E并

由定理2推论知(A2E)可逆且(A2E)1(3EA)4

证明由A2A2E0得A2A2E两端同时取行列式得

即

故

由

|A2A|2A||AE2|A|0A2A2E0A(AE)2E所以A可逆而A2EA2|A2E|

A2|A120故A2E也可逆

A1A(AE)2AIEA11AE)2

又由A2A2E0(A2E)A3(A2E)4E

(A2E)(A3E)4E

所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)1

(A2E)11(3EA)4116设A为3阶矩阵|A|求(2A)5A*|2

解因为A1A*所以|A|

|(2A)15A*||1A15|AAl|1A15A1|222

|2A1|(2)3|A1|8|A|18216

17设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆且

(A*)1(A1)*

证明由A1A*得A*|A|A1所以当A可逆时有|A

|A*|A|nA1||A|n10

从而A*也可逆

因为A*|AA1所以(A*)1|A|1A

D*所以1又A(A)*|A|(AA1

(A*)1|A1A|A|1|A|(A1)*(A1)*

18设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明

⑴若|A|0则|A*|0

(2)A*||An1

证明

(1)用反证法证明假设IA*|0则有A*(A*)1E由此得

AAA*(A*)1|A|E(A*)10

所以A*0这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0

⑵由于A1*则AA*|A|E取行列式得到

IA|

|A|A*||An

若|A|0则A*||A|n1

若|A|0由(1)知|A*|0此时命题也成立

因此|A*||A|n1

19设A

033110ABA2B求B123解由ABA2E可得(A2E)BA故

B(A2E)lA2331101211033110123033123110

10120设八020101

(AE)BA2E且ABEA2B求B解由ABEA2B得即

(AE)B(AE)(AE)0因为AE1010所以(AE)可逆从而

BAE

201030102

21设Adiag(l21)A*BA2BA8E求B解由A*BA2BA8E得

(A*2E)BA8E

B8(A*2E)1A1

8[A(A*2E)]1

8(AA*2A)1

8(|A|E2A)1

8(2E2A)1

4(EA)1

4[diag(212)]11,11)22

2diag(l21)

1

22已知矩阵A的伴随阵A*010

且ABA1BA13E求B000100010308

解由|A*|A|38得|A|2

由ABA1BA13E得

ABB3A

B3(AE)1A3[A(EA1)]1A

3(E1A*)16(2EA*)12100601010103023设P1AP

0006

1

6000606060300001

1002

求All

11

其中P

1411

解由P1AP

得APP1所以AllA=P1411

11

P1.

|P|3P*

而

11

P114

311100211

33

33

27312732683684

1002

故

All

1410110211

24设APP

111

其中P102

111

1

1

5

求j(A)A8(5E6AA2)

解j()

8

(5E6

2

)

diag(l158)[diag(555)diag(6630)diag(l125)]diag(l158)diag(1200)

12diag(l00)

j(A)Pj()P1

1Pj()P*Pl

1111002102000111000

222303121

1114111111

25设矩阵A、B及AB都可逆证明A1B1也可逆并求其逆阵

证明因为

A1(AB)B1B1A1A1B1

而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积所以A1(AB)B1可逆即A1B1可逆

26

解

则

而

所以

即

27

解

而

(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A1210

计算00010310010021

03101200020

313

设A1

1

021A22013

B321

1

1

B22

0AlEEBl0AA1A1B1B220B2

0A2B2

A

1B1B2

13

021212

1

0335224

A2B2

02

1

32033

4309

AAOAlEEBB11A1BA1B202B20012220252001044039

012101001021010321012520003

101000

20

3243

01000

40

39

取

AB

CD1001

验证CABD||CA||||DB

10010110

ABl0124

00||CA||B|D

033

故AB|A|B|C||D3404328设A02022求|A及A

20228434解令A143

A01A贝I」0A2A2故A8A100A288Ao180A281A8||Al||A811A

8|A|81016212

A

44Aoi40A254000544200642229设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可

逆求

(1)0A

B01

0A解设B0

1ClC2C3C4

则

0AClC2B0C3C4

AC3AC4BC1BC2En00Es

由此得AC3EnAC40BC10BC2Es

0AB0111C3AC40Cl0ICB2所以0B1A10

⑵A0CB

1

解设

CBA0DID

D2则

3D4

A0DID2

CBDADIAD2

3D4CD1BD3CD2BD4

ADIEnDlA1

由此得

CDAD

20D

CD1BDBD30D2011

24EsD3BCA

4B1所以A01

CBA1

B1CA1B01

30求下列矩阵的逆阵5200

(1)2

0100

00

08532

解设A2512B8

532则

11

A152212125B1853

21于是522

01000A1A121

000080532BB101000

(2)1

22001123104解设A1012B3c2104112则

11

1022000A01111230

104CBBA1CA1B01

En00Es2583250000020583100000220263824124第

三章矩阵的初等变换与线性方程组

1把下列矩阵化为行最简形矩阵

1021

(1)20313043

解10212031(下一步r2(2)rlr3(3)rl)3043

1021^0013(下一步r2(1)r3(2))

0020

1021

3(下一步r3r2)'001

0001

1021

3(下一步r33)^0010003

1020013(下一步r23r3)

000

102

"000(下一步rl(2)r2rlr3)

000

100II00100001

023(2)03430471解

0230343(下一步r22(3)rlr3(2)rl)04710231^0013

(下一步■3r2rl3r2)001302010"0013(下一步rl2)0000010

5~00300001(3)32313352334132344223101442

2解133523341000343531(下一步r3rr2rr3r)213141011

"000

~0

00

1

0~0।

2

(4)12

438；(下一•步r(4)r(3)r(5))2346610104322(下一步r3rrrrr)

12322222222003200740313010101100100003

1202：373234解

213：0

~10।

100

31202837112088771110200010012100323474

(下一步r2rr3rr2r)123242031124(下一步r2rr8rr7r)213141912

81112(下一步rl44r2r2(1)r4r3)lO'OlOOOOlO

010000

011021(下一步rr)2340201001002340

1234567890101012设100A010

001001求A

解

010100是初等矩阵E(12)其逆矩阵就是其本身001101

010是初等矩阵E(12(1))其逆矩阵是

001

E(12(1))

101010001

010123101A100456010001789001

4561011230107890014521227823试利用矩阵的初等变换

求下列方阵的逆矩阵

321(1)315323

解321100321100315010~014110323001002101

"03203/201/2300

00102110121"000101

~010

0011007/6

1/212/33/2

011/22

故逆矩阵为6312

102

22

321

(2)020

1

220113

22

1

3020

解221

01213

22110000

101

000

010

001

1232210

~0

041901022510000

101103000

123

0022010

001

01100

2100

01103041

2

7/221/21019/21/221000100

210032102001001101211012100134610220136

610

20010001000111'11100001000010000110121

1112401366101

故逆矩阵为0121111240136610

4124⑴设A221311

13B22求X使AXB31解因为

41213r100102(A,B)2212201015331131001124

所以

XAIB102153124

⑵设A

021213334B123求X使XAB231解考虑ATXTBT因为

02312r10024(A,B)21323010171343100114TT

所以XT(AT)1BT241714

从而

XBA1211474

5设A

110011AX2XA求X101解原方程化为(A2E)XA因为

(A2E,A)

110110011011101101

100011"010101001110

所以

X(A2E)1A011101110

6在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式？有没有等于0的r阶子式？

解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r1阶子式也可能存在等于0的r阶

子式

1000例如A0100R(A)30010

0000是等于0的2阶子式10是等于0的3阶子式0017从矩阵A中划去

一行得到矩阵B问AB的秩的关系怎样？

解R(A)R(B)

这是因为B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不会小于B的秩8求作一个秩

是4的方阵它的两个行向量是

(10100)(11000)

解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵

11100

00001000010000100000此矩阵的秩为4其第2行和第3行是

已知向量

9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式

3102

(1)1121;1344

M31021121(下一步rl

1344r2)

1121

3102（下一步r23rlr3rl）

1344

1121

~0465（下一步r3r2）

0465

1121

“0465

0000

矩阵的招方为214是一个最高阶非零子式

32131（2）2131370518解32132

21313（下一步rlr2r22rlr37rl）7051813441~07n950

21332715（下一^步r33r2）

13441^07119500000矩阵的秩是2322-1二-7是一个最高阶非

零子式

2（3）231183307258032750075（下一步r2rr2rr3r）14243

400

132275（下一步r3rr2r）213100解22311833072580321

32026430^001

012"000000103012

"000000103

103

"012000000

17016（下一步r216r4r316r2）0142017010020201701000

7

矩阵的秩为3580700是一个最高阶非零子式320

10设A、B都是mn矩阵证明A~B的充分必要条件是

R(A)R(B)

证明根据定理3必要性是成立的

充分性设R(A)R(B)则A与B的标准形是相同的设A与B的标准形为D则有

A~DD~B

由等价关系的传递性有A、B

11设A123k问k为何值可使

k12k233

(l)R(A)1(2)R(A)2(3)R(A)3

解A1

k1223kk233"r100k1

01k

(kk1)(1k2)

⑴当k1时R(A)1

⑵当k2且k1时R(A)2

⑶当k1且k2时R(A)3

12求解下列齐次线性方程组：

(1)x

21x

2x22x3x40

xlx2x3x40

12x2x32x40

解对系数矩阵A进行初等行变换有

A2111211010

221121^0100314/31于是4x134x23x44xx43x4x4

33(k为任意常数)k31故方程组的解为xlx2x3x4

xl2x2x3x40(2)3x16x2x33x405x110x2x35x40解对系数矩阵A进行初

等行变换有

12111201A3613"0010510150000于是

xl2x2x4x2x20x3x4x4

xl21x2(kk为任意常数)kl1k200012x301x4故方程组的解为

2x13x2x32x3xx231(3)4xlx23x3xl2x24x3

5x47x46x47x40000解对系数矩阵A进行初等行变换有2A34

1

于是xl0

x20

x30x40

xl

x2x3x4000031121234510007^01006001070001

故方程组的解为

3x12x(4)14x17x14x25x37x403x23x32x4011x213x316x402x2x33x4

0解对系数矩阵A进行初等行变换有

3457

A233241113167213

101717^01171700000000

x1

于是x2

x3

x4x317x173x3x4x417x174

故方程组的解为xl1717x2k20(kk为任意常数)122117x3170x411013

求解下列非齐次线性方程组：

4x12x2x32(1)3x11x22x310llxl3x28

解对增广矩阵B进行初等行变换有

42121338B31210"0101134

113080006

于是R(A)2而R(B)3故方程组无解

2x3yz45x2y4z(2)3x8y2z134xy9z6解对增广矩阵B进行初等行变

换有2213961001000021001200

于是

x2zlyz2zz

x2yk11z

即12(k为任意常数)0

2xyzw1(3)4x2y2zw22xyzw1解对增广矩阵B进行初等行变换有

2111111/21/20l/2B42212~000102111100000于是

yz222yyzzw0x即

xykz1w221k20010020(klk2为任意常数)00

2xyzw1(4)3x2yz3w4x4y3z5w2解对增广矩阵B进行初等行变换有

21111101/71/76/7B32134"015/79/75/71435200

000

于是y

z

w

xyzwz7z7zww7w777BP77kkl7271001

7（kk为任意常数）1270014写出一个以

xcl

23cl202401为通解的齐次线性方程组解根据已知可得

xl22

x2

xc13c4

x3120

401

与此等价地可以写成

xl2clc2

x23cl4c2x

x3c

cl

42

或xl2x

x3x4

23x34x4

或x

xl2x3x40

23x34x40这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组

151取何值时非齐次线性方程组

Ixxlxlx2x31

xl2x31

1x21x312

⑴有唯一解(2)无解(3)有无穷多个解?

解B11

11111111112

r011111111(112

~1)

00(11)(21)(11)(11)2

(1)要使方程组有唯一解必须R(A)3因此当11且1时方程组有唯一解.

(2)要使方程组无解必须R(A)R(B)故

(11)(21)0(11)(11)20

因此12时方程组无解2

(3)要使方程组有有无穷多个解必须R(A)R(B)3故

(11)(21)0(11)(11)20

因此当11时方程组有无穷多个解.

16非齐次线性方程组

2x1x2x32xl2x2x31xlx22x312

当1取何值时有解？并求出它的解

解B121121212(11)1211^011

311212000(11)(12)

要使方程组有解必须(11)(12)0

当11时即11]2

B

方程组解为

211210111211^011011210000

1x31xxlx31或x2x3x2x3x3x3

即

xlx2x31k1110(k为任意常数)0

当12时

B

211210121212~011211240000方程组解为

xx213xlx32或x2x32x2x32x3x3

即xlx2x31k1122(k为任意常数)0

(21)x12x22x3117设2x(5l)x4x21232x14x2(51)x311

问1为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解

WB2122125142245111

25142"011111100(11)(101)(11)(41)要使方程组有唯一解必须

R(A)R(B)3即必须

(11)(101)0

所以当11且110时方程组有唯一解.

要使方程组无解必须R(A)R(B)即必须

(11)(101)0且(11)(41)0

所以当110时方程组无解.

要使方程组有无穷多解必须R(A)R(B)3即必须

(11)(101)0且(11)(41)0

所以当11时方程组有无穷多解此时，增广矩阵为

122100000000方程组的解为

xlx2x3

或xlx2

x3x2x31x2x3kl221k200110(klk2为任意常数)0

18证明R(A)1的充分必要条件是存在非零列向量a及非

零行向量bT使AabT

证明必要性由R(A)1知A的标准形为

10000010(1,0,,0)

000即存在可逆矩阵P和Q使

PAQ110(1,0,,0)或AP10(1,0,,0)Q1

1

令aP10bT(1000)Q1则a是非零列向量bT是非

零行向量且AabT

充分性因为a与bT是都是非零向量所以A是非零矩阵

从而R(A)1

因为

1R(A)R(abT)min{R(a)R(bT)}min{l1}1

所以R(A)1

19设A为mn矩阵证明

(1)方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)m

证明由定理7方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)R(AEm)