2024-2025学年江苏省南京市第五十五中学高三下学期2月调研数学试题含解析

2024-2025学年江苏省南京市第五十五中学高三下学期2月调研数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．2．已知复数z=2i1-i，则A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．844．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（）A． B． C． D．5．函数f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x＝对称，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝sin(2x－)6．已知等差数列的前n项和为，，则A．3 B．4 C．5 D．67．已知等边△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）A． B．1 C． D．28．记为等差数列的前项和.若，，则（）A．5 B．3 C．－12 D．－139．已知集合，则=（）A． B． C． D．10．设则以线段为直径的圆的方程是（）A． B．C． D．11．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）A．480种 B．360种 C．240种 D．120种12．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数x，y满足，则的最大值为____________.14．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.15．已知向量，，且，则________．16．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足.（1）求矩阵;（2）求矩阵的特征值．18．（12分）在平面直角坐标系中，，，且满足（1）求点的轨迹的方程；（2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程．19．（12分）在直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线；设直线l与曲线C相交与M，N两点，当，求的值．20．（12分）如图，直线y=2x-2与抛物线x2=2py(p>0)交于M1,M2两点，直线y=p2与（1）求p的值；（2）设A是直线y=p2上一点，直线AM2交抛物线于另一点M3，直线M1M21．（12分）已知抛物线：（）的焦点到点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点、分别在第一和第二象限内，求的面积.22．（10分）已知.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ），，，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

由及双曲线定义得和（用表示），然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率．【详解】由题意∵，∴由双曲线定义得，从而得，，在中，由余弦定理得，化简得．故选：A．本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离，再由余弦定理得出的齐次式．2．C【解析】分析：根据复数的运算，求得复数z，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．详解：由题意，复数z=2i1-i所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1)，位于复平面内的第三象限，故选C．点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数z是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．B【解析】

画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示：故.故选：.本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.4．B【解析】

由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种，由古典概型的概率公式即得解.【详解】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：故选：B本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.5．D【解析】

由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.【详解】分析：由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.详解：因为函数的最小正周期是，所以，解得，所以，将该函数的图像向右平移个单位后，得到图像所对应的函数解析式为，由此函数图像关于直线对称，得：，即，取，得，满足，所以函数的解析式为，故选D.本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．C【解析】

方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C．方法二：因为，所以，则.故选C．7．D【解析】

如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.8．B【解析】

由题得，，解得，，计算可得.【详解】，，，，解得，，.故选：B本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，考查了学生运算求解能力.9．D【解析】

先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求【详解】，所以.故选：D此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.10．A【解析】

计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.【详解】的中点坐标为：，圆半径为，圆方程为.故选：.本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.11．B【解析】

将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.【详解】当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种.故选：B本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.12．D【解析】

利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】由余弦定理得：，整理可得：，.故选：.本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【解析】

直接用表示出，然后由不等式性质得出结论．【详解】由题意，又，∴，即，∴的最大值为1．故答案为：1．本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．14．【解析】

由已知可知直线过抛物线的焦点，求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离．【详解】解：如图，直线过定点，，而抛物线的焦点为，，弦的中点到准线的距离为，则弦的中点到直线的距离等于．故答案为：．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题．15．【解析】

根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.【详解】，且，则，解得.故答案为：.本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.16．0.35【解析】

根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．【详解】解：由题意知本题是一个对立事件的概率，抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，，抽到不是一等品的概率是，故答案为：．本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）特征值为或．【解析】

（1）先设矩阵,根据,按照运算规律,即可求出矩阵.（2）令矩阵的特征多项式等于,即可求出矩阵的特征值．【详解】解：（1）设矩阵由题意,因为,所以,即所以,（2）矩阵的特征多项式,令,解得或,所以矩阵的特征值为1或．本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.18．（1）．（2）的方程为．【解析】

（1）令，则，由此能求出点C的轨迹方程．（2）令，令直线，联立，得，由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程。【详解】解：（1）因为，即直线的斜率分别为且，设点，则，整理得.（2）令，易知直线不与轴重合，令直线，与联立得，所以有，由，故，即，从而，解得，即。所以直线的方程为。本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题。19．(Ⅰ)曲线是焦点在轴上的椭圆；(Ⅱ)．【解析】试题分析：（1）由题易知，直线的参数方程为，（为参数），；曲线的直角坐标方程为，椭圆；（2）将直线代入椭圆得到，所以，解得．试题解析：(Ⅰ)直线的参数方程为.曲线的直角坐标方程为，即，所以曲线是焦点在轴上的椭圆.(Ⅱ)将的参数方程代入曲线的直角坐标方程为得，，得，，20．（1）p=4；（2）OA⋅【解析】试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程y=2x-2x2=2py，化简写出根与系数关系，由于直线y=p2平分∠M1FM2，所以kM1F+kM2F=0，代入点的坐标化简得4-(2+p2)⋅x试题解析：（1）由y=2x-2x2=2py设M1(x1,因为直线y=p2平分∠M所以y1-p所以4-(2+p2)⋅x1+x（2）由（1）知抛物线方程为x2=8y，且x1+x设M3(x3,x328所以x2+x整理得：x2由B,M3,②式两边同乘x2得：x即：16x由①得：x2x3即：16(x2+所以OA⋅考点：直线与圆锥曲线的位置关系.【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立y=2x-2x2=2py，相当于得到M1,M2的坐标，但是设而不求.根据直线y=p221．（1）（2）【解析】

（1）因为，可得，即可求得答案；（2）分别设、的斜率为和，切点，，可得过点的抛物线的切线方程为：，联立直线方程和抛物线方程，得到关于一元二次方程，根据，求得，，进而求得切点，坐标，根据两点间距离公式求得，根据点到直线距离公式求得点到切线的距离，进而求得的面积.【详解】（1），，解得，抛物线的方程为.（2）由题意可知，、的斜率都存在，分别设为和，切点，，过点的抛物线的切线：，由,消掉,可得，，即，解得，，又由，得，，，同理可得，，，，，切线的方程为，点到切线的距离为，，即的面积为.本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式22．（Ⅰ）；（Ⅱ）