考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷2（共179题）

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷2（共6套）（共179题）考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、n阶方阵A有n个互不相同特征值是A与对角矩阵相似的A、充分必要条件．B、充分而非必要的条件．C、必要而非充分条件．D、既非充分也非必要条件．标准答案：B知识点解析：当An×n有n个互不相同特征值时．A必相似于对角矩阵，但与对角矩阵相似的矩阵也可能存在重特征值．例如单位矩阵En的特征值为λ1=λ2=…=λn=1，而对任何n阶可逆方阵P，有P4EP=E为对角矩阵．所以(B)正确．2、设A、B都是n阶矩阵，则A与B相似的一个充分条件是A、r(A)=r(B)．B、｜A｜=｜B｜．C、A与B有相同的特征多项式．D、A、B有相同的特征值λ1，…，λn，且λ1，…，λn互不相同．标准答案：D知识点解析：当N阶方阵有N个互不相同特征值时，它必相似于对角矩阵．故在选项(D)的条件下．存在适当的可逆矩阵P、Q，使P-1AP=D，Q-1BQ=D，其中D=diag(λ1，λ2，…，λn)为对角矩阵．故有P-1AP=Q-1BQ，QP-1APQ-1=B，→(PQ)-1A(PQ-1)=B，记矩阵M=PQ-1，则M可逆，且使M-1AM=B，所以在选项(D)的条件下，A与B必相似．3、设n阶矩阵A与B相似，则A、λE-A=λE-B．B、A与B有相同的特征值和特征向量．C、A和B都相似于同一个对角矩阵．D、对任意常数t，tE-A与tE-B都相似．标准答案：D知识点解析：当A与B相似时，有可逆矩阵P，使P-1AP=B，故P-1(tE-A)P=P-1tEP-P-1AP=tE-B，即tE-A与tE-B相似，故选项(D)正确．实际上，若A与B相似，则对任何多项式f，f(A)与f(B)必相似．4、与矩阵D=相似的矩阵是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：A与对角矩阵D相似A的特征值为λ1=λ2=1，λ4=2，且A的对应于2重特征值1的线性无关特征向量的个数为2．后一条件即方程组(E-A)x=0的基础解系含2个向量，即3-r(E-A)=2．或r(E-A)=1，经验证，只有备选项(C)中的矩阵满足上述要求．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、设α1=(1，0，-2)T和α2=(2，3，8)T都是A的属于特征值2的特征向量，又向量β=(0，-3，-10)T，则Aβ=_______.标准答案：(0，-6，-20)T知识点解析：因β=2α1-α2，故β也是A的属于特征值2的特征向量，所以，Aβ=2β=(0，-6，-20)T．6、设4阶矩阵A与B相似，A的特征值为，则行列式｜B-1-E｜=_______．标准答案：24知识点解析：B的特征值为，B-1的特征值为2，3，4，5，B-1-E的特征值为1，2，3，4，由特征值的性质得｜B-1-E｜=1.2.3.4=24．7、设向量α=(1，0，-1)T，矩阵A=ααT，a为常数，n为正整数，则行列式｜aE-An｜=_______．标准答案：a2(a-2n)知识点解析：An=(ααT)(ααT)…(ααT)=α(αTα)…(αTα)αT=2n-1ααT=，aE-An=｜aE-A｜=a[(a-2n-1)2-22(n-1)]=a2(a-2n)8、设可逆方阵A有一个特征值为2，则(A2)-1必有一个特征值为_______．标准答案：知识点解析：A2有特征值有特征值.9、设可逆方阵A有特征值λ，则(A*)2+E必有一个特征值为_______．标准答案：知识点解析：+1，A*有特征值，故(A*)2+E有特征值+1.三、解答题(本题共27题，每题1.0分，共27分。)10、设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且x为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且x为对应的特征向量．标准答案：若λ=0，则有｜0E-A｜=0，即(-1)n｜A｜=0，｜A｜=0，这与A可逆矛盾，故必有λ≠0；由Ax=λx两端右乘A-1，得λA-1x=x，两端同乘，得A-1x=x，故为A-1的一个特征值，且c为对应的特征向量；因A-1=｜A｜A*，代入A*x=x，得A*x=为A*的一个特征值．且x为对应的特征向量．知识点解析：暂无解析11、设3阶方阵A的特征值为2，-1，0，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，若B=A3-2A2+4E，试求B-1的特征值与特征向量．标准答案：B=f(A)，其中f(x)=x3-2x2+4．由Aα1=2α1，两端左乘A，得A2α1=2Aα1，将Aα1=2α1代入，得A2α1=22α1=4α1，类似可得A2α1=23α1=8α1，Bα1=(A3-2A2+4E)α1=A3α1-2A2α1+4α1=23α1-2.22α1+4α1=(23-2.22+4)α1=f(2)α1=4α1，类似可得Bα2=f(-1)α2=α2，Bα3=f(0)α3=4α3，所以，B的特征值为4，1，4，对应特征向量分别为α1，α2，α3．因为α1，α2，α3线性无关，所以矩阵P=[α1，α2，α3]可逆，且有P-1BP=为对角矩阵，两端取逆矩阵，得P-1B-1P=，由此知B-1的特征值为，对应特征向量分别为α1，α2，α3．知识点解析：暂无解析12、已知向量α=(1，k，1)T是A=的伴随矩阵A*的一个特征向量，试求k的值及与α对应的特征值λ．标准答案：已知A*α=λα，两端左乘A，并利用AA*=｜A｜E=4E，得λAα=4α，即，对比两端对应分量得由此解得k=1，λ=1，或k=-2，λ=4．知识点解析：暂无解析13、设3阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为ξ1=，ξ2，ξ3=，又向量β=(1)将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出；(2)求Anβ(n为正整数)．标准答案：(1)设β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3，得线性方程组，解此方程组得x1=2，x2=-2，x3=1，故β=2ξ1-2ξ2+ξ3．(2)Anβ=An(2ξ1-2ξ2+ξ3)=2Anξ1-2Anξ2+Anξ3，由于Aξi=λiξi，Anξi=λinξinξi，i=1，2，3故Anβ=2λ1nξ1-2λ2nξ2+λ3nξ3知识点解析：暂无解析14、设矩阵A=，｜A｜=-1，A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(-1，-1，1)T．求a，b，c和λ0的值．标准答案：已知A*α=λ0α，两端左乘A．并利用AA*=｜A｜E=-E，得-α=λ0Aα，即由此解得λ0=1，b=-3，a=c．再由｜A｜=-1和a=c，有=a-3=-1，a=c=2．因此a=2，b=-3，c=2，λ0=1．知识点解析：暂无解析15、已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量．(1)试确定a，b的值及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵?说明理由．标准答案：(1)由(λE-A)ξ==0．即，解得a=-3，b=0，λ=-1．(2)A=的特征值为λ1=λ2=λ3=-1，但矩阵-E-A=的秩为2，从而与λ=-1对应的线性无关特征向量(即A的线性无关特征向量)只有1个，故A不能相似于对角阵．或用反证法：若A与对角阵D相似，则D的主对线元素就是A的全部特征值，即D=-E，于是若存在可逆矩阵P，使P-1AP=D=-E，则A=P(-E)P-1=-E，这与A≠-E发生矛盾．知识点解析：暂无解析16、设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．标准答案：用反证法：若x1+x2是A的属于特征值λ0的特征向量．则有A(x1+x2)=λ0(x1+x2)，即Ax1+Ax2=λ0x1+λ0x2，因Axi=Aλixi(i=1，2)，得(λ1-λ0)x1+(λ2-λ0)x2=0，由于属于不同特征值的特征向量x1与x2线性无关，得λ1-λ0=0=λ2，λ0，λ1-λ2，这与λ1≠λ2发生矛盾．知识点解析：暂无解析17、设A=有3个线性无关的特征向量，求x与y满足的关系．标准答案：A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1，由题设条件A有3个线性无关特征向量，知A的属于特征值λ1=λ2=1的线性无关特征向量有2个齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系含2个向量3-r(E-A)=2r(E-A)=x+y=0．知识点解析：暂无解析18、设3阶矩阵A的特征值为-1，1，1，对应的特征向量分别为α1=(1，-1，1)T，α2=(1，0，-1)T，α3=(1，2，-4)T，求A100．标准答案：因α1，α2，α3线性无关，故A相似于对角阵，令P=[α1，α2，α3]，则有P-1AP=P-1=PEP-1=E．知识点解析：暂无解析19、设3阶矩阵A与对角阵D=相似，证明：矩阵C=(A-λ1E)(A-λ2E)(A-λ3E)=O．标准答案：由条件知，存在可逆矩阵P，使A=P-1，故同理有知识点解析：暂无解析20、设矩阵A=相似．(1)求a，b的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=B．标准答案：(1)由条件有｜λE-A｜=｜λE-B｜，即(λ-2)[λ2-(3+a)λ+3a-3]=(λ-a)2(λ-6)得a=5，b=6．亦可直接利用特征值的性质，得，解得a=5，b=6．(2)知识点解析：暂无解析21、设A=，问当k取何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP成为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．标准答案：由｜λE-A｜==(λ+1)2(λ-1)=0，得A的全部特征值为λ1=λ2=-1，λ3=1．故A可对角化A的属于2重特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征向量有2个方程组(-E-A)x=0的基础解系含2个向量3-r(-E-A)=2=0．当k=0时，可求出A的对应于特征值-1，-1；1的线性无关特征向量分别可取为α1=(-1，2，0)T，α2=(1，0，2)T，α3=(1，0，1)T，故令P=[α1，α2，α3]=，则有P-1AP=diag(-1，-1，1)．知识点解析：暂无解析22、已知矩阵A=有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的2重特征值．试求可逆矩阵P，使P-1AP成为对角矩阵．标准答案：由r(2E-A)=1，x=2，y=-2；A的特征值为2，2，6．P=，P-1AP=.知识点解析：暂无解析23、下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么?标准答案：(1)是，因该方阵的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3互不相同；(2)因A的特征值为λ1=λ2=λ3=λ4=1，但r(E-A)=2，A的线性无关特征向量只有2个(或用反证法)．知识点解析：暂无解析24、设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使Am=O，证明：A必不相似于对角矩阵．标准答案：可用反证法：设λ为A的任一特征值，x为对应的特征向量，则有Ax=λx，A2x=λAx=λ2x，…，Amx=λmx，困Am=O，x≠0，得λ=0．故A的特征值都是零，因此，若A可相似对角化，即存在可逆矩阵P，使P-1AP=diag(0，0，…，0)=O，则A=POP-1=O，这与A≠0矛盾．知识点解析：暂无解析25、设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A2α线性无关，且满足3Aα-2A2α-A3α=0，令矩阵P=[α，Aα，A2α]，(1)求矩阵B，使AP=PB；(2)证明A相似于对角矩阵．标准答案：(1)AP=A[α，Aα，A2α]=[Aα，A2α，A3α]=[Aα，A2α，3Aα-2A2α]=[α，Aα，A2α]=PB，其中B=.(2)由(1)有AP=PB，因P可逆，得P-1AP=B，即A与B相似，易求出B的特征值为0，1，-3，故A的特征值亦为0，1，-3，A2×3有3个互不相同特征值，因此A相似于对角阵．知识点解析：暂无解析26、设A为3阶矩阵，｜A｜=6，｜A+E｜=｜A-2E｜=｜A+3E｜=0，试判断矩阵(2A)*是否相似于对角矩阵，其中(2A)*是(2A)的伴随矩阵．标准答案：由条件有，｜-E-A｜=(-1)3｜E+A｜=0，｜2E-A｜=(-1)3×｜-2E+A｜=0，｜-3E-A｜=(-1)3｜3E+A｜=0，A有特征值-1，2，-3，从而是A的全部特征值，A-1的全部特征值为而(2A)*=｜2A｜(2A)-1=23｜A｜A-1=24A-1，(2A)*=24A-1的全部特征值为-24，12，-8，因3阶方阵(2A)*有3个互不相同特征值，故(2A)*可相似对角化．知识点解析：暂无解析27、设A、B均为n阶矩阵，且AB=A-B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明：(1)λi≠-1(i=1，2，…，n)；(2)AB=BA；(3)A的特征向量都是B的特征向量；(4)B可相似对角化．标准答案：(1)即证｜-E-A｜≠0，或｜E+A｜≠0或E+A可逆，这可由AB=A-B(A+E)(E-B)=E，A+E可逆，且(A+E)-1=E-B．(2)由(1)的(A+E)-1=E-B，(A+E)(E-B)=(E-B)(A+E)，即A-AB+E-B=A+E-BA-B，AB=BA．(3)设x为A的属于特征值λi的特征向量，则Ax=λix，两端左乘B，并利用BA=AB，得A(Bx)=λi(Bx)，若Bx≠0，则Bx亦为A的属于λi的特征向量，因属于λi的特征子空间是一维的，故存在常数μ，使Bx=μx，因此x也是B的特征向量；若Bx=0，则Bx=0x，x也是B的属于特征值0的特征向量．(4)由条件知A有n个线性无关的特征向量，于是由(3)知B也有n个线性无关的特征向量，故B相似于对角矩阵．知识点解析：暂无解析28、设A=已知线性方程组Ax=β有解但解不唯一．试求：(1)a的值；(2)正交矩阵Q．使QTAQ为对角矩阵．标准答案：a=-2，Q=，Q-1AQ=Q-1AQ=知识点解析：暂无解析29、设矩阵A=，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．标准答案：A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7，A的对应于特征值1的线性无关特征向量可取为η1=(-1，1，0)T，η2=(-1，0，1)T；对应于特征值7的特征向量可取为η3=(1，1，1)T．由A的特征值得A*的特征值为7，7，1，B的特征值为7，7，1，B+2E的特征值为9，9，3，且对应特征向量分别可取为P-1η1=(1，-1，9)T，P-1η2=(-1，-1，1)T，P-1η3=(0，1，1)T，故对应于特征值9的全部特征向量为k1(1，-1，0)T+k2(-1，-1，1)T，对应于特征值3的全部特征向量为k3(0．1，1)T．知识点解析：暂无解析30、设矩阵A=的特征值之和为1，特征值之积为-12(b＞0)．(1)求a、b的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．标准答案：由λ1+λ2+λ3=a+2+(-2)=1，λ1λ2λ3=｜A｜=2(-2a-b2)=-12，解得a=1，b=2．P=，可使P-1AP=.知识点解析：暂无解析31、设矩阵A=可逆，向量α=是矩阵A*的一个特征向量，λ是α对应的特征值．其中A*是A的伴随矩阵．试求a、b和λ的值．标准答案：由A可逆知A*可逆，于是有λ≠0，｜A｜≠0．由题设，有A*α=λα，两端左乘A并利用AA*=｜A｜E，得｜A｜α=λAα，或Aα=，解得a=2，b=1或b=-2，将a=2代人矩阵A得｜A｜=4，于是得，所以，a=2，b=1，λ=1；或a=2，b=-2，λ=4．知识点解析：暂无解析32、设α=(a1，2，…，an)T是Rn中的非零向量，方阵A=ααT．(1)证明：对正整数m．存在常数t．使Am=tm-1A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．标准答案：(1)Am=(ααT)(ααT)…(ααT)=α(αTα)m-1αT=(αTα)m-1(ααT)=(ai2)m-1A=tm-1A，其中t=ai2．(2)A≠O，≤秩(A)=秩(ααT)≤秩(α)=1，秩(A)=1，因实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩，故A只有一个非零特征值，而有n-1重特征值λ1=λ2=…=λn-1=0．设a1≠0，由0E-A→A=，得属于特征值0的特征值可取为：ξ1=．由特征值之和等于A的主对角线元素之和，即0+0+…+0+λn=a12，得λn=ai2=αTα，由Aα=(ααT)α=α(αTα)=αλn=λnα及α≠0，得与λn对应特征向量为α，令P=[ξ1，ξ2，…，ξn-1，α]，则有P-1AP=diag(0，0，…，0，ai2)为对角阵．知识点解析：暂无解析33、设n阶矩阵(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．标准答案：(1)1°当b≠0时，｜λE-A｜==[λ-1-(n-1)b][λ-(1-b)]n-1．故A的特征值为λ1=1+(n-1)n，λ2=…=λn=1-b．对于λ1=1+(n-1)b，设对应的一个特征向量为ξ1，则ξ1=[1+(n-1)b]ξ1解得ξ1=(1，1，…，1)T，所以，属于λ1的全部特征向量为kξ1=k(1，1，…，1)T，其中k为任意非零常数．对于λ2=…=λn=1-b，解齐次线性方程组[(1-b)E-A]x=0，由解得基础解系为ξ2=(1，-1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，-1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，-1)T．故属于λ2=…=λn的全部特征向量为k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k1，k2，…，kn为不全为零的任意常数．2°当b=0时，A=E，A的特征值为λ1=λ2=…=λn=1，任意n维非零列向量均是特征向量．(2)1°当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量，令矩阵P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，则有P-1AP=diag(1+(n-1)b，1-b，…，1-b)．2°当b=0时，A=E，对任意n阶可逆矩阵P，均有P-1AP=E．知识点解析：暂无解析34、设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A的属于特征值6的特征向量．(1)求A的另一特征值和对应的特征向量；(2)求矩阵A．标准答案：(1)因为λ1=λ2=6是A的二重特征值，故A的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个，有题设可得α1，α2，α3一个极大无关组为α1，α2，故α1，α2为A的属于特征值6的线性无关的特征向量．由r(A)=2知｜A｜=0，所以A的另一特征值为λ3=0．设λ3=0对应的特征向量为α=(x1，x2，x3)T，则有αiTα=0(i=1，2)，即解得此方程组的基础解系为α=(-1，1，1)T，即A的属于特征值λ3=0的特征向量为kα=k(-1，1，1)T(k为任意非零常数)．(2)令矩阵P=[α1，α2，α]，则有P-1AP=，所以A=PP-1，计算可得知识点解析：暂无解析35、设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，α3=2α2+3α3(Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；(Ⅱ)求矩阵A的特征值；(Ⅲ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．标准答案：(Ⅰ)由题设条件，有A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)=(α1，α2，α3)所以，B=.(Ⅱ)因为α1，α2，α3是线性无关的三维列向量．可知矩阵C=(α1，α2，α3)可逆，所以由AC=CB，得C-1AC=B，即矩阵A与B相似．由此可得矩阵A与B有相同的特征值．由｜λE-B｜==(λ-1)2(λ-4)=0得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=4．(Ⅲ)对应于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组(E-B)X=0，得基础解系ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-2，0，1)T；对应于λ3=4，解齐次线性方程组(4E-B)x=0，得基础解系ξ3=(0，1，1)T．令矩阵Q=(ξ1，ξ2，ξ3)=则有Q-1BQ=因Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(CQ)-1A(CQ)，记矩阵P=CQ=(α1，α2，α3)=(-α1+α2，-2α1+α3，α2+α3)则有P-1AP=Q-1BQ=diag(1，1，4)，为对角矩阵，故P为所求的可逆矩阵．知识点解析：暂无解析36、设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解，求出矩阵A及(A-E)6．标准答案：A=QAQT=E)QT，从而有(A-E)6=Q(A-E)6QT=()6E．知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第2套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设三阶矩阵A的特征值是0，1，一1，则下列选项中不正确的是()A、矩阵A—E是不可逆矩阵。B、矩阵A+E和对角矩阵相似。C、矩阵A属于1与一1的特征向量相互正交。D、方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成。标准答案：C知识点解析：因为矩阵A的特征值是0，1，一1，所以矩阵A—E的特征值是一1，0，一2。由于λ=0是矩阵A—E的特征值，所以A—E不可逆。故选A。因为矩阵A+E的特征值是1，2，0，矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化。(或由而知A+E可相似对角化)。由矩阵A有一个特征值等于0可知r(A)=2，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=3-2=1个解向量构成。选项C的错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不一定正交。2、已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是()A、AT。B、A2。C、A－1。D、A—E。标准答案：A知识点解析：由于｜λE—AT｜=｜(λE—A)T｜=｜λE—A｜，A与AT有相同的特征多项式，所以A与AT有相同的特征值。由Aα=λα，α≠0可得到A2α=λ2α，A－1α=λ－1α，(A—E)α=(λ—1)α，说明A2、A－1、A—E与A的特征值是不一样的(但A的特征向量也是它们的特征向量)。所以应选A。3、三阶矩阵A的特征值全为零，则必有()A、秩r(A)=0。B、秩r(A)=1。C、秩r(A)=2。D、条件不足，不能确定。标准答案：D知识点解析：考查下列矩阵它们的特征值全是零，而秩分别为0，1，2。所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的。所以应选D。4、已知α=(1，一2，3)T是矩阵A=的特征向量，则()A、a=一2，b=6。B、a=2，b=一6。C、a=2，b=6。D、a=一2，b=一6。标准答案：A知识点解析：设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，按定义有即有所以λ=一4，a=一2，b=6，故应选A。5、设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中①A2；②P－1AP；③AT；④E一A。α肯定是其特征向量的矩阵个数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：B知识点解析：由Aα=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量。又知α必是矩阵E一A属于特征值1一λ的特征向量。关于②和③则不一定成立。这是因为(P－1AP)(P－1α)=P－1Aα=λP－1α，按定义，矩阵P－1AP的特征向量是P－1α。因为P－1α与α不一定共线，因此α不一定是P－1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。线性方程组(λE—A)x=0与(λE一AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量。所以应选B。6、n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的()A、充分必要条件。B、必要而非充分条件。C、充分而非必要条件。D、既非充分也非必要条件。标准答案：B知识点解析：由A～B，即存在可逆矩阵P，使P－1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE一P－1AP｜=｜P－1(λE—A)P｜=｜P－1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE—A｜，即A与B有相同的特征值。但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似。例如虽然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似。所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值。所以应选B。7、设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A～B，则下列命题中①AB～BA；②A2～B2；③AT～BT；④A－1～B－1。正确的个数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：D知识点解析：因A～B，可知存在可逆矩阵P，使得P－1AP=B，于是P－1A2P=B2，PTAT(PT)－1=BT，P－1A－1P=B－1，故A2～B2，AT～BT，A－1～B－1。又由于A可逆，可知A－1(AB)A=BA，即AB～BA。故正确的命题有四个，所以选D。8、已知P－1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是()A、(α1，一α2，α3)。B、(α1，α2+α3，α2—2α3)。C、(α1，α3，α2)。D、(α1+α2，α1一α2，α3)。标准答案：D知识点解析：若P－1AP=，P=(α1，α2，α3)，则有AP=PA，即(Aα1，Aα2，Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，可见αi是矩阵A属于特征值λi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关。若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2一2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2一2α3线性无关，故选项B正确。对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确。故选项C正确。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1一α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误。所以应选D。9、设A为n阶实对称矩阵，则()A、A的n个特征向量两两正交。B、A的n个特征向量组成单位正交向量组。C、对于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=n一k。D、对于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=k。标准答案：C知识点解析：实对称矩阵A必可相似对角化，A的属于k重特征值λ0的线性无关的特征向量必有k个，故r(λ0E—A)=n一k。选项C正确。需要注意的是：实对称矩阵A的特征向量不一定两两正交，但属于不同特征值的特征向量一定正交；n个特征向量不一定是单位正交向量组。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、设矩阵A=的一个特征值为λ1=一3，且A的三个特征值之积为一12，则a=_________；b=________；A的其他特征值为_________。标准答案：1；2或一2；λ2=λ3=2知识点解析：由题意可得｜A｜=一4a—2b2=一12，所以2a＋b2=6。又A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ一2)[λ2一(a一2)λ一6]，而A有特征值一3，所以λ1=一3必是方程λ2一(a—2)λ一6=0的根，故a=1，b=2或一2。由｜λE一A｜=(λ一2)(λ2+λ一6)=(λ一2)2(λ+3)可得矩阵A的另外两个特征值为λ2=λ3=2。11、已知矩阵A=的特征值的和为3，特征值的乘积是一24，则b=_________。标准答案：一3知识点解析：矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，即a+3+(一1)=3，所以a=1。又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有=5b—9=一24，所以b=一3。12、设α=(1，一1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________。标准答案：k(1，一1，1)T。k≠0知识点解析：令B=αβT，则矩阵B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0。那么A=E+B的特征值为a+2，1，1。因为λ=3是矩阵A的特征值，所以a+2=3，即a=1。于是βα=(αβT)α=α(βTα)=2α，即α=(1，一1，1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，也是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。13、设α=(1，一1，a)T是A=的伴随矩阵A*的特征向量，其中r(A*)=3，则a=_________。标准答案：一1知识点解析：α是A*的特征向量，设对应于α的特征值为λ0，则有A*α=λ0α，该等式两端同时左乘A，即得AA*α=｜A｜α=λ0Aα，即展开成方程组的形式为因为r(A*)=3，｜A*｜≠0，因此λ0≠0，根据方程组中的前两个等式，解得a=一1。14、设A是三阶可逆矩阵，A的各行元素之和为k，A*的各行元素之和为m，则｜A｜=_________。标准答案：km知识点解析：由A的各行元素之和为k，A*的各行元素之和为m可知A(1，1，1)T=k(1，1，1)T，A*(1，1，1)T=m(1，1，1)T，在A(1，1，1)T=k(1，1，1)T两边同时左乘A*可得A*A(1，1，1)T=kA*(1，1，1)T，即｜A｜(1，1，1)T=kA*(1，1，1)T=km(1，1，1)T，故｜A｜=km。15、若矩阵A=只有一个线性无关的特征向量，则这个线性无关的特征向量是_________。标准答案：k(1，0，1)T，其中k≠0知识点解析：因A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必是三重的，且r(λE—A)=2。由tr(A)=λ1+λ2+λ3=9可得λ1=λ2=λ3=3。于是3E—A=，显然a≠1。再由(3E—A)x=0的解得特征值λ=3对应的特征向量为(1，0，1)T。故线性无关的特征向量是k(1，0，1)T，其中k≠0。16、已知A=有三个线性无关的特征向量，则x=________。标准答案：0知识点解析：由A的特征方程｜λE—A｜==(λ—1)(λ2一1)=0，可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=一1。因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=1必有两个线性无关的特征向量，因此r(E—A)=3—2=1，根据17、已知Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中αi=(1，2，2)T，α2=(2，一2，1)T，α3=(一2，一1，2)T，则A=_________。标准答案：知识点解析：由Aαi=iαi(i=1，2，3)可知A的特征值为1，2，3。令P=(α1，α2，α3)=，则P－1AP=，所以三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)18、n阶矩阵A=，求A的特征值和特征向量。标准答案：矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜==[λ—1一(n—1)b][λ一(1—b)]n－1，则A的特征值为1+(n一1)b和1—b(n—1重)。①当b=0时，A的特征值是1(n重)，任意n维非零列向量均为A的特征向量。②当b≠0时，对方程组[(1+n一1)bE—A]x=0的系数矩阵作初等行变换得解得上述方程组的基础解系为ξ1=(1，1，1，…，1)T。所以A的属于λ=1+(n一1)b的全部特征向量为kξ1=k(1，1，1，…，1)T，其中k≠0。对方程组[(1—b)E—A]x=0的系数矩阵作初等行变换得解得上述方程组的基础解系为ξ2=(1，一1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，一1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，一1)T，所以A的属于λ=1一b的全部特征向量为k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k2，k3，…，kn是不全为零的常数。知识点解析：暂无解析19、已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关。证明：如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3。标准答案：若α1+α2+α3是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)。又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是有(λ—λ1)α1+(λ一λ2)α2+(λ一λ3)α3=0。因为α1，α2，α3线性无关，故λ－λ1=0，λ一λ2=0，λ—λ3=0，即λ1=λ2=λ3。知识点解析：暂无解析20、已知A=是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量，并求可逆矩阵P使P－1AP=A。标准答案：A的特征多项式为=(λ一2n+1)(λ一n+1)n－1，则A的特征值为λ1=2n一1，λ2=n—1，其中λ2=n一1为n一1重根。当λ1=2n—1时，解齐次方程组(λ1E一A)x=0，对系数矩阵作初等变换，有得到基础解系α1=(1，1，…，1)T。当λ2=n一1时，齐次方程组(λ2E一A)x=0等价于x1+x2+…+xn=0，得到基础解系α2=(一1，1，0，…，0)T，α3=(一1，0，1，…，0)T，…，αn=(一1，0，0，…，1)T，则A的特征向量是k1α1和k2α2+k3α3+…+knαn，其中k1≠0，k2，k3，…，kn不同时为零。知识点解析：暂无解析已知矩阵相似。21、求x与y；标准答案：相似矩阵有相同的特征值，由矩阵B的特征值为2，y，一1可知矩阵A的特征值也为2，y，一1，故｜A｜=2×y×(一1)=一2，且tr(A)=2+0+x=2+y+(一1)，解得y=1，x=0。知识点解析：暂无解析22、求一个满足P－1AP=B的可逆矩阵P。标准答案：A的特征值为λ1=2，λ2=1，λ3=一1。由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得矩阵A的属于特征值λ1=2，λi=1，λ3=一1的特征向量分别为α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，1)T，α3=(0，一1，1)T，令可逆矩阵P=(α1，α2，α3)=，则P－1AP=B。知识点解析：暂无解析23、设矩阵相似，求x，y；并求一个正交矩阵P，使P－1AP=A。标准答案：A与相似，相似矩阵有相同的特征值，故λ=5，λ=一4，λ=y是A的特征值。因为λ=一4是A的特征值，所以｜A+4E｜==9(x一4)=0，解得x=4。又因为相似矩阵的行列式相同，｜A｜==一100，=一20y，所以y=5。当λ=5时，解方程(A一5E)x=0，得两个线性无关的特征向量，将它们正交化、单位化得：当λ=一4时，解方程(A+4E)x=0，得特征向量，单位化得：知识点解析：暂无解析某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn，记成向量。24、求的关系式并写成矩阵形式：；标准答案：由题意得化成矩阵形式为知识点解析：暂无解析25、验证是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；标准答案：因为行列式｜η1，η2｜==5≠0，所以η1，η2线性无关。又Aη1==η1，故η1为A的特征向量，且相应的特征值λ1=1。Aη2=，故η2为A的特征向量，且相应的特征值λ2=。知识点解析：暂无解析26、当。标准答案：知识点解析：暂无解析A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且27、求A的所有特征值与特征向量；标准答案：由，得即特征值λ1=一1，λ2=1对应的特征向量为又由r(A)=2＜3可知，A有一个特征值为0。设λ3=0对应的特征向量为是特征值0对应的特征向量。因此k1α1，k2α2，k3η是依次对应于特征值一1，1，0的特征向量，其中k1，k2，k3为任意非零常数。知识点解析：暂无解析28、求矩阵A。标准答案：令知识点解析：暂无解析29、设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=一1，λ3=0；对应λ1，λ2的特征向量依次为P1=(1，2，2)T，P2=(2，1，一2)T，求A。标准答案：因为A为实对称矩阵，故必存在正交矩阵Q=(q1，q2，q3)，使QTAQ=Q－1AQ=。将对应于特征值λ1、λ2的特征向量单位化，得知识点解析：暂无解析设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。30、验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；标准答案：由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α1，A5α1=α1，故Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=一2α1，即α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。由关系式B=A5一4A3+E及A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2得B的三个特征值为μ1=一2，μ2=l，μ3=1。设α1，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2、α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0。因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即得其基础解系为：。B的全部特征向量为：，其中k1≠0，k2，k3不同时为零。知识点解析：暂无解析31、求矩阵B。标准答案：知识点解析：暂无解析32、29．设A=，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。标准答案：按已知条件，(1，2，1)T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ1，那么知矩阵A的特征值是2，5，一4。对λ=5，由(5E—A)x=0得基础解系α2=(1，一1，1)T。对λ=一4，由(一4E一A)x=0得基础解系α3=(一l，0，1)T。因为A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化α2，α3，即知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第3套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，—2，相应的特征向量依次为α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，—α2)，则P—1AP=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题意得，Aα2=3α2，因此有A(—α2)=3(—α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，—α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理2α3仍是矩阵A属于特征值λ=—2的特征向量。当P—1AP=Λ时，P由A的特征向量所构成，Λ由A的特征值所构成，且P的列向量与Λ对角线上的元素的位置是一一对应的。因为已知矩阵A的特征值是1，3，—2，故对角矩阵Λ对角线上元素应当由1，3，—2构成，因此排除选项B、C。由于2α3是属于λ=—2的特征向量，所以—2在对角矩阵Λ中应当是第2列第2行的元素，排除D，故选A。2、设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。标准答案：B知识点解析：方法一：设k1α1+k2A(α1+α2)=0，由题设条件得(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0，由于α1，α2是属于A的不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，从而所以，α1，A(α1+α2)线性无关k1=k2=0行列式≠0，故选B。方法二：由于(α1，A(α1+α2))=(α1，λ1α1+λ2α2)=(α1，α2)，故α1，A(α1+α2)线性无关，即(α1，A(α1+α2))的秩为2的充要条件为≠0，即λ2≠0，故选B。3、已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα—2A2α，那么矩阵A属于特征值λ=—3的特征向量是()A、αB、Aα+2αC、A2α—AαD、A2α+2Aα—3α标准答案：C知识点解析：由已知A3α+2A2α—3Aα=0，即有(A+3E)(A2α—Aα)=0=O(A2α—Aα)。因为α，Aα，A2α线性无关，那么必有A2α—Aα≠0，所以，A2α—Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，也是矩阵A属于特征值λ=—3的特征向量，故选C。4、已知矩阵A=，则与A相似的矩阵是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：设B选项中的矩阵为B，有E—B=，因此R(E—B)=1，所以矩阵B对应λ=1有两个线性无关的特征向量，B相似于A，故选B。5、已知α1=(—1，1，t，4)T，α2=(—2，1，5，t)T，α3=(t，2，10，1)T分别是四阶方阵A的三个不同的特征值对应的特征向量，则()A、t≠5。B、t≠—4。C、t≠—3。D、t≠—3且t≠—4。标准答案：A知识点解析：因为矩阵的不同特征值对应的特征向量必线性无关，所以R(α1，α2，α3)=3。对矩阵(α1，α2，α3)作初等行变换，即当t≠5时，R(α1，α2，α3)=3，故选A。二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，R(A)=r，则A的全部特征值为_______，行列式｜2E—3A｜=_______。标准答案：λ1=λ2=…=λr=1，λr+1=λr+2=…=λn=0；(—1)r2n—r知识点解析：设λ是矩阵A的任意一个特征值，α是属于λ的特征向量，即Aα=λα。在等式A2=A两边右乘α，得A2α=Aα，也就是λ2α=λα，即(λ2—λ)α=0。因α≠0，故有λ2—λ=0，可得A的特征值λ=0或1。又已知A为实对称矩阵，则必可相似对角化，而A的秩R(A)=r，因此A的特征值为λ1=λ2=…=λr=1，λr+1=λr+2=…=λn=0，进而可知矩阵2E—3A的特征值为μ1=…=μr=2—3×1=—1，μr+1=…=μn=2—3×0=2，故｜2E—3A｜=(—1)r2n—r。7、设3阶矩阵A的特征值分别为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则｜4A—1—E｜=________。标准答案：3知识点解析：由已知条件可得，A—1的特征值为1，，于是4A—1—E的特征值为3，1，1，因此｜4A—1—E｜=3×1×1=3。8、设4阶矩阵A和B相似，如果B*的特征值是1，—1，2，4，则｜A*｜=________。标准答案：—8知识点解析：已知B*的特征值，所以｜B*｜=1×(—1)×2×4=—8，又｜B*｜=｜｜B｜B—1｜=｜B｜4｜B—1｜=｜B｜3=—8，所以｜B｜=—2。又A和B相似，所以｜A｜=｜B｜=—2，于是｜A*｜=｜｜A｜A—1｜=｜A｜4｜A—1｜=｜A｜3=—8。9、设3阶矩阵A=只有一个线性无关的特征向量，则t=________。标准答案：—2知识点解析：由于矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以可知矩阵A有3重特征值，设λ是A的特征值。由矩阵的迹的性质，有3λ=4—2+1，因此得λ=1。于是有解得t=—2。10、已知矩阵A=和对角矩阵相似，则a=________。标准答案：—2知识点解析：因为｜λE—A｜==(λ—2)(λ—3)2，所以矩阵A的特征值为2，3，3。因为矩阵A的特征值有重根，所以有A～Λλ=3有两个线性无关的特征向量(3E—A)x=0有两个线性无关的解(3E—A)=1。那么3E—A=，可见a=—2。三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)11、设A=。求A的特征值与特征向量。标准答案：由｜λE—A｜==(λ+2)2(λ—4)=0，得λ1=λ2=—2，λ3=4。当λ1=λ2=—2时，由(—2E—A)x=0，得λ=—2对应的两个线性无关的特征向量为ξ1=(1，1，0)T，ξ2=(—1，0，1)T，所以A的属于特征值—2的特征向量为k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2不全为0；当λ3=4时，由(4E—A)x=0，得λ=4对应的特征向量为ξ3=(1，1，2)T，所以A的属于特征值4的特征向量为k3ξ3，其中k3不为0。知识点解析：暂无解析12、设α1，α2是矩阵A属于不同特征值的特征向量，证明α1+α2不是矩阵A的特征向量。标准答案：设Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，且λ1≠λ2，假设α1+α2是矩阵A属于特征值μ的特征向量，即A(α1+α2)=μ(α1+α2)。再由A(α1+α2)=Aα1+Aα2=λ1α1+λ2α2得(μ—λ1)α1+(μ—λ2)α2=0。因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以μ—λ1=0，μ—λ2=0μ=λ1=λ2，这与λ1≠λ2相矛盾。所以假设不成立，即α1+α2不是A的特征向量。知识点解析：暂无解析13、设三阶矩阵A满足Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中列向量α1=(1，2，2)T，α2=(2，—2，1)T，α3=(—2，—1，2)T，试求矩阵A。标准答案：由题设条件可得，Aα1=α1，Aα2=2α2，Aα3=3α3，所以α1，α2，α3是矩阵A不同特征值的特征向量，故它们线性无关。利用分块矩阵，则有A(α1，α2，α3)=(α1，2α2，3α3)，因为矩阵(α1，α2，α3)可逆，故A=(α1，2α2，3α3)(α1，α2，α3)—1=知识点解析：本题主要考查的是已知矩阵的特征值和特征向量，反求矩阵。可直接利用概念求解。当然本题还可以利用相似对角化求解，解法如下：因为矩阵A有3个不同的特征值，所以A可相似对角化，即存在一个三阶可逆矩阵P，使得P—1AP=Λ=，P=(α1，α2，α3)，那么A=PΛP—1，进一步求解可得A。设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。14、求矩阵B使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B。标准答案：根据题设有A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)=(α1，α2，α3)。于是B=知识点解析：暂无解析15、求矩阵A的特征值。标准答案：令P1=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P1可逆，且由结论P1—1AP1=B，可知A～B。由B的特征方程｜λE—B｜==(λ—1)2(λ—4)=0得矩阵B的特征值为1，1，4，由相似矩阵的性质可知矩阵A的特征值也是1，1，4。知识点解析：暂无解析16、求可逆矩阵P使得P—1AP为对角矩阵。标准答案：已得知B的特征值分别是1，1，4，于是解(E—B)x=0，得矩阵B属于特征值1的线性无关的特征向量β1=(—1，1，0)T，β2=(—2，0，1)T；解(4E—B)x=0，得矩阵B属于特征值4的特征向量β2=(0，1，1)T。令P2=(β1，β2，β3)，则有P2—1BP2=，将P1—1AP1=B代入可得P2—1P1—1AP1P2=令P=P1P2=(α1，α2，α3)=(—α1+α2，—2α1+α3，α2+α3)，则P—1AP=知识点解析：暂无解析某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由新招收的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn和yn，记成αn=17、求αn+1与αn的关系式，并写成矩阵形式：αn+1=Aαn。标准答案：依题意有知识点解析：暂无解析18、求矩阵A的特征值与特征向量。标准答案：令特征多项式因此，得矩阵A的特征值λ1=1，λ2=当λ=1时，由(E—A)x=0，得基础解系η1=，因此矩阵A属于λ=1的特征向量是k1η1(k1≠0)。当λ==0，得基础解系η2=，因此矩阵A属于λ=的特征向量是k2η2(k2≠0)。知识点解析：暂无解析19、若α0=，求Anα0。标准答案：设x1η1+x2η2=α0，即于是α0=，那么Aα0=。故知识点解析：暂无解析20、设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求矩阵A。标准答案：设A=，有易得a=0，c=1，b=0，e=0，f=0，于是再由R(A)=2，得d=0，因此A=。知识点解析：暂无解析21、设A为三阶矩阵，且Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中α1=(1，2，3)T，α2=(0，1，2)T，α3=(0，0，1)T，求A。标准答案：令P=(α1，α2，α3)=，因为Aαi=iαi(i=1，2，3)，所以知识点解析：暂无解析22、设A=，问a为何值时A能对角化。标准答案：矩阵A的特征多项式｜λE—A｜==(λ—1)(λ—2)[λ—(2a—1)]。(1)当2a—1≠1，2，即a≠1，时，A有3个不同的特征值，故A可对角化；(2)当2a—1=1，即a=1时，A有特征值1(二重)，2。λ=1时，λE—A=E—A=，R(E—A)=2。因此二重特征值1只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化；(3)当2a—1=2，即a=时，A有特征值1，2(二重)，且可知R(2E—A)=2，从而A也不可对角化。故当a≠1，时，A可对角化。知识点解析：暂无解析在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1)。23、求关系式中的矩阵A。标准答案：由题意，人口迁移的规律不变，所以xn+1=xn+qyn—pxn=(1—p)xn+qyn，yn+1=yn+pxn—qyn=pxn+(1—q)yn，用矩阵表示为知识点解析：暂无解析24、设目前农村人口与城镇人口相等，即。标准答案：得A的特征值为λ1=1，λ2=r，其中r=1—P—q。当λ1=1时，解方程(A—E)x=0，得特征向量p1=(q，p)T；当λ2=r时，解方程(A—rE)x=0，得特征向量p2=(—1，1)T。令P=(p1，p2)=，则P—1AP==Λ，A=PΛP—1，An=PΛnP—1，于是知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设三阶矩阵A的特征值为－1，1，2，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(3α2，－α3，2α1)，则P-1AP等于()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：显然3α2，－α3，2α1也是特征值1，2，－1的特征向量，所以P-1AP＝，选C．2、设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则()．A、A，B相似于同一个对角矩阵B、存在正交阵Q，使得QTAQ＝BC、r(A)＝r(B)D、以上都不对标准答案：D知识点解析：显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以选项A，B，C都不对，选D．3、设A是n阶矩阵，下列命题错误的是()．A、若A2＝E，则－1一定是矩阵A的特征值B、若r(E＋A)＜n，则－1一定是矩阵A的特征值C、若矩阵A的各行元素之和为－1，则－1一定是矩阵A的特征值D、若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则－1一定是A的特征值标准答案：A知识点解析：若r(E＋A)＜n．刚｜E＋A｜＝0，于是－1为A的特征值；若A的短行元素之和为－1，则根据特征值特征向量的定义，－1为A的特征值；若A是正交矩阵，则ATA＝E，令AX＝λX(其中X≠0)，则XTAT＝λXT，于是XTATAX＝λ2XTX，即(λ2－1)XTX＝0，而XTX＞0，故λ2＝1，再由特征值之积为负得－1为A的特征值，选A．4、与矩阵A＝相似的矩阵为()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项D中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选D．5、设A为n阶矩阵，下列结论正确的是()．A、矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B、若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C、若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D、若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等标准答案：D知识点解析：暂无解析6、设A，B为n阶可逆矩阵，则()．A、存在可逆矩阵P，使得P-1AP＝BB、存在正交矩阵Q，使得QTAQ＝BC、A，B与同一个对角矩阵相似D、存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B标准答案：D知识点解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B，选D．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)7、设A＝，｜A｜＞0且A*的特征值为－1，－2，2，则a11＋22a＋a33＝_______．标准答案：－2知识点解析：因为｜A*｜＝｜A｜2＝4，且｜A｜＞0，所以｜A｜＝2，又AA*＝｜A｜E＝2E，所以A-1＝A*，从而A-1的特征值为－，－1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则A的特征值为－2，－1，1，于是a11＋a22＋a33＝－2－1＋1＝－2．8、设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝－，λ3＝，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(2α3，－3α1，－α2)，则P-1(A-1＋2E)P＝_______．标准答案：知识点解析：P-1(A-1＋2E)P＝P-1A-1P＋2E．而P-1A-1P＝，所以P-1(A-1＋2E)P＝9、设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，α1，α2，α3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1＋α2)，A2(α1＋α2＋α3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足_______．标准答案：λ2λ3≠0知识点解析：令χ1α1＋χ2A(α1＋α2)＋χ3A2(α1＋α2＋α3)＝0，即(χ1＋λ1χ2＋λ12χ3)α1＋(λ2χ2＋λ22χ3)α2＋λ32χ3α3＝0，则有χ1＋λ1χ2＋λ12χ3＝0，λ2χ2＋λ22χ3＝0，λ32χ3＝0，因为χ1，χ2，χ3只能全为零，所以10、若α1，α2，α3是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aα1＝α1＋α2，Aα2＝α2＋α3，Aα3＝α3＋α1，则｜A｜＝_______．标准答案：2知识点解析：令P＝(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆，由AP＝(Aα1，Aα2，Aα3)＝(α1，α2，α3)得11、设A为三阶实对称矩阵，α1＝(a，－a，1)T是方程组AX＝0的解，α2＝(a，1，1－a)T是方程组(A＋E)X＝0的解，则a＝_______．标准答案：1知识点解析：因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX＝0及(A＋E)X＝0有非零解，所以λ1＝0，λ2＝－1为矩阵A的特征值，α1＝(a，－a，1)T，a2＝(a，1，1－a)T是它们对应的特征向量，所以有α1Tα2＝a2－a＋1－a＝0，解得a＝1．12、设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝_______．标准答案：4知识点解析：由｜λE－A｜＝＝(λ＋1)(λ－1)2＝0得λ1＝1，λ2＝λ3＝1．因为A有三个线性无关的特征向量，所以r(E－A)＝1，解得a＝4．13、设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝_______．标准答案：0知识点解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)＝1，解得a＝0．三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)14、设A为n阶非零矩阵，且A2＝A，r(A)＝r(0＜r＜n)．求｜5E＋A｜．标准答案：因为A2＝AA(E－A)＝Or(A)＋r(E－A)＝nA可以对角化．由A2＝A，得｜A｜.｜E－A｜＝0，所以矩阵A的特征值为λ＝0或1．因为r(A)＝r且0＜r＜n，所以0和1都为A的特征值，且λ＝1为r重特征值，λ＝0为n－λ重特征值，所以5E＋A的特征值为λ＝6(r重)，λ＝5(n－r重)，故｜5E＋A｜＝5n-r×6r．知识点解析：暂无解析15、设A＝相似于对角阵．求：(1)a及可逆阵P，使得P-1AP＝A，其中A为对角阵；(2)A100．标准答案：(1)｜λE－A｜＝0λ1＝λ2＝1，λ3＝－1．因为A相似于对角阵，所以r(E－A)＝1(E－A)X＝0基础解系为ξ1＝(0，1，0)T，ξ2＝(1，0，1)T，(－E－A)X＝0基础解系为ξ3＝(1，2，－1)T，令P＝(ξ1，ξ2，ξ3)，则P-1AP＝diag(1，1，－1)．(2)-1A100＝EA100＝PP-1＝E．知识点解析：暂无解析16、设A＝有三个线性无关的特征向量，且λ＝2为A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．标准答案：因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ＝2的线性无关的特征向量有两个，故r(2E－A)＝1，而2E－A＝所以χ＝2，y＝－2．由｜λE－A｜＝＝(λ－2)2(λ－6)＝0得λ1＝λ2＝2，λ3＝6由(2E－A)X＝0得λ＝2对应的线性无关的特征向量为由(6E－A)X＝0得λ＝6对应的线性无关的特征向量为α3＝令P＝，则有P-1AP＝知识点解析：暂无解析17、设A＝有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2010．标准答案：因为A为上三角矩阵，所以A的特征值λ1＝λ2＝1，λ3＝λ4＝－1．因为A有四个线性无关的特征向量，即A可以对角化，所以有于是a＝0，b＝0．当λ＝1时，(E－A)X＝0得当λ＝－1时，由(－E－A)X＝0得所以P-1A2010P＝E，从而A2010＝E．知识点解析：暂无解析18、设方程组AX＝β有解但不唯一．(1)求a；(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵；(3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．标准答案：(1)因为方程组AX＝β有解但不唯一，所以｜A｜＝0，从而a＝－2或a＝1．当a＝－2时，r(A)＝r()＝2＜3，方程组有无穷多解；当a＝1时，r(A)＝1＜r()，方程组无解，故a＝－2．(2)由｜λE－A｜＝λ(λ＋3)(λ－3)＝0得λ1＝0，λ2＝3，λ3＝－3．由(0E－A)X＝0得λ1＝0对应的线性无关的特征向量为ξ1＝；由(3E－A)X＝0得λ2＝3对应的线性无关的特征向量为ξ2＝；由(－3E－A)X＝0得λ3＝－3对应的线性无关的特征向量为知识点解析：暂无解析19、设矩阵A＝(1)若A有一个特征值为3，求a；(2)求可逆矩阵P，使得PTA2P为对角矩阵．标准答案：(1)｜λE－A｜＝(λ2－1)[λ2－(a＋2)λ＋2a－1]，把λ＝3代入上式得a＝2，于是(2)由｜λE－A2｜＝0得A*的特征值为λ1＝λ2＝λ3＝1，λ4＝9．当λ＝1时，由(E－A2)X＝0得α1＝(1，0，0，0)T，α2＝(0，1，0，0)T，α3＝(0，0，－1，1)T；当λ＝9时，由(9E－A2)X＝0得α4＝(0，0，1，1)T．将α1，α2，α3正交规范化得β1＝(1，0，0，0)T，β2(0，1，0，0)T，β3＝，将α4规范化得β4＝．令P＝(β1，β2，β3，β4)＝，则PTA2P＝知识点解析：暂无解析20、设矩阵A＝可逆，α＝为A*对应的特征向量．(1)求a，b及α对应的A*的特征值；(2)判断A可否对角化．标准答案：(1)显然a也是矩阵A的特征向量，令Aα＝λ1α则有｜A｜＝12，设A的另外两个特征值为λ2，λ3，由得λ2＝λ3＝2．α对应的A*的特征值为＝4．(2)2E－A＝，因为r(2E－A)＝2，所以λ2＝λ3＝2只有一个线性无关的特征向量，故A不可以对角化．知识点解析：暂无解析21、设A为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且Aξ1＝－ξ1＋2ξ2＋2ξ3，Aξ2＝2ξ1－ξ2－2ξ3，Aξ3＝2ξ1－2ξ2－ξ3．(1)求矩阵A的全部特征值；(2)求｜A*＋2E｜．标准答案：(1)A(ξ1，ξ2，ξ3)＝(ξ1，ξ2，ξ3)，因为ξ1，ξ2，ξ3线性无关，所以(ξ1，ξ2，ξ3)可逆，故A～＝B．由｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝(λ＋5)(λ－1)2＝0，得A的特征值为－5，1，1．(2)因为｜A｜＝－5，所以A*的特征值为1，－5，－5，故A*＋2E的特征值为3，－3，－3．从而｜A*＋2E｜＝27．知识点解析：暂无解析22、设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B＝(A*)2－4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．标准答案：设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B＝(A*)2－4E的三个特征值为0，5，32，所以(A*)2的三个特征值为4．9．36，于是的三个特征值为2．3．6．又因为｜A*｜＝36＝｜A｜3-1，所以｜A｜＝6．由，得λ1＝3，λ2＝2，λ3＝1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A-1的特征值为1，．因为A-1的特征值都是单值，所以A-1可以相似对角化．知识点解析：暂无解析23、设A＝的一个特征值为λ1＝2，其对应的特征向量为ξ1＝(1)求常数a，b，c；(2)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．标准答案：(1)由Aξ1＝2ξ1，(2)由｜λE－A＝＝0，得λ1＝λ2＝2，λ3＝－1．由(2E－A)X＝0，得由(－E－A)X＝0，得α3＝显然A可对角化，令P＝则P-1AP＝知识点解析：暂无解析24、设二维非零向量口不是二阶方阵A的特征向量．(1)证明α，Aα线性无关；(2)若A2α＋Aα－6α＝0，求A的特征值，讨论A可否对角化．标准答案：(1)若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α＋k2Aα＝0，可设k2≠0，所以Aα＝－α，矛盾，所以α，Aα线性无关．(2)由A3α＋Aα－6α＝0，得(A2＋A－6E)α＝0，因为α≠0，所以r(A2＋A－6E)＜2，从而｜A2＋A－6E｜＝0，即｜3E＋A｜.｜2E－A｜＝0，则｜3E＋A｜＝0或｜2E－A｜＝0．若｜3E＋A｜≠0，则3E＋A可逆，由(3E＋A)(2E－A)α＝0，得(2E－A)α＝0，即Aα＝2α，矛盾；若｜2E－A｜≠0，则2E－A可逆，由(2E－A)(3E＋A)α＝0，得(3E＋A)α＝0，即Aα＝－3α，矛盾，所以有｜3E＋A｜＝0且｜2E－A｜＝0，于是二阶矩阵A有两个特征值－3，2，故A可对角化．知识点解析：暂无解析25、设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1＝α2＋α3，Aα2＝α1＋α3，Aα3＝α1＋α2．(1)求矩阵A的特征值；(2)判断矩阵A可否对角化．标准答案：(1)因为α1，α2，α3线性无关，所以α1＋α2＋α3≠0，由A(α1＋α2＋α3)＝2(α1＋α2＋α3)，得A的一个特征值为λ1＝2；又由A(α1－α2)＝－(α1－α2)，A(α2－α3)＝－(α2－α3)，得A的另一个特征值为λ2＝－1．因为α1，α2，α3线性无关，所以α1～α2与α2－α3也线性无关，所以λ2＝－1为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，－1，－1．(2)因为α1－α2，α2－α3为属于二重特征值－1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．知识点解析：暂无解析26、设A，B为三阶矩阵，且AB＝A－B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：(1)AB＝BA；(2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角矩阵．标准答案：(1)由AB＝A－B得A－B－AB＋E＝E，(E＋A)(E－B)＝E，即E－B与E＋A互为逆矩阵，于是(E－B)(E＋A)＝E＝(E＋A)(E－B)，故AB＝BA．(2)因为A有三个不同的特征值λ1，λ2，λ3，所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，则有A(ξ1，ξ2，ξ3)＝(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，BA(ξ1，ξ2，ξ3)＝B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，AB(ξ1，ξ2，ξ3)＝B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，于是有ABξi＝λiβξi＝1，2，3．若Bξi≠0，则Bξi是A的属于特征值λi的特征向量，又λi为单根，所以有Bξi＝μiξi；若Bξi＝0，则ξi是B的属于特征值。的特征向量．无论哪种情况，B都可以对角化，而且ξi是B的特征向量，因此，令P＝(ξ1，ξ2，ξ3)，则P-1AP，P-1BP同为对角阵．知识点解析