考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷1（共136题）

考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷1（共4套）（共136题）考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷第1套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设函数y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线y=2-x垂直，则=A、-1．B、0．C、1．D、不存在．标准答案：B知识点解析：由题设可知f’(x0)=1，又△y-dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是，故应选(B)．2、设曲线y=x2+ax+b和2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中a，b是常数，则A、a=0，b=2．B、a=1，b=-3．C、a=-3，b=1．D、a=-1，b=-1．标准答案：D知识点解析：曲线y=x2+ax+b在点(1，-1)处的斜率y’=(x2+ax+b)’｜x=1=2+a．将方程2y=-1+xy3对x求导得2y’=y3+3xy2y’．由此知，该曲线在(1，-1)处的斜率y’(1)为2y’(1)=(-1)3+3y’(1)，y’(1)=1．因这两条曲线在(1，-1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即2+a=1，a=-1．又曲线y=x2+ax+b过点(1，-1)，所以1+a+b=-1，b=-2-a=-1．因此选(D)．3、设f(x0)≠0，f(x)在x=x0连续，则f(x)在x0可导是｜f(x)｜在x0可导的()条件．A、充分非必要.B、充分必要.C、必要非充分.D、既非充分也非必要.标准答案：B知识点解析：由f(x0)≠0f(x0)＞0或f(x0)＜0，因f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0某邻域是保号的，即，当｜x-x0｜＜δ时，因此应选(B)．4、设f(x)在点x=x0处可导，且f(x0)=0，则f’(x0)=0是｜f(x)｜在x0可导的()条件．A、充分非必要.B、充分必要.C、必要非充分.D、既非充分也非必要.标准答案：B知识点解析：按定义｜f(x)｜在x0可导存在，即均存在且相等因此应选(B)．5、设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续但不可导，又g’(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a可导的()条件．A、充分必要.B、充分非必要.C、必要非充分.D、既非充分也非必要.标准答案：A知识点解析：①因为φ’(a)不存在，所以不能对g(x)φ(x)用乘积的求导法则；②当g(a)≠0时，若F(x)在x=a可导，可对用商的求导法则．(Ⅰ)若g(a)=0，按定义考察即F’(a)=g’(a)φ(a)．(Ⅱ)再用反证法证明：若F’(a)存在，则必有g(a)=0．若g(a)≠0，由商的求导法则即知φ(x)在x=a可导，与假设条件φ(a)=在x=a处不可导矛盾．因此应选(A)．6、函数f(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜的不可导点有A、3个．B、2个．C、1个．D、0个．标准答案：B知识点解析：函数｜x｜，｜x-1｜，｜x+1｜分别仅在x=0，x=1，x=-1不可导且它们处处连续．f(x)=(x2-x-2)｜x｜｜x-1｜｜x+1｜，只需考察x=0，1，-1是否可导．考察x=0，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-1｜，则f(x)=g(x)｜x｜，g’(0)存在，g(0)≠0，φ(x)=｜x｜在x=0连续但不可导，故f(x)在x=0不可导．考察x=1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2+x｜，φ(x)=｜x-1｜，则g’(1)存在，g(1)≠0，φ(x)在x=1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=1不可导．考察x=-1，令g(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜，φ(x)=｜x+1｜，则g’(-1)存在，g(-1)=0，φ(x)在x=-1连续但不可导，故f(x)=g(x)φ(x)在x=-1可导．因此选(B)．7、设f(x+1)=af(x)总成立，f’(0)=b，a≠1，b≠1为非零常数，则f(x)在点x=1处A、不可导．B、可导且f’(1)=a．C、可导且f’(1)=b．D、可导且f’(1)=ab．标准答案：D知识点解析：按定义考察=af’(0)=ab，ab≠a，ab≠b．因此，应选(D)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)8、请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则△x→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是__________无穷小，△y=f(x0+△x)-f(x0)与△x比较是_______无穷小，△y-df(x)｜x=x0与△x比较是________无穷小．标准答案：同阶；同阶；高阶知识点解析：△df(x)｜x=x0=f’(x0)△x，由=f’(x0)≠0知这时df(x)｜x=x0与△x是同阶无穷小量；按定义=f’(x0)≠0，故△y与△x也是同阶无穷小量；按微分定义可知差△y-df(x)｜x=x0=o(△x)(△x→0)是比△x高阶的无穷小．9、设y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，则dy=__________．标准答案：ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx知识点解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．10、设y=f(x)可导，且y’≠0．若y=f(x)二阶可导，则=________．标准答案：知识点解析：11、对数螺线r=eθ在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程为_______．标准答案：知识点解析：对数螺线的参数方程为于是它在点处切线的斜率为当θ=时x=0，y=．因此该切线方程为.三、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)12、判断下列结论是否正确?为什么?(Ⅰ)若函数f(x)，g(x)均在x0处可导，且f(x0)=g(x0)，则f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)若x∈(x0-δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0处有相同的可导性；(Ⅲ)若存在x0的一个邻域(x0-δ，x0+δ)，使得x∈(x0-δ，x0+δ)时f(x)=g(x)，则(x)与g(x)在x0处有相同的可导性．若可导，则f’(x0)=g’(x0)．标准答案：(Ⅰ)不正确．函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关．仅有f(x0)=g(x0)不能保证f’(x0)=g’(x0)．正如曲线y=f(x)与y=g(x)可在某处相交但并不相切．(Ⅱ)不正确．例如f(x)=x2，g(x)=显然，当x≠O时f(x)=g(x)，但f(x)在x=0处可导，而g(x)在x=0处不可导(因为g(x)在x=0不连续)．(Ⅲ)正确．由假设可得当x∈(x0-δ，x0+δ)，x≠x0时故当x→x0时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在，而且若存在则相等．再由导数定义即可得出结论．知识点解析：暂无解析13、说明下列事实的几何意义：(Ⅰ)函数f(x)，g(x)在点x=x0处可导，且f(x0)=g(x0)f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)函数y=f(x)在点x=x0处连续，且有标准答案：(Ⅰ)曲线y=f(x)，y=g(x)在公共点M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))处相切．(Ⅱ)点x=x0是f(x)的不可导点．曲线y=f(x)在点M0(x0，f(x0))处有垂直于x轴的切线x=x0(见图2．1)．知识点解析：暂无解析14、设函数f(x)在x=x0处存在f’+(x0)与f’-(x0)，但f’+(x0)≠f’-(x0)，说明这一事实的几何意义．标准答案：x=x0是f(x)的不可导点．曲线在点M0(x0，f(x0))处存在左、右切线，且左、右切线有一个夹角(M0是曲线y=f(x)的尖点)，见图2．2.知识点解析：暂无解析15、设f’(x)存在，求极限，其中a，b为非零常数．标准答案：按导数定义，将原式改写成原式=af’(x)+bf’(x)=(a+b)f’(x)．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在x=a处可导，且f(a)=1，f’(a)=3，求数列极限标准答案：这是指数型数列极限，先转化成其指数是型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知因此e=e6．知识点解析：暂无解析17、求下列函数的导数y’：(Ⅰ)y=arctanex2；(Ⅱ)y=标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)当x≠0时，由求导法则得f’(x)=；当x=0时，由导数定义得知识点解析：暂无解析18、设y=(1+x2)arctanx，求y’．标准答案：将函数化为y=earctanxln(1+x2)，然后对x求导即得y’=(1+x2)arctsn[arctanxln(1+x2)]’=(1+x2)arctan知识点解析：暂无解析19、设y=f(x)可导，且y’≠0．若已知y=f(x)的反函数x=φ(y)可导，试由复合函数求导法则导出反函数求导公式.标准答案：设y=f(x)的反函数是x=φ(y)，则反函数的导数可由复合函数求导法则求出：由y=f(φ(y))，两边对y求导得因此知识点解析：暂无解析20、设a为常数，求标准答案：继续对x求导，并注意t是x的函数，得知识点解析：暂无解析21、(Ⅰ)设ex+y=y确定y=y(x)，求y’，y’’；(Ⅱ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求标准答案：(Ⅰ)注意y是x的函数，将方程两端对x求导得ex+y(1+y’)=y’，即y’=(这里用方程ex+y=y化简)再将y’的表达式对x求导得或将的表达式，同样可求得(Ⅱ)y=y(x)由方程f(x+y)-y=0确定，f为抽象函数，若把f(x+y)看成f(u)，而u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题．注意，f(x+y)及其导函数f’(x+y)均是x的复合函数．将y=f(x+y)两边对x求导，并注意y是x的函数，f是关于x的复合函数，有y’=f’.(1+y’)，即y’=(其中f’=f’(x+y))．又由y’=(1+y’)f’再对x求导，并注意y’是x的函数，f’即f’(x+y)仍然是关于x的复合函数，有y’’=(1+y’)’f’+(1+y’)(f’)’x=y’’f’+(1+y’)f’’.(1+y’)=y’’f’+(1+y’)2f’’，将y’=代入并解出y’’即得(其中f’=f’(x+y)，f’’=f’’(x+y))．或直接由再对x求导，同样可求得知识点解析：暂无解析22、设求f(x)在点x=0处的导数．标准答案：其中用到了等价无穷小因子替换：ln(1+x)-1(x→0)．知识点解析：暂无解析23、设求f’(1)与f’(-1)．标准答案：由题设知f(1+0)==f(1)，f(-1-0)==f(-1)，故f(x)又可以写成所以f’+(1)=f’-(1)=(arctanx)’｜x=1=f’+(-1)=(arctanx)’｜x=-1=f’-(-1)=因此f’(1)=f’(-1)=.知识点解析：暂无解析24、设f(x)=求f’(x)．标准答案：当x≠0时，由求导法则得f’(x)=3x2sin当x=0时，可用以下两种方法求得f’(0)．显然=0=f(0)，f(x)在点x=0处连续，又因此f’(0)=0．于是知识点解析：暂无解析25、设函数f(x)有任意阶导数且f’(x)=f2(x)，则f(n)(x)=_______(n＞2)．标准答案：将f’(x)=f2(x)两边求导得f’’(x)=2f(x)f’(x)=2f3(x)，再求导得f’’’(x)=3!f2(x)f’(x)=3!f4(x)．由此可归纳证明f(n)(x)=n!fn+1(x)．知识点解析：暂无解析26、求下列y(n)：标准答案：(Ⅰ)当n为奇数时，xn+1可被x+1整除，xn+1=(x+1)(xn-1-xn-2+…-x+1)=(xn-1-xn-2+…-x+1)-y(n)=当n为偶数时，xn除x+1得xn=(x+1)(xn-1-xn-2+…+x-1)+1y==xn-1-xn-2+…+x-1+，y(n)=0+(-1)n(Ⅱ)由于，于是知识点解析：暂无解析27、设y=sin4x，求y(n)．标准答案：y=(1-2cos2xcos22x)=(1+cos4x)，知识点解析：暂无解析28、设y=x2e2x，求y(n)．标准答案：用莱布尼兹法则并注意(x2)(k)=0(k=3，4，…)，(e2x)(k)=2ke2x，得y(n)=Cnk(x2)(k)(e2x)(n-k)=x2(e2x)(n)+n(x2)’(e2x)(n-1)+(x2)’’(e2x)(n-2)=2ne2x[x2+nx+n(n-1)]．知识点解析：暂无解析29、求下列函数的导数与微分：(Ⅰ)设y=，求dy；(Ⅱ)设y=，求y’与y’(1)．标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)这是求连乘积的导数，用对数求导法方便．因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得ln｜y｜=ln｜x-1｜+ln｜2-x｜．对x求导，得因此若只求y’(1)，用定义最简单．利用y(1)=0可得知识点解析：暂无解析30、设y=∫0xet2dt+1，求它的反函数x=φ(y)的二阶导数及φ’’(1)．标准答案：由变限积分求导法先求得=ex2，再由反函数求导法得=e-x2，最后由复合函数求导法得=-2xe-x2.e-x2=-2xe-2x2．由原方程知y=1φ’’(1)=-2xe-2x2｜x=0=0．知识点解析：暂无解析31、设标准答案：，将该式对x求导，右端先对t求导再乘上得知识点解析：暂无解析32、求下列隐函数的微分或导数：(Ⅰ)设ysinx-cos(x-y)=0，求dy；(Ⅱ)设方程确定y=y(x)，求y’与y’’．标准答案：(Ⅰ)利用一阶微分形式不变性求得d(ysinx)-dcos(x-y)=0，即sinxdy+ycosxdx+sin(x-y)(dx-dy)=0，整理得[sin(x-y)-sinx]dy=[ycosx+sin(x-y)]dx，故(Ⅱ)将原方程两边取对数，得等价方程ln(x2+y2)=arctan(*)现将方程两边求微分得化简得xdx+ydy=xdy-ydx，即(x-y)dy=(x+y)dx，由此解得为求y’’，将y’满足的方程(x-y’)y’=x+y两边再对x求导，即得(1-y’)y’+(x-y)y’’=1+y’代入y’表达式即得知识点解析：暂无解析33、设(Ⅰ)求f’(x)；(Ⅱ)f’(x)在点x=0处是否可导?标准答案：(Ⅰ)这是分段函数，分界点x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即x≤0，于是可得当x≤0时，f’(x)=+2cos2x，x=0处是左导数：f’-(0)=2；当x＞0时，又=f(0)，即f(x)在x=0右连续f’+(0)=2．于是f’(0)=2．因此(Ⅱ)f’(x)也是分段函数，x=0是分界点．为讨论f’(x)在x=0处的可导性，要分别求f’+(0)与f’-(0)．同前可得按定义求f’’+(0)，则有因f’’+(0)≠f’’(0)，所以f’’(0)不存在，即f’(x)在点x=0处不可导．知识点解析：暂无解析34、确定常数a和b，使得函数处处可导．标准答案：由f(x)在x=0处可导，得f(x)在x=0处连续．由表达式知，f(x)在x=0右连续．于是，f(x)在x=0连续(sinx+2aex)=2a=f(0)2a=-2b，即a+b=0．又f(x)在x=0可导f’+(0)=f’-(0)．在a+b=0条件下，f(x)可改写成于是f’+(0)=[9arctanx+2b(x-1)3]’｜x=0=+6b(x-1)2]2｜x=0=9+6b，f’-(0)=(sinx+2aex)’｜x=0=1+2a．因此f(x)在x=0可导故仅当a=1，b=-1时f(x)处处可导．知识点解析：暂无解析35、已知y=∫11①其中t=t(x)由②确定，求标准答案：由①式给出y=y(t)，由参数式②给出t=t(x)．于是y(t)与t=t(x)复合的结果y是x的函数，由复合函数求导法可得是变限积分求导，求是参数式求导．由①式得．由②得因此知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、若极限=A，则函数f(x)在x=a处A、不一定可导．B、不一定可导，但f’+(a)=A．C、不一定可导，但f’-(a)=A．D、可导，且f’(a)=A．标准答案：A知识点解析：只有极限存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选(A)．2、设有多项式P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设x=x0是它的最大实根，则P’(x0)满足A、P’(x0)＞0．B、P’(x0)＜0．C、P’(x0)≤0．D、P’(x0)≥0．标准答案：D知识点解析：注意P(x)在(-∞，+∞)连续，又x＞x0时P(x)＞0P’(x0)选(D)．3、设f(x)=3x2+x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数n=A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：C知识点解析：实质上就是讨论g(x)=x2｜x｜=的最高阶数n．由于｜x｜在x=0处不可导，因此n=2．选(C)．4、设f(x)=在x=0处可导，则a，b满足A、a=0，b=0．B、a=1，b=1．C、a为常数，b=0．D、a为常数，b=1．标准答案：A知识点解析：首先，f(x)在x=0连续=f(0)，即b=0．然后，f(x)在x=0可导f’+(0)=f’-(0)．当b=0时，按定义求出f’+(0)=由求导法则知f’-(0)=(ax)’｜x=0=a．由f’+(0)=f’-(0)得a=0．因此选(A)．5、设f’(a)＞0，则，有A、f(x)≥f(a)(x∈(a-δ，a+δ))．B、f(x)≤f(a)(x∈(a-δ，a+δ))．C、f(x)＞f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a-δ，a))．D、f(x)＜f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＞f(a)(x∈(a-δ，a))．标准答案：C知识点解析：直接由定义出发f’(a)=＞0．由极限的保号性，当x∈(a-δ，a+δ)，x≠a时＞0．f(x)＞f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a-δ，a))．因此选(C)．6、设则A、f(x)在x=0处不连续．B、f’(0)存在．C、f’(0)不，曲线y=f(x)在点(0，0)处不切线．D、f’(0)不，曲线y=f(x)在点(0，0)处有切线．标准答案：D知识点解析：显然=0=f(0)．又y=f(x)的图形见图2．1．因此，f’(0)不，y=f(x)在(0，0)切线x=0．选(D)．二、填空题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)7、设有长为12cm的非均匀杆AB，AM部分的质量与动点M到端点A的距离x的平方成正比，杆的全部质量为360(g)，则杆的质量表达式m(x)=_______，杆在任一点M处的线密度p(x)=_______.标准答案：x2；5x知识点解析：按题意，m(x)=kx2，令x=12，得360=k.122，则k=，从而m(x)=x2．在任一点M处的线密度为ρ(x)==5x．8、设f(x)=，则f’(1)=_______．标准答案：知识点解析：f(x)是2014个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦．其实，当把x=1代入每个因式后，只有第一项-1=0，而其余所有项都不等于0．记g(x)=，于是从而9、若函数f(x)在x=1处的导数存在，则极限=_______．标准答案：9f’(1)知识点解析：按导数定义，将原式改写成原式=f’(1)+2f’(1)+6f’(1)=9f’(1)．10、设f’(0)=1，f(0)=0，则=________．标准答案：知识点解析：11、设k为常数，则=_______．标准答案：k知识点解析：原式==(xk)’｜x=1=k．12、设y=且f’(x)=arctanx2，则=________．标准答案：知识点解析：y=f(n)，u=，u｜x=0=-1．13、设y=sinx2．则=________．标准答案：知识点解析：用微分的商来求．14、设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(z)，则f(n)(x)=_______．标准答案：(2n-1)!!f2n+1(x)知识点解析：f(2)(x)=3f2(x)f’(x)=3f5(x)，f(3)(x)=3.5f4(x)f’(x)=3．5f7(x)，可归纳证明f(n)(x)=(2n-1)!!f2n+1(x)．15、设y=ln(1+x2)，则y(5)(0)=________．标准答案：0知识点解析：y为偶函数y(5)(x)为奇函数y(5)(0)=0．16、设=______．标准答案：知识点解析：17、曲线(x-1)3=2上点(5，8)处的切线方程是_______．标准答案：y=8+3(x-5)y=3x-7知识点解析：由隐函数求导法，将方程(x-1)3=y2两边对x求导，得3(x-1)2=2yy’．令x=5，y=8即得y’(5)=3．故曲线(x-1)3=y2在点(5，8)处的切线方程是y=8+3(x-5)y=3x-7．18、曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为_______．标准答案：y=x-1知识点解析：与直线x+y=1垂直的直线族为y=x+c，其中c是任意常数，又因y=lnx上点(x0，y0)=(x0，lnx0)(x0＞0)处的切线方程是y=lnx0+(x-x0)=x0+lnx0-1，从而，切线与x+y=1垂直的充分必要条件是x0=1，即该切线为y=x-1．19、曲线上对应点t=2处的切线方程为_______．标准答案：y=3x-7知识点解析：t=2时(x，y)=(5，8)，=3．切线方程为y-8=3(x-5)，即y=3x-7．20、r=a(1+cosθ)在点(r，θ)=(2a，0)，，(0，π)处的切线方程分别为_______．标准答案：，y-a=x，y=0知识点解析：参数方程则(Ⅰ)在点(r，θ)=(2a，0)处，(x，y)=(2a，0)，切线(Ⅱ)在点(r，θ)=处，(x，y)=(0，a)，=1，切线y-a=x．(Ⅲ)在点(r，θ)=(0，π)处，(x，y)=(0，0)，=0，切线y=0．21、在点M0处的法线方程为________．标准答案：知识点解析：将方程对x求导在M0处y’=，法线方程为22、设函数f(x)=的导函数在x=0处连续，则整数λ的取值为_________．标准答案：λ≥4知识点解析：由导数定义可求得上述极限只在λ＞1时存在，且此时f’(0)=0，于是f(x)的导函数为欲使f’(x)在x=0处连续，必须有而这一极限为零应满足λ＞3．(λ=2，3时不存在．)因此，整数λ的取值为4，5，6，……即整数λ≥4．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)23、设y=y(x)由方程组确定，求标准答案：由方程组的第一个方程式对t求导得x’t=6t+2=2(3t+1)．将第二个方程对t求导并注意y=y(t)得y’teysint+eycost-y’t=0，整理并由方程式化简得y’t=因此，有于是，有注意：由(*)式得y｜t=0=1，由(**)式得=e．在上式中令t=0得知识点解析：这里y与x的函数关系由参数方程x=x(t)，y=y(t)给出，且．其中x=x(t)是显式表示，易直接计算x’t，而y=y(t)由y与t的方程式确定，由隐函数求导法求出y’t．24、设y=ln(3+7x-6x2)，求y(n)．标准答案：先分解y=ln(3-2x)(1+3x)=ln(3-2x)+ln(1+3x)y(n)=[ln(3-2x)](n)+[ln(1+3x)](n)．然后利用[ln(ax+b)](n)的公式得知识点解析：利用对数函数性质将函数y分解为形如ln(ax+b)的对数函数之和，再用[ln(ax+b)](n)的公式即可得结果．25、讨论函数在x=0处的连续性与可导性．标准答案：按定义因此，f’+(O)=f’-(0)=0．因此f(x)在x=0可导，因而也必连续．知识点解析：我们可先讨论f(x)在x=0处的可导性．因为当f(x)在x=0可导或f’+(0)，f’-(0)均存在但不等时，均可得f(x)在x=0连续．由f(x)分段定义的具体形式，我们分别按定义求出f’+(0)，f’-(0)来讨论f’(0)是否存在．26、设f(x)在(-∞，+∞)有一阶连续导数，且f(0)=0，f’’(0)存在．若求F’(x)，并证明F’(x)在(-∞，+∞)连续．标准答案：首先求F’(x)．当x≠0时，由求导法则易求F’(x)，而F’(0)需按定义计算．于是然后讨论F’(x)的连续性，当x≠0时由连续性的运算法则得到F’(x)连续，当x=0时可按定义证明F’(x)=F’(0)，这是型极限问题，可用洛必达法则．即F’(x)在x=0也连续．因此，F’(x)在(-∞，+∞)连续．知识点解析：暂无解析27、给定曲线y=x2+5x+4，(Ⅰ)确定b的值，使直线y=x+b为曲线的法线；(Ⅱ)求过点(0，3)的切线．标准答案：(Ⅰ)曲线过任意点(x0，y0)(y0=x02+5x0+4)不垂直于x轴的法线方程是y=(x-x0)+y0．要使y=x+b为此曲线的法线，则，x02+5x0+4+=b．解得x0=-1，b=.(Ⅱ)曲线上任意点(x0，y0)(y0=x02+5x0+4)处的切线方程是y=y0+(2x0+5)(x-x0)，(*)点(0，3)不在给定的曲线上，在(*)式中令x=0，y=3得x02=1，x0=±1，即曲线上点(1，10)，(-1，0)处的切线y=7x+3，y=3x+3，通过点(0，3)，也就是过点(0，3)的切线方程是y=7x+3与y=3x+3．知识点解析：关键是写出该曲线上任意点(x0，y0)处的切线方程y=y0+(2x0+5)(x-x0)，或不垂直于x轴的法线方程y=y0-(x-x0)，其中y0=x02+5x0+4，再根据题中的条件来确定x0．28、计算下列各题：(Ⅰ)设y=esin2x+(Ⅲ)设y=，其中a＞b＞0，求y’．标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)ln｜y｜=ln(x2+2)，求导得(Ⅲ)知识点解析：暂无解析29、计算下列各题：(Ⅰ)设其中f(t)三阶可导，且f’’(t)≠0，求(Ⅱ)设的值．标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)故知识点解析：暂无解析30、计算下列各题：(Ⅰ)由方程xy=yx确定x=x(y)，求(Ⅱ)方程y-xey=1确定y=y(x)，求y’’(x)；(Ⅲ)设2x-tan(x-y)=∫0x-ysec2tdt，求标准答案：利用多元函数微分学的方法：x=x(y)由方程F(x，y)=0确定，其中F(x，y)=xy-yx，直接代公式得．约去xy=yx得(Ⅱ)ey=yx，两边取对数得y=xlny．对x求导(注意y=y(x))将的表达式再对x求导得注意y=xlny，化简得(Ⅲ)注意y=y(x)，将方程两边对x求导，由复合函数求导法及变限积分求导法得2-(1-y’)=sec2(x-y)(1-y’)．sec2(x-u)(1-y’)=1，即1-y’=cos2(x-y)．①再对x求导-y’’=2cos(x-y)[-sin(x-y)](1-y’)．代入①式y’’=sin2(x-y)cos2(x-y)．知识点解析：暂无解析31、设函数f(x)有反函数g(x)，且f(a)=3，f’(a)=1，f’’(a)=2，求g’’(3)．标准答案：记y=f(x)．应注意到，g(x)为f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将g(x)改写为g(y)．由反函数求导公式有f’(x)g’(y)=1，将该等式两边关于x求导得f’’(x)g’(y)+f’(x)g’’(y)y’x=0，或f’’(c)g’(y)+[f’(x)]2g’’(y)=0．注意到g’(3)==1，在上式中令x=a，应有y=3，因此得到g’’(3)=-f’’(a)g’(3)=-2．知识点解析：暂无解析32、设f(x)在(-∞，+∞)内二次可导，令F(x)=求常数A，B，C的值使函数F(x)在(-∞，+∞)内二次可导．标准答案：对任何常数A，B，C，由F(x)的定义及题设可知F(x)分别在(-∞，x0]，(x0，+∞)连续，分别在(-∞，x0)，(x0，+∞)二次可导．从而，为使F(x)在(-∞，+∞)二次可导，首先要使F(x)在x=x0右连续，由于F(x0-0)=f(x0)=f(x0)，F(x0+0)=C，故F(x)在(-∞，+∞)连续C=f(x0)．在C=f(x0)的情况下，F(x)可改写成从而F’-(x0)=f’(x0)，F’+(x0)=B．故F(x)在(-∞，+∞)可导B=f’(x0)．在C=f(x0)，B=f’(x0)的情况下，F(x)可改写成且进而故F(x)在(-∞，+∞)内二次可导2A=f’’(x0)f’’(x0)．综合得，当A=f’’(x0)，B=f’(x0)，C=f(x0)时F(x)在(-∞，+∞)上二次可导．知识点解析：暂无解析33、把y看作自变量，x为因变量，变换方程标准答案：把方程中的来表示．由反函数求导法得．再由复合函数求导法及反函数求导法将它们代入原方程知识点解析：暂无解析34、设f(x)连续且=2，φ(x)=∫01f(xt)dt，求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性．标准答案：φ(x)的表达式中，积分号内含参变量x，通过变量替换转化成变限积分．x≠0时，φ(x)=∫01f(xt)d(xt)∫0xf(s)ds；x=0时，φ(0)=∫01f(0)dt=f(0)．由f(x)在x=0连续及因此求φ’(x)即求这个分段函数的导数，x≠0时与变限积分求导有关，x=0时可按定义求导．因此最后考察φ’(x)的连续性．显然，x≠0时φ’(x)连续，又即φ’(x)在x=0也连续，因此φ’(x)处处连续．知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷第3套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设曲线y=x2+ax+b和2y=－1+xy3在点(1，－1)处相切，其中a，b是常数，则A、a=0，b=2．B、a=1，b=－3．C、a=－3，b=1．D、a=－1，b=－1．标准答案：D知识点解析：曲线y=x2+ax+b在点(1，－1)处的斜率y’=(x2+ax+b)’｜x=1=2+a．将方程2y=－1+xy3对x求导得2y’=y3+3xy2y’．由此知，该曲线在(1，－1)处的斜率y’(1)为2y’(1)=(－1)3+3y’(1)，y’(1)=1．因这两条曲线在(1，－1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即2+a=1，a=－1．又曲线y=x2+ax+b过点(1，－1)，所以1+a+b=－1，b=－2－a=－1．因此选D．2、设f(x0)≠0，f(x)在x=x0连续，则f(x)在x0可导是｜f(x)｜在x0可导的()条件．A、充分非必要B、充分必要C、必要非充分D、既非充分也非必要标准答案：B知识点解析：由f(x0)≠0=>f(x0)＞0或f(x0)＜0，因f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0某邻域是保号的，且δ＞0，当｜x－x0｜＜δ时，因此应选B．3、设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续但不可导，又g’(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a可导的()条件．A、充分必要B、充分非必要C、必要非充分D、既非充分也非必要标准答案：A知识点解析：①因为φ’(a)不存在，所以不能对g(x)φ(x)用乘积的求导法则；②当g(a)≠0时，若F(x)在x=a可导，可对用商的求导法则．(Ⅰ)若g(a)=0，按定义考察即F’(a)=g’(a)φ(a)．(Ⅱ)再用反证法证明：若F’(a)存在，则必有g(a)=0．若g(a)≠0，由商的求导法则即知φ(x)=等在x=a可导，与假设条件φ(a)在x=a处不可导矛盾．因此应选A．4、设f(x+1)=af(x)总成立，f’(0)=b，a≠1，b≠1为非零常数，则f(x)在点x=1处A、不可导．B、可导且f’(1)=a．C、可导且f’(1)=b．D、可导且f’(1)=ab．标准答案：D知识点解析：按定义考察f’(1)==af’(0)=ab，ab≠a，ab≠b．因此，应选D．5、若极限，则函数f(x)在x=a处A、不一定可导．B、不一定可导，但f’+(a)=A．C、不一定可导，但f’－(a)=A．D、可导，且f’(a)=A．标准答案：A知识点解析：只有极限存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选A．6、设f(x)=3x2+x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数n=A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：C知识点解析：实质上就是讨论g(x)=x2｜x｜=时，g(n)(0)的最高阶数n．由于｜x｜在x=0处不可导，因此n=2．选C．7、设f’(a)＞0，则δ＞0，有A、f(x)≥f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．B、f(x)≤f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．C、f(x)＞f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a－δ，a))．D、f(x)＜f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＞f(a)(x∈(a－δ，a))．标准答案：C知识点解析：直接由定义出发f’(a)=＞0．由极限的保号性=>δ＞0，当x∈(a－δ，a+δ)，x≠a时＞0．=>f(x)＞f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a－δ，a))．因此选C．二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)8、(Ⅰ)请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设f(x)在x0可微，f’(x0)≠0，则Ax→0时f(x)在x=x0处的微分与△x比较是()无穷小，△y=f(x0+△x)－f(x0)与△x比较是()无穷小，△y－df(x)与△x比较是()无穷小．(Ⅱ)设函数y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线y=2－x垂直，则=(A)－1．(B)0．(C)1．(D)不存在．标准答案：(Ⅰ)同阶、同阶、高阶(Ⅱ)(B)知识点解析：(Ⅰ)df(x)=f’(x0)=△x，由=f’(x0)≠0。知这时df(x)与△x是同阶无穷小量；按定义=f’(x0)≠0，故△y与△x也是同阶无穷小量；按微分定义可知差△y－df(x)=o(△x)(△x→0)是比△x高阶的无穷小．(Ⅱ)由题设可知f’(x0)=1，又△y－dy=o(△x)，dy=f’(x0)△x=△x，于是=0，故应选B．9、设y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，则dy=________．标准答案：知识点解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=10、设函数f(x)有任意阶导数且f’(x)=f2(x)，则f(n)(x)=_______(n＞2)．标准答案：n！fn+1(x)知识点解析：将f’(x)=f2(x)两边求导得f"(x)=2f(x)f’(x)=2f3(x)，再求导得f"’(x)=3！f2(x)f’(x)=3！f4(x)．由此可归纳证明f(n)(x)=n！fn+1(x)．11、设f(x)=，则f’(1)=________．标准答案：知识点解析：f(x)是2014个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦．其实，当把x=1代入每个因式后，只有第一项－1=0，而其余所有项都不等于0．记，于是12、设f’(0)=1，f(0)=0，则=________．标准答案：知识点解析：原式=13、设y=且f’(x)=arctanx2，则=________．标准答案：知识点解析：y=f(u)，u=，u｜x=0=－1．14、设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x)，则f(n)(x)=_______．标准答案：(2n－1)！！f2n+1(x)知识点解析：f(2)(x)=3f2(x)f’(x)=3f5(x)，f(3)(x)=3.5f4(x)f’(x)=3.5f7(x)，可归纳证明f(n)(x)=(2n－1)！！f2n+1(x)．15、设=________．标准答案：知识点解析：16、曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为________．标准答案：y=x－1知识点解析：与直线x+y=1垂直的直线族为y=x+c，其中c是任意常数，又因y=lnx上点(x0，y0)=(x0，lnx0)(x0＞0)处的切线方程是y=lnx0++lnx0－1，从而，切线与x+y=1垂直的充分必要条件是=1<=>x0=1，即该切线为y=x－1．17、r=a(1+cosθ)在点(r，θ)=(2a，0)，(a，)，(0，π)处的切线方程分别为________．标准答案：；y－a=x；y=0知识点解析：参数方程则(Ⅰ)在点(r，θ)=(2a，0)处，(x，y)=(2a，0)，切线x=(Ⅱ)在点(r，θ)=处，(x，y)=(0，a)，=1，切线y－a=x．(Ⅲ)在点(r，θ)=(0，π)处，(x，y)=(0，0)，=0，切线y=0．18、设函数f(x)=的导函数在x=0处连续，则整数λ的取值为________．标准答案：λ≥4知识点解析：由导数定义可求得上述极限只在λ＞1时存在，且此时f’(0)=0，于是f(x)的导函数为欲使f’(x)在x=0处连续，必须有而这一极限为零应满足λ＞3．(λ=2，3时不存在．)因此，整数λ的取值为4，5，6，……即整数λ≥4．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)19、说明下列事实的几何意义：(Ⅰ)函数f(x)，g(x)在点x=x0处可导，且f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)函数y=f(x)在点x=x0处连续，且有=∞．标准答案：(Ⅰ)曲线y=f(x)，y=g(x)在公共点M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))处相切．(Ⅱ)点x=x0是f(x)的不可导点．曲线y=f(x)在点M0(x0，f(x0))处有垂直于x轴的切线x=x0(见图2．1)．知识点解析：暂无解析20、设f(x)在x=a处可导，且f(a)=1，f’(a)=3，求数列极限ω=标准答案：这是指数型数列极限，先转化成其指数是型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知因此ω=e6．知识点解析：暂无解析21、设y=f(x)可导，且y’≠0．(Ⅰ)若已知y=f(x)的反函数x=φ(y)可导，试由复合函数求导法则导出反函数求导公式；(Ⅱ)若又设y=f(x)二阶可导，则=________．标准答案：(Ⅰ)设y=f(x)的反函数是x=φ(y)，则反函数的导数可由复合函数求导法则求出：由y=f(φ(y))，两边对y求导得知识点解析：暂无解析22、(Ⅰ)设ex+y=y确定y=y(x)，求y’，y"；(Ⅱ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求标准答案：(Ⅰ)注意y是x的函数，将方程两端对x求导得ex+y(1+y’)=)=y’，即(这里用方程ex+y=y化简)再将y’的表达式对x求导得(Ⅱ)y=y(x)由方程f(x+y)－y=0确定，f为抽象函数，若把f(x+y)看成f(u)，而u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题．注意，f(x+y)及其导函数f’(x+y)均是x的复合函数．将y=f(x+y)两边对x求导，并注意y是x的函数，f是关于x的复合函数，有y’=f’.(1+y’)，即y’=(其中f’=f’(x+y))．又由y’=(1+y’)f’再对x求导，并注意y’是x的函数，f’即f’(x+y)仍然是关于x的复合函数，有y"=(1+y’)f’+(1+y’)(f’)x’=y"f’+(1+y’)f".(1+y’)=y"f’+(1+y’)2f"，将y’=代入并解出y"即得知识点解析：暂无解析23、设f(x)=求f’(1)与f’(－1)．标准答案：由题设知f(1+0)==f(1)，f(－1－0)==f(－1)，故f(x)又可以写成知识点解析：暂无解析24、设y=sin4x，求y(n)．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设y=+1，求它的反函数x=φ(y)的二阶导数及φ"(1)．标准答案：由变限积分求导法先求得，再由反函数求导法得，最后由复合函数求导法得由原方程知y=1<=>x=0=>φ"(1)==0．知识点解析：暂无解析26、求下列隐函数的微分或导数：(Ⅰ)设ysinx－cos(x－y)=0，求dy；(Ⅱ)设方程确定y=y(x)，求y’与y"．标准答案：(Ⅰ)利用一阶微分形式不变性求得d(ysinx)－dcos(x－y)=0，即sinxdy+ycosxdx+sin(x－y)(dx－dy)=0，整理得[sin(x－y)－sinx]dy=[ycosx+sin(x－y)]dx，故(Ⅱ)将原方程两边取对数，得等价方程现将方程两边求微分得化简得xdx+ydy=xdy－ydx，即(x－y)dy=(x+y)dx，由此解得为求y"，将y’满足的方程(x－y)y’=x+y两边再对x求导，即得代入y’表达式即得知识点解析：暂无解析27、确定常数a和b，使得函数f(x)=处处可导．标准答案：由f(x)在x=0处可导，得f(x)在x=0处连续．由表达式知，f(x)在x=0右连续．于是，f(x)在x=0连续<=>=2a=f(0)=>2a=－2b，即a+b=0．又f(x)在x=0可导<=>f’+(0)=f’－(0)．在a+b=0条件下，f(x)可改写成于是f’+(0)=[9arctanx+2b(x－1)3]’｜x=0==9+6b，f’－(0)=(sinx+2aex)’｜x=0=1+2a．因此f(x)在x=0可导故仅当a=1，b=－1时f(x)处处可导．知识点解析：暂无解析28、设y=y(x)由方程组(*)确定，求标准答案：由方程组的第一个方程式对t求导得x’t=6t+2=2(3t+1)．将第二个方程对t求导并注意y=y(t)得y’teysint+eycost－y’t=0，整理并由方程式化简得y’t=(**)注意：由(*)式得y｜t=0=1，由(**)式得=e．在上式中令t=0得知识点解析：暂无解析29、讨论函数f(x)=在x=0处的连续性与可导性．标准答案：按定义因此，f’+(0)=f’－(0)=0．因此f(x)在x=0可导，因而也必连续．知识点解析：暂无解析30、给定曲线y=x2+5x+4，(Ⅰ)确定b的值，使直线y=+b为曲线的法线；(Ⅱ)求过点(0，3)的切线．标准答案：(Ⅰ)曲线过任意点(x0，y0)(y0=x02+5x0+4)不垂直于x轴的法线方程是要使y=+b为此曲线的法线，则(Ⅱ)曲线上任意点(x0，y0)(y0=x02+5x0+4)处的切线方程是y=y0+(2x0+5)(x－x0)，(*)点(0，3)不在给定的曲线上，在(*)式中令x=0，y=3得x02=1，x0=±1，即曲线上点(1，10)，(－1，0)处的切线y=7x+3，y=3x+3，通过点(0，3)，也就是过点(0，3)的切线方程是y=7x+3与y=3x+3．知识点解析：暂无解析31、计算下列各题：标准答案：知识点解析：暂无解析32、设函数f(x)反函数g(x)，且f(a)=3，f’(a)=1，f"(a)=2，求g"(3)．标准答案：记y=f(x)．应注意到，g(x)为f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将g(x)改写为g(y)．由反函数求导公式有f’(x)g’(y)=1，将该等式两边关于x求导得f"(x)g’(y)+f’(x)g"(y)y’x=0，或f"(x)g’(y)+[f’(x)]2g"(y)=0．注意到g’(3)==1，在上式中令x=0，应有y=3，因此得到g"(3)=－f"(a)g’(3)=－2．知识点解析：暂无解析33、把y看作自变量，x为因变量，变换方程=x．标准答案：把方程中的来表示．由反函数求导法得．再由复合函数求导法及反函数求导法=>将它们代入原方程=>知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷第4套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设f(x)在点x=x0处可导，且f(x0)=0，则f’(x0)=0是｜f(x)｜在x0可导的()条件．A、充分非必要B、充分必要C、必要非充分D、既非充分也非必要标准答案：B知识点解析：按定义｜f(x)｜在x0可导<=>存在，即均存在且相等因此应选B．2、函数f(x)=(x2－x－2)｜x3－x｜的不可导点有A、3个．B、2个．C、1个．D、0个．标准答案：B知识点解析：函数｜x｜，｜x－1｜，｜x+1｜分别仅在x=0，x=1，x=－1不可导且它们处处连续．因此只需在这些点考察f(x)是否可导。按定义考察．在x=0处，，于是故f’+(0)≠f’－(0)．因此f(x)在x=0不可导．故f’+(1)≠f’－(1)．因此f(x)在x=1不可导．因此f(x)在x=－1可导．应选B．3、设有多项式P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设x=x0是它的最大实根，则P’(x0)满足A、P’(x0)＞0．B、P’(x0)＜0．C、P’(x0)≤0．D、P’(x0)≥0．标准答案：D知识点解析：注意P(x)在(－∞，+∞)连续，又=+∞=>x＞x0时P(x)＞0=>选D．4、设f(x)=在x=0处可导，则a，b满足A、a=0，b=0．B、a=1，b=1．C、a为常数，b=0．D、a为常数，b=1．标准答案：A知识点解析：首先，f(x)在x=0连续<=>=f(0)，即b=0．然后，f(x)在x=0可导<=>f’+(0)=f’－(0)．当b=0时，f(x)=按定义求出f’－(0)==0．由求导法则知f’－(0)=(ax)’｜x=0=a．由f’+(0)=f’－(0)得a=0．因此选A．5、设f(x)=则A、f(x)在x=0处不连续．B、f’(0)存在．C、f’(0)不，曲线y=f(x)在点(0，0)处不切线．D、f’(0)不，曲线y=f(x)在点(0，0)处有切线．标准答案：CD知识点解析：显然=0=f(0)．又y=f(x)的图形见图2．1．因此，f’(0)不，y=f(x)在(0，0)切线x=0．选D．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)6、对数螺线r=eθ在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程为________．标准答案：y=－x．知识点解析：对数螺线的参数方程为于是它在点处切线的斜率为当θ=时x=0，y=．因此该切线方程为y=－x．7、设有长为12cm的非均匀杆AB，AM部分的质量与动点M到端点A的距离x的平方成正比，杆的全部质量为360(g)，则杆的质量表达式m(x)=________，杆在任一点M处的线密度ρ(x)=________．标准答案：、5x．知识点解析：按题意，m(x)=kx2，令x=12，得360=k.122，则k=，从而m(x)=．在任一点M处的线密度为ρ(x)==5x．8、若函数f(x)在x=1处的导数存在，则极限=________．标准答案：9f’(1)知识点解析：按导数定义，将原式改写成9、设k为常数，则=________．标准答案：k知识点解析：原式=10、设y=sinx2，则=________．标准答案：知识点解析：设u=x3，则，于是由复合函数求导法则即得11、设y=ln(1+x2)，则y(5)(0)=________．标准答案：0知识点解析：y为偶函数=>y(5)(x)为奇函数=>y(5)(0)=0．12、曲线(x－1)3=y2上点(5，8)处的切线方程是________．标准答案：y=3x－7知识点解析：由隐函数求导法，将方程(x－1)3=y2两边对x求导，得3(x－1)2=2yy’．令x=5，y=8即得y’(5)=3．故曲线(x－1)3=y2在点(5，8)处的切线方程是y=8+3(x－5)<=>y=3x－7．13、曲线上对应点t=2处的切线方程为________．标准答案：y=3x－7知识点解析：t=2时(x，y)=(5，8)，切线方程为y－8=3(x－5)，即y=3x－7．14、=1在点M0(2a，)处的法线方程为________．标准答案：知识点解析：将方程对x求导=>在M0处y’=，法线方程为三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)15、判断下列结论是否正确?为什么?(Ⅰ)若函数f(x)，g(x)均在x0处可导，且f(x0)=g(x0)，则f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)若x∈(x0－δ，x0+δ，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0处有相同的可导性；(Ⅲ)若存在x0的一个邻域(x0－δ，x0+δ)，使得x∈(x0－δ，x0+δ)时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x0处有相同的可导性．若可导，则f’(x0)=g’(x0)．标准答案：(Ⅰ)不正确．函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关．仅有f(x0)=g(x0)不能保证f’(x0)=g’(x0)．正如曲线y=f(x)与y=g(x)可在某处相交但并不相切．(Ⅱ)不正确．例如f(x)=x2，g(x)=显然，当x≠0时f(x)=g(x)，但f(x)在x=0处可导，而g(x)在x=0处不可导(因为g(x)在x=0不连续)．(Ⅲ)正确．由假设可得当x∈(x0－δ，x0+δ)，x≠x0时故当x→x0时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在，而且若存在则相等．再由导数定义即可得出结论．知识点解析：暂无解析16、设函数f(x)在x=x0处存在f’+(x0)与f’－(x0)，但f’+(x0)≠f’－(x0)，说明这一事实的几何意义．标准答案：x=x0是f(x)的不可导点．曲线在点M0(x0，f(x0))处存在左、右切线，且左、右切线有一个夹角(M0是曲线y=f(x)的尖点)，见图2．2．知识点解析：暂无解析17、设f’(x)存在，求极限，其中a，b为非零常数．标准答案：按导数定义，将原式改写成知识点解析：暂无解析18、求下列函数的导数y’：标准答案：(Ⅰ)y’=(Ⅱ)当x≠0时，由求导法则得f’(x)=；当x=0时，由导数定义得知识点解析：暂无解析19、设y=(1+x2)arctanx，求y’．标准答案：将函数化为y=，然后对x求导即得y’=(1+x2)arctanx[arctanxln(1+xarctanx)]’=知识点解析：暂无解析20、设a为常数，求标准答案：继续对x求导，并注意t是x的函数，得知识点解析：暂无解析21、设f(x)=求f(x)在点x=0处的导数．标准答