考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷3（共232题）

考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷3（共8套）（共232题）考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设f(x)在x=0的某邻域内连续，在x=0处可导，且f(0)=0。φ(x)=则φ(x)在x=0处()A、不连续。B、连续但不可导。C、可导但φ’(x)在x=0处不连续。D、可导且φ’(x)在x=0处连续。标准答案：D知识点解析：因为所以φ(x)在x=0处连续。故φ’(x)在x=0连续。故选D。2、设f(x)在[a，b]可导，f(a)=，则()A、f＋’(a)=0。B、f＋’(a)≥0。C、f＋’(a)＜0。D、f＋’(a)≤0。标准答案：D知识点解析：由f(x)在[a，b]上可导可知，f＋’(a)=。显然，x一a＞0，又f(a)=≤0，从而有≤0，再由极限的局部保号性可知，≤0，即f＋’(0)≤0，故选D。3、设f(x)可导且f’(x0)=，则当△x→0时，f(x)在x0点处的微分dy是()A、与△x等价的无穷小。B、与△x同阶的无穷小。C、比△x低阶的无穷小。D、比△x高阶的无穷小。标准答案：B知识点解析：由f(x)在x0点处可导及微分的定义可知dy=f’(x0)△x=△x，于是，即当△x→0时，dy与△x是同阶的无穷小，故选B。4、设f(x)=(x一a)(x一b)(x一c)(x一d)，其中a，b，c，d互不相等，且f’(k)=(k一a)(k一b)(k一c)，则k的值等于()A、a。B、b。C、c。D、d。标准答案：D知识点解析：由题设条件得f’(x)=(x一b)(x一c)(x一d)+(x一a)(x一c)(x—d)+(x一a)(x一b)(x一d)+(x一a)(x一b)(x一c)，且已知f’(k)=(k一a)(k一b)(k一c)，故k=d。5、设f(x)=x2(x一1)(x一2)，则f’(x)的零点个数为()A、0。B、1。C、2。D、3。标准答案：D知识点解析：容易验证f(0)=f(1)=f(2)=0，因此由罗尔定理知至少有ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使f’(ξ1)=f’(ξ2)=0成立，所以f’(x)至少有两个零点。又f’(x)中含有因子x，因此可知x=0也是f’(x)的零点，因此选D。6、设区间[0，4]上y=f(x)的导函数的图形如图1—2一1所示，则f(x)()A、在[0，2]单调上升且为凸的，在[2，4]单调下降且为凹的。B、在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凹的，[2，4]是凸的。C、在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凸的，[2，4]是凹的。D、在[0，2]单调上升且为凹的，在[2，4]单调下降且为凸的。标准答案：B知识点解析：当x∈(0，1)或(3，4)时，f’(x)＜0，那么f(x)在[0，1]，[3，4]单调下降。当x∈(1，3)时f’(x)＞0，那么f(x)在[1，3]单调上升。又f’(x)在[0，2]单调上升，那么f(x)在[0，2]是凹的；f’(x)在[2，4]单调下降，那么f(x)在[2，4]是凸的。故选B。7、设f(x)=｜x(1一x)｜，则()A、x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点。B、x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。C、x=0是f(x)的极值点，且(0，0)是曲线y=f(x)的拐点。D、x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点。标准答案：C知识点解析：一般情况下，讨论分段函数的极值点和拐点，主要考虑分段点处。因此，本题只需讨论x=0两边f’(x)，f’’(x)的符号。可以选择区间(一1，1)来讨论。可见f’(x)在x=0两边异号，因此(0，0)是极值点；f’’(x)在x=0两边异号，所以(0，0)也是曲线的拐点。故选C。8、函数f(x)在x=a的某邻域内有定义，且设=一1，则在x=a处()A、f(x)的导数存在，且f’(0)≠0。B、f(x)取得极大值。C、f(x)取得极小值。D、f(x)的导数不存在。标准答案：B知识点解析：利用赋值法求解。取f(x)一f(a)=一(x一a)2，显然满足题设条件，而此时f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点x=a处取得极大值，故选B。9、曲线y=1一x+()A、既有垂直又有水平与斜渐近线。B、仅有垂直渐近线。C、只有垂直与水平渐近线。D、只有垂直与斜渐近线。标准答案：A知识点解析：函数y的定义域为(一∞，一3)∪[0，+∞)，且只有间断点x=一3，又=+∞，所以x=一3是曲线的垂直渐近线。x＞0时，因此y=一2x+是曲线的斜渐近线(x→一∞)。故选A。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)10、设y=(1＋sinx)x，则dy｜x=π=__________。标准答案：一πdx知识点解析：运用等价转换y=(1+sinx)x=exln(1＋sinx)，于是y’=exln(1＋sinx)．[ln(1+sinx)+x．]，因此dy｜x=π=y’(π)dx=一πdx。11、∫0xsin(x－t)2=__________。标准答案：sinx2知识点解析：令x一t=μ，则=sinx2。12、设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则=__________。标准答案：1知识点解析：将x=0代入原方程可得y=0。方程x2一y+1=ey两端同时对x求导，有(*)将x=0，y=0代入上式，可得=0。式(*)再次对x求导得13、已知=_________。标准答案：－2知识点解析：由题干可知，14、设函数y=，则y(n)(0)=________。标准答案：知识点解析：本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解。易归纳证得y(n)(x)=，故y(n)(0)=。15、曲线上对应于t=1点处的法线方程为_________。标准答案：y+x一=0知识点解析：当t=1时，，=1，由此可得法线的斜率为一1，因此可得法线方程为16、设y=y(x)是由方程2y3一2y2+2xy一x2=1确定的，则y=y(x)的极值点是_________。标准答案：x=1知识点解析：方程两边对x求导，可得y’(3y2一2y+x)=x一y(*)令y’=0，有x=y，代入2y3一2y2+2xy一x2=1中，可得(x一1)(2x2+x+1)=0，那么x=1是唯一的驻点。下面判断x=1是否是极值点：对(*)式求导得y’’(3y2一2y+x)+y’(3y2一2y+x)’x=1一y’。把x=y=1，y’(1)=0代入上式，得y’’(1)=＞0。故y(x)只有极值点为x=1，且它是极小值点。17、曲线y=的水平渐近线方程为_________。标准答案：y=知识点解析：直接利用曲线的水平渐近线的定义求解。由于因此曲线的水平渐近线为y=。18、曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是________。标准答案：(一1，0)知识点解析：将y’=2x+1，y’’=2代入曲率计算公式，有整理得(2x+1)2=1，解得x=0或一1。又x＜0，所以x=一1，此时y=0，故该点坐标为(一1，0)。三、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)19、设函数y=f(x)由参数方程所确定，其中ψ(t)具有二阶导数，且ψ(1)=，ψ’(1)=6，已知，求函数ψ(t)。标准答案：=t2+t3+C2。又已知ψ(1)=，可得C2=0，因此ψ(t)=t2+t3(t＞一1)。知识点解析：暂无解析设奇函数f(x)在[一1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：20、存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；标准答案：令F(x)=f(x)一x，则F’(x)=f’(x)一1，且F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)一1=0，由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)=1。知识点解析：暂无解析21、存在η∈(一1，1)，使得f’’(η)+f’(η)=1。标准答案：令G(x)=ex[f’(x)一1]，由(I)知，存在ξ∈(0，1)，使G(ξ)=0，又因为f(x)为奇函数，故f’(x)为偶函数，知G(－ξ)=0，则存在η∈(一ξ，ξ)(一1，1)，使得G’(η)=0，即eη[f’(η)一1]+eηf’’(η)=0，即f’’(η)+f’(η)=1知识点解析：暂无解析22、设e＜a＜b＜e2，证明ln2b—ln2a＞(b一a)。标准答案：设φ(x)=ln2x一，则φ’(x)=，φ’’(x)=，所以当x＞e时，φ’’(x)＜0，因此φ’(x)单调减少，从而当e＜x＜e2时，φ’(x)＞φ’(e2)==0，即当e＜x＜e2时，φ(x)单调增加。因此当e＜x＜e2时，φ(b)＞φ(a)(e＜a＜b＜e2)，即故ln2b一ln2a＞(b一a)。知识点解析：暂无解析23、设函数y=y(x)由参数方程确定，求y=y(x)的极值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。标准答案：已知。令=0，得t=±1。当t=1时，；当t=一1时，x=一1，y=1。令。列表如下由此可知，函数y(x)的极大值为y(一1)=1，极小值为；曲线y=y(x)凹区间为；曲线y=y(x)的拐点为。知识点解析：暂无解析24、证明：xln+cosx≥1+，一1＜x＜1。标准答案：令f(x)=，可得故f’(x)≥0，而f(0)=0，即得当一1＜x＜0时，有＞1，所以一sinx≤0，故f’(x)≤0，所以当1≤x≤0时，f(x)≥f(0)，即得知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设函数f(x)与g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：①若f(x)＞g(x)，则f’(x)＞g’(x)；②若f’(x)＞g’(x)，则f(x)＞g(x)．则()A、①，②都正确B、①，②都不正确C、①正确，但②不正确D、②正确，但①不正确标准答案：B知识点解析：考虑f(x)=e-x与g(x)=一e-x，显然f(x)＞g(x)，但f’(x)=一e-x，g’(x)=e-x，f’(x)＜g’(x)，①不正确．将f(x)与g(x)交换可说明②不正确．2、两曲线与y=ax2+b在点处相切，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因两曲线相切于点故相交于该点．将x=2，代入y=ax2+b中得又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以得故3、关于函数y=f(x)在点x0的以下结论正确的是()A、若f’(x0)=0，则f(x0)必是一极值B、若f"(x0)=0，则点(x0，f(x0))必是曲线y=f(x)的拐点C、若极限存在(n为正整数)，则f(x)在x0点可导，且有D、若f(x)在x0处可微，则f(x)在x0的某邻域内有界标准答案：D知识点解析：(A)不一定，反例：f(x)=x3，f’(0)=0，但=0是非极值点；(B)不一定，需加条件：f"(x)在x0点两侧异号；(C)项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不充分的．4、设函数则f(x)在x=0处()A、不连续B、连续，但不可导C、可导，但导数不连续D、可导，且导数连续标准答案：C知识点解析：由知则不存在．5、设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，若使F(x)在x=0处可导，则必有()A、f(0)=0B、f’(0)=0C、f(0)+f’(0)=0D、f(0)一f’(0)=0标准答案：A知识点解析：由于同理，要求F’+(0)=F’-(0)，可得(A)．6、设a为常数，则f(x)在区间(一∞，+∞)内的零点个数情况为()A、当a＞0时f(x)无零点，当a≤0时f(x)恰有一个零点B、当a＞0时f(x)恰有两个零点，当a≤0时f(x)无零点C、当a＞0时f(x)恰有两个零点，当a≤0时f(x)恰有一个零点D、当a＞0时f(x)恰有一个零点，当a≤0时f(x)无零点标准答案：D知识点解析：本题考查一元函数微分学的应用，讨论函数的零点问题．令由于e-x＞0，故g(x)与f(x)的零点完全一样，又当且仅当x=0时等号成立，故g(x)严格单调递增，所以g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．当a＞0时，f(一co)＜0，f(+∞)＞0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，所以f(x)恰有一个零点．当a≤0时，f(x)无零点．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是6m／s，问在2s末扰动水面面积的增大率为___________m2／s．标准答案：144π知识点解析：设在t时刻最外圈波的半径为r(t)，扰动水面面积为s(t)，则s(t)=πr2(t)，故s’(t)=2πr(t)r’(t)，由题知r’(t)=6，r(t)=6t，所以s’(2)=2πr(2)．6=144π(m2／s)．8、p(x)为二次三项式，要使得ex=p(x)+o(x2)(x→0)，则p(x)=_________．标准答案：知识点解析：设p(x)=ax2+bx+c，由题意知，当x→0时，ex一p(x)=o(x2)，由于ex=1+x++o(x2)于是ex-p(x)=(1-c)+(1-b)x++o(x2)故有1一c=0，1一b=0，即b=1．c=1．于是9、设则标准答案：0知识点解析：因为所以10、设函数y=y(x)由方程ex+y+cosxy=0确定，则标准答案：知识点解析：方程两边同时对x求导，得解得11、设则标准答案：知识点解析：故三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)12、设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．标准答案：令F(x)=f(x)g(x)，在x=a处利用泰勒公式展开，有F(x)=F(a)+F’(a)(x一a)+F"(ξ)(x一a)2(a＜ξ＜x)．①令x=b，代入式①，得F(b)=F(a)+F’(a)(b一a)+F"(ξ)(b一a)2(a＜ξ＜b)．②因f(a)=f(b)=g(a)=0，则F(a)=F(b)=0，且F’(a)=0，代入式②，得F"(ξ)=0，即f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．知识点解析：暂无解析13、若x＞一1，证明：当0＜α＜1时，有(1+x)α<1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+αx．标准答案：令f(x)=(1+x)α则有f’(x)=α(1+x)α-1，f"(x)=α(α一1)(1+x)α-2，由f(x)的泰勒展开式可知当x＞-1，0＜α＜1时，α(α一1)＜0，1+ξ＞0，故所以f(x)＜f(0)+f’(0)x，即(1+x)α<1+αx．同理可证当x＞一1，α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+αx．知识点解析：暂无解析设x∈(0，1)，证明：14、(1+x)ln2(1+x)＜x2；标准答案：令φ(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且φ’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ’(0)=0．当x∈(0，1)时，则φ’(x)单调递增．从而φ’(x)＞φ’(0)=0，则φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)2．知识点解析：暂无解析15、标准答案：令x∈(0，1]，则有由(1)得，当x∈(0，1)时，f’(x)＜0，知f(x)单调递减，从而又因为且f(x)单调递减，则所以知识点解析：暂无解析16、求证：当x＞0时，(x2一1)lnx≥(x一1)2．标准答案：设f(x)=(x2一1)lnx一(x一1)2，所以f(1)=0．又因为f’(1)=0，且当0＜x＜1时，f"(x)＜0，知f"(x)单调递减，则f"(x)≥f"(1)=2＞0，从而f’(x)单调递增，故f’(x)＜f’(1)=0，所以f(x)单调递减，知f(x)＞f(1)=0．原式成立．当x≥1时，f"(x)＞0，知f’(x)单调递增，则f’(x)≥f’(1)=0，从而f(x)单调递增，故f(x)≥f(1)=0．原式成立．知识点解析：暂无解析17、证明：其中标准答案：要证成立．即证明令只需证明f(x)≤1．由f(0)=1，只需证设有g(0)=0，且因此，当时，g’(x)＜0，g(x)＜0，即f’(x)＜0，f(x)＜1，得证．知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f"(x)在(一∞，+∞)内有界，证明：f’(x)在(一∞，+∞)内有界．标准答案：存在正常数M0，M2，使得对任意的X∈(一∞，+∞)，恒有|f(x)|≤M0，|f"(x)|≤M2．由泰勒公式，有其中ξ介于x与x+1之间，整理得所以|f’(x)|≤|f(x+1)|+|f(x)|+|f"(ξ)|≤2M0+因此函数f’(x)在(一∞，+∞)内有界．知识点解析：暂无解析19、证明：函数f(x)在x0处可导的充要条件是存在一个关于△x的线性函数L(△x)=a△x，使标准答案：必要性若f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处可微，由可微的定义知，f(x0+△x)一f(x0)=α△x+o(△x)(其中α为常数)，取L(△x)=α△x，则充分性若存在L(△x)=α△x(其中α为常数)使则故有f(x0+△x)一f(x0)一L(△x)=o(△x)．即f(x0+△x)一f(x0)=α△x+o(△x)，所以f(x)在点x0处可导．知识点解析：暂无解析已知f(x)二阶可导，且f(x)＞0，f(x)f"(x)一[f'(x)]2≥0(x∈R)，证明：20、f(x1)f(x2)≥标准答案：记g(x)=lnf(x)，则故即知识点解析：暂无解析21、若f(0)=1，则f(x)≥ef’(0)x．标准答案：由泰勒展开式，有即f(x)≥ef’(0)x．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0．试证明：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．标准答案：方法一用拉格朗日中值定理．当a=0时，等号成立．当a＞0时，因f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理，所以存在ξ1∈(0，a)，ξ0∈(b，a+b)，ξ1＜ξ2，使得|f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)]=af’(ξ2)一af’(ξ1)．因为f’(x)在(0，c)内单调递减，所以f’(ξ2)≤f’(ξ1)，于是[f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)]≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．方法二用函数的单调性．将f(a+b)一f(b)一f(a)中的b改写为x，构造辅助函数F(x)=f(a+x)一f(x)一f(a)，x∈[0，b]，显然F(0)=0，又因为f’(x)在(0，c)内单调递减，所以F’(x)=f’(a+x)一f’(x)≤0，于是有F(b)≤F(0)=0，即f(a+b)一f(b)一f(a)≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．知识点解析：暂无解析23、证明：当x＞0时，有标准答案：方法一用拉格朗日中值定理．函数f(t)=lnt在[x，1+x]上满足拉格朗日中值定理，所以存在ξ∈(x，1+x)，使得因为0于是有即方法二用函数的单调性．令因为所以F(x)在(0，+∞)上单调递减，又因此对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即知识点解析：暂无解析24、证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+nb＞asina+2cosa+πa．标准答案：令F(x)=xsinx+2cosx+πx，只需证明F(x)在(0，π)上单调递增．F’(x)=sinx+xcosx一2sinx+π=π+xcosx—sinx，由此式很难确定F’(x)在(0，π)上的符号，为此再求二阶导，有F"(x)=一xsinx＜0，x∈(0，π)，即函数F’(x)在(0，π)上单调递减，又F’(π)=0，所以F’(x)＞0，x∈(0，π)，于是F(b)＞F(a)，即bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．知识点解析：暂无解析25、证明：当x＞0时，不等式成立．标准答案：构造辅助函数则f(0)=0，且由题设条件很难确定的符号，但是所以从而，当x＞0时，即知识点解析：暂无解析26、证明：当时，不等式成立．标准答案：当而cosx≤0，所以不等式成立．当时，构造辅助函数则上式中，当时，但是2xcosx—2sinx+x3的符号无法直接确定．为此，令g(x)=2xcosx一2sinx+x3，则g(0)=0，且g’(x)=x2+2x(x—sinx)＞0，所以，当时，g(x)=2xcosx一2sinx+x3＞0．从而，当时，又所以，当时，即知识点解析：暂无解析27、若函数f(x)在(0，+∞)上有定义，在x=1处可导，且对于任意的正数a，b总有f(ab)=f(a)+f(b)，证明：f(x)在(0，+∞)上处处可导，且标准答案：由于f(ab)=f(a)+f(b)，令a=b一1，则f(1)=0．于是即对于任意的正数x，在f(ab)=f(a)+f(b)中，取a=x，ab=x+△，也就是取于是这就证明了f(x)在(0，+∞)上处处可导，且有知识点解析：暂无解析设f(x)在x0处n阶可导，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n一1)，f(n)(x0)≠0(n≥2)，证明：28、当n为偶数且f(n)(x0)＜0时，f(x)在x0处取得极大值；标准答案：n为偶数，令n=2k，构造极限当f(2k)(x0)＜0时，由极限保号性可得即f(x)＜f(x0)，故x0为极大值点；知识点解析：暂无解析29、当n为偶数且f(n)(x0)＞0时，f(x)在x0处取得极小值．标准答案：当f(2k)(x0)＞0时，由极限保号性可得即f(x)＞f(x0)，故x0为极小值点．知识点解析：暂无解析30、设f(x)在x0处n阶可导，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n一1)，f(n)(x0)≠0(n＞2)，证明：当n为奇数时，(x0，f(x0))为拐点．标准答案：n为奇数，令n=2k+1，构造极限当f(2k+1)(x0)＞0时，则x→x+时，f"(x)＞0；x→x-时，f"(x)＜0，故(x0，f(x0))为拐点．当f(2k+1)(x0)＜0时，同理可得(x0，f(x0))为拐点．知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设f(x)=则f(x)在点x=0处A、极限不存在．B、极限存在但不连续．C、连续但不可导．D、可导．标准答案：C知识点解析：暂无解析2、设f(x)=．则在点x=1处A、不连续．B、连续但不可导．C、可导但导数不连续．D、可导且导数连续．标准答案：B知识点解析：暂无解析3、设f(0)=0．则f(x)在点x=0可导的充要条件为A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析4、若f(1+x)=af(x)总成立，且f’(0)=b．(a，b为非零常数)则f(x)在x=1处A、不可导．B、可导且f’(1)=a．C、可导且f’(1)=b．D、可导且f’(1)=ab．标准答案：D知识点解析：暂无解析5、设函数f(x)在点x=a处可导，则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是：A、f(a)=0且f’(a)=0．B、f(a)=0，且f’(a)≠0．C、f(a)＞0，f’(a)＞0．D、f(a)＜0．且f’(a)＜0．标准答案：B知识点解析：暂无解析6、设f(x)可导，且F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的()条件．A、充分且必要．B、充分非必要．C、必要非充分．D、非充分非必要．标准答案：A知识点解析：暂无解析7、设f(x)的导数在x=a处连续，又=-2．则A、x=a是f(x)的极小值点．B、x=a是f(x)的极大值点．C、(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D、x=a不是f(x)的极值点．标准答案：B知识点解析：暂无解析8、设y=f(x)满足f”(x)+2f’(x)+=0，且f’(x0)=0，则f(x)在A、x0某邻域内单调增加．B、x0某邻域内单调减少．C、x0处取得极小值．D、x0处取极大值．标准答案：D知识点解析：暂无解析9、设f(x)有二阶连续导数．且f’(0)=0,则A、f(0)是f(x)极小值．B、f(0)是f(x)极大值．C、(0，f(0)是曲线y=f(x)的拐点．D、f(0)不是f(x)的极值,(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．标准答案：B知识点解析：暂无解析10、曲线(常数a≠0)(一∞＜x＜+∞)A、没有渐近线．B、只有一条渐近线．C、有两条渐近线．D、是否有渐近线与a有关．标准答案：C知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)11、设f’(3)=2,则标准答案：-3知识点解析：暂无解析12、设f’(a)=b,f(a)=1．则标准答案：eh知识点解析：暂无解析13、设f(x)连续，且f(1+x)一3f(1一x)=8x(1+|x|)则f’(1)=______.标准答案：2知识点解析：暂无解析14、设f’(1)=2，标准答案：一2知识点解析：暂无解析15、设函数y=y(x)由方程ln(x2+y2)=ysinx+x所确定，则标准答案：1知识点解析：暂无解析16、设其中f(x)可导且f’(0)≠0，则标准答案：3知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、已知f’(x)=arctanx2，则标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)=x(x一1)(x一2)…(x一n)．则f’(0)=______，f(n+1)(x)=_______．标准答案：(一1)nn!，(n+1)!知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)20、设y=y(x)由y=tan(x+y)所确定,试求y’.y”．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设函数y=y(x)由方程xsiny—ex+ey=0所确定．求标准答案：一2知识点解析：暂无解析22、设y=y(x)由标准答案：=2(t一1)(t2+1)知识点解析：暂无解析23、设y=y(x)由标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x)=求f(n)(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设y=sin4x+cos4x,求y(n)。标准答案：知识点解析：暂无解析26、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析27、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析28、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析29、在半径为A的球中内接一正网锥．试求圆锥的最大体积，标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设f(x)=｜(x一1)(x一2)2(x一3)2｜，则导数f’(x)不存在的点的个数是()A、0。B、1。C、2。D、3。标准答案：B知识点解析：考查带有绝对值的函数在x0点处是否可导，可以借助如下结论：设f(x)为可导函数，则(1)若f(x0)≠0，且f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x0处可导；(2)若f(x0)=0，且f’(x0)=0，则｜f(x)｜在x0处可导；(3)若f(x0)=0，且f’(x0)≠0，则｜f(x)｜在x0处不可导。设φ(x)=(x一1)(x一2)2(x一3)3，则f(x)=｜φ(x)｜，f’(x)不存在的点就是f(x)不可导的点，根据上述结论可知，使φ(x)=0的点x1=1，x2=2，x3=3可能为不可导点，故只需验证φ’(xi)，i=1，2，3是否为零即可，而φ’(x)=(x一2)2(x一3)3+2(x一1)(x一2)(x一3)3+3(x一1)(x一2)2(x一3)3，显然，φ’(1)≠0，φ’(2)=0，φ’(3)=0，所以只有一个不可导点x=1。故选B。2、设函数f(x)对任意的x均满足等式f(1+x)=af(x)，且有f’(0)=b，其中a，b为非零常数，则()A、f(x)在x=1处不可导。B、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=a。C、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=b。D、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=ab。标准答案：D知识点解析：根据题意，令x=0，则f(1)=af(0)。由导数的定义可知，f’(1)=，且由f’(0)=b可知，=b，故=f’(1)=ab，应选D。3、设f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分必要条件是()A、f(a)=0且f’(a)=0。B、f(a)=0且f’(a)≠0。C、f(a)＞0且f’(a)＞0。D、f(a)＜0且f’(a)＜0。标准答案：B知识点解析：若f(a)≠0，由复合函数求导法则有因此排除C和D。当f(x)在x=a可导，且f(a)≠0时，｜f(x)｜在x=a点可导。当f(a)=0时，上两式分别是｜f(x)｜在x=a点的左、右导数，因此，当f(a)=0时，｜f(x)｜在x=a点不可导的充要条件是上两式不相等，即f’(a)≠0，故选B。4、设函数g(x)可微，h(x)=e1＋g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)等于()A、ln3—1。B、一ln3—1。C、一ln2—1。D、ln2—1。标准答案：C知识点解析：函数h(x)=e1＋g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1＋g(x)g’(x)。在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1＋g(1)g’(1)=2e1＋g(1)，因此得g(1)=一ln2—1，故选C。5、已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=f2(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是()A、n！[f(x)]n＋1。B、n[f(x)]n＋1。C、[f(x)]2n。D、n！[f(x)]2n。标准答案：A知识点解析：由f’(x)=f2(x)可得，f’’(x)=2f(x)f’(x)=2！[f(x)]3。假设f(k)(x)=k！[f(x)]k＋1，则f(k＋1)(x)=(k+1)k！[f(x)]kf’(x)=(k+1)！[f(x)]k＋2，由数学归纳法可知，f(n)(x)=n！[f(x)]n＋1对一切正整数成立。6、周期函数f(x)在(一∞，+∞)内可导，周期为4，又=一1，则y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为()A、。B、0。C、一1。D、一2。标准答案：D知识点解析：因为f(x)在(一∞，+∞)内可导，且f(x)=f(x+4k)，其中k为整数，故有f’(x)=f’(x+4k)。取x=1，k=1，可得f’(1)=f’(5)。又由=一1，可得f’(1)=一2，故选D。7、设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得()A、f(x)在(0，δ)内单调增加。B、f(x)在(一δ，0)内单调减少。C、对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)。D、对任意的x∈(一δ，0)，有f(x)＞f(0)。标准答案：C知识点解析：由导数定义，知f’(0)=＞0。根据极限的保号性，存在δ＞0，使对任意x∈＞0。于是当x∈(一δ，0)时，有f(x)＜f(0)；当x∈(0，δ)时，有f(x)＞f(0)。故选C。8、设y=f(x)是方程y’’一2y’+4y=0的一个解，且f(x0)＞0，f’(x0)=0，则函数f(x)在点x0处()A、取得极大值。B、取得极小值。C、某邻域内单调增加。D、某邻域内单调减少。标准答案：A知识点解析：由f’(x0)=0知，x=x0是函数y=f(x)的驻点。将x=x0代入方程，得y’’(x0)一2y’(x0)+4y(x0)=0。考虑到y’(x0)=f’(x0)=0，y’’(x0)=f’’(x0)，y(x0)=f(x0)＞0，有f’’(x0)=一4f(x0)＜0，由极值的第二判定定理知，f(x)在点x0处取得极大值，故选A。9、设f(x)有二阶连续导数，且f’(0)=0，=1，则()A、f(0)是f(x)的极大值。B、f(0)是f(x)的极小值。C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点。D、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。标准答案：B知识点解析：根据极限的保号性，由=1可知，存在x=0的某邻域，使对任意x∈＞0，即f’’(x)＞0。从而函数f’(x)在该邻域内单调增加。于是当x＜0时，有f’(x)＜f’(0)=0；当x＞0时，f’(x)＞f’(0)=0，由极值的第一判定定理可知，f(x)在x=0处取得极小值。故选B。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)10、设函数f(x)=则f’(x)=___________。标准答案：知识点解析：当x≠0时，11、设f(x)=，则f’(x)=_________。标准答案：(1+3x)e3x知识点解析：先求出函数的表达式，即f(x)==xe3x，于是有f’(x)=e3x+x．e3x．3=(1+3x)e3x。12、设函数y=y(x)由方程y=1一xey确定，则｜x=0=_________。标准答案：一e知识点解析：当x=0时，y=1。在方程两端对x求导，得y’=一ey一xeyy’，整理得y’(1+xey)=一ey，=－e。13、设y=y(x)由方程x=∫1y－xsin2dt所确定，则y’’(0)=________。标准答案：一2π知识点解析：将x=0代入方程x=∫1y－xsin2dt可得y=1，即y(0)=1。在方程两边对x求导，得1=(y’一1)sin2，14、已知f’(ex)=xe－x，且f(1)=0，则f(x)=_________。标准答案：(lnx)2知识点解析：令ex=t，则x=lnt，于是有f’(t)=。对上式两端同时积分得f(x)=＋C。由f(1)=0得C=0，故f(x)=(lnx)2。15、曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为__________。标准答案：y=x一1知识点解析：由题干可知，所求切线的斜率为1。由y’=(lnx)’==1，得x=1，则切点为(1，0)，故所求的切线方程为y—0=1．(x一1)，即y=x一1。16、设曲线y=f(x)与y=x2一x在点(1，0)处有公共的切线，则=_________。标准答案：一2知识点解析：本题主要考查导数的极限表示和曲线在某点的切线的几何意义。17、曲线y=(x一5)x的拐点坐标为_________。标准答案：(一1，一6)知识点解析：由题设，y=，则有x=一1时，y’’=0；x=0时，y’’不存在。在x=一1左右两侧的微小邻域内，y’’异号，在x=0左右微小邻域内y’’＞0，且y(一1)=一6。故曲线的拐点为(一1，一6)。18、曲线y=的过原点的切线是_________。标准答案：x+25y=0与x+y=0知识点解析：显然原点(0，0)不在曲线上，需首先求出切点坐标。设切点为，则y’=，因此切线方程为把(0，0)代入上式，得x0=一3或x0=一15。则斜率分别为所以切线方程为x+25y=0与x+y=0。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)19、设y=f(t)，μ=∫0te－s2ds，μ=g(x)，其中f，g均二阶可导且g’(x)≠0，求。标准答案：由积分上限函数求导法则可得=e－t2，再由复合函数求导法则可得=f’(t)．et2．g’(x)，[f’(t)．et2．g’(x)]=[f’(t)．et2]．g’(x)+f’(t)．et2．g’’(x)=．g’(x)+f’(t)。et2．g’’(x)=e2t2．[f’’(t)+2tf’(t)]．[g’(x)]2+f’(t)et2g’’(x)。知识点解析：暂无解析假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g''(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：20、在开区间(a，b)内g(x)≠0；标准答案：利用反证法。假设存在c∈(a，b)，使得g(c)=0，则根据题意，对g(x)在[a，c]和[c，b]上分别应用罗尔定理，可知存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c，b)，使得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0成立。接着再对g’(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，可知存在ξ3∈(ξ1，ξ2)，使得g’’(ξ3)=0成立，这与题设条件g’’(x)≠0矛盾，因此在开区间(a，b)内g(x)≠0。知识点解析：暂无解析21、在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，。标准答案：构造函数F(x)=f(x)g’(x)一g(x)f’(x)，由题设条件得函数F(x)在区间[a，b]上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足F(a)=F(b)=0根据罗尔定理可知，存在点ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0。即f(ξ)g’’(ξ)一f’’(ξ)g(ξ)=0，因此可得知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。标准答案：构造辅助函数F(x)=f(x)一g(x)，由题设有F(a)=F(b)=0。又f(x)，g(x)在(a，b)内具有相等的最大值，不妨设存在x1≤x2，x1，x2∈(a，b)使得f(x1)=M=。若x1=x2，令c=x1，则F(c)=0。若x1＜x2，因F(x1)=f(x1)一g(x1)≥0，F(x2)=f(x2)一g(x2)≤0，由介值定理知，存在c∈[x1，x2](a，b)，使F(c)=0。在区间[a，c]，[c，b]上分别利用罗尔定理知，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0。再对F’(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，知存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，有F’’(ξ)=0，即f’’(ξ)=g’’(ξ)。知识点解析：暂无解析23、设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f’’(x)＞0，记μn=f(n)，n=1，2，…，又μ1＜μ2，证明μn=+∞。标准答案：对函数f(x)分别在区间[k，k+1](k=1，2，…，n，…)上使用拉格朗日中值定理μ2一μ1=f(2)一f(1)=f’(ξ1)＞0，1＜ξ1＜2，……μn－1一μn－2=f(n一1)一f(n一2)=f’(ξn－2)，n一2＜ξn－2＜n一1，μn一μn－1=f(n)一f(n一1)=f’(ξn－1)，n一1＜ξn－1＜n。因f’’(x)＞0，故f’(x)严格单调增加，即有f’(ξn－1)＞f’(ξn－2)＞…＞f’(ξ2)＞f’(ξ1)=μ2一μ1，则μn=(μn一μn－1)+(μn－1—μn－2)+…+(μ2一μ1)+μ1=f’(ξn－1)+f’(ξn－2)+…+f’(ξ1)+μ1＞f’(ξ1)+f’(ξ1)+…+f’(ξ1)+μ1=(n一1)(μ2一μ1)+μ1，于是有=+∞。知识点解析：暂无解析设f(x)在[a，b]上可导，f'(x)+[f(x)]2－∫axf(t)dt=0，且∫abf(t)dt=0。证明：24、∫axf(t)dt在(a，b)的极大值不能为正，极小值不能为负；标准答案：记F(x)=∫axf(t)dt，假设F(x)在(a，b)内能取到正的极大值，且记该极大值点为x0，于是F’(x0)=0，F(x0)＞0，即f(x0)=0，∫ax0f(t)dt＞0。在方程f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0中令x=x0，得F’’(x0)=∫ax0f(t)dt＞0，故F(x0)应是极小值，这与假设矛盾。所以∫axf(t)dt在(a，b)的极大值不能为正，极小值不能为负。知识点解析：暂无解析25、∫axf(t)dt在(a，b)内恒为零。标准答案：若F(x)在(a，b)内可取正值，由于F(a)=F(b)=0，故F(x)在(a，b)内存在最大值且为正，从而知F(x)在(a，b)内存在正的极大值，与(I)中的结论矛盾，故F(x)在(a，b)内不可能取正值。同理可证F(x)在(a，b)内也不可能取到负值，故F(x)在(a，b)内恒为零。知识点解析：暂无解析26、设a＞1，f(t)=at一at在(一∞，+∞)内的驻点为t(a)。问a为何值时，t(a)最小?并求出最小值。标准答案：令f’(t)=atlna—a=0，解得f(t)的驻点为t(a)=1—。对t(a)关于a求导，可得t’(a)=，令t’(a)＞0，解得a＞ee。则当a＞ee时，t(a)单调递增；当1＜a＜ee时，t(a)单调递减。所以当a=ee时，t(a)最小，且最小值为t(ee)=1一。知识点解析：暂无解析27、设e＜a＜b，证明：a2＜＜b2。标准答案：①要证明＜b2，只需要证明alna＜blnb。设函数f(x)=xlnx。当x＞e时，f’(x)=lnx+1＞0，故f(x)单调递增。又因e＜a＜b，所以f(b)＞f(a)，即alna＜blnb。②要证明。设函数g(x)=。当x＞e时，g’(x)=＜0，故g(x)单调递减。又因e＜a＜b，故g(a)＞g(b)，即。综上所述：当e＜a＜b时，a2＜＜b2。知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设f(χ)在χ＝a处可导，且f(a)≠0，则｜f(χ)｜在χ＝a处()．A、可导B、不可导C、不一定可导D、不连续标准答案：A知识点解析：不妨设f(a)＞0，因为f(χ)在χ＝a处可导，所以f(χ)在χ＝a处连续，于是存在δ＞0，当｜χ－a｜＜δ时，有f(χ)＞0，于是即｜f(χ)｜在χ＝a处可导，同理当f(a)＜0时，｜f(χ)｜在χ＝a处也可导，选A．2、设ξ为f(χ)＝arctanχ在[0，a]上使用微分中值定理的中值，则为()．A、1B、C、D、标准答案：C知识点解析：令f(a)－f(0)＝f′(ξ)a，故选C．3、设f(χ)在χ＝a处二阶可导，则等于()．A、－f〞(a)B、f〞(a)C、2f〞(a)D、f〞(a)标准答案：D知识点解析：故选D．4、设f(χ)在χ＝0处二阶可导，f(0)＝0且＝2，则()．A、f(0)是f(χ)的极大值B、f(0)是f(χ)的极小值C、(0，f(0))是曲线y＝f(χ)的拐点D、f(0)不是f(χ)的极值，(0，f(O))也不是曲线y＝f(χ)的拐点标准答案：B知识点解析：由＝2，得f(0)＋f′(0)＝0，于是f′(0)＝0．再由＝f′(0)＋f〞(0)＝f′(0)＋f〞(0)＝2，得f〞(0)＝2＞0，故f(0)为f(χ)的极小值，选B．5、设f(χ)连续可导，g(χ)连续，且＝0，又f′(χ)＝－2χ2＋∫0χg(χ－t)dt，则()．A、χ＝0为f(χ)的极大值点B、χ＝0为f(χ)的极小值点C、(0，f(0))为y＝f(χ)的拐点D、χ＝0既不是f(χ)极值点，(0，f(0))也不是y＝f(χ)的拐点标准答案：C知识点解析：由∫0χg(χ－t)dt＝∫0χg(t)dt得f′(χ)＝－2χ2＋∫0χg(t)dt，f〞(χ)＝－4χ＋g(χ)，因为＝－4＜0，所以存在δ＞0，当0＜｜χ｜＜δ时，＜0，即当χ∈(－δ，0)时，f〞(χ)＞0；当χ∈(0，δ)时，f〞(χ)＜0，故(0，f(0))为y＝f(χ)的拐点，应选C．6、设f(χ)在χ＝a处的左右导数都存在，则f(χ)在χ＝a处()．A、一定可导B、一定不可导C、不一定连续D、连续标准答案：D知识点解析：因为f(χ)在χ＝a处右可导，所以存在，于是f(χ)＝f(a)，即f(χ)在χ＝a处右连续，同理由f(χ)在χ＝a处左可导，得f(χ)在χ＝a处左连续，故f(χ)在χ＝a处连续，由于左右导数不一定相等，选D．7、f(χ)g(χ)在χ0处可导，则下列说法正确的是()．A、f(χ)，g(χ)在χ0处都可导B、f(χ)在χ0处可导，g(χ)在χ0处不可导C、f(χ)在χ0处不可导，g(χ)在χ0处可导D、f(χ)，g(χ)在χ0处都可能不可导标准答案：D知识点解析：令显然f(χ)，g(χ)在每点都不连续，当然也不可导，但f(χ)g(χ)≡－1在任何一点都可导，选D．8、f(χ)在χ0处可导，则｜f(χ)｜在χ0处()．A、可导B、不可导C、连续但不一定可导D、不连续标准答案：C知识点解析：由f(χ)在χ0处可导得｜f(χ)｜在χ0处连续，但｜f(χ)｜在χ0处不一定可导，如f(χ)＝χ在χ＝0处可导，但｜f(χ)｜＝｜χ｜在χ＝0处不可导，选C．9、设f(χ)为二阶可导的奇函数，且χ＜0时有f〞(χ)＞0，f′(χ)＜0，则当χ＞0时有()．A、f〞(χ)＜0，f′(χ)＜0B、f〞(χ)＞0，f′(χ)＞0C、f〞(χ)＞0，f′(χ)＜0D、f〞(χ)＜0，f′(χ)＞0标准答案：A知识点解析：因为f(χ)为二阶可导的奇函数，所以f(－χ)＝－f(χ)，f′(－χ)＝f′(χ)，f〞(－χ)＝－f〞(χ)，即f′(χ)为偶函数，f〞(χ)为奇函数，故由χ＜0时有f〞(χ)＞0，f′(χ)＜0，得当χ＞0时有f〞(χ)＜0，f′(χ)＜0，选A．10、设f(χ)为单调可微函数，g(χ)与f(χ)互为反函数，且f(2)＝4，f′(2)＝，f′(4)＝6，则g′(4)等于()．A、B、C、D、4标准答案：B知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)11、设f(χ)＝，则f′(χ)＝_______．标准答案：2χ(1＋4χ)e8χ知识点解析：得f′(χ)＝2χe8χ＋8χ2e8χ＝2χ(1＋4χ)e8χ．12、设两曲线y＝χ2＋aχ＋b与－2y＝－1＋χy3在点(－1，1)处相切，则a＝_______，b＝_______．标准答案：3；3．知识点解析：因为两曲线过点(－1，1)，所以b－a＝0，又由y＝χ2＋aχ＋b得＝a－2，再由－2y＝－1＋χy3得，且两曲线在点(－1，1)处相切，则a－2＝1，解得a＝b＝3．13、设函数y＝满足f′(χ)＝arctan，则＝_______．标准答案：知识点解析：14、设f(χ)二阶连续可导，且＝0，f〞(0)＝4，则＝_______．标准答案：e2知识点解析：由＝0得f(0)＝0，f′(0)＝0，则15、设f(χ)在χ＝1处一阶连续可导，且f′(1)＝－2，则＝_______．标准答案：1知识点解析：16、设f(χ)为二阶可导的偶函数，f(0)＝1，f〞(0)＝2且f〞(χ)在χ＝0的邻域内连续，则＝_______．标准答案：1知识点解析：因为f(χ)为偶函数，所以f′(χ)为奇函数，于是f′(0)＝0，又因为f〞(χ)在χ＝0的邻域内连续，所以f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋＋o(χ2)＝1＋χ2＋o(χ2)，于是＝1．17、设f(χ)满足f(χ)＝f(χ＋2)，f(0)＝0，又在(－1，1)内f′(χ)＝｜χ｜，则f()＝_______．标准答案：知识点解析：因为在(－1，1)内f′(χ)＝｜χ｜，所以在(－1，1)内f(χ)＝由f(0)＝0得18、若f(χ)＝2nχ(1－χ)n，记Mn＝f(χ)，则Mn＝_______．标准答案：知识点解析：由f′(χ)＝2n(1－χ)n－2n2χ(1－χ)n－1＝0得χ＝，当χ∈(0，)时，f′(χ)＞0；当χ∈(，1)时，f′(χ)＜0，则χ＝为最大点，三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)19、设χ＝χ(t)由sint－＝0确定，求．标准答案：将t＝0代入sint－＝0得＝0，再由＞0得χ＝1，sint－＝0两边对t求导得cost－＝0，从而＝e＋1，cost－＝0两边再对t求导得将t＝0，χ＝1，＝e＋1代入得＝2e2知识点解析：暂无解析20、设χ3－3χy＋y3＝3确定y为χ的函数，求函数y＝y(χ)的极值点．标准答案：χ3－3χy＋y3＝3两边对χ求导得令＝0得y＝χ2，代入χ3－3χy＋y3＝3得χ＝－1或χ＝，因为－1＞0，所以χ＝－1为极小值点，极小值为y＝1；因为＝－1＜0，所以χ＝为极大值点，极大值为y＝χ＝y2时，≠0，此时y没有极值．知识点解析：暂无解析21、χ＝φ(y)是y＝f(χ)的反函数，f(χ)可导，且f′(χ)＝，f(0)＝3，求φ〞(3)．标准答案：因为φ′(3)＝，而f′(0)＝e，所以φ′(3)＝，f〞(χ)＝(2χ＋1)，f〞(0)＝e，知识点解析：暂无解析22、设f(χ)连续，φ(χ)＝∫01f(χt)dt，且＝A．求φ′(χ)，并讨论φ′(χ)在χ＝0处的连续性．标准答案：当χ≠0时，当χ＝0时，φ(0)＝∫01f(0)dt＝0，所以φ′(χ)在χ＝0处连续．知识点解析：暂无解析23、设函数f(χ)在χ＝1的某邻域内有定义，且满足｜f(χ)－2eχ｜≤(χ－1)2，研究函数f(χ)在χ＝1处的可导性．标准答案：把χ＝1代入不等式中，得f′(1)＝2e．当χ≠1时，不等式两边同除以｜χ－1｜，得知识点解析：暂无解析24、设f(χ)在χ＝0的邻域内二阶连续可导，＝2，求曲线y＝f(χ)在点(0，f(0))处的曲率．标准答案：则y＝f(χ)在点(0，f(0))处的曲率为K＝＝2．知识点解析：暂无解析25、设y＝，求y′．标准答案：当｜χ｜＜1时，y′＝－；当χ＞1时，y′＝1；当χ＜－1时，y′＝－1；由＝0得y在χ＝－1处不连续，故y′(－1)不存在；得y′＋(1)＝1，因为y′－(1)≠y′＋(1)，所以y在χ＝1处不可导，故y′＝知识点解析：暂无解析26、设f(χ)＝，且f〞(0)存在，求a，b，c．标准答案：因为f(χ)在χ＝0处连续，所以c＝0，即由f(χ)在χ＝0处可导，得b＝1，即由f〞(0)存在，得a＝－，即a＝－，b＝1，c＝0．知识点解析：暂无解析27、设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，f()＝1，f(1)＝0．证明：(1)存在η∈(，1)，使得f(η)－η；(2)对任意的k∈(－∞，＋∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)－k[f(ξ)－ξ]＝1．标准答案：(1)令φ(χ)＝f(χ)－χ，φ(χ)在[0，1]上连续，＞0，φ(1)＝－1＜0，由零点定理，存在η∈(，1)，使得φ(η)＝0，即f(η)＝η．(2)设F(χ)＝e－kχφ(χ)，显然F(χ)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)＝F(η)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F′(ξ)＝0，整理得f′(ξ)－k[f(ξ)－ξ]＝1．知识点解析：暂无解析28、设f(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且＝0，又f(2)＝2f(χ)dχ，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)＋f〞(ξ)＝0．标准答案：由＝0，得f(1)＝－1，又所以f′(1)＝0由积分中值定理得f(2)＝2f(χ)dχ＝f(c)，其中c∈[1，]由罗尔定理，存在χ0∈(c，2)(1，2)，使得f′(χ0)＝0．令φ(χ)＝eχf′(χ)，则φ(1)＝φ(χ0)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(1，χ0)(0，2)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝eχ[f′(χ)＋f〞(χ)]且eχ≠0，所以f′(ξ)＋f〞(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析29、设f(χ)在[0，1]上可导，f(0)＝0，｜f′(χ)｜≤｜f(χ)｜．证明：f(χ)≡0，χ[0，1]．标准答案：因为f(χ)在[0，1]上可导，所以f(χ)在[0，1]上连续，从而｜f(χ)｜在[0，1]上连续，故｜f(χ)｜在[0，1]上取到最大值M，即存在χ0∈[0，1]，使得｜f(χ0)｜＝M．当χ0＝0时，则M＝0，所以f(χ)≡0，χ∈[0，1]；当χ0≠0时，M＝｜f(χ0)｜＝｜f(χ0)－f(0)｜＝｜f′(ξ)｜χ0≤，其中ξ∈(0，χ0)，故M＝0，于是f(χ)≡0，χ∈[0，1]．知识点解析：暂无解析30、设f(χ)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)＝f(b)＝1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ－η＝(ea＋eb)[f′(η)＋f(η)]．标准答案：令φ(χ)＝eχf(χ)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得再由f(a)＝f(b)＝1，得＝eη[f′(η)＋f(η)]，从而＝(ea＋eb)eη[f′(η)＋f(η)]，令φ(χ)＝e2χ，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得＝2e2ξ，即2e2ξ＝(ea＋eb)eη[f′(η)＋f(η)]，或2e2ξ－η＝(ea＋eb)[f′(η)＋f(η)]．知识点解析：暂无解析31、设f(χ)二阶可导，f(0)＝f(1)＝0且f(χ)＝－1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)≥8．标准答案：因为f(χ)在[0，1]上二阶可导，所以f(χ)在[0，1]上连续且f(0)＝f(1)＝0，f(χ)＝－1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(χ)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)＝－1，再由费马定理知f′(c)＝0，根据泰勒公式f(0)＝f(c)＋f′(c)(0－c)＋(0－c)2，ξ1∈(0，c)f(1)＝f(c)＋f′(c)(1－c)＋(1－c)2，ξ2∈(c，1)整理得当c∈[0，]时，f〞(ξ1)＝≥8，取ξ＝ξ1；当c∈(，1)时，f〞(ξ2)＝≥8，取ξ＝ξ2．所以存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)≥8．知识点解析：暂无解析32、一质点从时间t＝0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零．证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4．标准答案：设运动规律为S＝S(t)，显然S(0)＝0，S′(0)＝0，S(1)＝1，S′(1)＝0．由泰勒公式两式相减，得S〞(ξ2)－S〞(ξ1)＝－8｜S〞(ξ1)｜＋｜S〞(ξ2)｜≥8．当｜S〞(ξ1)｜≥｜S〞(ξ2)｜时，｜S〞(ξ1)｜≥4；当｜S〞(ξ1)｜＜｜S〞(ξ2)｜时，｜S〞(ξ2)｜≥4．知识点解析：暂无解析33、设f(χ)在[0，1]上二阶可导，且｜f〞(χ)｜≤1(χ∈[0，1])，又f(0)＝f(1)，证明：｜f′(χ)｜≤(χ∈[0，1])．标准答案：由泰勒公式得f(0)＝f(χ)－f′(χ)χ＋f〞(ξ1)χ2，ξ1∈(0，z)，f(1)＝f(χ)＋f′(χ)(1－χ)＋f〞(ξ2)(1－χ)2，ξ2∈(χ，1)，两式相减，得f′(χ)＝．两边取绝对值，再由｜f〞(χ)｜≤1，得知识点解析：暂无解析34、设f(χ)在(－1，1)内二阶连续可导，且f〞(χ)≠0．证明：(1)对(－1，1)内任一点χ≠0，存在唯一的θ(χ)∈(0，1)，使得f(χ)＝f(0)＋f(0)＋χf′(χ)χ]；(2)．标准答案：(1)对任意χ∈(－1，1)，根据微分中值定理，得f(χ)＝f(0)＋χf′[θ(χ)χ]，其中0＜θ(χ)＜1．因为f〞(χ)∈C(－1，1)且f〞(χ)≠0，所以f〞(χ)在(－1，1)内保号，不妨设f〞(χ)＞0，则f′(χ)在(－1，1)内单调增加，又由于χ≠0，所以θ(χ)是唯一的．(2)由泰勒公式，得f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋，其中ξ介于0与χ之间，而f(χ)＝f(0)＋χf′[θ(χ)χ]，所以有令χ→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得知识点解析：暂无解析35、设f(χ)在[a，b]上二阶可导，且f′(a)＝f′(b)＝0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得｜f〞(ξ)｜≥｜f(b)－f(a)｜．标准答案：由泰勒公式得两式相减得f(b)－f(a)＝[f〞(ξ1)－f〞(ξ2)]取绝对值得｜f(b)－f(a)｜≤[｜f〞(ξ1)｜－｜f〞(ξ2)｜](1)当｜f〞(ξ1)｜≥｜f〞(ξ2)｜时，取ξ＝ξ1，则有｜f〞(ξ)｜≥｜f(b)－f(a)｜；(2)当｜f〞(ξ1)｜＜｜f〞(ξ2)｜时，取ξ＝ξ2，则有｜f〞(ξ)｜≥｜f(b)－f(a)｜．知识点解析：暂无解析36、f(χ)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f″′(ξ)＝3．标准答案：由泰勒公式得两式相减得f″′(ξ)＋f″′(ξ)＝6．因为f(χ)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f″′(χ)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f″′(χ)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f″′(ξ1)＋f″′(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](－1，1)，使得f″′(ξ)＝3．知识点解析：暂无解析37、设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(b)－2f＋f(a)＝f〞(ξ)．标准答案：因为f(χ)在(a，b)内二阶可导，所以有两式相加得因为f〞(χ)在(a，b)内连续，所以f〞(χ)在[ξ1，ξ2]上连续，从而f〞(χ)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得＝f〞(ξ)故知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设f(x)在x=0的某邻域内连续，在x=0处可导，且f(0)=0。则φ(x)在x=0处()A、不连续。B、连续但不可导。C、可导但φ’(x)在x=0处不连续。D、可导且φ’(x)在x=0处连续。标准答案：D知识点解析：因为所以φ(x)在x=0处连续。x≠0时，则故φ’(x)在x=0连续。故选D。2、设f(x)=｜x｜sin2x，则使导数存在的最高阶数n=()A、0。B、1。C、2。D、3。标准答案：C知识点解析：因为所以又因为所以从而故f(3)(0)不存在，因此n=2。故选C。3、设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是()A、若存在，则f(0)=0。B、若存在，则f(0)=0。C、若存在，则f’(0)存在。D、若存在，则f’(0)存在。标准答案：D知识点解析：本题主要考查的是导数的极限定义及函数连续与可导的关系。由于已知条件中含有抽象函数，因此本题最简便的方法是用赋值法，可以选取符合题设条件的特殊函数f(x)判断。取特殊函数f(x)=｜x｜，则，但f(x)在x=0不可导。故选D。4、设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=()A、ln3—1。B、一ln3—1。C、一ln2—1。D、ln2—1。标准答案：C知识点解析：函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。故选C。5、设函数f(x)在(一∞，+∞)存在二阶导数，且f(x)=f(一x)，当x＜0时有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，则当x＞0时，有()A、f’(x)＜0，f’’(x)＞0。B、f’(x)＞0，f’’(x)＜0。C、f’(x)＞0，f’’(x)＞0。D、f’(x)＜0，f’’(x)＜0。标准答案：C知识点解析：由f(x)=f(一x)可知，f(x)为偶函数，因可导偶函数的导数是奇函数，可导奇函数的导数是偶函数，即f’(x)为奇函数，f’’(x)为偶函数，因此当x＜0时，有f’(x)＜0，f’’(x)＞0；当x＞0时，有f’(x)＞0，f’’(x)＞0。故选C。6、设函数f(x)在R+上有界且可导，则()A、当f(x)=0时，必有f’(x)=0。B、当f’(x)存在时，必有f’(x)=0C、当f(x)=0时，必有f’(x)=0。D、当f’(x)存在时，必有f’(x)=0。标准答案：B知识点解析：可以用反证法证明选项B是正确的。假设，则由拉格朗日中值定理可知，存在ξ，使得x＜ξ＜2x，所以当x→+∞时，ξ→+∞，有f(2x)一f(x)=f’(ξ)x→+∞(x→+∞)，但这与｜f(2x)一f(x)｜≤｜f(2x)｜+｜f(x)｜≤2M矛盾(｜f(x)｜≤M)。故选B。7、设区间[0，4]上y=f(x)的导函数的图形如图所示，则f(x)()A、在[0，2]单调上升且为凸的，在[2，4]单调下降且为凹的。B、在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凹的，[2，4]是凸的。C、在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凸的，[2，4]是凹的。D、在[0，2]单调上升且为凹的，在[2，4]单调下降且为凸的。标准答案：B知识点解析：当x∈(0，1)或(3，4)时，f’(x)＜0，那么f(x)在[0，1]，[3，4]单调下降。当x∈(1，3)时f’(x)＞0，那么f(x)在[1，3]单调上升。又f’(x)在[0，2]单调上升，那么f(x)在[0，2]是凹的；f’(x)在[2，4]单调下降，那么f(x)在[2，4]是凸的。故选B。8、设常数k＞0，函数在(0，+∞)内零点个数为()A、3。B、2。C、1。D、0。标准答案：B知识点解析：因，令f’(x)=0，得唯一驻点x=e，f(x)在区间(0，e)与(e，+∞)内都具有单调性。又f(e)=k＞0，而因此根据零点存在定理可知，f(x)在(0，e)与(e，+∞)内分别有唯一零点。故选B。9、设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则()A、f(0)是f(x)的极大值。B、f(0)是f(x)的极小值。C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点。D、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。标准答案：C知识点解析：由于f’’(x)=x一[f’(x)]2，该等式右边可导，故f’’(x)可导。在题设等式两端对x求导，得f’’’(x)+2f’(x)f’’(x)=1。令x=0，可得f’’(0)=1。f’’f”(0)=0，由拐点的充分条件可知，(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点。故选C。10、设f(x)有二阶连续导数，且f’(0)=0，则()A、f(0)是f(x)的极大值。B、f(0)是f(x)的极小值。C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点。D、f(x)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。标准答案：B知识点解析：根据极限的保号性，由可知，存在x=0的某邻域，使对任意x∈，都有，即f’’(x)＞0。从而函数f’(x)在该邻域内单调增加。于是当x＜0时，有f’(x)＜f’(0)=0；当x＞0时，f’(x)＞f’(0)=0，由极值的第一判定定理可知，f(x)在x=0处取得极小值。故选B。二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)11、g(x)为奇函数且在x=0处可导，则f’(0)=______。标准答案：2g’(0)知识点解析：由g(x)在x=0处可导可知，g(x)在x=0处连续。又因为g(x)是奇函数，所以g(0)=0。根据导数的定义可得12、已知则y’=______。标准答案：知识点解析：等式两边取对数，则有lny=[lnx+lnsinx+ln(1一ex)]，等式两边分别对x求导，有整理得13、∫0xsin(x一t)2dt=______。标准答案：sinx2知识点解析：令x一t=u，则14、设y=y(x)是由方程xy+ey=x+1确定的隐函数，则=______。标准答案：一3知识点解析：方程两边对x求导可得，y+xy’+y’ey=1，解得再次求导可得2y’+xy’’+y’’ey+(y’)2ey=0，整理得当x=0时，y=0，y’(0)=1，代入(*)得15、设则=______。标准答案：知识点解析：因为则所以16、已知f’(ex)=xe—x，且f(1)=0，则f(x