考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷3（共284题）

考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷3（共9套）（共284题）考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、已知随机变量(X1，X2)的概率密度为f1(x1，x2)，设Y1=2X1，则随机变量(Y1，Y2)的概率密度f2(y1，y2)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：设(X1，X2)的分布函数为F1(x1，x2)，(Y1，Y2)的分布函数为F2(y1，y2)，则2、设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，则()A、(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量B、Z=X+Y是服从均匀分布的随机变量C、Z=X—Y是服从均匀分布的随机变量D、Z=X2是服从均匀分布的随机变量标准答案：A知识点解析：当X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布时，(X,Y)的概率密度为所以，(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量．因此本题选(A)．3、现有10张奖券，其中8张为2元的，2张为5元的．今从中任取3张，则奖金的数学期望为()A、6B、7．8C、9D、11．2标准答案：B知识点解析：记奖金为X，则X全部可能取值为6，9，12，且4、设X1，X2，X3相互独立，且均服从参数为λ的泊松分布，令(X1+X2+X3)，则Y2的数学期望为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为X1,X2，X3相互独立且均服从P(λ)，所以X1+X2+X2～P(3λ)，E(X1+X2+X3)=D(X1+X2+X3)=3λ，5、设X1，X2，…，Xn(n＞1)是来自总体N(0，1)的简单随机样本，记则()A、～N(0，1)，Q2～χ2(n)B、～N(0，n)，Q2～χ2(n一1)C、，Q2～χ2(n)D、，Q2～χ2(n一1)标准答案：C知识点解析：由于．Q2～χ2(n)．因此本题选(C)．6、设X1，X2，…，X8是来自总体N(2，1)的简单随机样本，则统计量服从()A、χ2(2)B、χ2(3)C、t(2)D、t(3)标准答案：C知识点解析：因为又，且它们相互独立，所以所以由T与X相互独立得，因此本题选(C)．7、已知随机变量Xn(n=1，2，…)相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有=()(结果用标准正态分布函数φ(x)表示)A、φ(0)B、φ(1)C、D、φ(2)标准答案：C知识点解析：由题设知EXn=0，DXn=由中心极限定理，对任意x有8、设X1，X2，…，Xn是来自总体X～N(0，1)的简单随机样本，则统计量服从()A、Y～χ2(N一1)B、Y～t(n—1)C、Y～F(n，1)D、Y～F(1，n一1)标准答案：B知识点解析：由总体X～N(0，1)知X1～N(0，1)，(n一1)，且它们相互独立，所以因此本题选(B)．9、设随机变量X～F(n，n)，记p1=P{X≥1)，p2=P{X≤1}，则()A、p1＜p2B、p1＞p2C、p1=p2D、p1，p2大小无法比较标准答案：C知识点解析：由X～F(n，n)知～F(n，n)，所以p1=P{X≥1}==P{Y≤1}=P{X≤1}=p2．因此本题选(C)．10、设总体X～N(a，σ2)，Y～N(b，σ2)，且相互独立．分别从X和Y中各抽取容量为9和10的简单随机样本，记它们的方差为SX2和SY2，并记S122=(SX2+SY2)和SXY2=(8SX2+10SY2)，则这四个统计量SX2，SY2，S122，SXY2中，方差最小的是()A、SX2B、SY2C、S122D、SXY2标准答案：D知识点解析：所以，方差最小的为SXY2．因此本题选(D)．11、设X1，X2，…，Xn是来自总体X～N(μ，σ2)(μ，σ2都未知)的简单随机样本的观察值，则σ2的最大似然估计值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：在μ未知时，σ2的最大似然估计值为因此本题选(B)．二、填空题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)12、设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|1≤x≤e2,0≤y≤}上服从均匀分布，则(X，Y)的关于X的边缘概率密度fX(x)在点x=e处的值为________．标准答案：知识点解析：区域D如图3—2阴影部分所示，它的面积所以(X，Y)的概率密度为13、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=则当x＞0时，fY|X(y|x)=_______．标准答案：知识点解析：由f(x，y)的表达式知X与Y相互独立，且关于X，Y的边缘概率密度分别为由此可知，当x＞0时，由fX(x)＞0知fY|X(y|x)=fY(y)=14、设随机变量X的概率密度为f(x)=标准答案：知识点解析：15、设随机变量Y服从参数为1的指数分布，记则E(X1+X2)=________．标准答案：知识点解析：EX1=P{Y＞1}=∫1+∞e-ydy=e-1，EX2=P{Y＞2}=∫2-∞e-ydy=e-2，所以E(X1+X2)=EX1+EX2=e-1+e-2=16、已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P{X=k}=，k=0，1，2，…，则随机变量Z=3X一2的数学期望EZ=_______．标准答案：4知识点解析：EZ=3EXX一2=4．17、设随机变量X1，X2，…，X100独立同分布，且EXi=0，DXi=10，i=1，2，…，100，令标准答案：990知识点解析：18、设随机变量X和Y均服从且D(X+Y)=1，则X与Y的相关系数ρ=_____．标准答案：1知识点解析：由题设DX=DY=D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=+2Coy(X，Y)=1，于是有19、已知随机变量X～N(一3，1)，Y～N(2，1)，且X，Y相互独立，设随机变量Z=X一2Y+7，则Z～________．标准答案：N(0，5)知识点解析：由题意，知Z服从正态分布，且X，Y相互独立，则EZ=E(X一2Y+7)=EX一2ey+7=一3—4+7=0，DZ=D(X一2y+7)=DX+22Dy=1+4=5．故Z～N(0，5)．20、设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为则随机变量Z=max{X，Y}的分布律为_______．标准答案：知识点解析：P{Z=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=P{Z=1}=1一P{Z=0}=所以Z的分布律为21、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量U=X+2Y，V=一X的协方差Cov(U，V)=______．标准答案：知识点解析：Cov(U，V)=Cov(X+2Y，一X)=一DX一2Cov(X，Y)=一DX一2E(XY)+2EXEY，①其中关于X与Y的边缘概率密度为22、设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为λ的泊松分布．则标准答案：ψ(x)知识点解析：由列维一林德伯格中心极限定理即得．23、设随机变量X的数学期望EX=75，方差DX=5，由切比雪夫不等式估计得P{|X一75|≥k}≤0．05，则k=_____．标准答案：10知识点解析：P{|X一75|≥k}=P{|X—EX|≥k)≤于是由题设得=0．05．即k=10．24、设总体X～P(λ)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，它的均值和方差分别为和S2，则和E(S2)分别为________．标准答案：知识点解析：E(S2)=DX=λ．25、设总体X的概率密度为X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，x1，x2，…，xn是其观察值，则未知参数θ的最大似然估计值为________．标准答案：知识点解析：似然函数为解得θ的最大似然估计值为26、设X1，X2，X3，X4是来自正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，则统计量服从的分布是______。标准答案：t(2)知识点解析：因为X～N(μ，σ2)，所以X3一X4～N(0，2σ2)～N(0，1)，又三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)27、设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布，证明：Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布．标准答案：故Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布．知识点解析：暂无解析28、设ξ，η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为P{ξ=i}=，i=1，2，3，又设X=max{ξ，η}，Y=min{ξ，η}，试写出二维随机变量(X，Y)的分布律及边缘分布律，并求P{ξ=η}.标准答案：X的可能取值为1，2，3，Y的可能取值为1，2，3．P{X=1，Y=1}=P{max{ξ，η}=1，min{ξ，η}=1}=P{ξ=1，η=1}=以此类推可求出(X，Y)的分布律及边缘分布律如下：则知识点解析：暂无解析29、设(X，Y)的概率密度为判断X，Y是否独立，并说明理由．标准答案：由题得X的边缘概率密度为同理易知因为f(x，y)=fX(x).fY(y)，所以X，Y独立．知识点解析：暂无解析30、设X关于Y的条件概率密度为且Y的概率密度为标准答案：由题得(X，Y)的概率密度为f(x，y)=fX|Y(x|y).fY(y)=其非零区域如图3—4所示，则知识点解析：暂无解析31、设(X，Y)服从G={(x，y)|x2+y2≤1}上的均匀分布，试求给定Y=y的条件下X的条件概率密度fX|Y(x|y)．标准答案：因为(X，Y)服从G={(x，y)|x2+y2≤1}上的均匀分布，所以所以，当一1＜y＜1时，有知识点解析：暂无解析32、乘有20位旅客的民航送客车自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)．标准答案：引入随机变量Xi=则X=X1+X2+…+X10，由知识点解析：暂无解析33、设随机变量X的概率密度为已知EX=2，P{1＜X＜3}=求(1)a，b，c的值；(2)随机变量Y=eX的数学期望和方差．标准答案：解方程组知识点解析：暂无解析34、袋中有n张卡片，分别记有号码1，2，…，n，从中有放回地抽取k张，以X表示所得号码之和，求EX，DX．标准答案：设Xi表示“第i张的号码”，i=1，2，…，k，则Xi的分布律为知识点解析：暂无解析35、设随机变量U在[一2，2]上服从均匀分布，记随机变量求：(1)Cov(X，Y)，并判定X与Y的独立性；(2)D[X(1+Y)]．标准答案：(1)X，Y的全部可能取值都为一1，1，且P{X=一1，Y=一1}=P{U≤一1，U≤1}=P{U≤一1}=P{X=一1，Y=1}=P{U≤一1，U＞1}=0，P{X=1，Y=一1}=P{U＞一1，U≤1}=P{-1＜U≤1}=P{X=1，Y=1}=P{U＞一1，U＞1}=P{U＞1}=所以(X，Y)的分布律及边缘分布律为(2)D[X(1+Y)]=D(X+XY)=DX+D(XY)+2Cov(X，XY)=DX+D(XY)+2E(X2Y)一2EXE(XY)．①其中此外，由于XY及X2Y的分布律分别为所以E(XY)=0，E(X2Y2)=D(XY)=E(X2Y2)一[E(XY)]2=1—0=1，将以上式子代入①得知识点解析：暂无解析36、设随机变量X在(0，3)内随机取值，而随机变量Y在(X，3)内随机取值，求协方差Cov(X，Y)．标准答案：X的概率密度fX(x)=在X=x∈(0，3)的条件下，fY|X(y|x)=于是(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)=由此可得其中D如图3—5阴影部分所示．知识点解析：暂无解析37、若DX=0．004，利用切比雪夫不等式估计概率P{|X—EX|＜0．2}．标准答案：由切比雪夫不等式，得P{|X—EX|＜0．2}≥知识点解析：暂无解析38、用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，至少需掷多少次，才能保证‘正面’出现的频率在0．4至0．6之间的概率不小于0．9．标准答案：设掷n次，“正面”出现的次数为Yn，则Yn～B(n，0．5)，依题意应有所以n≥250，即至少需掷250次．知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第2套一、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、设P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(AB)＝0，P(AC)＝P(BC)＝，则A，B，C都不发生的概率为_______．标准答案：知识点解析：暂无解析2、乒乓球盒中有15个球，其中有9只新球和6只旧球．第一次比赛时任取3只使用，用后放回(新球使用一次就成旧球)．第二次比赛时也任取3只球，求此3只球均为新球的概率_______．(写出计算式即可)．标准答案：(C63C93＋C62C91C83＋C61C92C73＋C93C63)知识点解析：暂无解析3、3架飞机(其中有1架长机和2架僚机)去执行轰炸任务，途中要过一个敌方的高炮阵地．各机通过高炮阵地的概率均为0．8，通过后轰炸成功的概率均为0．3，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功．求最终轰炸成功的概率为_______．标准答案：0．476544知识点解析：暂无解析4、随机变量X的密度为f(χ)＝，－∞＜χ＜∞，则A＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析5、在一长为l的线段上的随机掷两点，使这个线段分成三段，则这三段能构成三角形的概率为_______．标准答案：知识点解析：如图1建立坐标系，题目中的线段即线段Ol(图中)，随机掷的两点坐标分别为X和Y，由题意知X与Y独立同分布，均服从区间(0，l)上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为所得到的3段线段长分别为min(X，Y)，｜X－Y｜，l－max(X，Y)，而{这3段能构成三角形}充要条件{这3段中任2段长度之和＞}充要条件{这3段中任一段长度都＜}故P{这3段能构成三角形}其中G1与G2见图2中阴影部分．6、设X的密度为f(χ)＝，－∞＜χ＜＋∞，则X的分布函数F(χ)_______．标准答案：知识点解析：暂无解析7、设在时间t(分钟)内，通过某路口的汽车数服从参数为λt的泊松分布．已知1分钟内没有汽车通过的概率为0．2，求在2分钟内有至少1辆汽车通过的概率为_______．标准答案：知识点解析：暂无解析8、设X与Y独立，下表列出(X，Y)的联合分布列和关于X、Y的边缘分布列中的部分数值，请填上空白处，并填空求P(X＋Y≤1)＝_______．P{X＋Y≤1｜X≤0}＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析9、设随机变量X服从(－a，a)上的均匀分布(a＞0)，且已知P(X＞1)＝，则a＝_______，D(X)＝_______．标准答案：3；3．知识点解析：暂无解析10、随机变量X的密度为：f(χ)＝且知EX＝6，则常数A＝_______，B＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析11、袋中装有黑白两种颜色的球，黑球与白球个数之比为3：2．现从此袋中有放回地摸球，每次摸1个．记X为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数．求E(X)＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析二、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)12、随机变量X可能取的值为－1，0，1．且知EX＝0．1，EX2＝0．9，求X的分布列．标准答案：由题意，X的分布列可设为：X～且知：a＋b＋c＝1，0．1＝EX＝－a＋c，0．9＝E(X2)＝(－1)2a＋12c＝a＋c．可解得a＝0．4，b＝0．1，c＝0．5，代回分布列表达式即可．知识点解析：暂无解析13、在△ABC中任取一点P，而△ABC与△ABP的面积分别记为S与S1．若已知S＝12，求ES1．标准答案：如图建立坐标系，设AB长为r，△ABC高为h，C点坐标为(u，h)．设△ABc所围区域为G，则G的面积S＝rh＝12．又设P点坐标为(X，Y)，则随机变量(X，Y)在G上服从均匀分布，其概率密度为而S1＝．易得线段AC的方程为χ＝y，BC的方程为∴ES1＝，而rh＝24，故ES1＝4．知识点解析：暂无解析14、已知线段AB＝4，CD＝1，现分别独立地在AB上任取点A1，在CD上任取点C1，作一个以AA1为底、CC1为高的三角形，设此三角形的面积为S，求P(S＜1)和D(S)．标准答案：记AA1长度为X，OC1长度为Y，则知X与Y为二相互独立的随机变量，分别服从区间[0，4]和[0，1]上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为其中D＝{(χ，y)｜0≤χ≤4，0≤y≤1}．而S＝XY．故其中G为图中阴影部分，而知识点解析：暂无解析15、设随机变量X在区间(－1，1)上服从均匀分布，Y＝X2，求(X，Y)的协方差矩阵和相关系数．标准答案：X的概率密度为：f(χ)＝DY＝E(Y2)－(EY)2－E(X4)－(EX2)2＝，cov(X，X)＝cov(X，X2)－E(X3)＝EX.EX2＝0，故知(X，Y)的相关系数ρ(X，Y)＝0，协方差阵为知识点解析：暂无解析16、现有K个人在某大楼的一层进人电梯，该楼共n＋1层．电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再入电梯)．现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值．标准答案：而X＝为电梯停的次数，故知平均停的次数为EX＝．知识点解析：暂无解析17、设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布．这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分别为100和150(小时)，而成本分别为C和2C元．如果制造的元件寿命不超过200小时，则须进行加工，费用为100元．为使平均费用较低，问C取何值时，用第2种方法较好?标准答案：记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为X、Y，费用分别为ξ、η，则知X、Y的概率密度分别为：且∴Eξ(C＋100)P(X≤200)＋CP(X＞200)＝C＋100P(X≤200)，Eη＝(2C＋100)P(Y≤200)＋2CP(Y＞200)＝2C＋100P(Y≤200)，于是Eη－Eξ＝C＋100[P(Y≤200)－P(X≤200)]＝C＋100(e-2－)，可见C＜100(－e-2)时，Eη＜Eξ，用第2种方法较好(平均费用较低)．知识点解析：暂无解析18、现有奖券100万张，其中一等奖1张，奖金5万元；二等奖4张，每张奖金2500元；三等奖40张，每张奖金250元；四等奖400张，每张奖金25元，而每张奖券2元，试计算买一张奖券的平均收益．标准答案：记X和ξ分别为买1张奖券的所得的奖金和净收益(单位为元)，则ξ＝X－2，而X的概率分布为：∴Eξ－EX－2＝－2＝－1．92(元)．知识点解析：暂无解析19、设随机变量X1，…，Xn，Xn+1独立同分布，且P(X1＝1)＝p，P(X1＝0)＝1－p，记标准答案：EYi＝P(Xi＋Xi+1＝1)＝P(Xi＝0，Xi+1＝1)＋P(Xi＝1，Xi+1＝0)＝2p(1－p)，i＝1，…，n，∴＝2np(1－p)，而E(Y12)＝P(Xi＋Xi+1＝1)＝2p(1－p)，∴DYi＝E(Y12)－(EYi)2＝2p(1－p)[1－2p(1－p)]，i＝1．2，…，n．若l－k≥2，则Yk与Yl独立，这时cov(Yk，Yl)＝0，而E(YkYk+1)＝P(Yk＝1，Yk+1＝1)＝P(Xk＋Xk+1＝1，Xk+1＋Xk+2＝1)＝P(Xk＝0，Xk+1＝1，Xk+2＝0)＋P(Xk＝1，Xk+1＝0，Xk+2＝1)＝(1－p)2p＋p2(1－p)＝p(1－p)，∴coy(Yk，Yk+1)＝E(YkYk+1)－EYkEYk+1＝(1－p)－4p2(1－p)2，故2np(1－p)[1－2p(1－p)]＋＝2np(1－p)[1－2p(1－p)]＋2(n－1)[p(1－p)－4p2(1－p)2]2p(1－p)[2n－6np(1－p)＋41)(1－p)－1]．知识点解析：暂无解析20、对随机变量X和Y，已知EX＝3，EY＝－2，DX＝9，DY＝2，E(XY)＝－5．设U＝2X－y－4，求EU，DU．标准答案：EU＝2EX－EY－4＝2×3＋2－4＝4，DU＝D(2X－Y－4)＝4DX＋Dy－4cov(X，Y)＝4×9＋2－4[E(XY)－EX.EY]＝36＋2－4(－5＋3×2)＝34．知识点解析：暂无解析21、对随机变量X，Y，已知EX2和EY2存在，证明：[E(XY)]2≤E(X2).E(Y2)．标准答案：t∈R*，有0≤E(X＋tY)2＝E(X2)＋2tE(XY)＋t2E(Y2)，故此二次型(变量为t)无实根或有重根，所以其判别式△≤0，而△＝4[E(XY)]2－4EX2.EY2，即得[E(XY)]2≤E(X2).E(Y2)．知识点解析：暂无解析22、设X1，X2，…，Xn是同分布的随机变量，且EX1＝0，DX1＝1_不失一般性地设X1为连续型随机变量．证明：对任意的常数λ＞0，有．标准答案：由已知可知：E(Xi2)＝DXi＋(EXi)2＝1，i＝1，…，n．设(X1，…，Xn)的概率密度为f(χ1，χ2，…，χn)，则知识点解析：暂无解析23、两家影院竞争1000名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响．试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1％?(Ф(2．328)＝0．9900)标准答案：设甲影院(乙影院完全同理)应设N个座位才符合要求，而这1000名观众中有X名选择甲影院，则X～B(1000，)，由题意有：P(X≤N)≥0．99．而由中心极限定理知：故得≥2．328，∴N≥53．知识点解析：暂无解析24、(1)设系统由100个相互独立的部件组成．运行期间每个部件损坏的概率为0．1．至少有85个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率．(Ф()＝0．9522)(2)如果上述系统由竹个部件组成，至少有80％的部件完好时系统才能正常工作．问n至少多大才能使系统正常工作的概率不小于0．957(Ф(1．645)＝0．95)标准答案：(1)设有X个部件完好，则X～B(100，0．9)，∴EX＝90，DX＝9，∴P{系统正常工作)＝P{X≥85}＝＝0．9522．(2)设有Y个部件完好，则Y～B(n，0．9)，∴EX＝0．9n，DX＝0．09n，∴P{X≥0．8n}＝，由题意，P(X≥0．8n)≥0．95，∴Ф()≥0．95，故≥1．645，得n≥24．35即n≥25．知识点解析：暂无解析25、对随机变量X，已知EekX存在(k＞0为常数)，证明：P{X≥ε}≤.E(ekX)．(其中ε＞0)．标准答案：不失一般性，设X为连续型随机变量，概率密度为f(χ)，则EekX＝∫－∞＋∞ekχ.f(χ)dχ，而P{X≥ε}＝知识点解析：暂无解析26、当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在0．4至0．6之间的概率不小于0．97试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解．(Ф(1．645)＝0．95)标准答案：设抛掷n次硬币，正面出现X次，则X～B(n，0．5)．现要求P(0．4＜＜0．6)≥0．9，即P(0．4n＜X＜0．6n)≥0．9．(1)用切比雪夫不等式：P(0．4n＜X＜0．6n)＝P(｜X－0．5n｜＜0．1n)≥1－，令1－≥0．9，得n≥250；(2)用中心极限定理：P(0．4n＜X＜0．6n)＝≈Ф(0．2)－Ф(－0．2)＝2Ф(0．2)－1，令2Ф(0．2)－1≥0．9，得Ф(0．2)≥0．95，∴0．2≥1．645，∴n≥67．65即n≥68．知识点解析：暂无解析27、利用中心极限定理证明：标准答案：引随机变量Xk～π(1)(参数为1的泊松分布)，k＝1，2，…，且{Xk}相互独立．由泊松分布的再生性知令n→∞，由中心极限定理即知：知识点解析：暂无解析28、设总体X具有概率密度：f(χ)＝从此总体中抽得简单样本X1，X2，X3，X4，求T＝Xi的密度fT(t)．标准答案：T的分布函数为FT(t)＝P(T≤t)＝P(≤t)＝P(X1≤t，…，X4≤t)＝[P(X1≤t)]4＝知识点解析：暂无解析29、设总体X～N(μ，σ2)，X1，…，Xn为取自X的简单样本，记d＝｜Xi－μ｜求E(d)，D(d)．标准答案：知识点解析：暂无解析30、设总体X～N(72，100)，为使样本均值大于70的概率不小于0．95，样本容量n至少应取多大?(Ф(1．645)＝0．95)标准答案：由题意知～N(72，)，∴得≥1．645，∴n≥67．65，即n≥68．知识点解析：暂无解析31、从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0．02，求总体的标准差(Ф(2．33)＝0．99)标准答案：设总体X～N(μ，σ2)，则，由题意得：∴＝0．99．得＝2．33，∴σ＝知识点解析：暂无解析32、设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得样本X1，…，Xn，Xn+1，记试求的分布．标准答案：且Sn2与Xn+1－相互独立，故知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设随机变量(X，Y)的概率密度f(x，y)满足f(x，y)=f(一x，y)，且ρXY存在，则ρXY=()A、1B、0C、一1D、一1或1标准答案：B知识点解析：E(XY)=∫-∞+∞ydy∫-∞+∞xf(x，y)dx∫-∞+∞ydy∫-∞+∞(一t)f(-t,y)dt=∫-∞+∞ydy∫-∞+∞(一t)f(t，y)dt=一∫-∞+∞ydy∫-∞+∞xf(x，y)dx=一E(XY)，所以E(XY)=0．同理，EX=∫-∞+∞x[∫-∞+∞(x，y)dy]dx=0，所以ρXY=0．2、设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X与Y的相关系数为且概率P{aX+bY≤1}=则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，则aX+bY服从一维正态分布，又EX=1，EY=2，则E(aX+bY)=a+2b，于是显然，只有当1一(a+2b)=0时，P{aX+bY≤1}=才成立，只有选项(D)满足此条件．3、设X是随机变量，EX＞0且E(X2)=0．7，DX=0．2，则以下各式成立的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：于是由切比雪夫不等式知因此本题选(C)．4、设X1，X2，…，Xn是取自总体N(μ，σ2)的样本，是样本均值，记则服从自由度为n一1的t分布的随机变量是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：5、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是取自总体的简单随机样本，样本均值为，样本方差为S2，则服从χ2(n)分布的随机变量为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于总体X～N(μ，σ2)，所以～χ2(2(n-1)，又与S2独立，由χ2分布的可加性，现只需确定服从χ2(1)的随机变量．因为～χ2(1)，选择D.6、设总体X与Y都服从正态分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn是分别来自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量服从t(n)分布，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：应用t分布的典型模式．由于～N(0，1)，而～N(0，1)，且相互独立，所以～χ2(n)，U与V相互独立，由t分布的典型模式知由题意知．7、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn(n＞1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为如果P{|X一μ|＜a}=A、与σ及n都有关B、与及n都无关C、与σ无关，与n有关D、与σ有关，与n无关标准答案：C知识点解析：由题设有，X～N(μ，σ2)，因此所以与σ无关，与n有关．8、设X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y10是分别来自正态总体N(-1，4)和N(2，5)的简单随机样本，且相互独立，S12，S22分别为这两个样本的方差，则服从F(7，9)分布的统计量是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由因此本题选D.9、设总体X～P(λ)(λ为未知参数)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，其均值与方差分别为与S2，则为使+(2—3a)S2的期望为λ，常数a应为()A、一1B、0C、D、1标准答案：C知识点解析：由于=EX=λ，E(S2)=DX=λ，将它们代入①得aλ+(2—3a)λ=λ，即因此本题选(C)．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)10、一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0．10，0．20，0．30，设备部件状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，则X的方差DX为______．标准答案：0．46知识点解析：X的全部可能取值为0，1，2，3，且P{X=0}=(1—0．10)×(1—0．20)×(1—0．30)=0．504，P{X=1}=(1—0．10)×(1—0．20)×0．30+(1—0．10)×(1—0．30)×0．20+(1—0．20)×(1—0．30)×0．10=0．398，P{X=2}=(1—0．10)×0．20×0．30+(1—0．20)×0．10×0．30+(1—0．30)×0．10×0．20=0．092．P{X=3}=0．10×0．20×0．30=0．006．所以EX=0×0．504+1×0．398+2×0．092+3×0．006=0．6，E(X2)=02×0．504+12×0．398+22×0．092+32×0．006=0．82．DX=E(X2)一(EX)2=0．82一(0．6)2=0．46．11、设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=则Cov(X，Y)=_______．标准答案：0知识点解析：由于D：0≤|y|≤x≤1是由y=一x，y=x，x=1三条线围成的，且关于z轴对称，所以故Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0．12、若X1，X2，X3两两不相关，且DXi=1(i=1，2，3)，则D(X1+X2+X3)=______．标准答案：3知识点解析：因为X1，X2，X3两两不相关，所以Cov(Xi，Xj)=0(i≠j)，于是D(X1+X2+X3)=D[(X1+X2)+X3]=D(X1+X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X3)=DX1+DX2+DX3+2Cov(X1，X2)+2Cov(X1，X3)+2CovCX2，X3)=DX1+DX2+DX3=3．13、设随机变量X1，X2，X3相互独立，且则E[X1(X1+X2一X3)]为_______．标准答案：知识点解析：E[X1(X1+X2-X3)]=E(X12+X1X2一X1X3)=E(X12)+EX1EX2一EX1EX3=DX1+(EX1)2+EX1EX2一EX1EX314、设随机变量X与Y的分布律为且相关系数则(X，Y)的分布律为______．标准答案：知识点解析：设(X，Y)的分布律为((X，Y)的边缘分布律也表示于表中)．则E(XY)=p11,从而有由此得所以(X，Y)的分布律为15、设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X～N(0，3)，Y～N(0，4)，相关系数则(X，Y)的概率密度f(x，y)=______．标准答案：知识点解析：16、设二维随机变量(X，Y)的分布律为则X与Y的协方差Cov(X，Y)=______．标准答案：知识点解析：X与Y的边缘分布律分别为17、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量Z=X—Y的方差DZ=_____．标准答案：知识点解析：DZ=DX+DY一2Cov(X，Y)=DX+DY一2E(XY)+2EXEY，①其中D={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜x}如图3—8阴影部分所示．关于X的边缘概率密度为关于Y的边缘概率密度为将②，③，④式代入①式得18、设总体X和Y相互独立，且分别服从正态分布N(0，4)和N(0，7)，X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y14是分别来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量的数学期望和方差分别为______．标准答案：知识点解析：Z2～χ2(1)．于是19、设X1，X2是来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，则查表得概率约等于_____．标准答案：0．9知识点解析：(X1，X2)服从二维正态分布，所以(X1+X2，X1一X2)也服从二维正态分布，并且由X1+X2～N(0，2σ2)，X1一X2～N(0，2σ2)知，Cov(X1+X2，X1一X2)=DX1一DX2=0，即X1+X2与X1一X2相互独立．此外，，所以，20、设总体X～N(a，2)，Y～N(b，2)，且独立，由分别来自总体X和Y容量分别为m和n的简单随机样本得样本方差SX2和SY2,则统计量[(m一1)Sx2+(n一1)SY2]服从的分布是______．标准答案：χ2(m+n一2)知识点解析：因为由题设条件知，T1和T2分别服从自由度为m-1和χ2一1的χ2分布且相互独立，所以T服从自由度为(m—1)+(n一1)=m+n—2的χ2分布．21、设总体X的概率密度为f(x；θ)=其中θ＞0为未知参数，又设x1，x2，…，xn是X的一组样本值，则参数θ的最大似然估计值为______．标准答案：知识点解析：似然函数为L(x1，x2，…，xn；θ)=(0＜xi＜1，θ＞0，i=1，2，…，n)，取对数得三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)22、向半径为r的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X的分布函数F(x)，并求标准答案：如图3—9所示，F(x)=P{X≤x}=，0≤x≤r，所以知识点解析：暂无解析23、设随机变量X的概率密度为求X的分布函数．标准答案：f(x)的图形如图3—10所示，则X的分布函数为F(x)=∫-∞xf(u)du知识点解析：暂无解析24、设随机变量X的概率密度为求Y=eX的概率密度fY(y)．标准答案：用分布函数法．设Y的分布函数为FY(y)，则知识点解析：暂无解析25、假设随机变量X服从参数为λ的指数分布，求随机变量Y=1一e-λX的概率密度fY(y)．标准答案：由题设条件知，X的概率密度与分布函数分别为所以当y≤0时，FY(y)=P{Y≤y}=P{1一e-λX≤y}=0，fY(y)=0；当0＜y＜1时，FY(y)=P{Y≤y}=P{1一e-λX≤y}fY(y)=1；当y≥1时，FY(y)=P{Y≤y}=P{1一e-λX≤y}=1，fY(y)=0．从而可得即随机变量Y=1一e-λX服从区间(0，1)上的均匀分布．知识点解析：暂无解析26、设随机变量X的概率密度为f(x)=F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的分布函数．标准答案：对X的概率密度积分得X的分布函数设G(y)是Y=F(X)的分布函数．当y＜0时，G(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}=0；当y≥1时，G(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}=1；当0≤y＜1时，G(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}==P{X≤(y+1)3}=F[(y+1)3]=y，或G(y)=P{X≤(y+1)3}=于是，Y=F(X)的分布函数为即Y=F(X)服从区间[0，1]上的均匀分布．知识点解析：暂无解析27、设某地区一年内发生有感地震的次数X和无感地震次数Y分别服从泊松分布P(λ1)和P(λ2)，λ1，λ2＞0，且X与Y相互独立．(1)求一年内共发生n(n≥0)次地震的概率；(2)求在一年内发生了n次地震的条件下，有感次数X的条件概率分布．标准答案：实际上，X～P(λ1)，Y～P(λ2)，X，Y相互独立，则X+Y～P(λ1+λ2)．(2)当0≤k≤n时，k=0，1，2，…，n．实际上，如果令则P{x=k|X+Y=n}=Cnkρk(1一ρ)n-k，即服从B(n，ρ)分布．知识点解析：暂无解析28、设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为求随机变量Z=2X+Y的概率密度fZ(z)．标准答案：本题可以按以下公式先算出Z的分布函数FZ(z)：FZ(z)=fX(x)fY(y)dxdy(其中Dz={(x，y)|2x+y≤z})，然后对FZ(z)求导算出fZ(z)，但较麻烦．记U=2X，则由随机变量函数的概率密度计算公式得于是，Z=2X+Y=U+Y(其中U与Y相互独立)的概率密度fZZ(z)=∫-∞+∞fU(u)fY(z一u)du．由于fU(u)fY(z一u)=即fU(u)fY(z一u)仅在Dz={(u，z)|0＜u＜2，z—u＞0}(如图3一11的阴影部分)上取值在uOz平面的其他部分都取值为0，所以当z＜0时，fZ(z)=∫-∞+∞fU(u)fY(z—u)du=∫-∞+∞0du=0;当0≤z＜2时，fZ(z)=∫-∞+∞fU(u)fY(z—u)du=当z≥2时，fZ(z)=∫-∞+∞fU(u)fY(z-u)du=由此得到知识点解析：暂无解析29、设随机变量(X，Y)的概率密度为求随机变量Z=X—Y的概率密度fZ(z)．标准答案：记V=一Y，由于X，Y不是相互独立的，所以(X，V)的概率密度不易计算．应先计算Z的分布函数，再计算概率密度fZ(z)．记Z的分布函数为FZ(z)，则FZ(z)=P{Z≤z}=P{X—Y≤z}=其中Dz=((x，y)|x—y≤z}(直线x一y=z的上方部分)，由Dz与D={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜x}(如图3—12的阴影部分)的相对位置可得：当z＜0时，Dz与D不相交，所以当0≤z＜1时，Dz∩D=四边形OABC，由此得到知识点解析：暂无解析30、设二次方程x2—Xx+Y=0的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求X与Y的概率密度．标准答案：设二次方程的两个根为X1，X2，则它们的概率密度都为f(x)=记X的概率密度为fX(x)，则由X=X1+X2得fX(x)=∫-∞+∞f(t)f(x-t)dt，其中f(t)f(x一t)=即f(t)f(x一t)仅在如图3—13所示的带阴影的平行四边形中取值为在tOx平面的其余部分取值为0．因此，当x＜0或x＞4时，fX(x)=0；当0≤x＜2时，fX(x)=当2≤x≤4时，fX(x)=记Y的概率密度为fY(y)，则由Y=X1X2得在如图3—14所示阴影部分中取值为在tOy平面的其余部分取值都为0．因此，当y≤0或y≥4时，fY(y)=0；当0＜y＜4时，知识点解析：暂无解析31、设随机变量X与Y相互独立，都服从均匀分布U(0，1)．求Z=|X—Y|的概率密度及标准答案：U=X—Y的概率密度为fU(u)=∫-∞+∞fX(u+y)fY(y)dy=∫01fX(u+y)dy．当u≤一1或u≥1时，fU(u)=0；当一1＜u≤0时，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫-u11dy=1+u；当0＜u＜1时，fU(u)=∫01fX(u+y)dy=∫01-u1dy=1一u．即所以，Z=|X—Y|=|U|的概率密度为fZ(z)=fU(z)+fU(一z)=从而知识点解析：暂无解析32、设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，且Xi服从参数为λi的指数分布，其概率密度为求P{X1=min{X1，X2，…，Xn}}．标准答案：P{X1=min{X1，X2，…，Xn})=P{X1≤min{X2，X3，…，Xn}}，记Y=min{X2，X3，…，Xn}，则有(X1，Y)的概率密度为f(x，y)=f1(x)fY(y)．知识点解析：暂无解析33、设随机变量(X，Y)的概率密度为求Z=X2+Y2的概率密度fZ(z)．标准答案：设Z的分布函数为FZ(z)，则知识点解析：暂无解析34、设随机变量(X，Y)的概率密度为求Z=X+2Y的分布函数FZ(z)．标准答案：概率密度非零区域与x+2y≤z的关系如图3—15所示，知识点解析：暂无解析35、设随机变量X服从几何分布，其分布律为P{X=k}=(1一p)k-1，0＜p＜1，k=1，2，…，求EX与DX．标准答案：．其中q=1一p．所以DX=E(X2)一(EX)2=知识点解析：暂无解析36、在独立的伯努利试验中，若p为一次试验中成功的概率．以X记为第r次成功出现时的试验次数，则X是随机变量，取值为r，r+1，…，称为负二项分布，记为Nb(r，p)，其概率分布为：P{X=k}=Ck-1r-1pr(1-p)k-r，k=r，r+1，…．(1)记Y1表示首次成功的试验次数，Y2表示第1次成功后到第2次成功为止共进行的试验次数，证明X=Y1+Y2～Nb(2，p)；(2)设试验成功的概率为，失败的概率为，独立重复试验直到成功两次为止，求试验次数的数学期望、方差．标准答案：(1)Y1表示“首次成功的试验次数”，则Y1服从参数为p的几何分布，取值1，2，…，Y2表示“第1次成功后到第2次成功为止共进行的试验次数”，则Y2也服从参数为p的几何分布，取值为1，2，…，即Y1，Y2独立同分布于P{Y1=k}=(1一p)p-1.p，k=1，2，…，则X=Y1+Y2为第2次成功出现时的试验次数，取值为2，3，…，故=(k一1)p2(1一p)k-2=Ck-11p2(1一p)k-2，则X=Y1+Y2～Nb(2，p)．(2)令，Yi(i=1，2)服从参数为的几何分布且相互独立，重复试验直到成功两次为止的试验次数X=Y1+Y2，所以EX=E(Y1+Y2)=EY1+EY2=DX=D(Y1+Y2)=DY1+DY2=知识点解析：暂无解析37、设(X，Y)的概率密度为求的数学期望．标准答案：知识点解析：暂无解析38、对三台仪器进行检验，每台仪器产生故障的概率分别为p1，p2，p3，各台仪器是否产生故障相互独立，求产生故障的仪器台数X的数学期望和方差．标准答案：设Xi=i=1，2，3．Xi的分布律如下：，i=1，2，3．于是EXi=pi，DXi=pi(1一pi)，i=1，2，3．故EX==p1+p2+p3，DX==p1(1一p1)+p2(1一p2)+p3(1一p3)．知识点解析：暂无解析39、设连续型随机变量X的所有可能取值在区间[a，b]之内，证明：(1)a≤EX≤b；(2)标准答案：(1)因为a≤X≤b，所以Ea≤EX≤Eb，即a≤EX≤b．(2)因为对于任意的常数C，有DX≤E[(X—C)2]，知识点解析：暂无解析40、一商店经销某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布．商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值．标准答案：设T为一周内所得利润，则ET=E[g(X，Y)]=∫-∞+∞∫-∞+∞g(x，y)f(x，y)dxdy，其中知识点解析：暂无解析41、设X，Y，Z是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是1，求X—y和y—Z的相关系数．标准答案：Cov(X—Y，Y—Z)=Cov(X，Y)一Cov(X，Z)一Cov(Y，Y)+Cov(Y，Z)=一DY=一1，D(X—Y)=D(Y—Z)=2．所以X—Y与Y—Z的相关系数为知识点解析：暂无解析42、设二维随机变量(X，y)的概率密度为求：(1)方差D(XY)；(2)协方差Cov(3X+Y，X一2Y)．标准答案：(1)D(XY)=E(X2Y2)一[E(XY)]2，(2)Cov(3X+Y，X一2Y)=3DX一5Cov(X，Y)一2DY=3DX一5E(XY)+5EXEY一2DY．(X，Y)关于X的边缘概率密度同理可得，EY=EX，DY=DX．于是Cov(3X+Y，X一2Y)=知识点解析：暂无解析43、若随机变量序列X1，X2，…，Xn满足条件证明：{Xn}服从大数定律．标准答案：由切比雪夫不等式，对任意的ε＞0有所以对任意的ε＞0，故{Xn}服从大数定律．知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、下列事件中与A互不相容的事件是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于与任何一个事件A都相互不相容，即综上分析，选项D正确。2、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则()A、P(C)≤P(A)+P(B)一1B、P(C)≥P(A)+P(B)一1C、P(C)=P(AB)D、P(C)=P(A∪B)标准答案：B知识点解析：由题设条件可知CAB，于是根据概率的性质、加法公式，有P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)一P(A∪B)≥P(A)+P(B)一1。故B正确。3、设A、B、C三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是()A、A与BC独立B、AB与A∪C独立C、AB与AC独立D、A∪B与A∪C独立标准答案：A知识点解析：经观察，即可知由选项A能够推得所需条件。事实上，若A与BC独立，则有P(ABC)=P(A)P(BC)。而由题设知P(BC)=P(B)P(C)。从而P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。故选A。4、假设F(x)是随机变量X的分布函数，则下列结论不正确的是()A、如果F(a)=0，则对任意x≤0有F(x)=0B、如果F(a)=1，则对任意x≥n有F(x)=1C、如果F(a)=，则P{x≤a}=D、如果F(a)=，则P{X≥a}=标准答案：D知识点解析：由于F(x)是单调不减且0≤F(x)≤1，F(x)=P{X≤x}，因此选项A、B、C都成立，而选项D未必成立，因此选D。5、设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，其分布函数为F(x)，则有()A、F(μ+x)+F(μ一x)=1B、F(x+μ)+r(x一μ)=1C、F(μ+x)+F(μ一x)=0D、F(x+μ)+F(x一μ)=0标准答案：A知识点解析：6、设随机变量X和Y独立同分布，已知P{X=k}=p(1一p)k—1，k=1，2，…，0＜p＜1，则P{X＞Y}的值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据对称性得知故选项B正确。7、设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且其方差σ2＞0，令Y=则()A、Cov(X1，Y)=B、Cov(X1，Y)=σ2C、D(X1+Y)=σ2D、D(X1—Y)=σ2标准答案：A知识点解析：因为Cov(X1，Y)=Cov(X1，Cov(X1，X1)+Cov(X1，Xi)。而由X1，X2，…，Xn相互独立，可得Cov(X1，Xi)=0，i=2，3，…，n。所以Coy(X1，Y)=Cov(X1，X1)=D(X1)=σ2，故选A。8、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于()A、一1B、0C、D、1标准答案：A知识点解析：根据题意，Y=n—X，故ρXY=一1。应选A。一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足|ρXY|≤1。若Y=aX+b(a，b为常数)，则当a＞0时，ρXY=1，当a＜0时，ρXY=一1。9、设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且D(Xi)=1，i=1，2，…，n，则对任意ε＞0，根据切比雪夫不等式直接可得()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由题意知E(Xi)=0，i=1，2，…，n。记根据切比雪夫不等式，有故选C。10、设总体X—N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn为取自总体X的简单随机样本，一为样本均值，S2为样本方差，则()A、E(一S2)=μ2一σ2B、E(+S2)=μ2+σ2C、E(—S2)=μ一σ2D、E(—S2)=μ+σ2标准答案：C知识点解析：由X～N(μ，σ2)，得=μ，E(S2)=σ2，且和S2相互独立。故E(—S2)=E()一E(S2)=μ一σ2。11、设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其均值和方差分别为，S2，则可以作出服从自由度为n的χ2分布的随机变量是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于总体x—N(μ，σ2)，故各选项的第二项～χ2(n一1)，又与S2独立，根据χ2分布可加性，仅需确定服从χ2(1)分布的随机变量。因为～N(0，1)，～χ2(1)。故选D。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)12、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=________。标准答案：知识点解析：由题设，有由于A和B相互独立，所以A与与B也相互独立，于是由，有即P(A)[1一P(B)]=[1一P(A)]P(B)，可得P(A)=P(B)。从而解得P(A)=。13、已知事件A、B仅发生一个的概率为0．3，且P(A)+P(B)=0．5，则A，B至少有一个不发生的概率为________。标准答案：0.9知识点解析：由题设互斥，所以=P(A)+P(B)一2P(AB)=0．3。P(A)+P(B)=0．5，于是解得P(AB)=0．1，所以所求的概率为=1一P(AB)=1—0．1=0．9。14、已知随机变量Y服从[0，5]上的均匀分布，则关于x的一元二次方程4x2+4Yx+Y+2=0有实根的概率P=________。标准答案：知识点解析：已知所以所求的概率为p=P{方程有实根}=P{△≥0}=P{16Y2—16(Y+2)≥0}=P{16(Y一2)(Y+1)≥0}=P{(Y≥2)∪(Y≤一1)}=P{Y≥2}+P{Y≤一1}15、已知X的概率密度f(x)=，aX+b～N(0，1)(a＞0)，则常数A=________，a=________，b=________。标准答案：知识点解析：f(x)=，故X～N(一1，2)，所以16、已知(X，Y)的概率分布为且P{X+Y2=1}=0．5，则P{X2Y2=1}=________。标准答案：0.3知识点解析：由于0．1+0．2+α+β+0．1+0．2=0．6+α+β=1，即α+β=0．4，又0．5=P{X2+Y2=1}=P{X2=0，Y2=1}+P{X2=1，Y2=0}=P{X=0，Y=1}+P{X=0，Y=一1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1+0．1。故α=0．3，β=0．1。那么P{X2Y2=1}=P{X2=1，Y2=1}=P{X=1，Y=1}+P{X=1，Y=一1}=0．2+β=0．3。17、设(X，Y)～N(μ，μ;σ2，σ2；0)，则P{X＜Y}=________。标准答案：知识点解析：因为(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，所以X—l，～N(0，2σ2)，从而P{X＜Y}=P{X—Y＜0}=。18、某车间生产的圆盘其直径服从区间(a，b)上的均匀分布，则圆盘面积的数学期望为________。标准答案：知识点解析：设圆盘直径为X，其概率密度为设圆盘面积为Y，所以19、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1服从区间[0，6]上的均匀分布，X2服从正态分布N(0，22)，X3服从参数为3的泊松分布，则D(X1一2X2+3X3)=________。标准答案：46知识点解析：根据题设可知，D(X1)==3，D(X2)=22=4，D(X3)=3，于是D(X1—2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)20、甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。标准答案：设甲、乙两艘船到达的时间分别为x，y，并把(x，y)视为直角坐标系里的一个点的坐标，则x，y满足条件0≤x≤24，0≤y≤24。所以总的基本事件数为坐标系中边长为24的正方形的面积，如图3—1—4所示。用事件A表示“两艘船中任何一艘都不需要等候码头空出”，则x，y满足不等式y一x≥1，x一y≥2。则上述不等式组表示的区域为图中阴影部分的面积，即事件A的基本事件数。容易求得正方形面积为S=242，阴影部分面积为s=×222+×232，根据几何概型，可得知识点解析：暂无解析21、设连续型随机变量X的分布函数F(x)=求：(Ⅰ)A和B；(Ⅱ)X的概率密度f(x)。标准答案：(Ⅰ)因X是连续型随机变量，所以分布函数F(x)连续，故F(一a一0)=F(一a)，且F(a+0)=F(a)，即A一=0，且A+=1，解得A=(Ⅱ)f(x)=F’(x)=知识点解析：暂无解析22、设随机变量X的概率密度为f(x)=令随机变量(Ⅰ)求Y的分布函数；(Ⅱ)求概率P{X≤Y}。标准答案：(Ⅰ)根据题意可知随机变量Y的取值区间为[1，2]，Y的分布函数为F(y)=P{Y≤y}。当Y＜1时，F(y)=0；当y≥2时，F(y)=1；当1＜y＜2时，F(y)=P{Y≤y}=P{y≤1}+P{1＜Y≤y}=P{X≥2}+P{1＜X≤y}所以Y的分布函数为(Ⅱ)根据概率的性质，可得P{X≤Y}=1一P{X＞Y}=1一P{X≥2}=1一知识点解析：暂无解析23、设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0＜p＜1)，且中途下车与否相互独立。Y为中途下车的人数，求：(Ⅰ)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；(Ⅱ)二维随机变量(X，Y)的概率分布。标准答案：(Ⅰ)P{Y=m|X=n}=Cnmpm(1一p)n—m，0≤m≤n，n=0，1，2，…。(Ⅱ)P|X=n，Y=m}=P{X=n}P{Y=m|X=n}=e—λ．Cnmpm(1一P)n—m，0≤m≤n，n=0，1，2，…。知识点解析：暂无解析24、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=(Ⅰ)计算两个边缘概率密度；(Ⅱ)求条件概率密度fY|X(y|x=2)；(Ⅲ)求条件概率P{Y≤1}X≤1}。标准答案：(Ⅰ)当x≤0时，fX(x)=0;当x＞0时，fX(x)=∫x+∞e—ydy=e—x，即当y≤0时，fY(y)=0；当y＞0时，fY(y)=∫0ye—ydx=ye—y，即(Ⅱ)fY|X(y|x=2)=(Ⅲ)X≤1，Y≤1所对应的区域如图3—3—3所示：知识点解析：暂无解析25、设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求：(Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)；(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。标准答案：根据X与Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出U、V的概率密度。(Ⅰ)分布函数法。根据题设知(X，Y)联合概率密度f(x，y)=fX(x)fY(y)=所以U=XY的分布函数为(如图3—3—9所示)FU(u)=P{XY≤u}=(1)当u≤0时，FU(u)=0；当u≥1时，FU(u)=1；(2)当0＜u＜1时，FU(u)=∫0udx∫01dy+∫u1dxdy=u+∫u1dx=u—ulnu。综上得(Ⅱ)公式法。设Z=X—Y=X+(一Y)。其中X与(一Y)独立，概率密度分别为根据卷积公式得Z的概率密度fZ(z)=∫—∞+∞fX(z—y)f—Y(y)dy=∫—10fX(z—y)dyV=|X—Y|=|Z|的分布函数为FV(υ)=P{|Z|≤υ}，可得当υ≤0时，FV(υ)=0；当υ＞0时，FV(υ)=P{一υ≤Z≤υ}=∫—υufZ(z)dz。由此知，当0＜υ＜1时，FV(υ)=∫—υ0(z+1)dz+∫0ufZ(1一z)dz=2υ一υ2；当υ≥1时，FV(υ)=∫—υ—1fZ0dz+∫—10fZ(z+1)dz+∫01(1一z)dz+∫100dz=lFV(υ)=∫—υ—10dz+∫—10(z+1)dz+∫01(一z)dz+∫1υ0dz=1。综上可得知识点解析：暂无解析26、某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现在从中随机抽取一件，记试求：(Ⅰ)随机变量X1与X2的联合分布；(Ⅱ)随机变量X1和X2的相关系数ρ。标准答案：(Ⅰ)(X1，X2)是二维离散型随机变量，其可能的取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)。当(X1，X2)=(0，0)时，说明随机抽取的一件不是一等品，也不是二等品，则必为三等品，故F{X1=0，X2=0}=P{X3=1}=0．1。类似地P{X1=0，X2=1}=P{X2=1}=0．1，P{X1=1，X2=0}=P{X1=1}=0．8，P{X1=1，X2=1}==0，故X1与X2的联合分布：(Ⅱ)由(Ⅰ)知，X1和X2的边缘分布均为0—1分布。由0—1分布的期望和方差公式得E(X1)=P{X1=1}=0．8，D(X1)=P{X1=1}P{X1=0}=0．8×0．2=0．16，E(X2)=P{X2=1}=0．1，D(X2)=P{X2=1}P{X2=0}=0．1×0．9=0．09，E(X1X2)=0×0×0．1+0×1×0．1+1×0×0．8+1×1×0=0，Cov(X1，X2)=E(X1X2)一E(X1)E(X2)=一0．08，则相关系数知识点解析：暂无解析27、设总体X～N(0，σ2)，参数σ＞0未知，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本(n＞1)，令估计量标准答案：(Ⅰ)因为X1，X2，…，Xn相互独立且与总体X同分布，所以E(Xi)=0，D(Xi)=σ2，E(Xi2)=σ2，(Ⅱ)根据抽样分布有关结论知再由χ2分布随机变量的方差公式有：Y～χ2(n)，则D(Y)=2n。所以知识点解析：暂无解析28、设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，σ2)与N(μ，2σ2))，其中σ是未知参数且σ＞0，设Z=X一Y。(Ⅰ)求Z的概率密度f(z；σ2)；(Ⅱ)设Z1，Z2，…，Zn为来自总体Z的简单随机样本，求σ2的最大似然估计量标准答案：(Ⅰ)因为X～N(μ，σ2)，Y～N(μ，2σ2)，且X与Y相互独立，故Z=X—Y～N(0，3σ2)。所以，Z的概率密度为解得最大似然估计值为，最大似然估计量为知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第5套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，令p＝P(X≤μ－4)，q＝P(Y≥μ＋5)，则()．A、P＞qB、P＜qC、p＝qD、p，q的大小由μ的取值确定标准答案：C知识点解析：由p＝P(X≤μ－4)＝P(X－μ≤－4)＝P，q＝P(Y≥μ＋5)＝P(Y－μ≥5)＝P，得p＝q，选(C)．2、设X为随机变量，E(X)＝μ，D(X)＝σ2，则对任意常数C有()．A、E[(X－C)]2＝E[(X－μ)]2B、E[(X－C)]2≥E[(X－μ)]2C、E[(X—C)]2＝E(X2)－C2D、E[(X—C)2]＜E[(X－μ)2]标准答案：B知识点解析：E[(X～C)2]一E[(X－μ)2]＝[E(X2)一2CE(X)＋C2]－[E(X2)－2μE(X)＋μ2]＝C2＋2E(X)[E(X)－C]－[E(X)]2＝[C－E(X)]2≥0，选(B)．3、设X，Y都服从标准正态分布，则()．A、X＋Y服从正态分布B、X2×Y2服从χ2分布C、X2，Y2都服从χ2分布D、X2／Y2服从F分布标准答案：C知识点解析：因为X，Y不一定相互独立，所以X＋Y不一定服从正态分布，同理(B)，(D)也不对，选(C)．4、设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(x)为偶函数，X的分布函数为F(x)，则对任意实数a，有()．A、F(－a)＝1－∫0af(x)dxB、F(－a)＝－∫0af(x)dxC、F(－a)＝F(a)D、F(－a)＝2F(a)－1标准答案：B知识点解析：F(－a)＝∫－∞－af(x)dx∫a＋∞f(－t)dt＝∫a＋∞f(t)dt＝1－∫－∞af(t)dt＝1－(∫－∞－af(t)dt＋∫－aaf(t)dt)＝1－F(－a)－2∫0af(t)dt则F(－a)＝－∫0af(x)dx，选(B)．5、设X和Y分别表示扔n次硬币出现正面和反面的次数，则X，Y的相关系数为()．A、－1B、0C、D、1标准答案：A知识点解析：设正面出现的概率为P，则X～B(n，p)，Y＝n—X～B(n，1－p)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，E(Y)＝n(1－p)，D(Y)＝np(1－p)，Coy(X，Y)＝Cov(X，n－X)＝Cov(X，n)＝Cov(X，X)，因为Cov(X，n)＝E(nX)－E(n)E(X)＝nE(X)－nE(X)＝0，Cov(X，X)＝D(X)＝np(1－p)，所以ρXY＝＝－1，选(A)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)6、设事件A，B相互独立，P(A)＝0．3，且P(A＋)＝0．7，则P(B)＝______．标准答案：知识点解析：7、设随机变量X～N(μ，σ2)，且方程x2＋4x＋X＝0无实根的概率为，则μ＝______．标准答案：4知识点解析：因为方程x2＋4x＋X＝0无实根，所以16－4X＜0，即X＞4．由X～N(μ，σ2)且P(X＞4)＝，得μ＝4．8、设X～P(1)，Y～P(2)，且X，Y相互独立，则P(X＋Y＝2)＝______．标准答案：知识点解析：P(X＋Y＝2)＝P(X＝0，Y＝2)＋P(X＝1，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)，由X，Y相互独立得P(X＋Y＝2)＝P(X＝0)P(Y＝2)＋P(X＝1)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)9、设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1～U[0，6]，X2～N(0，23)，X3～P(3)，记Y＝X1－2X2＋3X3，则D(Y)＝______．标准答案：46知识点解析：由D(X1)＝＝3，D(X2)＝4，D(X3)＝3得D(Y)＝D(X1－2X2＋3X3)＝D(X1)＋4D(X2)＋9D(X3)＝3＋16＋27＝46．10、设随机变量X方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{｜X－E(X)｜≥2}≤______．标准答案：知识点解析：P{｜X－E(X)｜≥2}≤．11、设X为总体，(X1，X2，…，Xn)为来自总体X的样本，且总体的方差DX＝σ2，令S02＝，则E(S02)＝______．标准答案：σ2知识点解析：E(S02)＝σ2．12、三次独立试验中A发生的概率不变，若A至少发生一次的概率为，则一次试验中A发生的概率为______．标准答案：知识点解析：设一次试验中A发生的概率为p，B＝{三次试验中A至少发生一次}，则P(B)＝，又P(B)＝1－＝1－(1－p)3，所以有1－(1－P)3＝解得p＝，即第一次试验中A发生的概率为．13、设随机变量X与Y的相关系数为，且E(X)＝0，E(Y)＝1，E(X2)＝4，E(Y2)＝10，则E(X＋Y)2＝______．标准答案：18知识点解析：D(X)＝E(X2)＝[E(X)]2＝4，D(Y)＝E(Y2)－[E(Y)]2＝9，Cov(X，Y)＝ρXY＝2，D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2Cov(X，Y)＝4＋9＋4＝17，则E(X＋Y)2＝D(X＋Y)＋[E(X＋Y)]2＝17＋1＝18．14、设X～N(1，σ2)，Y～N(2，σ2)为两个相互独立的总体，X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn分别为来自两个总体的简单样本，服从______分布．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)15、一批产品有10个正品2个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率．标准答案：令A1＝{第一次抽取正品}，A2＝{第一次抽取次品}，B＝{第二次抽取次品}，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＝知识点解析：暂无解析16、设X～N(0，1)，Y＝X2，求Y的概率密度函数．标准答案：FY(y)＝P(Y≤y)＝P(X2