考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷12（共150题）

考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷12（共6套）（共150题）考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷第1套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设n阶矩阵A=，则丨A丨=_______.标准答案：(-1)n-1(n-1)知识点解析：暂无解析2、设随机变量X与一X服从同一均匀分布U[a，b]，已知X的概率密度f(x)的平方f2(x)也是概率密度，则b=_______．标准答案：知识点解析：若X～U[a，b]，则一X～U[一b，一a]，由X与一X同分布可知a=一b，即X～U[－b，b]，于是有由题设f2(x)也是概率密度，则由1=∫－∞＋∞f2(x)dx=∫－bb．3、三次独立试验中A发生的概率不变，若A至少发生一次的概率为，则一次试验中A发生的概率为______．标准答案：知识点解析：设一次试验中A发生的概率为p，B＝{三次试验中A至少发生一次}，则P(B)＝，又P(B)＝1－＝1－(1－p)3，所以有1－(1－P)3＝解得p＝，即第一次试验中A发生的概率为．4、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P{X+Y≤1}=________。标准答案：知识点解析：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，求满足一定条件的概率P{g(X，Y)≤z0}，一般可转化为二重积分P{g(X，Y)≤z0}=f(x，y)dxdy进行计算。根据题设可得，如图3—3—1所示，5、已知α1=(1，4，2)T，α2=(2，7，3)T，α3=(0，1，a)T可以表示任意一个三维向量，则a的取值是______标准答案：a≠1知识点解析：α1，α2，α3可以表示任一个3维向量，因此向量α1，α2，α3与ε1=(1，0，0)T，ε2=(0，1，0)T，ε=(0，0，1)T是等价向量，因此α1，α2，α3的秩为3，即｜α1，α2，α3｜≠0，于是因此a≠1．6、设则f(99)(0)=_________．标准答案：一99!知识点解析：注意，f(x)的分母不能因式分解而将f(x)拆项，改想别的办法．由幂级数展开式的唯一性知f(k)(0)=k!ak(k=0，1，2，…)．当k=99时，3n=99，n=33．所以f(99)(0)=99!a99=99!(一1)33=一99!．7、设y=cosx2sin2，则y’=________．标准答案：知识点解析：8、设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1+P3，其中P为价格，且R(1)=1，则R(p)=____________.标准答案：知识点解析：9、=______．标准答案：知识点解析：10、设随机变量X服从正态分布N(μ，22)，已知3P{X≥1．5}=2P{X＜1．5}，则P{|X一1|≤2}=______．标准答案：0.6826知识点解析：求正态分布随机变量X在某一范围内取值的概率，要知道分布参数μ与σ，题设中已知σ=2，需先求出μ．由于从而依题意，查标准正态分布表，可得μ=1．因X～N(1，22)，所以～N(0，1)，于是P{|X一1|≤2}==2ψ(1)一1=0．6826．11、设函数f（u，υ）由关系式f（xg（y），y]=x+g（y）确定，其中函数g（y）可微，且g（y）≠0，则=________。标准答案：知识点解析：令u=xg（y），υ=y，则12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、=________(a为常数，n为自然数)．标准答案：0知识点解析：显然积分难以积出．考虑积分中值定理，，其中ξx介于x与x+a之间。所以14、设A，B都是三阶矩阵，且满足(A*)－1B=ABA+2A2，则B=______．标准答案：知识点解析：｜A｜=－3，A*=｜A｜－1A=－3A－1，则(A*)－1B=ABA+2A2化为AB=ABA+2A2，注意到A可逆，得B=BA+2A或－B=3BA+6A，则B=－6A(E+3A)－1，15、微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为_______．标准答案：xy=2知识点解析：原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=216、向量组α1=（1，一2，0，3）T，α2=（2，一5，一3，6）T，α3=（0，1，3，0）T，α4=（2，一1，4，7）T的一个极大线性无关组是________。标准答案：α1，α2，α4知识点解析：用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有（α1，α2，α3，α4）因为矩阵中有三个非零行，所以向量组的秩为3，又因为非零行的第一个不等于零的数分别在1，2，4列，所以α1，α2，α4是向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组。17、若在x=一3处为条件收敛，则其收敛半径R=________．标准答案：3知识点解析：因在x=一3处收敛，由阿贝尔定理知，|x|＜3时，绝对收敛．又因在x=一3处条件收敛，故|x|＞3时，发散．如若不然，必存在x1，使|x1|＞3且级数在x=x1处收敛．由阿贝尔定理便可推出|x|＜|x1|时，特别是x=一3时绝对收敛．这与题设级数在x=一3处条件收敛相矛盾．综上，由收敛半径的定义知R=3．18、设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，如果α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T，3α1+α2=（2，4，6，8）T，则方程组Ax=b的通解是________。标准答案：（，0，0，0）T+k（0，2，3，4）T，k为任意常数知识点解析：由于r（A）=3，所以齐次方程组Ax=0的基础解系只含有4一r（A）=1个解向量。又因为（α1+α2+2α3）一（3α1+α2）=2（α3一α1）=（0，一4，一6，一8）T是Ax=0的解，所以其基础解系为（0，2，3，4）T，由A（α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b，可知（α1+α2+α3）是方程组Ax=b的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是（，0，0，0）T+k（0，2，3，4）T，k为任意常数。19、设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．标准答案：0知识点解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)＝1，解得a＝0．20、设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)一y(x)，且△y=其中α是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=________．标准答案：知识点解析：由△y==0，解得y=，再由y(0)=2，得C=2，所以y=21、特征根为r1=0，的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为_______．标准答案：知识点解析：特征方程为即r3一r2+=0，其对应的齐次线性微分方程即为所求方程．22、设A是n阶矩阵，满足A2-2A+E=0，则(A+2E)-1=_____．标准答案：知识点解析：由(A+2E)(A-4E)+9E=A2-2A+E=0有(A+2E).(4E-A)=E．(A+2E)-1=(4E-A)．23、二次型f(x1，x2，x3)=(x1一2x2)2+4x2x3的矩阵为_______．标准答案：因为f(x1，x2，x3)=x12+4x22一4x1x2+4x2x3，所以知识点解析：暂无解析24、设X～P(1)，Y～P(2)，且X，Y相互独立，则P(X+Y=2)=___________．标准答案：P(X+Y=一2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=0)，由X，Y相互独立得P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)知识点解析：暂无解析25、设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤1／2)出现的次数，则P(Y=2)=____________．标准答案：9／64知识点解析：先求出事件A={X≤1／2)的概率则Y～B(n，p)=B(3，1／4)．因而，由命题3．2．3．2(1)得到P(Y=2)=C32(1／4)2(3／4)3-2=9／64．注：命题3．2．3．2(1)若离散型随机变量X～B(n，p)，则P(X=k)=Cnkpk(1－p)n-k(k=0，1，2，…，n)．考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷第2套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设f(x)连续，且F(x)==________．标准答案：a2f(a)．知识点解析：2、设函数f（x）=标准答案：4知识点解析：因为|x=0=f’（一1）f’（0），而当x＜1时，f’（x）=2，因此f’（—1）=f’（0）=2，代入可得=4。3、设f（x）在x=0处连续，且则曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为________。标准答案：知识点解析：当x→0时，arcslnx—x～。由极限的运算法则可得从而f（x）=1。又因为f（x）在x=0处连续，所以f（0）=f（x）=1。根据导数的定义可得所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为4、求幂级数的收敛域_______．标准答案：[0，6)知识点解析：暂无解析5、将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于________．标准答案：7／2知识点解析：设X1，X2，…，Xn是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望EX=21／6=7／2，因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．6、微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_____________________。标准答案：(x+C)cosx，其中C为任意常数知识点解析：此一阶线性微分方程的p(x)=tanx，q(x)=cosx，则由通解公式其中C为任意常数。7、，则a=____,b=_____.标准答案：a=1,b=-4知识点解析：暂无解析8、函数在区间上的平均值为_____________．标准答案：1undefinedundefinedundefinedundefinedundefinedundefinedundefined知识点解析：【分析一】由于[*]于是[*]从而[*]故所求函数在[*]上的平均值为1．【分析二】由于[*]故所求函数在[*]上的平均值为1．【分析三】[*]故所求函数在[*]上的平均值为1．设P(A)=0．4，P(A∪B)=0．7，那么9、若A与B互不相容，则P(B)=________；标准答案：0．3知识点解析：由P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)若A、B互不相容，则AB=，∴P(AB)=0，代入上式得0．7=0．4+P(B)一0，故P(B)=0．310、若A与B相互独立，则P(B)=________。标准答案：0．5知识点解析：若A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)，代入得0．7=0．4+P(B)一0．4×P(B)，故P(B)=0．5。11、曲线y=x2与直线y=x+2所围成的平面图形面积为________．标准答案：知识点解析：令x=x2+2解得x=一1和x=2，则所求面积为12、设f’(lnx)=1+x，则f(x)=_________．标准答案：x+ex+C．知识点解析：在f’(lnx)=1+x中．令Inx=t，则f’(t)=1+ex从而f(t)=∫(1+ex)dt=t+ex+C13、设(x，y)的概率密度为则Cov(X，Y)=_________．标准答案：0知识点解析：由于D：0≤｜y｜≤x≤1是由y=－x，y=x，x=1三条线围成的，关于x轴对称，所以E(XY)=xydxdy=0，EY=ydxdy=0，故Cov(X，Y)=E(XY)－EXEY=0．14、设函数，则dz|(1,1)=_________．标准答案：(1+2ln2)dx+(一1一2ln2)dy知识点解析：15、级数的和为______．标准答案：知识点解析：由麦克劳林公式易知ln(1+x)=则16、设随机变量X～N(1，2)，Y～N(一1，2)，Z～N(0，9)且随机变量X，Y，Z相互独立，已知a(X+Y)2+bZ2～χ2(n)，则a=________，b=________，n=________．标准答案：；2．知识点解析：由X～N(1，2)，Y～N(一1，2)，Z～N(0，9)，得X+Y～N(0，4)，n=2．17、差分方程yt+1—yt=t2t的通解为_________．标准答案：yt=C+(t一2)2t．知识点解析：齐次差分方程yt+1—yt=0的通解为C．C为任意常数．设(at+b)2t是差分方程yt+1一yt=t2t的一个特解，则a=1，b=一2，因此，yt=C+(t一2)2t为所求通解．18、任意一个三维向量都可以由α1=(1，0，1)T，α2=(1，一2，3)T，α3=(a，1，2)T线性表示，则a的取值为__________。标准答案：a≠3知识点解析：任意一个三维向量都可以用α1=(1，0，1)T，α2=(1，一2，3)T，α3=(a，1，2)T线性表示，则α1，α2，α3必线性无关。又α1，α2，α3为3个三维向量，故可考虑其行列式，即|α1，α2，α3|==2(a一3)≠0即a≠3。19、微分方程的通解_________包含了所有的解．标准答案：不一定知识点解析：例如方程(y2－1)dx=(x－1)ydy，经分离变量有，积分得通解y2－1=C(x－1)2，但显然方程的全部解还应包括y=±1和x=1(实际上在分离变量时假定了y2－1≠0，、x－1≠0)．20、二次型f(x1,x2,x3)=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同规范形为__________。标准答案：z12一z22知识点解析：令=3，所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型f=y1y2是合同的，故有相同的合同规范形。二次型f=y1y2的矩阵为，其特征值为，0，所以原二次型的正、负惯性指数均为1，故原二次型的合同标准形为z12一z22。21、设二维随机变量（X，Y）服从N（μ，μ，σ2，σ2；0），则E（XY2）=________。标准答案：μ3+μσ2知识点解析：由于ρ=0，根据二维正态分布的性质可知随机变量X，Y独立，所以E（XY2）=E（X）．E（Y2）。已知（X，Y）服从N（μ，μ；σ2，σ2；0），则E（X）=μ，E（Y2）=D（Y）+E2（Y）=μ2+σ2，所以E（XY2）=μ（μ2+σ2）=μ3+μσ2。22、设随机变量X服从正态分布N(μ，1)，已知P{X≤3}=0．975，则P{X≤-0．92}=_______．标准答案：0.025知识点解析：由P{X≤3}==Ф(3-μ)=0．975，可知3-μ=1．96，μ=1．04．于是P{X≤-0．92}=Ф(-0．92-μ)=Ф(-1．96)=0．025．23、设随机变量X1，X2，X3相互独立，且，则E[X1(X1+X2-X3)]为________．标准答案：知识点解析：E[X1(X1+X2—X3)]=E(X12+X1X2—X1X3)=E(X12)+E(X1)E(X2)一E(X1)E(X3)=D(X1)+[E(X1)]2+E(X1)E(X2)一E(X1)E(X3)24、设随机变量X1，…，Xn相互独立同分布，EXi=μ，DXi=8(i=1，2，…，n)，则概率标准答案：知识点解析：由于X1，…，Xn相互独立同分布，因此有．应用切比雪夫不等式，有25、设总体X服从正态分布N(0，σ2)，而X1，X2，…，X15是取自总体X的简单随机样本，则服从_______分布，分布参数为_______．标准答案：N(0，σ2)，知识点解析：根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，X15相互独立且都服从分布N(0，σ2)，所以，因此考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷第3套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、=_____________。标准答案：知识点解析：2、若a>0，b>0均为常数，则3/x=______.标准答案：(ab)3/2知识点解析：暂无解析3、设随机变量X，Y相互独立，且X～N(0，4)，Y的分布律为则P(X＋2Y≤4)＝______．标准答案：0．46587知识点解析：P(X＋2Y≤4)＝P(Y＝1)P(X≤4＝2Y｜Y＝1)＋P(Y＝2)P(X≤4－2Y｜Y＝2)＋P(Y＝3)P(X≤4－2Y｜Y＝3)＝P(X≤－2)＝(－1)＝0．46587．4、设A=，B=(E+A)－1(E－A)，则(E+B)－1=_________．标准答案：知识点解析：E+B=E+(E+A)－1(E－A)=(E+A)－1(E+A+E－A)=(E+A)－12E，故5、设周期为4的函数f(x)处处可导，且则曲线y=f(x)在(一3，f(一3))处的切线为_________．标准答案：由得f(1)=2，再由得f′(1)=一2，又f(一3)=f(-4+1)=f(1)=2，f′(一3)=f′(一4+1)=f′(1)=一2，故曲线y=f(x)在点(一3，f(一3))处的切线为y=2=一2(x+3)，即y=一2x一4．知识点解析：暂无解析6、齐次方程组有非零解，则λ=______标准答案：-3或-1知识点解析：系数矩阵的行列式｜A｜==-(λ2+4λ+3)=-(λ+3)(λ+1)，所以当λ=-3或λ=-1时，方程组有非零解．7、将∫01dy∫0yf（x2+y2）dx化为极坐标下的二次积分为________。标准答案：知识点解析：如图1—4—9所示，则有8、事件A与B相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件C发生必然导致A与B同时发生，则A，B，C都不发生的概率为_________．标准答案：(1－a)(1－b)知识点解析：“事件C发生必然导致A与B同时发生”<=>AB，于是=(1－a)(1－b)．9、设f(x)＝x2，则f’(x)＝______．标准答案：2x(1＋4x)e8x知识点解析：得f’(x)＝2xe8x＋8x2e8x＝2x(1＋4x)e8x．10、设A为3阶矩阵，丨A丨=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则丨BA*丨=__________.标准答案：-27知识点解析：A两行互换得到B，由行列式性质丨A丨=-丨B丨，故丨BA*丨=丨B*丨丨A*丨=-丨A丨.丨A丨2=-27．11、3架飞机(其中有1架长机和2架僚机)去执行轰炸任务，途中要过一个敌方的高炮阵地．各机通过高炮阵地的概率均为0．8，通过后轰炸成功的概率均为0．3，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功．求最终轰炸成功的概率为_______．标准答案：0．476544知识点解析：暂无解析12、假设X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而Y=1—X．已知P{X≤0．29}=0．75，则满足P{Y≤k}=0．25的常数k=__________．标准答案：0．71知识点解析：由于P{y≤k}=P{1一X≤k}=P{X≥1一k}=1一P{X＜1一k}=0．25，可见P{X＜1一k}=1—0．25=0．75．由P{X≤0．29}=0．75，得1一k=0．29，k=0．71．13、=__________标准答案：知识点解析：改变积分次序得14、如果β=（1，2，t）T可以由α1=（2，1，1）T，α2=（一1，2，7）T，α3=（1，一1，一4）T线性表示，则t的值是________。标准答案：5知识点解析：β可以由向量组α1，α2，α3线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此t一5=0，即t=5。15、差分方程yx+1一yx=x2x的通解为__________．标准答案：y=C+(x一2)2x知识点解析：yx+1—yx=0的通解为y=C(1)x=C，令yx+1一yx=x2x的特解为y0=(ax+b)2x，代入原方程得y0=(x一2)2x，原方程的通解为y=C+(x一2)2x．16、差分方程yt+1一2yt=t的通解是__________．标准答案：yt=C2t一1一t知识点解析：暂无解析17、设随机变量X和Y相互独立，且分布函数为令U=X+Y，则U的分布函数为______．标准答案：知识点解析：FU(u)=P(U≤u)=P(X+Y≤u)，当u＜0时，FU(u)=0；当0≤u＜1时，FU(u)=P(U≤u)=P(X+Y≤u)=P(X=0，Y≤u)=P(X=0)P(y≤u)=当1≤u＜2时，FU(u)=P(X=0，Y≤u)+P(X=1，Y≤u－1)当u≥2时，FU(u)=1．所以18、设随机变量(X，Y)的联合密度为则P(X＞5｜y≤3)=______标准答案：知识点解析：P(X＞5｜Y≤3)=19、设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e一4x+x2+3x+2，则Q(x)=________，该微分方程的通解为________．标准答案：C1e一4x+C2e3x+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)．知识点解析：显然λ=一4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=一12，即特征方程为λ2+λ一12=0，特征值为λ1=一4，λ2=3．因为x2+3x+2为特征方程y"+y’一12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3一12(x2+3x+2)=一12x2—34x一19，且通解为y=C1e一4x+C2e3x+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)．20、标准答案：知识点解析：21、已知A=，则(A*)-1=______．标准答案：知识点解析：由AA*=｜A｜E，有22、设三阶矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=，λ3=，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α3，一3α1，一α2)，则P一11(A一1+2E)P=________．标准答案：知识点解析：P1(A1+2E)P=P1A1P+2E，而P1A1P=，所以P1(A1+2E)P=23、已知每次试验“成功”的概率为p，现进行n次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功”不止一次的概率为________．标准答案：知识点解析：这是独立重复试验概型，记A=“成功”，则P(A)=p，X=“n次试验中A发生的次数”，则X～B(n，p)，“在没有全部失败的条件下，‘成功’不止一次”的概率为24、设(X，Y)的概率密度为则Coy(X，Y)=________．标准答案：0知识点解析：由于D：0≤|y|≤x≤1是由y=一x，y=x，x=1三条线围成的，关于x轴对称，所以故Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0．25、已知(X，Y)的联合概率密度为则服从参数为______的_______分布．标准答案：知识点解析：由题设知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为故X～N(0，22)，Y～N(1，32)，X与Y相关系数ρ=0，所以X与Y独立，根据F分布典型模式知考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷第4套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、=________．标准答案：知识点解析：2、设x→0时，lncosax～－2xb(a＞0)，则a＝______，b＝______．标准答案：2，2知识点解析：因为ln(cosax)＝ln[1＋(cosax－1)]～cosax－1～，所以得到＝－2，b＝2，解得a＝2，b＝2．3、标准答案：知识点解析：4、对随机变量X，Y，已知3X＋5Y＝11，则X和Y的相关系数为_______．标准答案：－1知识点解析：∵Y＝，∴(X，Y)的相关系数为－1．5、已知事件A与B相互独立，P(A)=a，P(B)=b。如果事件C发生必然导致事件A与B同时发生，则事件A、B、C均不发生的概率为________。标准答案：(1一a)(1一b)知识点解析：所求的概率为，已知“事件C发生必导致A、B同时发生”，显然是用于化简的。已知CAB，故由吸收律可知，，又因为A与B独立，故所求的概率为6、标准答案：max{a1，a2，…，am}知识点解析：假设a1为最大值，则7、设离散型随机变量X的分布函数F(x)=则随机变量|X|的分布函数为______．标准答案：知识点解析：由于分布函数F(x)只在x=一1，0，1处有3个间断点，因此离散型随机变量X与|X|的概率分布分别为|X|的分布函数F|X|(x)为8、若函数f(x)=asinx+在处取得极值，则a=_______．标准答案：2知识点解析：f’(x)=acosx+cos3x，因为极值点，则得a=2．此时f"(x)=一2sinx-3sin3x，故当a=2时，为极大值点．9、设函数f(χ)连续，且f(0)≠0，求极限＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设3阶方阵A、B满足A*B－A－B＝E，其中E为3阶单位矩阵，若A＝，则｜B｜＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析11、=__________。标准答案：ln2知识点解析：12、计算下列行阶行列式：(1)＝_______；(2)＝_______；(3)＝_______；(4)＝_______．标准答案：(1)(－1)n-1(n－1)χn-2；(2)(χ－1)(χ－2)…(χ－n＋1)；(3)；(4)n＋1．知识点解析：暂无解析13、有16件产品，12个一等品，4个二等品．从中任取3个，至少有一个是一等品的概率为________．标准答案：知识点解析：设A={抽取3个产品，其中至少有一个是一等品)，则P(A)=1一14、已知α1=(a，a，a)T，α2=(一a，a，b)T，α3=(一a，一a，一b)T线性相关，则a，b满足关系式________。标准答案：a=0或a=b知识点解析：n个n维向量线性相关｜α1,α2，…，αs｜=0．而故a=0或a=b．15、=________．标准答案：+C，其中C为任意常数知识点解析：16、已知总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，X2n是取自总体X容量为2n的简单随机样本，当σ2未知时，为σ2无偏估计，则C=______，D(Y)=_____．标准答案：知识点解析：依据E(Y)=σ2求得C，为此需要先求出X2i—X2i-1分布．由于Xi一N(μ，σ2)，且相互独立，故X2i一X2i-1～N(0，2σ2)，E(X2i—X2i-1)2=D(X2i—X2i-1)+[E(X2i—X2i-1)]2=2σ2那么有17、设随机试验成功的概率p=0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=______．答案标准答案：0.84undefinedundefined知识点解析：以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=0．20，且[*]由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量[*]近似服从标准正态分布N(0，1)．因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=P{16≤X≤32}=[*]≈ψ(3)一ψ(一1)=ψ(3)一[1一ψ(1)]=0．9987一(1一0．8413)=0．84，其中ψ(u)是标准正态分布函数．18、微分方程3extanydx+(1－ex)sec2ydy=0的通解是________．标准答案：tany=C(ex－1)3，其中C为任意常数知识点解析：方程分离变量得，积分得ln(tany)=3ln(ex－1)+lnC．所以方程有通解为tany=C(ex－1)3，其中C为任意常数．19、设A为n阶矩阵，且｜A｜＝0，Aki≠0，则AX＝0的通解为______．标准答案：C(Ak1，Ak2…，Aki…，Akn)T(C为任意常数)知识点解析：因为｜A｜＝0，所以r(A)＜n．又因为Aki≠0．所以r(A*)≥1．从而r(A)＝n－1．AX＝0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*＝｜A｜E＝O．所以A*的列向量为方程组AX＝0的解向量，故AX＝0的通解为C(Ak1，Ak2…，Aki…，Akn)T(C为任意常数)．20、若三维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为________。。标准答案：2知识点解析：因为αTβ=2，所以（βαT）β=β（αTβ）=2β，故βαT的非零特征值为2。21、已知α=(1，3，2)T，β=(1，一1，一2)T，A=E一αβT，则A的最大的特征值为__________。标准答案：7知识点解析：因为非零列向量α，β的秩均为l，所以矩阵αβT的秩也为l，于是αβT的特征值为0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=一6。所以A=E一αβT的特征值为l，1，7，则A的最大的特征值为7。22、已知随机变量X服从参数为λ的指数分布，Y=则P{X+Y=0}=___________；P{Y≤=___________。标准答案：e-λ；1一+e-λ知识点解析：已知X一f(x)=所求的概率为P{X+Y=0}=P{Y=一X}=P{|X|>1}=P{X>1}+P{X<一1}=∫1∞λe-λxdx=e-λ。根据全概率公式，可得P{Y≤}=P{Y≤，|X|≤1}+P{Y≤，|X|>1}=p{x≤,|x|≤1}+P{一X≤，|X|>1}=P{一1≤X≤}+P{X>1}23、随机变量X的密度函数为则D(X)=__________．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，令Y=4X一3，则E(y)=_________，D(Y)=___________，标准答案：因为X～P(2)，所以E(X)=D(X)=2，于是E(Y)=4E(X)一3=5，D(Y)=16D(X)=32．知识点解析：暂无解析25、设总体X与Y独立且都服从正态分布N(0，σ2)，已知X1，…，Xm与Y1，…，Yn是分别来自总体X与Y的简单随机样本，统计量=______．标准答案：知识点解析：依题意Xi～N(0，σ2)，Yi～N(0，σ2)且相互独立，所以U与V相互独立，由t分布典型模式知考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷第5套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设f(x)一阶连续可导，且f(0)=0，f’(0)≠0，则=________标准答案：1知识点解析：2、若f(x)＝在x＝0处连续，则a＝______．标准答案：2知识点解析：因为f(x)在x＝0处连续，所以1＋＝a，故a＝2．3、设a＞0，a≠1，且=lna，则p=________。标准答案：2知识点解析：4、当k=________时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，-3，2)，α2=(2，-1，1)线性表示．标准答案：-8知识点解析：暂无解析5、对随机变量X，Y，Z，已知EX＝EY＝1，EZ＝－1，DX＝DY＝1，DZ＝4，ρ(X，Y)＝0，ρ(X，Z)＝，ρ(Y，Z)＝－．(ρ为相关系数)则E(X＋Y＋Z)＝_______，D(X＋Y＋Z)＝_______，cov(2X＋Y，3Z＋X)＝_______．标准答案：1；；3．知识点解析：暂无解析6、口袋中有n个球，从中取出一个再放入一个白球，如此交换进行n次，已知袋中自球数的期望值为a，那么第n+1次从袋中取出一个白球的概率为______．标准答案：知识点解析：本题主要考查事件的设定、全概概率，题中有一个完备事件组：n次交换后袋中存有白球数X(X=1，2，…，n)，因此是全概概型．设B为第n+1次从袋中取白球，Ak(k=1，2，…，n)表示n次交换后袋中的白球数，则n次交换后袋中的白球数的期望值为7、设z＝z(x，y)由z＋ez＝xy2确定，则dz＝______．标准答案：知识点解析：z＋ez＝xy2两边求微分得d(z＋ez)＝d(xy2)，即dz＋ezdz＝y2dx＋2xydy，解得dz＝．8、设A=，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则Ax=0的通解是__________．标准答案：k[－1，1，0]T，k为任意常数知识点解析：由于A为4×3矩阵，AB=O，且B≠O，我们得知r(A)＜3，对A作变换由r(A)＜3，有a=1．当a=1时，求得Ax=0的基础解系为[－1，1，0]T，因此通解为k[－1，1，0]T，k为任意常数．9、=___________．标准答案：知识点解析：令cotx=t，则x→0+时t→+∞，x=时t=0，故再令t=，则t→+∞时x→0+，t→0+时x→+∞，于是10、设y=ln(1-3-x)，则dy=________．标准答案：知识点解析：11、若函数f(x)=在x=1处连续且可导，那么a=______，b=______．标准答案：a=2，b=一1知识点解析：因f(x)在x=1处连续，则，即1=a+b．要函数f(x)在x=1处可导，必须有f-’(1)=f+’(1)．由已知可得因此可得a=2，b=一1．12、设4阶矩阵A＝[α1β1β2β3]，B＝[α2β1β2β3]，其中α1，α2，β1，β2，β3均为4维列向量，且已知行列式｜A｜＝4，｜B｜＝1，则行列式｜A＋B｜＝_______．标准答案：40知识点解析：(1)｜A＋B｜＝｜α1＋α22β12β22β3｜＝8(｜α1β1β2β3｜＋｜α2β1β2β3｜)＝(｜A｜＋｜B｜)＝8(4＋1)＝40．13、标准答案：知识点解析：14、＝______．标准答案：知识点解析：15、∫0+∞xe-xdx=________．标准答案：1知识点解析：原积分=-∫0+∞xde-x=-xe-x+∫0+∞e-xdx=∫0+∞e-xdx=一e-x|0+∞=1．16、设f(x)是连续函数，且0x3-1f(t)dt=x，则f(7)=________．标准答案：知识点解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导．等式两边对x求导得令x=2，即得f(7)=17、设f可微，则由方程f(cx－az，cy－bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azˊx+bzˊx=_________．标准答案：c知识点解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得fˊ1(cdx－adz)+fˊ2(cdy－bdz)=0，即dz=，故azˊx+bzˊy==c．18、(x2+xy一x)dxdy=__________，其中D由直线y=x，y=2x及x=1围成．标准答案：知识点解析：19、由方程所确定的函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的全微分dz=_________．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设总体X～N(μ，σ2)，从中抽得简单样本X1，X2，…，Xn，记则Y1～________，Y2～________(写出分布，若有参数请注出)且标准答案：χ2(n)；χ2(n-1)；D知识点解析：21、已知矩阵A=的特征值的和为3，特征值的乘积是—24，则b=________。标准答案：—3知识点解析：阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，即a+3+（—1）=3，所以a=1。又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有=5b—9=—24．所以b=—3。22、已知∫01f(tx)dt=+1，则f(x)=________．标准答案：Cx+2，其中C为任意常数知识点解析：将所给方程两边同乘以x，得令u=tx，则上式变为|f(u)du=两边对x求导得用线性方程通解公式计算即得f(x)=Cx+2，其中C为任意常数．23、已知n阶矩阵A=，则秩r(A2-A)=_____．标准答案：1知识点解析：由A2-A=A(A-E)，又矩阵A可逆，故r(A2-A)=r(A-E)，易见r(A-E)=1．24、设X1，X2，X3，X4是来自正态总体X～N(μ，σ2)的样本，则统计量服从的分布是________．标准答案：t(2)知识点解析：因为X～N(μ，σ2)，所以X3一X4～N(0，2σ2)，25、若随机变量X服从均值为2，方差为σ2的正态分布，且P(2＜X＜4)=0．3，则P(X<0)=____________．标准答案：0．2知识点解析：解一由X～N(2，σ2)知，则因而故解二因X服从均值为2的正态分布，其概率密度曲线关于直线x=2对称，则P(X＜0)+P(0＜X＜2)+P(2＜X＜4)+P(X＞4)=1．由P(X＞4)=P(X＜0)，P(0＜X＜2)=P(2＜X＜4)(对称性)，得到2P(X＜0)+2P(2＜X＜4)=1，P(X＜0)=[1－2P(2＜X＜4)]／2=(1－0．6)／2=0．2．考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷第6套一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、标准答案：e6知识点解析：2、设函数f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＞0，则=________。标准答案：知识点解析：3、从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为．设X表示途中遇到红灯的次数，则E(X)＝______．标准答案：知识点解析：显然X～B，则E(X)＝3×．4、设在x=0处连续，则a=________。标准答案：e一1．知识点解析：5、设x，y为两个随机变量，D(X)＝4，D(Y)＝9，相关系数为，则D(3X－2Y)＝______．标准答案：36知识点解析：Cov(X，Y)＝ρXY×＝3，D(3X－2Y)＝9D(X)＋4D(Y)－12Cov(X，Y)＝36．6、设f(x)＝则∫－15f(x－1)dx＝______标准答案：＋ln3知识点解析：7、设，则=_____________________。标准答案：知识点解析：，令，则有，则8、若y=f(x)存在反函数，且y’≠0，y"存在，则标准答案：知识点解析：9、设总体X～N(0，8)，Y～N(0，22)，且X1及(Y1，Y2)分别为来自上述两个总体的样本，则～______．标准答案：F(1,2)知识点解析：X12～χ2(1)，(Y12＋Y22)～χ2(2)，～F(1,2)．10、已知X的概率密度f(x)=，aX+b～N(0，1)(a＞0)，则常数A=________，a=________，b=________。标准答案：知识点解析：f(x)=，故X～N(一1，2)，所以11、若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点（—1，0），则b=________。标准答案：3知识点解析：本题考查已知拐点坐标来确定曲线方程中的一个参数。已知y=x3+ax2+bx+1，则y’=3x2+2ax+b，y"=6x+2a。令y"=0，得x==—1，所以a=3。又因为曲线过点（—1，0），代入曲线方程，得b=3。12、y=xsin2(2x+1)，则y′=____________．标准答案：则知识点解析：暂无解析13、设曲线y=f(x)与y=x2一x在点(1，0)处有公共切线，则=___________.标准答案：一2知识点解析：由题设知f(1)=0，f’(1)=1．14、设f(x)=x(x一1)(x一2)…(x一n)，则f’(0)=_________，f(n+1)(x)=_________．标准答案：(一1)nn!,(n+1)!知识点解析：暂无解析15、设f（x，y）=在点（0，0）处连续，则a=________。标准答案：0知识点解析：因为利用夹逼定理知，=0。又知f（0，0）=a，则a=0。16、[∫0xsin(x-t)2dt]=________．标准答案：sinx2知识点解析：令