考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷1（共131题）

考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷1（共5套）（共131题）考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、已知f(x，y)=，则()A、fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在。B、fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在。C、fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)不存在。D、fx’(0，0)，fy’(0，0)都不存在。标准答案：B知识点解析：所以fy’(0，0)存在。故选B。2、函数f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由fx’(x，y)=fx’(0，0)，且有fy’(x，y)=fy’(0，0)，可知，f(x，y)的两个一阶偏导数fx’(x，y)和fy’(x，y)在(0，0)点连续，因此f(x，y)在(0，0)点可微。故选D。3、设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是()A、f(x0，y)在y=y0处的导数大于零。B、f(x0，y)在y=y0处的导数等于零。C、f(x0，y)在y=y0处的导数小于零。D、f(x0，y)在y=y0处的导数不存在。标准答案：B知识点解析：因可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，故有fx’(x0，y0)=0,fy’(x0，y0)=0。又由fx’(x0，y0)=f(x0，y)｜y=y0，可知B正确。4、=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：结合二重积分的定义可得5、设f(x，y)在D：x2+y2≤a2上连续，则=f(x，y)dσ()A、不一定存在。B、存在且等于f(0，0)。C、存在且等于πf(0，0)。D、存在且等于f(0，0)。标准答案：C知识点解析：由积分中值定理知f(x，y)dσ=πa2f(ξ，η)，(ξ，η)∈D，6、交换积分次序∫1edx∫0lnxf(x，y)dy为()A、∫0edy∫0lnxf(x，y)dx。B、∫eyedy∫01f(x，y)dx。C、∫0lnxdy∫1ef(x，y)dx。D、∫01dy∫eyef(x，y)dx。标准答案：D知识点解析：交换积分次序得∫1edx∫0lnxf(x，y)dy=∫01dy∫eyef(x，y)dx。7、累计积分dθ∫0cosθf(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由累次积分∫0dθ∫0cosθf(rcosθ，rsinθ)rdr可知，积分区域D为D={(r，θ)｜0≤r≤cosθ，0≤θ≤)。由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图1—4—7所示。该圆的直角坐标方程为。故用直角坐标表示区域D为D={(x，y)｜0≤y≤，0≤y≤1}，或D=可见A、B、C均不正确，故选D。8、设f(x，y)连续，且f(x，y)=xy+f(μ，ν)dμdν，其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f(x，y)等于()A、xy。B、2xy。C、xy+。D、xy+1。标准答案：C知识点解析：等式f(x，y)=xy+两端积分得二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)9、设f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=_________。标准答案：1知识点解析：已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有fx’(x，y，z)=ex+y2zx’。在等式x+y+z＋xyz=0两端对x求偏导可得1+zx’+yz+xyzx’=0。由x=0，y=1，z=一1，可得zx’=0。故fx’(0，1，一1)=e0=1。10、没函数f(μ)可微，且f’(0)=，则z=f(4x2一y2)在点(1，2)处的全微分dz｜(1，2)=_________。标准答案：4dx一2dy知识点解析：直接利用微分的形式计算，因为11、设z==_______。标准答案：(ln2—1)知识点解析：设则z=μν，所以12、设z=xf(μ)+g(μ)，μ=，且f(μ)及g(μ)具有二阶连续导数，则=_______。标准答案：0知识点解析：由复合函数求导法则13、二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极小值为________。标准答案：知识点解析：由题干可知，fx’=2x(2+y2)，fy’=2x2y+lny+1。由。又所以B2一AC=一2e(2+)＜0，则A＞0。故f(0，)是f(x，y)的极小值，且。14、交换积分次序=________。标准答案：∫02dyf(x，y)dx知识点解析：由题干可知，积分区域如图1—4—13所示，则有15、设D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则(x2一y)dxdy=________。标准答案：知识点解析：利用函数奇偶性及轮换对称性16、csc2ydxdy=_________，其中D由y轴，y=，y=arctanx围成。标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)17、设z=。标准答案：由已知分别带入可得=0。知识点解析：暂无解析18、已知函数f(μ，ν)具有连续的二阶偏导数，f(1，1)=2是f(μ，ν)的极值，已知z=f[(x+y)，f(x，y)]。求。标准答案：因为=f1’[(x+y)，f(x，y)]+f2’[(x+y)，f(x，y)]．f1’(x，y)，所以=f11’’[(x+y)，f(x，y)]+f12’’[(x+y)，f(x，y)]．f2’(x，y)+f21’’[(x+y)，f(x，y)]．f1’(x，y)+f22’’[(x+y)，f(x，y)]．f2’(x，y)．f1’(x，y)+f2’[(x+y)，f(x，y)]．f12’’(x，y)，又因为f(1，1)=2是f(μ，ν)的极值，故f1’(1，1)=0，f2’(1，1)=0。因此=f11’’(2，2)+f12’’(2，2)．f2’(1，1)+f21’’(2，2)．f1’(1，1)+f22’’(2，2)．f2’(1，1)．f1’(1，1)+f2’(2，2)．f12’’(1，1)=f11’’(2，2)+f2’(2，2)．f12’’(1，1)。知识点解析：暂无解析设函数f(μ)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=满足等式=0。19、验证f’’(μ)+=0；标准答案：设μ=，则知识点解析：暂无解析20、若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(μ)的表达式。标准答案：令f’(μ)=p，则p’+=0，分离变量得，两边积分得lnp=一lnμ+lnC1，即。由f’(1)=1可得C1=1。对等式f’(μ)=两边积分得f(μ)=lnu+C2，由f(1)=0可得C2=0，故f(μ)=lnμ。知识点解析：暂无解析21、求f(x，y)=xe一的极值。标准答案：先求函数f(x，y)=xe一的驻点，fx’(x，y)=e一x=0，fy’(x，y)=一y=0，解得函数f(x，y)的驻点为(e，0)。又A=fxx’’(e，0)=一1，B=fxy’’(e，0)=0，C=fyy’’(e，0)=一1，所以B2一AC＜0，A＜0。故f(x，y)在点(e，0)处取得极大值，f(e，0)=e2。知识点解析：暂无解析22、求函数μ=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值。标准答案：可以利用拉格朗日乘数法求极值，两个约束条件的情况下，作拉格朗日函数F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2一z)+μ(x+y+z一4)，且令解方程组得(x1，y1，z1)=(1，1，2)，(x2，y2，z2)=(一2，一2，8)。代入原函数，求得最大值为72，最小值为6。知识点解析：暂无解析23、设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成。计算x2dxdy。标准答案：根据已知则有知识点解析：暂无解析24、计算(xy2+3exsiny)dσ，其中D：x2+y2≤2x。标准答案：由于积分区域关于x轴对称，3exsiny关于y为奇函数，故(xy2+3exsiny)dσ=xy2dσ。对该积分利用极坐标进行计算可得知识点解析：暂无解析25、计算，其中D={(x，y)｜0≤y≤min{x，1一x}}。标准答案：积分区域如图1一4—20所示，在极坐标中知识点解析：暂无解析26、设二元函数f(x，y)=计算二重积分f(x，y)dσ，其中D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤2}。标准答案：因为被积函数关于x，y均为偶函数，且积分区域关于x，y轴均对称，所以f(x，y)dσ=f(x，y)dσ，其中D1为D在第一象限内的部分。知识点解析：暂无解析27、设区域D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分I=。标准答案：积分区域D如图1—4—24所示。因为区域D关于x轴对称，函数f(x，y)=是变量y的偶函数，函数g(x，y)=是变量y的奇函数。则取D1=D∩{y≥0}，知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处()A、两个偏导数都不存在。B、两个偏导数存在但不可微。C、偏导数连续。D、可微但偏导数不连续。标准答案：B知识点解析：由偏导数定义，有fx’(0，0)==0，由对称性知fy’(0，0)=0，而上式极限不存在。事实上，故f(x，y)在(0，0)点不可微。应选B。2、考虑二元函数f(x，y)的四条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在。则有()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由于f(x，y)的两个偏导数连续是可微的充分条件，而f(x，y)可微是其连续的充分条件，因此正确选项为A。3、设z=f(xy)，其中函数f可微，则=()A、2yf’(xy)。B、一2yf’(xy)。C、f(xy)。D、f(xy)。标准答案：A知识点解析：先根据函数求出偏导数的表达形式，再将结果代入应该选A。4、设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’’(x，y)≠0。已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是()A、若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0。B、若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0。C、若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0。D、若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0。标准答案：D知识点解析：令F=f(x，y)+λφ(x，y)，若fx’(x0，y0)=0，由(1)得λ=0或φx’(x0，y0)=0。当λ=0时，由(2)得fy’(x0，y0)=0，但λ≠0时，由(2)及φy’(x0，y0)≠0得fy’(x0，y0)≠0因而A，B错误。若fx’(x0，y0)≠0，由(1)，则λ≠0，再由(2)及φy’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0。5、设D是圆域Dk={(x，y)｜x2+y2≤1}位于第k象限的部分，记Ik=(y一x)dxdy(k=1，2，3，4)，则()A、I1＞0。B、I2＞0。C、I3＞0。D、I4＞0。标准答案：B知识点解析：根据极坐标系下二重积分的计算可知所以，I1=I3=0，I2=，应该选B。6、设函数f(x，y)连续，则∫12dx∫x2f(x，y)dy+∫12dy∫y4－yf(x，y)dx=()A、∫12dx∫14－xf(x，y)dy。B、∫12dx∫x4－xf(x，y)dy。C、∫12dy∫14－yf(x，y)dx。D、∫12dy∫y2f(x，y)dx。标准答案：C知识点解析：∫12dx∫x2f(x，y)dy+∫12dy∫y4－yf(x，y)dx的积分区域为两部分(如图1—4-4)：D1={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤2}；D2={(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤4一y}，将其写成一个积分区域为D={(x，y)｜1≤y≤2，1≤x≤4一y}。故二重积分可以表示为∫12dy∫14－yf(x，y)dx，故答案为C。7、设f(x，y)为连续函数，则dθ∫01f(rcosθ，rsinθ)rdr等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由题设可知，积分区域D如图1—4—6所示，则原式=，故选C。8、设区域D由曲线y=sinx，x=±，y=1围成，则(x5y一1)dxdy=()A、π。B、2。C、一2。D、一π。标准答案：D知识点解析：区域D如图l一4—9中阴影部分所示，引入曲线y=一sinx将区域分为D1，D2，D3，D4四部分。由于D1，D2关于y轴对称，可知在D1∪D2上关于x的奇函数积分为零，故x5ydxdy=0；又由于D3，D4关于x轴对称，可知在D3∪D4上关于y的奇函数为零，故x5ydsdy=0。因此=－π。故选D。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)9、设连续函数z=f(x，y)满足=0，则dz｜(0，1)=_________。标准答案：2dx一dy知识点解析：根据=0以及函数z的连续性可知f(0，1)=1，从而已知的极限可以转化为=0。或者f(x，y)一f(0，1)=2x一(y一1)+。根据可微的定义，f(x，y)在点(0，1)处是可微的，且有fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=一1，dz｜(0，1)=2dx－dy。10、设函数f(μ)可微，且f’(2)=2，则z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分dz｜(1，1)=________。标准答案：4(dx+dy)知识点解析：由题干可知，dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，则dz｜(1，1)=f’(2)(2dx＋2dy)=4(dx+dy)。11、设函数z=，则dz｜(1，1)=________。标准答案：(1+2ln2)dx一(1+2ln2)dy知识点解析：12、设f(x，y，z)=，则df(x，y，z)｜(1，1，1)=________。标准答案：dx一dy知识点解析：由f(x，y，z)=，有lnf=(lnx—lny)，两边分别对x、y,z求偏导，得代入点(1，1，1)，得fx’=1，fy’=－1，fz’=0，故df(x，y，z)｜(1，1，1)=dx—dy。13、设函数f(μ，ν)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则=________。标准答案：知识点解析：令μ=xg(y)，ν=y，则f(μ，ν)=+g(ν)，所以，14、积分∫01dxdy=________。标准答案：1一sin1知识点解析：积分区域D如图1—4—12所示，=∫01(1一y)sinydy=1一sin1。15、设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分xydσ=________。标准答案：知识点解析：通过直角坐标变换求解，已知直线和圆的交点为(1，1)，上半圆周的方程为y=1+。因此直角坐标区域为D：0≤x≤1，x≤y≤1+。所以可得16、设D为不等式0≤x≤3，0≤y≤1所确定的区域，则min{x，y}dxdy=________。标准答案：知识点解析：由题干可知，min{x，y}dxdy=∫01dy∫y3ydx+∫01dy∫0yxdx=。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)17、设z=f(x，y)，x=g(y，z)+φ()，其中f，g，φ在其定义域内均可微，求。标准答案：由z=f(x，y)，有dz=f1’dx+f2’dy。由x=g(y，z)+φ()有dx=g1’dy+g2’dz+φ’．，dy=，代入出表达式中，得，其中分母不为0。知识点解析：暂无解析18、设z=f(x+y，x一y，xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求出与。标准答案：由题意=f1’+f2’+yf3’，=f1’一f2’+xf3’，所以dz==(f1’+f2’+yf3’)dx+(f1’一f2’+xf3’)dy，=f11’’．1+f12’’．(一1)+f13’’．x+f21’’．1+f22’’．(一1)+f23’’．x+f3’+y[f31’’．1+f32’’．(一1)+f33’’．x]=f3’+f11’’一f22’’+xyf33’’+(x+y)f13’’+(x一y)f23’’。知识点解析：暂无解析设z=z(x，y)是由方程x2+y2一z=φ(x+y+z)所确定的函数，其中φ具有二阶导数且φ'≠一1。19、求dz；标准答案：对方程两端同时求导得2xdx+2ydy一dz=φ’(x+y+z)．(dx+dy+dz)，整理得(φ’+1)dz=(一φ’+2x)dx+(一φ’+2y)dy，因此dz=(因为φ’≠一1)。知识点解析：暂无解析20、记μ(x，y)=。标准答案：由第(I)问可知，，所以知识点解析：暂无解析21、设函数f(μ)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程=e2xz，求f(μ)。标准答案：由题意=f’(μ)exsiny，=f’(μ)excosy，=f’(μ)exsiny+f’’(μ)e2xsin2y，=一f’(μ)exsiny+f’’(μ)e2xcos2y，代入方程=e2xz中，得到f’’(μ)一f(μ)=0，解得f(μ)=C1eμ+C2e－μ，其中C1，C2为任意常数。知识点解析：暂无解析22、求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，Y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。标准答案：构造函数L(x，y)=x2+y2+λ(x3一xy+y3一1)，令得唯一驻点x=1，y=1，即M1(1，1)。考虑边界上的点，M2(0，1)，M3(1，0)，距离函数f(x，y)=在三点的取值分别为f(1，1)=，f(0，1)=1，f(1，0)=1，因此可知最长距离为，最短距离为1。知识点解析：暂无解析23、已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)｜x2+≤1}上的最大值和最小值。标准答案：根据题意可知=一2y，于是f(x，y)=x2+C(y)，且C’(y)=一2y，因此有C(y)=一y2+C，由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2一y2+2。令=0得可能极值点为x=0，y=0。且A=B2一AC=4＞0，所以点(0，0)不是极值点，也不可能是最值点。下面讨论其边界曲线x2+=1上的情形，令拉格朗日函数为F(x，y，λ)=f(x，y)+λ(x2+一1)，解得可能极值点x=0，y=2，λ=4；x=0，y=一2，λ=4；x=1，y=0，λ=一1；x=一1，y=0，λ=一1。将其分别代入f(x，y)得，f(0，±2)=一2，f(±1，0)=3，因此z=f(x，y)在区域D={(x，y)｜x2+≤1}内的最大值为3，最小值为一2。知识点解析：暂无解析24、计算二重积分I=ydxdy，其中D是由x轴，y轴与曲线=1所围成的区域，a＞0，b＞0。标准答案：积分区域D如图1—4—17的阴影部分所示。知识点解析：暂无解析25、求二重积分ydσ，其中D是由曲线r=2(1+cosθ)的上半部分与极轴所围成的区域。标准答案：积分区域D如图1—4—19所示，D的极坐标表示是：0≤θ≤π，0≤r≤2(1+cosθ)，因此知识点解析：暂无解析26、设D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数。计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy。标准答案：令D1=｛(x，y)｜0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0｝，D2={(x，y)｜1≤x2+y2≤，x≥0，y≥0}。则有知识点解析：暂无解析27、计算积分。标准答案：设二重积分区域为D，D1是D的第一象限部分，由对称性，得知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、已知fx’(x0，y0)存在，则=()A、fx’(x0，y0)。B、0。C、2fx’(x0，y0)。D、fx’(x0，y0)。标准答案：C知识点解析：由题意=fx’(x0，y0)+fx’(x0，y0)=2fx’(x0，y0)，故选C。2、二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：按可微性定义，f(x，y)在(0，0)处可微题中的C项即A=B=0的情形。故选C。3、设函数f(x，y)可微，且对任意x，y都有＜0，则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是()A、x1＞x2，y1＜y2。B、x1＞x2，y1＞y2。C、x1＜x2，y1＜y2。D、x1＜x2，y1＞y2。标准答案：D知识点解析：由，需对x和y分开考虑，则已知的两个不等式分别表示函数f(x，y)关于变量x是单调递增的，关于变量y是单调递减的。因此，当x1＜x2，y1＞y2时，必有f(x1，y1)＜f(x2，y1)＜f(x2，y2)，故选D。4、设，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则()A、I3＞I2＞I1。B、I1＞I2＞I3。C、I2＞I1＞I3。D、I3＞I1＞I2。标准答案：A知识点解析：在区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，从而有≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0。已知函数cosx在(0，)上为单调减函数，于是0≤≤cos(x2+y2)≤cos(x2+y2)2，故应选A。5、设函数f(μ)连续，区域D={(x，y)｜x2+y2≤2y}，则f(xy)dxdy等于()A、∫－11dxf(xy)dy。B、2∫02dyf(x，y)dx。C、∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)dr。D、∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr标准答案：D知识点解析：积分区域D={(x，y)｜x2+y2≤2y}(如图1—4—3)。在直角坐标系下，故排除A、B两个选项。在极坐标系下f(xy)dxdy=∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr，因此正确答案为D。6、设函数f(x)连续，若F(μ，ν)=dxdy，其中区域Dμν为图1—4—1中阴影部分，则=()A、νf(μ2)。B、f(μ2)。C、νf(μ)。D、f(μ)。标准答案：A知识点解析：题设图象中所示区域用极坐标表示为0≤θ≤ν，1≤r≤μ。因此可知F(μ，ν)==ν∫1μf(r2)dr，根据变限积分求导可得=νf(μ2)。7、f(rcosθ，rsinθ)rdr(a＞0)，则积分域为()A、x2+y2≤a2。B、x2＋y2≤a2(x≥0)。C、x2＋y2≤ax。D、x2＋y2≤ax(y≥0)。标准答案：C知识点解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax(a＞0)，故选C。8、设f(x，y)连续，且f(x，y)=，其中D表示区域0≤x≤1，0≤y≤1，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因此应选C。二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)9、设z==________。标准答案：知识点解析：由题意可知：10、设z=f(lnx+)，其中函数f(μ)可微，则=_________。标准答案：0知识点解析：因为所以=0。11、设函数z=f(x，y)(xy≠0)满足f(xy，)=y2(x2一1)，则dz=________。标准答案：(2x—y)dx—xdy知识点解析：利用变量替换，设xy=μ，=ν，则有x2=，y2=μν，f(μ，ν)=μν(一1)=μ2一μν，即f(x，y)=x2一xy，因此dz=(2x—y)dx—xdy。12、设z=f(xy)+yφ(x+y)，f，φ具有二阶连续导数，则=________。标准答案：yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)知识点解析：由题干可得：f’(xy)+yφ’(x+y)，f’(xy)+yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)=yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)。13、设=一siny+，且z(1，y)=siny，则z(x，y)=_______。标准答案：(2一x)siny+知识点解析：由，有z(x，y)=∫(－siny+)dx=一xsiny一ln｜1一xy｜+g(y)。又根据已知可得z(1，y)=一siny—ln｜1一y｜+g(y)=siny，g(y)=2siny+ln｜1—y｜，从而z(x，y)=(2一x)siny+。14、设f(x)，g(x)是连续函数，F(x，y)=∫1xdμ∫0yμf(tμ)g()dt，则=_______。标准答案：xg()f(x2y)知识点解析：因为F(x，y)=∫1xdμf(tμ)g()dt，于是15、D是顶点分别为(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则(1+x)sinydσ=________。标准答案：+sin1+cos1一2sin2一cos2知识点解析：积分区域可以表示为D={(x，y)｜0≤y≤1+x，0≤x≤1}，则(1+x)sinydσ=∫01dx∫01＋xsinydy=∫01(1+x)一(1+x)cos(1+x)dx，利用换元法，令1+x=t，x∈[0，1]时，t∈[1，2]，则(1+x)sinydσ=∫12[t－tcost]dt=+sin1+cos1一2sin2一cos2。三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)16、证明可微的必要条件：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则fx’(x0，y0)与fy’(x0，y0)都存在，且=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y。标准答案：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则等式△z=A△x+B△y+成立。令△y=0，于是，令=B，于是证明了fx’(x0，y0)与fy’(x0，y0)存在，并且dz｜(x0，y0)=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y。知识点解析：暂无解析17、设z=。标准答案：先求。而且f(x)是一元函数f(μ)与二元函数μ=xy的复合，μ是中间变量；φ(xy)是一元函数φ(ν)与二元函数ν=x+y的复合，ν是中间变量。由于方便，由复合函数求导法则得+φ(x+y)+yφ’(x+y)(x+y)=f’(xy)+φ(x+y)+yφ’(x+y)，=yf’’(xy)+φ’(x+y)+yφ’’(x+y)。知识点解析：暂无解析18、设z=f[xy，yg(x)]，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1，求。标准答案：由题意=f1’[xy，yg(x)]y+f2’[xy，yg(x)]yg’(x)，=f11’’[xy，yg(x)]xy+f12’’[xy，yg(x)]yg(x)+f1’[xy，yg(x)]+f21’’[xy，yg(x)]xyg’(x)+f22’’[xy，yg(x)]yg(x)g’(x)+f2’[xy，yg(x)]g’(x)。由g(x)在x=1处取得极值g(1)=1，可知g’(1)=0。故=f11’’[1，g(1)]+f12’’[1，g(1)]g(1)+f1’[1，g(1)]+f21’’[1，g(1)]g’(1)+f22’’[1，g(1)]g(1)g’(1)+f2’[1，g(1)]g’(1)=f11’’(1，1)+f12’’(1，1)+f1’(1，1)。知识点解析：暂无解析19、设函数f(x，y)=3x+4y—αx2一2αy2一2βxy。试问参数α，β满足什么条件时，函数有唯一极大值?有唯一极小值?标准答案：根据取得极值的必要条件，得方程组系数行列式△=4(2α2一β2)，所以当△≠0时，f(x，y)有唯一驻点，即B2一AC=4β2一8α2=一4(2α2一β2)。当B2一AC＜0，即2α2一β2＞0时，f(x，y)有极值，且当A=一2α＞0时，即α＜0时，f(x，y)有极小值；当A=一2α＜0时，即α＞0时，f(x，y)有极大值。综上分析，得当2α2－β2＞0且α＜0时有唯一极小值；当2α2一β2＞0且α＞0时有唯一极大值。知识点解析：暂无解析20、求｜z｜在约束条件下的最大值与最小值。标准答案：｜z｜的最值点与z2的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2一2z2)+μ(x+3y+3z一5)。且令解得(x，y，z)1=(1，，1)，(x，y，z)2=(－5，，5)所以当x=1，y=时，｜z｜=1最小；当x=一5，y=时，｜z｜=5最大。知识点解析：暂无解析21、计算(x2+y2)dxdy，其中D是由y=一x，所围成的平面区域。标准答案：x2一2x+y2=0(x一1)2+y2=1；y=一x与x2+y2=4的交点为；y=一x与x2一2x+y2=0的交点为(0，0)和(1，一1)；x2+y2=4与x2一2x+y2=0的交点为(2，0)。知识点解析：暂无解析22、计算二重积分xydσ，其中区域D由曲线r=1+cosθ(0≤θ≤π)与极轴围成。标准答案：由题意，令μ=cosθ得，原式=。知识点解析：暂无解析23、计算｜x+y｜dxdy。标准答案：令因此知识点解析：暂无解析24、计算二重积分(x+y)3dxdy，其中D由曲线x==0及x一=0围成。标准答案：积分区域如图1—4—22所示，D=D1∪D2，其中D1={(x，y)｜0≤y≤1，}；D2=｛(x，y)｜一1≤y≤0，｝由于(x+y)3dxdy=(x3+3x2y+3xy2+y3)dxdy，且区域D关于x轴是对称的，被积函数3x2y+y3是y的奇函数，所以(3x2y+y3)dxdy=0。知识点解析：暂无解析25、计算二重积分(x2+y2)dσ，其中D是由直线x=2，y=2，x+y=1，x+y=3以及x轴与y所围成的平面区域。标准答案：由题设知，积分区域是如图1—4—25所示的六边形区域，且D=D1+D2，其中D1={(x，y)｜0≤x≤1，1一x≤y≤2}，D2={(x，y)｜1≤x≤2，0≤y≤3一x}。于是知识点解析：暂无解析求下列积分。26、设f(x)=∫1xe－y2dy，求∫01x2f(x)dx；标准答案：知识点解析：暂无解析27、设函数f(x)在[0，1]连续且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x(f(y)dy。标准答案：令φ(x)=∫x1f(y)dy，则φ’(x)=一f(x)，于是∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01[∫x1f(y)dy]f(x)dx=一∫01φ(x)dφ(x)=φ2(x)｜01=A2。知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设=0，则f(x，y)在点(0，0)处()A、不连续。B、连续但两个偏导数不存在。C、两个偏导数存在但不可微。D、可微。标准答案：D知识点解析：由=0知f(x，y)一f(0，0)+2x一y=o(ρ)(当(x，y)→(0，0)时)，即得f(x，y)一f(0，0)=一2x+y+o(ρ)，由微分的定义可知f(x，y)在点(0，0)处可微，故选D。2、设函数μ(x，y)=φ(x＋y)+φ(x一y)+∫x－yx＋yψ(t)dt，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：先分别求出，再进一步比较结果。因为=φ’(x+y)+φ’(x一y)+ψ(x+y)一ψ(x一y)，=φ’(x+y)一φ’(x一y)+ψ(x+y)+ψ(x一y)，于是=φ’’(x+y)+φ’’(x一y)+ψ’(x+y)一ψ’(x一y)，=φ’’(x+y)一φ’’(x一y)+ψ’(x+y)+ψ’(x一y)，=φ’’(x+y)+φ’’(x一y)+ψ’(x+y)一ψ’(x一y)，可见有，因此正确选项为B。3、设函数z=f(x，y)的全微分为dz=xdx+ydy，则点(0，0)()A、不是f(x，y)的连续点。B、不是f(x，y)的极值点。C、是f(x，y)的极大值点。D、是f(x，y)的极小值点。标准答案：D知识点解析：根据dz=xdx+ydy可得=y，则又在(0，0)处，，AC—B2=1＞0，根据二元函数极值点的判断方法可知，(0，0)为函数z=f(x，y)的一个极小值点。因此正确选项为D。4、设D为单位圆x2+y2≤1，I1=(x3+y3)dxdy，I2=(x4+y4)dxdy，I3=(2x6+y5)dxdy，则()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I3＜I2＜I1。D、I1＜I3＜I2。标准答案：D知识点解析：由于积分域D关于两个坐标轴都对称，而x3是x的奇函数，y3是y的奇函数，则I1=(x3+y3)dxdy=0，y5dxdy=0，积分区域关于y=x对称，从而由轮换对称性可知I3=(x6+y6)dxdy，由于在D内｜x｜≤1，｜y｜≤1，则x6+y6≤x4+y4，则0＜(x6+y6)dxdy＜(x4+y4)dxdy，从而有，I1＜I3＜I2。故选D。5、累次积分∫01dx∫x1f(x，y)dy+∫12dy∫02－yf(x，y)dx可写成()A、∫02dx∫x2－xf(x，y)dy。B、∫01dy∫02－yf(x，y)dx。C、∫01dx∫x2－xf(x，y)dy。D、∫01dy∫y2－yf(x，y)dx。标准答案：C知识点解析：原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故选C。6、设f(x)==()A、1。B、1一。C、1+。D、e—1。标准答案：B知识点解析：积分区域如图1—4—5交换积分次序故应选B。7、设有平面闭区域，D={(x，y)｜一a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)｜0≤x≤a，x≤y≤a}，则(xy+cosxsiny)dxdy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：将闭区间D={(x，y)｜一a≤x≤a，x≤y≤a}用直线y=一x将其分成两部分D2和D3，如图l一4—8所示，其中D2关于y轴对称，D3关于x轴对称，xy关于x和y均为奇函数，所以在D2和D3上，均有xydxdy=0。而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D3积分不为零，在D2积分值为零，因此故选项A正确。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)8、设f(x，y)=在点(0，0)处连续，则a=_________。标准答案：0知识点解析：因为0≤｜x｜≤｜x｜→0，利用夹逼定理知，=0。又知f(0，0)=a，则a=0。9、设z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所确定，则dz=________。标准答案：(y2dx+2xydy)知识点解析：10、设函数z=z(x，y)由方程z=e2x－3z+2y确定，则=________。标准答案：2知识点解析：偏导数法。在z=e2x－3z+2y的两边分别对x，y求偏导，z为x，y的函数。11、设z=z(x，y)是由方程xyz+ln2确定的隐函数，则在点(0，一1，1)的全微分dz=________。标准答案：2dx+dy知识点解析：方程两边微分，有xydz+xzdy+yzdx+=0，将x=0，y=一1，z=1代入上式，得一dx+=0，即有dz=2dx+dy。12、设函数f(μ，ν)具有二阶连续偏导数z=f(x,xy)，则=_________。标准答案：xf12’’+f2’+xyf22’’知识点解析：由题干可知，=f1’+f2’．y，=xf12’’+f2’+xyf22’’。13、交换积分次序∫－10dy∫21－yf(x，y)dx=________。标准答案：∫12dx∫01－xf(x，y)dy知识点解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D(如图1—4—11)：一1≤y≤0，1一y≤x≤2。则有∫－10dy∫1－y2f(x，y)dx=f(x，y)dxdy。交换积分次序∫－10dy∫21－yf(x，y)dx=一∫－10dy∫1－y2f(x，y)dx=一∫12dx∫1－x0f(x，y)dy=∫12dx∫01－xf(x，y)dy。14、已知极坐标系下的累次积分I=，其中a＞0为常数，则I在直角坐标系下可表示为_________。标准答案：∫0adxf(x，y)dy知识点解析：先将，表示成I=f(x，y)dσ，用D的极坐标表示，0≤r≤acosθ，因此可知区域D：。如图1—4一15所示：如果按照先y后x的积分次序，则有D：0≤x≤a，，因此可得I=∫0adxf(x，y)dy。15、D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域，则=________。标准答案：知识点解析：圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域用极坐标表示为三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)16、设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求。标准答案：分别在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0的两端对x求导，得整理后得解得(Fy’+xf’Fz’≠0)。知识点解析：暂无解析17、设z=f(x2一y2，exy)，其中f具有连续二阶偏导数，求。标准答案：因为由已知条件可得=2xf1’+yexyf2’，=一2yf1’+xexyf2’，=2x[f11’．(一2y)+f12’’．xexy]+exyf2’+xyexyf2’+yexy[f21’’．(一2y)+f22’’．xexy]=一4xyf11’’+2(x2一y2)exyf12’’+xye2xyf22’’+exy(1+xy)f2’。知识点解析：暂无解析18、设函数μ=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式=0，确定a，b的值，使等式通过变换ξ=x+ay，η=x+by可化简为=0。标准答案：根据已知有根据10ab+12(a+b)+8≠0，舍去因此可知a=一2，，b=一2。知识点解析：暂无解析19、已知=2x+y+1，=x+2y+3，μ(0，0)=1，求μ(x，y)及μ(x，y)的极值，并问此极值是极大值还是极小值?说明理由。标准答案：由=2x+y+1，有μ(x，y)=x2+xy+x+φ(y)，再结合=x+2y+3，有x+φ’(y)=x+2y+3，得φ’(y)=2y+3，φ(y)=y2+3y+C。于是μ(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C。又由μ(0，0)=1得C=1，因此μ(x，y)=x2+xy+y2+x+3y+1。知识点解析：暂无解析20、求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x一y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。标准答案：先求在D内的驻点，即因此在D内只有驻点相应的函数值为f(2，1)=4。再求f(x，y)在D边界上的最值①在x轴上y=0，所以f(x，0)=0。②在y轴上x=0，所以f(0，y)=0。③在x+y=6上，将y=6一x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x2(x一6)，因此fx’=6x2一24x=0。得x=0(舍)，x=4。所以y=6一x=2。于是得驻点相应的函数值f(4，2)=x2y(4一x一y)｜(4，2)=一64。综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64。知识点解析：暂无解析21、求二重积分max{xy，1}dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤2}。标准答案：曲线xy=1将区域分成两个区域D1和D2+D3(如图1一4一16)=1+2ln2++ln2。知识点解析：暂无解析22、设D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2=2}，计算二重积分(x+y)dσ。标准答案：知识点解析：暂无解析23、计算二重积分｜x2+y2一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}。标准答案：记D1={(x，y)｜x2+y2≤1，(x，y)∈D}，D2={(x，y)｜x2+y2＞1，(x，y)∈D}，因此知识点解析：暂无解析24、计算二重积分x(y+1)dσ，其中积分区域D是由y轴与曲线所围成。标准答案：引入极坐标(r，θ)满足x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标(r，θ)中积分区域D可表示为D={(r，θ)｜0≤θ≤，2cosθ≤r≤2)，知识点解析：暂无解析25、设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。标准答案：交换积分次序可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01dy∫0yf(x)f(y)dx=∫01dx∫0xf(y)f(x)dy，因此，可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=[∫01dx∫x1f(x)f(y)dy+∫01dx∫0xf(x)f(y)dy]=∫01dx∫01f(x)f(y)dy=∫01f(x)dx．∫01f(y)dy=A2。知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，△z是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处()A、△z=dz。B、△z=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y。C、△z=fx’(x0，y0)dx+fy’(x0，y0)dy。D、△z=dz+o(ρ)。标准答案：D知识点解析：由于z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则△z=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y+o(ρ)=dz+o(ρ)，故选D。2、设函数z(x，y)由方程=0确定，其中F为可微函数，且F2’≠0，则=()A、x。B、z。C、一x。D、一z。标准答案：B知识点解析：对已知的等式两边求全微分可得即正确选项为B。3、设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f’(0)=g’(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是()。A、f’’(0)＜0，g’’(0)＞0。B、f’’(0)＜0，g’’(0)＜0。C、f’’(0)＞0，g’’(0)＞0。D、f’’(0)＞0，g’’(0)＜0。标准答案：A知识点解析：由z=f(x)g(y)，得而且=f(0)g’(0)=0，f(0)＞0，g(0)＜0，当f’’(0)＜0，g’’(0)＞0时，B2一AC＜0，且A＞0，此时z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值。因此正确选项为A。4、设平面D由x+y=，x+y=1及两条坐标轴围成，I1=ln(x+y)3dxdy，I2=(x+y)3dxdy，I3=sin(x+y)3dxdy，则()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I1＜I3＜I2。D、I3＜I2＜I1。标准答案：C知识点解析：显然在D上≤x+y≤1，则ln(x+y)3≤0，0＜sin(x+y)3＜(x+y)3，从而有故选C。5、设函数f(x，y)连续，则二次积分∫sinx1f(x，y)dy等于()A、∫01dy∫π＋arcsinyπf(x，y)dx。B、∫01dy∫π－arcsinyπf(x，y)dx。C、∫01dy∫π＋arcsinyf(x，y)dx。D、∫01dy∫π－arcsinyf(x，y)dx。标准答案：B知识点解析：由题设可知，≤x≤π，sinx≤y≤1，可转化为0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故应选B。6、设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F’’(2)等于()A、2f(2)。B、f(2)。C、一f(2)。D、0。标准答案：B知识点解析：交换累次积分的积分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1t(x－1)f(x)dx。于是F’(t)=(t一1)f(t)，从而F’(2)=f(2)。故选B。7、设函数f(t)连续，则二重积分dθ∫2cosθ2f(r2)rdr=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为曲线r=2在直角坐标系中的方程为x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐标系中的方程为x2+y2=2x，即(x一1)2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得原式=f(x2+y2)dy。8、设区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)为D上的正值连续函数，a，b为常数，则dσ=()A、abπ。B、π。C、(a+b)π。D、π。标准答案：D知识点解析：由根据轮换对称性可得因此正确选项为D。二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)9、设二元函数z=xex＋y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1，0)=________。标准答案：2edx+(e+2)dy知识点解析：由已知=ex＋y+xex＋y+ln(1+y)，dz｜(1，0)=2edx+(e+2)dy。10、设z=(x+ey)x，则=________。标准答案：2ln2+1知识点解析：由z=(x+ey)x，故z(x，0)=(x+1)x，则代入x=1得，=2ln2+1。11、设函数z=z(x，y)由方程(z+y)x=xy确定，则=________。标准答案：2—2ln2知识点解析：把点(1，2)代入(z+y)x=xy，得到z(1，2)=0。在(z+y)x=xy两边同时对x求偏导数，有(z+y)x[ln(z+y)+]=y。将x=1，y=2，z(1，2)=0代入上式得=2—2ln2。12、设z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g，φ具有二阶连续导数，则=________。标准答案：g’(x+y)+xg’’(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ’’(xy)知识点解析：由题干可知，=g(x+y)+xg’(x+y)+y2φ’(xy)，=g’(x+y)+xg’’(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ’’(xy)。13、积分∫02dx∫x2e－y2dy=_________。标准答案：(1一e－4)知识点解析：如图1—4—10积分区域，则∫02dx∫x2e－y2dy=∫02dy∫0ye－y2dx=∫02ye－y2dy=。14、将∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化为极坐标下的二次积分为________。标准答案：知识点解析：如图1—4—14所示，则有∫01dy∫0yf(x2＋y2)dx=f(r2)rdr。15、设f(x，y)连续，且f(x，y)=x+yf(μ，ν)dμdν，其中D是由y=，x=1，y=2所围成的区域，则f(x，y)=________。标准答案：x+y知识点解析：首先令A=f(μ，ν)dμdν，则A为常数，此时f(x，y)=x+Ay。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)16、设μ=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx，其中f，φ都具有一阶连续偏导数，且。标准答案：在等式μ=f(x，y，z)的两端同时对x求导数，得到如下等式而=cosx，再在等式φ(x2，ey，z)=0的两端同时对x求导数，得到φ1’．2x+φ2’．=0，解得(2xφ1’+eyφ2’cosx)，因此，可得(2xφ1’+esinxφ2’cosx)。知识点解析：暂无解析17、设