考研数学二（矩阵）模拟试卷2（共214题）

考研数学二（矩阵）模拟试卷2（共7套）（共214题）考研数学二（矩阵）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的—1倍加到第2列得C，记P=，则()A、C=P—1APB、C=PAP—1C、C=PTAPD、C=PAPT标准答案：B知识点解析：由题意得所以(*)式可以表示为C=PAP—1，故选B。这两道题主要考查的是初等变换与初等矩阵的关系。考生需要注意的是：初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵。2、设A为三阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得到单位矩阵，记P1=，则A=()A、P1P2B、P1—1P2C、P2P1D、P2P1—1标准答案：D知识点解析：由题意B=AP1，P2B=E。从而由P2AP1=E可得A=P2—1P1—1=P2P1—1，故选D。3、设A是三阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，已知A的每行元素之和为k，A*的每行元素之间和为m，则｜A｜=()A、kmB、(—1)nkmC、D、标准答案：A知识点解析：将A的其余各列加到第1列，且利用A的每行元素之和为k，得显然｜A｜和｜B｜的第1列元素的代数余子式是相同的，将｜B｜按第一列展开，得｜A｜=k(B11+B21+…+Bn1)=k(A11+A21+…+An1)。因A11，A21，…，An1也是A*的第一行元素，故A11+A21+…+An1=m，即｜A｜=km，故选A。4、设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则()A、E—A不可逆，E+A不可逆。B、E—A不可逆，E+A可逆。C、E—A可逆，E+A可逆。D、E—A可逆，E+A不可逆。标准答案：C知识点解析：A3=OA3+E=E(A+E)(A2—A+E)=E，所以A+E可逆，A3=OA3—E=—E(E—A)(A2+A+E)=E，所以E—A可逆，故选C。二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)5、已知A=，则An=________。标准答案：(—8)n—1A知识点解析：因为A=，故即A2=—8A，由递推归纳法得An=(—8)n—1A。本题主要考查的是求方阵的幂。若秩R(A)=1，则A可分解为两个矩阵的乘积，且这两个矩阵一个为行矩阵，一个为列矩阵，且有A2=lA，从而An=ln—1A。即A==αβT。那么A2=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=lαβT=lA，其中l=βTα=αTβ=a1b1+a2b2+a3b3=。6、设A=，(A—1)*是A—1的伴随矩阵，则(A—1)*=_________。标准答案：知识点解析：因为A—1.(A—1)*=A—1.A.｜A—1｜=｜A—1｜E，所以有(A—1)*=｜A—1｜A=。已知｜A｜=6，故本题主要考查的是伴随矩阵的计算。由公式A*A=AA*=｜A｜E，得A*=A—1｜A｜，出现逆矩阵的行列式，则｜A—1｜=。7、A2—B2=(A+B)(A—B)的充分必要条件是________。标准答案：AB=BA知识点解析：A2—B2=(A+B)(A—B)=A2+BA—AB—B2的充分必要条件是AB=BA。8、P1=，则P12009P2—1=_______。标准答案：知识点解析：P1==E23，因为Eij—1=Eij，所以Eij2=E，于是P12009P2—1=P1P2—1=9、已知A=，则(A—1)*=_________。标准答案：知识点解析：若A可逆，由A*=｜A｜A—1有(A—1)*=｜A—1｜(A—1)—1=，10、设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=O，则R(A)=________。标准答案：2知识点解析：已知AB=O，因此根据乘积矩阵秩的性质，有R(A)+R(B)≤3，又因为B≠0，所以R(B)≥1，从而有R(A)≤2。显然A有两行不成比例，故R(A)≥2，于是R(A)=2。11、设矩阵A=，则A3的秩为_______。标准答案：1知识点解析：因为所以，A3的秩为1。三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)12、设A，B均为n阶方阵，满足A2=A，B2=B，(A—B)2=A+B，证明：AB=BA=O。标准答案：因为(A—B)2=A2—AB—BA+B2=A+B—(AB+BA)，所以AB+BA=O，(*)用A左乘(*)式得A2B+ABA=O，即有AB=—ABA，用A右乘(*)式得ABA+BA2=D，则有BA=—ABA。故有AB=BA=O。知识点解析：暂无解析13、某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调30％的人参加培训，而参加培训的职工中有60％的人结业回岗，假设现有在岗职工800人，参加培训人员是200人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假设职工人数不变)?标准答案：用xi，yi分别表示i年后在岗与脱产职工的人数，x0，y0为目前在岗与脱产的人数，则所以，两年后在岗职工668人，培训人员332人。知识点解析：暂无解析14、假设A，B均为n阶方阵，且满足AB=A+B，试证明A，B可交换。标准答案：等式AB=A+B等价于AB—A—B+E=E，则有(A—E)(B—E)=E。由此可知，A—E与B—E互为逆矩阵，由逆矩阵的定义可知(A—E)(B—E)=(B—E)(A—E)=E，将以上等式展开可得AB—A—B+E=BA—A—B+E，故AB=BA，即A，B可交换。知识点解析：暂无解析15、设A=，求A—1。标准答案：因AT=A，故(A—1)T=(AT)—1=A—1，即A—1也是对称矩阵，而知识点解析：暂无解析设A是n阶反对称矩阵。16、证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵。标准答案：根据反对称矩阵的定义：AT=—A，则｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(—1)n｜A｜，即[1—(—1)n]｜A｜=0。若n=2k+1，必有｜A｜=0，此时A不可逆。所以A可逆的必要条件是n为偶数。因为AT=—A，则由(A*)T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(—A)*。又因(lA)*=ln—1A*，故当n=2k+1时，有(A*)T=(—1)2kA*=A*，即A*是对称矩阵。知识点解析：暂无解析17、试举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子。标准答案：例如，A=是4阶反对称矩阵，且不可逆。知识点解析：暂无解析18、已知A=，且有AXB=AX+A2B—A2+B，求X。标准答案：由A可逆，方程两边左乘A—1，得XB=X+AB—A+A—1B，X(B—E)=A(B—E)+A—1B。由于B—E也可逆，且有所以有X=A+A—1B(B—E)—1知识点解析：暂无解析19、求A=的秩。标准答案：将矩阵A用初等变换化为行阶梯形矩阵。(1)当a=b=0时，R(B)=0R(A)=0；(2)当a与b至少有一个不为零时①a+3b≠0且a—b≠0时，R(B)=4R(A)=4；②a+3b=0，但a—b≠0时，R(B)=3R(A)=3；③a+3b≠0，但a—b=0时，R(B)=1R(A)=1。知识点解析：暂无解析20、设A=，且A2—AB=E，求B。标准答案：由A2—AB=E，得AB=A2—E，因为A可逆，所以B=A—1(A2—E)=A—A—1，而所以A—1=，于是知识点解析：本题的题目虽然考查的是求解矩阵方程。但求A—1时主要用到初等变换，此类题目的解题步骤一般为：先将矩阵方程转化为AX=B，XA=B，AXB=C三种基本形式之一，则X=A—1B，X=BA—1，X=A—1CB—1，接下来利用初等变换求逆矩阵即可。21、设A是n阶矩阵(n≥2)，证明：R(A*)=标准答案：当R(A)=n时，｜A｜≠0，因为｜A*｜=｜A｜n—1≠0，所以R(A*)=n。当R(A)=n—1时，｜A｜=0，于是A*A=｜A｜E=O，所以R(A*)+R(A)≤n。再由R(A)=n—1，故R(A*)≤1。又因为R(A)=n—1，由矩阵秩的定义，A的最高阶非零子式为n—1阶，即存在Mij≠O，所以Aij=(—1)i+jMij≠0，从而A*≠O，于是R(A*)≥1，故R(A*)=1。当R(A)＜n—1时，因为A的所有n—1阶子式都为零，即所有的Mij=0，所以A*=0，于是R(A*)=0。知识点解析：暂无解析22、设A，B分别为m和n阶可逆矩阵，C为m×n矩阵，求。标准答案：令得AX11+CX21=Em，AX12+CX22=O，BX21=O，BX22=En，于是X11=A—1，X21=O，X22=B—1，X12=—A—1CB—1，故AY11=Em，AY12=O，CY11+BY21=O，CY12+BY22=En，于是有Y11=A—1，Y12=O，Y21=—B—1CA—1，Y=B—1，故知识点解析：本题主要考查的是对逆矩阵的概念与分块矩阵乘法运算的综合应用，因题干所给均为抽象型矩阵，所以通过设未知矩阵，用逆矩阵概念求解矩阵方程，从而求出未知分块矩阵中的元素。设n阶矩阵A和B满足等式AB=aA+bB，其中a和b为非零实数。证明：23、A—bE和B—aE都可逆。标准答案：由AB=aA+bB得到(A—bE)(B—aE)=AB—aA—bB+abE=abE。由于a和b都非0，abE可逆，从而A—bE和B—aE都可逆。知识点解析：暂无解析24、A可逆的充分必要条件是B可逆。标准答案：由AB=aA+bB得，A(B—aE)=bB。由于B—aE可逆，b不为0，那么A可逆(B—aE)可逆bB可逆B可逆。知识点解析：暂无解析25、AB=BA。标准答案：由(A—bE)(B—aE)=abE，得根据逆矩阵的定义，从而有即(B—aE)(A—bE)=abE=(A—bE)(B—aE)，等式两端展开并化简，结合已知条件AB=aA+bB，得AB=BA。知识点解析：暂无解析26、设A，B为n阶可逆阵，证明：(AB)*=B*A*。标准答案：因A，B均为可逆矩阵，则由伴随矩阵及逆矩阵相关公式，有(AB)*=｜AB｜(AB)—1=｜A｜｜B｜B—1A—1=｜B｜B—1.｜A｜A—1=B*A*。知识点解析：暂无解析27、已知A=，矩阵X满足A*X=A—1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，求矩阵X。标准答案：方程两边同时左乘矩阵A，且由公式AA*=｜A｜E，得｜A｜X=E+2AX，即(｜A｜E—2A)X=E，因此X=(｜A｜E—2A)—1。知识点解析：暂无解析28、设A是n阶非零矩阵，且A*=AT，证明：A可逆。标准答案：设A=，不妨设a11≠0，｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n，因为A*==AT，所以aij=Aij，于是｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a112+a122+…+a1n2＞0，故A为可逆矩阵。知识点解析：暂无解析设n阶矩阵A和B满足A+2B=AB。29、证明：A—2E为可逆矩阵，其中E为n阶单位矩阵。标准答案：由A+2B=AB，有AB—2B—A+2E=2E，即(A—2E).=E，根据矩阵可逆的定义，所以矩阵A—2E可逆。知识点解析：暂无解析30、证明：AB=BA。标准答案：由上题知(A—2E)—1=(B—E)。那么(A—2E).(B—E)=(B—E)(A—2E)，即有AB—A—2B+2E=BA—2B—A+2E，故AB=BA。知识点解析：暂无解析31、已知B=，求矩阵A。标准答案：由(A—2E).(B—E)=E知A—2E=，得A=2(B—E)—1+2E。因为所以知识点解析：暂无解析设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵。构造(m+n)阶矩阵32、计算HG和GH。标准答案：利用分块矩阵的乘法原则，可得知识点解析：暂无解析33、证明：｜H｜=｜Em—AB｜=｜En—BA｜。标准答案：由上题中结论，｜HG｜=｜Em｜.｜En—BA｜=｜En—BA｜，｜GH｜=｜Em—AB｜.｜En｜=｜Em—AB｜。又因为｜HG｜=｜H｜｜G｜=｜H｜=｜G｜｜H｜=｜GH｜，所以｜H｜=｜En—BA｜=｜Em—AB｜。知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设A和B都是n阶矩阵，则必有()A、｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。B、AB=BA。C、｜AB｜=｜BA｜。D、(A+B)－1=A－1+B－1。标准答案：C知识点解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜，所以C正确。取B=一A，则｜A+B｜=O，而｜A｜+｜B｜不一定为零，故A错误。由矩阵乘法不满足交换律知，B不正确。因(A+B)(A－1+B－1)≠E，故D也不正确。所以应选C。2、设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是()A、(A+B)(A—B)=A2一B2。B、(A+B)－1=A－1+B－1。C、｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。D、(AB)*=B*A*。标准答案：D知识点解析：根据伴随矩阵的定义可知(AB)*=｜AB｜(AB)－1=｜A｜｜B｜B－1A－1=B*A*，故选D。3、设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=O，则()A、E—A不可逆，E+A不可逆。B、E—A不可逆，E+A可逆。C、E一A可逆，E+A可逆。D、E—A可逆，E+A不可逆。标准答案：C知识点解析：已知(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E。故E—A，E+A均可逆。故应选C。4、设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则①若A可逆，则B可逆；②若B可逆，则A+B可逆；③若A+B可逆，则AB可逆；④A一E恒可逆。上述命题中，正确的个数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：D知识点解析：由AB=A+B，有(A—E)B=A。若A可逆，则｜(A—E)B｜=｜A—E｜×｜B｜=｜A｜≠0，所以｜B｜≠0，即矩阵B可逆，从而命题①正确。同命题①类似，由B可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故命题②正确。因为AB=A+B，若A+B可逆，则有AB可逆，即命题③正确。对于命题④，用分组因式分解，即AB一A一B+E=E，则有(A—E)(B一E)=E，所以得A—E恒可逆，命题④正确。所以应选D。5、设A为n阶可逆矩阵，且n≥2，则(A－1)*=()A、｜A｜A－1。B、｜A｜A。C、｜A－1｜A－1。D、｜A－1｜A。标准答案：D知识点解析：根据伴随矩阵的定义可知(A－1)*=｜A－1｜(A－1)－1=｜A－1｜A，故选D。6、设。P1=，则必有()A、AP1P2=B。B、AP2P1=B。C、P1P2A=B。D、P2P1A=B。标准答案：C知识点解析：由于对矩阵Am×n施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对Am×n作一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵，而经过观察A、B的关系可以看出，矩阵B是矩阵A先把第一行加到第三行上，再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的P2与P1，因此选项C正确。7、设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中不一定成立的是()A、若｜A｜＞0，则｜B｜＞0。B、如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E。C、如果A与E合同，则｜B｜≠0。D、存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B。标准答案：A知识点解析：两个矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相同。当A可逆时，r(A)=n，所以r(B)=n，即B是可逆的，故B－1B=E，选项B正确。矩阵的合同是一种等价关系，若A与E合同，则r(A)=r(E)=n，由选项B可知C项正确。矩阵A，曰等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B，选项D正确。事实上，当｜A｜＞0(即A可逆)时，我们只能得到｜B｜≠0(即B可逆)，故A项不一定成立。8、设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若AB=E，则()A、r(A)=m，r(B)=m。B、r(A)=m，r(B)=n。C、r(A)=n，r(B)=m。D、r(A)=n，r(B)=n。标准答案：A知识点解析：因为AB=E，所以r(AB)=m。又r(AB)=m≤min{r(A)，r(B)}，即r(A)≥m，r(B)≥m，而r(A)≤m，r(B)≤m，所以r(A)=m，r(B)=m。故选A。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)9、设α，β均为三维列向量，βT是β的转置矩阵，如果αβT=，则αTβ=_________。标准答案：5知识点解析：设α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，则αβT=，而αTβ=(a1，a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出αTβ就是矩阵αβT的主对角线元素的和，所以αTβ=1+6+(一2)=5。10、设α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，则A3=________。标准答案：知识点解析：A=αβT==2，且矩阵的乘法满足结合律，所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βTα)βT=4αβT=4A=。11、设方阵A满足A2一A一2E=O，并且A及A+2E都是可逆矩阵，则(A+2E)－1=_______。标准答案：(A一3E)知识点解析：由A2一A一2E=O，可得(A+2E)(A一3E)=一4E，于是有(A+2E)－1(A+2E)(A一3E)=一4(A+2E)－1，因此(A+2E)－1=(A一3E)。12、设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，A=，则(B一2E)－1=________。标准答案：知识点解析：利用已知条件AB=2A+3B，通过移、添加项构造出B一2E，于是有AB一2A一3B+6E=6E，则有(A一3E)(B一2E)=6E。从而(B一2E)－1=。13、设矩阵A的伴随矩阵A*=，则A=________。标准答案：知识点解析：由AA*=｜A｜E可得A=｜A｜(A*)－1，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得｜A*｜=一8=｜A｜3，因此｜A｜=一2，又(A*)－1=。所以A=｜A｜(A*)－1=。14、已知A=，矩阵X满足A*X=A－1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X=________。标准答案：知识点解析：左乘矩阵A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩阵方程，得｜A｜X=E+2AX，移项可得(｜A｜E一2A)X=E，因此X=(｜A｜E一2A)－1。已知｜A｜=4，所以X=(4E一2A)－1=(2E—A)－1=。15、设三阶方阵A，B满足A－1BA=6A+BA，且A=，则B=________。标准答案：知识点解析：将A－1BA=6A+BA变形可得(A－1一E)BA=6A，即B=6(A－1一E)－1。又因为A－1=，所以B=。16、设矩阵A=，则A3的秩为_________。标准答案：1知识点解析：依矩阵乘法直接计算得A3=，故r(A3)=1。17、设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=_________。标准答案：2知识点解析：因为｜B｜==10≠0，所以矩阵B可逆，因此r(AB)=r(A)=2。18、设A=，B是三阶非零矩阵，且AB=O，则a=_________。标准答案：知识点解析：因为AB=O，则有r(A)+r(B)≤3，又已知矩阵B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，则行列式｜A｜=0。而｜A｜==一2(5A一4)，所以a=。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)19、设A=，求An。标准答案：把矩阵A作如下拆分：An=(λE+B)n=Cn0(λE)nB0+Cn1(λE)n－1B+Cn2(λE)n－2B2知识点解析：暂无解析20、已知PA=BP，其中，求A2008。标准答案：｜P｜=6，则矩阵P可逆。由PA=BP可得A=P－1BP，于是A2008=P－1B2008P。B2008==E，所以A2008=P－1P=E。知识点解析：暂无解析21、已知A=，B=PAP－1，求B2016+A4。标准答案：计算可得A4=E，则B2016=PA2016P－1=P(A4)504P－1=E，于是B2016+A4=2E。知识点解析：暂无解析已知A，B是反对称矩阵，证明：22、A2是对称矩阵；标准答案：(A2)T=ATAT=(一A)(一A)=A2，所以A2是对称矩阵。知识点解析：暂无解析23、AB一BA是反对称矩阵。标准答案：(AB—BA)T=BTAT—ATBT=BA—AB=一(AB—BA)，所以AB—BA是反对称矩阵。知识点解析：暂无解析设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：24、若｜A｜=0，则｜A*｜=0；标准答案：(反证法)假设｜A*｜≠0，则有A*(A*)－1=E。又因为AA*=｜A｜E，且｜A｜=0，故A=AE=AA*(A*)－1=｜A｜E(A*)－1=O，所以A*=O。这与｜A*｜≠0矛盾，故当｜A｜=0时，有｜A*｜=0。知识点解析：暂无解析25、｜A*｜=｜A｜n－1。标准答案：由于AA*=｜A｜E，两端同时取行列式得｜A｜｜A*｜=｜A｜n。当｜A｜≠0时，｜A*｜=｜A｜n－1；当｜A｜=0时，｜A*｜=0。综上，有｜A*｜=｜A｜n－1成立。知识点解析：暂无解析26、设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明：(A*)T=(AT)*。标准答案：因为A可逆，所以｜A｜=｜AT｜，且AA－1=E。在AA－1=E两边同时取转置可得(A－1)TAT=E，即(AT)－1=(A－1)T，所以(A*)T=(｜A｜A－1)T=｜A｜(A－1)T=｜AT｜(AT)－1=(AT)*。知识点解析：暂无解析27、已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA－1=BA－1+3E，求B。标准答案：在A*=｜A｜A－1两端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A－1｜=｜A｜3，因为A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A*｜=8，即｜A｜=2。由ABA－1=BA－1+3E移项并提取公因式得，(A—E)BA－1=3E，右乘A得(A—E)B=3A，左乘A－1得(E一A－1)B=3E。由已求结果｜A｜=2，知A－1=，E—A－1=diag(1，1，1，1)一，得(E—A－1)－1=diag(2，2，2，)，因此B=3(E—A－1)－1=diag(6，6，6，一1)。知识点解析：暂无解析28、设A=，问k为何值，可使：(I)r(A)=1；(Ⅱ)r(A)=2；(Ⅲ)r(A)=3。标准答案：对A作初等变换，即A=。(Ⅰ)当k=1时，r(A)=1；(Ⅱ)当k=一2时，r(A)=2；(Ⅲ)当k≠1且k≠一2时，r(A)=3。知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是()A、(A+E)2(A—E)=(A—E)(A+E)2。B、(A+E)—1(A—E)=(A—E)(A+E)—1。C、(A+E)T(A—E)=(A—E)(A+E)T。D、(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。标准答案：C知识点解析：由A与E可交换可得，A+E与A一E可交换，进而(A+E)2与A—E也可交换，故选项A成立。显然，(A—E)(A+E)=(A+E)(A—E)。若在等式两边同时左、右乘(A+E)—1，可得(A+E)—1(A—E)=(A—E)(A+E)—1；若先在等式两边同时左、右乘(A一E)—1，可得(A+E)(A—E)—1=(A—E)—1(A+E)，再在所得的等式两边同时乘以｜A—E｜，即得(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。故选项B、D成立。事实上，只有当ATA=AAT时，(A+E)T(A—E)=(A—E)(A+E)T才成立。而ATA=AAT不一定成立。例如：取，则ATA=，AAT=，可见ATA≠AAT。故选C。2、设A，B均为n阶对称矩阵，则下列说法中不正确的是()A、A+B是对称矩阵。B、AB是对称矩阵。C、A*+B*是对称矩阵。D、A一2B是对称矩阵。标准答案：B知识点解析：由题设条件，则(A+B)T=AT+BT=A+B，(kB)T=kBT=kB，所以有(A一2B)T=AT一(2BT)=A一2B，从而选项A、D是正确的。首先来证明(A*)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等。(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(i，j)位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。而矩阵(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(i，j)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。从而(AT)T=(AT)*=A*，故A*为对称矩阵。同理，B*也为对称矩阵。结合选项A可知，选项C是正确的。因为(AB)T=BTAT=BA，从而选项B不正确。注意：当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。故选B。3、设n阶方阵A，B，C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有()A、ACB=E。B、CBA=E。C、BAC=E。D、BCA=E。标准答案：D知识点解析：由题设ABC=E，可知A(BC)=E或(AB)C=E，即A与BC以及AB与C均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E，比较四个选项，故选D。4、设A=E一2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξξT=1，则①A是对称矩阵；②是单位矩阵；③是正交矩阵；④是可逆矩阵。上述结论中，正确的个数是()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：D知识点解析：AT=(E一2ξξT)T=ET一(2ξξT)T=E—2ξξT=A，①成立。A2=(E一2ξξT)(E一2ξξT)=E一4ξξT+4ξξTξξT=E一4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E，②成立。由①②，得A2=AAT=E，故A是正交矩阵，③成立。由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A—1=AT，④成立。故选D。5、设A是三阶矩阵，其中a11≠0，Aij=aij(i=1，2，3，j=1，2，3)，则｜2AT｜=()A、0。B、2。C、4。D、8。标准答案：D知识点解析：｜2AT｜=23｜AT｜=8｜A｜，且由已知=(A*)T，故A*=AT。又由AA*=AAT=｜A｜E，两边取行列式，得｜AAT｜=｜A｜2=｜A｜E｜=｜A｜3，即｜A｜2(｜A｜—1)=0，又a11≠0，则｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132＞0，所以｜A｜=1，从而｜2AT｜=8。故选D。6、设，那么(P—1)2010A(Q2011)—1=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：P，Q均为初等矩阵，因为P—1=P，且P左乘A相当于互换矩阵A的第一、三行，所以P2010A表示把A的第一、三行互换2010次，从而(P—1)2010A=P2010A=A。又(Q2010)—1=(Q2011)，且Q—1=，而Q—1右乘A相当于把矩阵A的第二列加到第一列相应元素上去，所以A(Q—1)2011表示把矩阵A第二列的2011倍加到第一列相应元素上去。故选B。7、设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则()A、r＞r1。B、r＜r1。C、r=r1。D、r与r1的关系依C而定。标准答案：C知识点解析：因为B=AC=EAC，其中E为m阶单位矩阵，而E与C均可逆，由矩阵等价的定义可知，矩阵B与A等价，从而r(B)=r(A)。故选C。8、设，B是4×2的非零矩阵，且AB=O，则()A、a=1时，B的秩必为2。B、a=1时，B的秩必为1。C、a≠1时，B的秩必为1。D、a≠1时，B的秩必为2。标准答案：C知识点解析：当a=1时，易见r(A)=1；当a≠1时，则=4(a一1)2≠0，即r(A)=3。由于AB=O，A是3×4矩阵，所以r(A)+r(B)≤4。当a=1时，r(A)=1，1≤r(B)≤3。B是4×2矩阵，所以B的秩可能为1也可能为2，因此选项A、B均不正确。当a≠1时，r(A)=3，必有r(B)=1，选项D不正确。故选C。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)9、设α为三维列向量，且ααT=，则αTα=______。标准答案：2知识点解析：αTα等于矩阵ααT的对角线元素之和，即αTα=1+4—3=2。10、已知2CA一2AB=C—B，其中则C3=______。标准答案：知识点解析：由2CA一2AB=C—B，得2CA—C=2AB—B，因此有C(2A—E)=(2A—E)B。因为2A—E=可逆，所以C=(2A—E)B(2A—E)—1，于是C3=(2A—E)B3(2A—E)—111、设，且A，B，X满足(E—B—1A)TBTX=E，则X—1=______。标准答案：知识点解析：由(E—B—1A)TBTX=E，得[B(E—B—1A)]TX=E，即(B—A)TX=E，因此X—1=(B—A)T=12、设，A*为A的伴随矩阵，则(A*)—1=______。标准答案：知识点解析：由A*=｜A｜A—1可得(A*)—1=13、已知三阶矩阵A的行列式｜A｜=一3，A*为A的伴随矩阵，AT为矩阵A的转置。如果kA的逆矩阵为A*一｜AT｜A—1，则k=______。标准答案：知识点解析：由｜A｜=一3可知，A*=｜A｜A—1=一3A—1，即kA的逆矩阵为A*一。而(kA)—1=k—1A—1，所以k=。14、已知α1=(1，0，0)T，α2=(1，2，一1)T，α3=(一1，1，0)T，且Aα1=(2，1)T，Aα2=(一1，1)T，Aα3=(3，一4)T，则A=______。标准答案：知识点解析：利用分块矩阵，得A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=，那么15、已知，且A2一AB=E，其中E是三阶单位矩阵，则B=______。标准答案：知识点解析：｜A｜=一1≠0，在等式A2一AB=E两边同时左乘A—1得A—B=A—1，则B=A—A—1=16、设，r(A)=2，则a=______。标准答案：0知识点解析：对A作初等行变换，则有当a=0时，r(A)=2。17、已知，则秩r(AB+2A)=______。标准答案：2知识点解析：因为AB+2A=A(B+2E)，且B+2E=是可逆矩阵，所以r(AB+2A)=r(A)。对A作初等行变换，则因此可得r(AB+2A)=2。18、已知，B是三阶非零矩阵，且BAT=O，则a=______。标准答案：知识点解析：根据BAT=O可知，r(B)+r(AT)≤3，即，r(A)+r(B)≤3。又因为B≠0，因此r(B)≥1，从而有r(A)＜3，即｜A｜=0，因此=3(—2a—3)=0，于是可得。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)19、已知，求An。标准答案：将矩阵A分块，即A=，其中，则An=，将B改写成B=3E+P，于是Bn=(3E+P)n=3nE+Cn13n—1P+Cn23n—2P2，其中，且P2=，Pi=O(i=3，4，…，n)。将C改写成C=(3—1)，则C2=6C，…，Cn=6n—1C，所以知识点解析：暂无解析20、已知2CA一2AB=C—B，其中，求C3。标准答案：由2CA一2AB=C—B得2CA—C=2AB—B，即C(2A—E)=(2A—E)B。因为2A—E=，且｜2A—E｜=1，所以2A—E可逆，于是C3=(2A—E)B3(2A—E)—1=知识点解析：暂无解析设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。21、证明B可逆；标准答案：设E(i，j)是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则有B=E(i，j)A，因此有｜B｜=｜E(i，j)｜｜A｜=一｜A｜≠0，所以矩阵B可逆。知识点解析：暂无解析22、求AB—1。标准答案：AB—1=A[E(i，j)A]—1=AA—1E—1(i，j)=E—1(i，j)=E(i，j)。知识点解析：暂无解析23、设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且｜A｜=1。已知B=(α2，α1，2α3)，求B*A。标准答案：根据题意可知B=(α1，α2，α3)=AP，其中。则｜P｜=一2且P—1=，所以｜B｜=｜A｜·｜P｜=一2。于是B*A=｜B｜·B—1·A=一2P—1·(A—1A)=一2P—1=。知识点解析：暂无解析设，问k为何值，可使：24、r(A)=1；标准答案：对A作初等变换，即当k=1时，r(A)=1。知识点解析：暂无解析25、r(A)=2；标准答案：当k=一2时，r(A)=2。知识点解析：暂无解析26、r(A)=3。标准答案：当k≠1且k≠一2时，r(A)=3。知识点解析：暂无解析27、设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。证明r(A)≤2。标准答案：方法一：r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)≤2。方法二：因为A=ααT+ββT，A为3×3矩阵，所以r(A)≤3。因为α，β为三维列向量，所以存在三维列向量ξ≠0，使得αTξ=0，βTξ=0，于是Aξ=ααTξ+ββTξ=0，所以Ax=0有非零解，从而r(A)≤2。知识点解析：暂无解析28、设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明标准答案：当r(A)=n时，｜A｜≠0，则有｜A*｜=｜A｜n—1≠0，从而A*可逆，即r(A*)=n。当r(A)=n一1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n一1阶子式不为零，即A*中至少有一个元素不为零，故r(A*)≥1。又因r(A)=n一1时，有｜A｜=0，且由AA*=｜A｜知AA*=O。根据矩阵秩的性质得r(A)+r(A*)≤n，把r(A)=n一1代入上式，得r(A*)≤1。综上所述，r(A*)=1。当r(A)≤n一2时，A的所有n一1阶子式都为零，也就是A*的任一元素均为零，即A*=0，从而r(A*)=0。知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵）模拟试卷第4套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设A，B是n阶矩阵，则下列结论正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故有｜A｜=0或｜B｜=0，反之亦成立，故应选C。取，则AB=O，但A≠O，B≠O，选项A不成立。取，选项B不成立。取=E，选项D不成立。2、设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中不一定成立的是()A、(A+A－1)2=A2+2AA－1+(A－1)2。B、(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2。C、(A+A*)2=A2＋2AA*+(A*)2。D、(A+E)2=A2+2AE+E2。标准答案：B知识点解析：由矩阵乘法的分配律可知(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，当且仅当矩阵A，B可交换(即AB=BA)时，(A+B)2=A2+2AB+B2成立。由于A与A－1，A*，E都是可交换的，而A与AT不一定可交换，所以选B。3、设A，B均为n阶可逆矩阵，且(A+B)*=E，则(E+BA－1)－1=()A、(A+B)B。B、E＋AB－1。C、A(A+B)。D、(A+B)A。标准答案：C知识点解析：因为(E+BA－1)－1=(AA－1+BA－1)－1=[(A+B)A－1]－1=(A－1)－1(A+B)－1=A(A+B)，所以应选C。注意，由(A+B)2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(A+B)－1=(A+B)。4、下列命题中①如果矩阵AB=E，则A可逆且A－1=B；②如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E；③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆；④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。正确的是()A、①②。B、①④。C、②③。D、②④。标准答案：D知识点解析：如果A、B均为n阶矩阵，命题①当然正确，但是题中没有n阶矩阵这一条件，故①不正确。例如显然A不可逆。若A、B为n阶矩阵，(AB)2=E，即(AB)(AB)=E，则可知A、B均可逆，于是ABA=B－1，从而BABA=E，即(BA)2=E。因此②正确。若设a=，显然A、B都不可逆，但A+B=可逆，可知③不正确。由于A、B为均n阶不可逆矩阵，知｜A｜=｜B｜=0，且结合行列式乘法公式，有｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故AB必不可逆。因此④正确。所以应选D。5、设A为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是()A、AT。B、A2。C、A*。D、2A。标准答案：D知识点解析：因A为正交矩阵，所以AAT=ATA=E，且｜A｜2=1。而(2A)(2A)T=4AAT=4E，故2A不为正交矩阵。所以选D。事实上，由AT(AT)T=ATA=E，(AT)TAT=AAT=E，可知AT为正交矩阵。由A2(A2)T=A(AAT)AT=AAT=E，(A2)TA2=AT(ATA)A=ATA=E，可知A2为正交矩阵。由A*=｜A｜A－1=｜A｜AT，可得A*(A*)T=｜A｜AT(｜A｜A)=｜A｜2ATA=｜A｜2E=E，(A*)TA*=(｜A｜A)｜A｜AT=｜A｜2AAT=｜A｜2E=E，故A*为正交矩阵。6、设A=，P1=，则B=()A、P1P3A。B、P2P3A。C、AP3P2。D、AP1P3。标准答案：B知识点解析：矩阵A作两次初等行变换可得到矩阵B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩阵A作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到B；或者把矩阵A的第一、二两行互换后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3A正是后者，所以应选B。7、设A为三阶矩阵，将A的第二行加到第一行得到矩阵B，再将B的第一列的一1倍加到第二列得到矩阵C。记P=，则()A、C=P－1AP。B、C=PAP－1。C、C=PTAP。D、C=PAPT。标准答案：B知识点解析：令Q=，则Q=P－1。P是将单位矩阵的第二行加到第一行所得的初等矩阵，则B=PA；Q是将单位矩阵第一列的一1倍加到第二列所得的初等矩阵，则C=BQ；所以C=PAQ=PAP－1。故选B。8、设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则()A、当m＞n，必有行列式｜AB｜≠0。B、当m＞n，必有行列式｜AB｜=0。C、当n＞m，必有行列式｜AB｜≠0。D、当n＞m，必有行列式｜AB｜=0。标准答案：B知识点解析：因为AB是m阶方阵，且r(AB)≤rain{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以当m＞n时，必有r(AB)＜m，从而｜AB｜=0，所以应选B。9、已知A=，A*是A的伴随矩阵，若r(A*)=1，则a=()A、3。B、2。C、1。D、1或3。标准答案：D知识点解析：伴随矩阵秩的公式为r(A*)=所以A=1或3时，均有r(A*)=1。因此应选D。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)10、如果A=(B+E)，且B2=E，则A2=_________。标准答案：A知识点解析：已知A=(B+E)且B2=E，则A2==A，即A2=A。11、与矩阵A=可交换的矩阵为________。标准答案：，其中x2和x4为任意实数知识点解析：设矩阵B=与A可交换，则由AB=BA可得即x3=一2x2，x1=4x2+x4，所以B=，其中x2和x4为任意实数。12、设A=，B=(E+A)－1(E—A)，则(E+B)－1=_________。标准答案：知识点解析：由B+E=(E+A)－1(E—A)+E=(E+A)－1(E—A)+(E+A)－1(E+A)=(E+A)－1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)－1，可得(E+B)－1=(E+A)。已知A=，因此(E+B)－1=。13、设=________。标准答案：知识点解析：｜A｜=1，｜B｜=(2—1)(3—1)(3—2)=2，所以A，B均可逆，则也可逆。由A*A=AA*=｜A｜E可得｜A*｜=｜A｜2－1=1，同理可得｜B*｜=｜B｜3－1=4，且14、已知ABC=D，其中，则B*=________。标准答案：知识点解析：｜A｜=1，｜C｜=一1，｜D｜=6，即矩阵A，B，D均可逆。由ABC=D可得B=A－1DC－1，且｜B｜=｜A－1｜｜D｜｜C－1｜=一6。于是B*=｜B｜B－1=一6(A－1DC－1)－1=一6(CD－1A)=。15、设三阶方阵A，B满足关系式A－1BA=6A+BA，且A=，则B=________。标准答案：知识点解析：在等式A－1BA=6A+BA两端右乘A－1，可得A－1B=6E+B，在该等式两端左乘A，可得B=6A+AB，则有(E一A)B=6A，即B=6(E—A)－1A，且16、设(2E—C－1B)AT=C－1，其中E是四阶单位矩阵，AT是矩阵A的转置矩阵，则A=________。标准答案：知识点解析：在等式(2E—C－1B)AT=C－1两边同时左乘C得(2C—B)AT=E。对上式两端同时取转置得A(2CT—BT)=E，则A=(2CT—BT)－1=。17、已知n阶矩阵A=，则r(A2一A)=_________。标准答案：1知识点解析：因为A2一A=A(A—E)，且矩阵A=可逆，所以r(A2一A)=r(A—E)，而r(A—E)=1，所以r(A2一A)=1。18、已知，且AXA*=B，r(X)=2，则a=_______。标准答案：0知识点解析：根据A可逆可知，其伴随矩阵A*也是可逆的，因此r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得｜B｜=0，则｜B｜==A=0。19、设A是一个n阶矩阵，且A2一2A一8E=O，则r(4E—A)+r(2E+A)=________。标准答案：n知识点解析：已知A2一2A一8E=O，可得(4E—A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质可知r(4E—A)+r(2E+A)≤n，同时r(4E—A)+r(2E+A)≥r[(4E—A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E—A)+r(2E+A)=n。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)20、已知，且AX+X+B+BA=O，求X2006。标准答案：由AX+X+B+BA=O可得(A+E)X=一B(E+A)，而A+E可逆的，所以X=一(A+E)－1B(E+A)，故X2006=(A+E)－1B2006(E+A)=(A+E)－1(E+A)=E。知识点解析：暂无解析21、已知A=，求A2016。标准答案：令，则A2016=。知识点解析：暂无解析22、设A=，其中ai≠0，i=1，2，…，n，求A－1。标准答案：令由分块矩阵的逆可得。知识点解析：暂无解析设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。23、计算并化简PQ；标准答案：由AA*=A*A=｜A｜E及A*=｜A｜A－1有知识点解析：暂无解析24、证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA－1α≠b。标准答案：由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有因为矩阵A可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b一αTA－1α)。由此可知，Q可逆的充分必要条件是B一αTA－1α≠0，即αTA－1α≠b。知识点解析：暂无解析25、设矩阵A的伴随矩阵A*=，且ABA－1=BA－1+3E，其中E为四阶单位矩阵，求矩阵B。标准答案：由AA*=A*A=｜A｜E，知｜A*｜=｜A｜n－1，因此有8=｜A*｜=｜A｜3，于是｜A｜=2。在等式ABA－1=BA－1+3E两边先右乘A，再左乘A*，得2B=A*B+3A*A，即(2E—A*)B=6E。于是B=6(2E—A*)－1=。知识点解析：暂无解析设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。26、证明B可逆；标准答案：设E(i，j)是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则有B=E(i，j)A，因此有｜B｜=｜E(i，j)｜｜A｜=一｜A｜≠0，所以矩阵B可逆。知识点解析：暂无解析27、求AB－1。标准答案：AB－1=A[E(i，j)A]－1=AA－1E－1(i，j)=E－1(i，j)=E(i，j)。知识点解析：暂无解析28、设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且｜A｜=1。已知B=(α2，α1，2α3)，求B*A。标准答案：根据题意可知B=(α1，α2，α3)=AP，其中P=。则｜P｜=一2且P－1=，所以｜B｜=｜A｜．｜P｜=一2。于是B*A=｜B｜．B－1．A=一2P－1．(A－1A)=一2P－1=。知识点解析：暂无解析29、设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明r(A*)=标准答案：当r(A)=n时，｜A｜≠0，则有｜A*｜=｜A｜n－1≠0，从而A*可逆，即r(A*)=n。当r(A)=n一1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n一1阶子式不为零，即A*中至少有一个元素不为零，故r(A*)≥1。又因r(A)=n一1时，有｜A｜=0，且由AA*=｜A｜E知AA*=O。根据矩阵秩的性质得r(A)+r(A*)≤n，把r(A)=n一1代入上式，得r(A*)≤1。综上所述，有r(A*)=1。当r(A)≤n一2时，A的所有n一1阶子式都为零，也就是A*的任一元素均为零，即A*=O，从而r(A*)=0。知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵）模拟试卷第5套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设A，B均为n阶矩阵，则下列结论正确的是()A、AB=O<=>A=O且B=O。B、A=O<=>｜A｜=0。C、｜AB｜=0<=>｜A｜=0或｜B｜=0。D、｜A｜=1<=>A=E。标准答案：C知识点解析：｜AB｜=｜A｜B｜=0，故有｜A｜=0或｜B｜=0，反之亦成立。故选C。取，则AB=O，但A≠O，B≠O，选项A不成立。取=0，但≠O，选项B不成立。取=1，但=E，选项D不成立。2、设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中不一定成立的是()A、(A+A—1)2=A2+2AA—1+(A—1)2。B、(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)T。C、(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2。D、(A+E)2=A2+2AE+E2。标准答案：B知识点解析：由矩阵乘法的分配律可知(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，当且仅当矩阵A，B可交换(即AB=BA)时，(A+B)2=A2+2AB+B2成立。由于A与A—1，A*，E都是可交换的，而A与AT不一定可交换。故选B。3、设A，B均为n阶可逆矩阵，且(A+B)2=E，则(E+BA—1)—1=()A、(A+B)B。B、E+AB—1。C、A(A+B)。D、(A+B)A。标准答案：C知识点解析：因为(E+BA—1)—1=(AA—1+BA—1)—1=[(A+B)A—1]—1=(A—1)—1(A+B)—1=A(A+B)，故选C。注意：由(A+B)2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(A+B)—1=(A+B)。4、下列命题中正确的是()①如果矩阵AB=E，则A可逆且A—1=B；②如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E；③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆；④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。A、①②。B、①④。C、②③。D、②④。标准答案：D知识点解析：如果A，B均为n阶矩阵，命题①当然正确，但是题中没有n阶矩阵这一条件，故①不正确。例如显然A不可逆。若A，B为n阶矩阵，(AB)2=E，即(AB)(AB)=E，则可知A，B均可逆，于是ABA=B—1，从而BABA=E，即(BA)2=E。因此②正确。若设显然A，B都不可逆，但A+B=可逆，可知③不正确。由于A，B均为n阶不可逆矩阵，知｜A｜=｜B｜=0，且结合行列式乘法公式，有｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故AB必不可逆。因此④正确。故选D。5、设A为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是()A、AT。B、A2。C、A*。D、2A。标准答案：D知识点解析：因A为正交矩阵，所以AAT=ATA=E，且｜A｜2=1。而(2A)(2A)T=4AAT=4E，故2A不是正交矩阵。事实上，由AT(AT)T=ATA=E，(AT)TAT=AAT=E，可知AT为正交矩阵。由A2(A2)T=A(AAT)AT=AAT=E，(A2)TA2=AT(ATA)A=ATA=E，可知A2为正交矩阵。由A*=｜A｜A—1=｜A｜AT，可得A*(A*)T=｜A｜AT(｜A｜A)=｜A｜2ATA=｜A｜2E=E，(A*)TA*=(｜A｜A)｜A｜AT=｜A｜2AAT=｜A｜2E=E，故A*为正交矩阵。故选D。6、设则B=()A、P1P3A。B、P2P3A。C、AP3P2。D、AP1P3。标准答案：B知识点解析：矩阵A作两次初等行变换得到矩阵B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩阵A作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二两行互换得到B；或者把矩阵A的第一、二两行互换后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3A正是后者。故选B。7、设A为三阶矩阵，将A的第二行加到第一行得到矩阵B，再将B的第一列的一1倍加到第二列得到矩阵C。记P=，则()A、C=P—1AP。B、C=PAP—1。C、C=PTAP。D、C=PAPT。标准答案：B知识点解析：令，则Q=P—1。P是将单位矩阵的第二行加到第一行所得的初等矩阵，则B=PA；Q是将单位矩阵第一列的一1倍加到第二列所得的初等矩阵，则C=BQ；所以C=PAQ=PAP—1。故选B。8、设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则()A、当m＞n，必有行列式｜AB｜≠0。B、当m＞n，必有行列式｜AB｜=0。C、当n＞m，必有行列式｜AB｜≠0。D、当n＞m，必有行列式｜AB｜=0。标准答案：B知识点解析：因为AB是m阶方阵，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以当m＞n时，必有r(AB)＜m，从而｜AB｜=0。故选B。9、已知，A*是A的伴随矩阵，若r(A*)=1，则a=()A、3。B、2。C、1。D、1或3。标准答案：D知识点解析：伴随矩阵秩的公式为可见r(A*)=1<=>r(A)=3。对矩阵A作初等变换，有若a=3，则，r(A)=3；若a=2，则，r(A)=4；若a=1，则，r(A)=3。所以a=1或3时，均有r(A*)=1。故选D。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)10、如果A=(B+E)，且B2=E，则A2=______。标准答案：A知识点解析：已知A=(B+E)且2=E，则即A2=A。11、与矩阵可交换的矩阵为______。标准答案：，其中x2和x4为任意实数知识点解析：设矩阵与A可交换，则由AB=BA可得且x3=一2x2，x1=4x2+x4，所以其中x2和x4为任意实数。12、设，B=(E+A)—1(E—A)，则(E+B)—1=______。标准答案：知识点解析：B+E=(E+A)—1(E—A)+E=(E+A)—1(E—A)+(E+A)—1(E+A)=(E+A)—1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)—1，可得(E+B)—1=(E+A)。已知，因此(E+B)—1=。13、设，则=______。标准答案：知识点解析：｜A｜=1，｜B｜=(2—1)(3—1)(3—2)=2，所以A，B均可逆，则也可逆。由A*A=AA*=｜A｜E可得｜A*｜=｜A｜2—1=1，同理可得｜B*｜=｜B｜3—1=4，且14、已知ABC=D，其中，则B*=______。标准答案：知识点解析：｜A｜=1，｜C｜=一1，｜D｜=6，即矩阵A，B，D均可逆。由ABC=D可得B=A—1DC—1，且｜B｜=｜A—1｜｜D｜｜C—1｜=一6。于是B*=｜B｜B—1=一6(A—1DC—1)—1=一6(CD—1A)15、设三阶方阵A，B满足A—1BA=6A+BA，且，则B=______。标准答案：知识点解析：在等式A—1BA=6A+BA两端右乘A—1，可得A—1B=6E+B，在该等式两端左乘A，可得B=6A+AB，则有(E—A)B=6A，即B=6(E—A)—1A，且(E—A)—1=所以16、设(2E—C—1B)AT=C—1，其中E是四阶单位矩阵，AT是矩阵A的转置矩阵，则A=______。标准答案：知识点解析：在等式(2E一C—1B)AT=C—1两边同时左乘C得(2C—B)AT=E。对上式两端同时取转置得A(2CT—BT)=E，则A=(2CT—BT)—1=17、已知n阶矩阵，则r(A2一A)=______。标准答案：1知识点解析：因为A2一A=A(A—E)，且矩阵A=可逆，所以r(A2一A)=r(A—E)，而r(A—E)=1，所以r(A2一A)=1。18、已知，且AXA*=B，r(X)=2，则a=______。标准答案：0知识点解析：根据A可逆可知，其伴随矩阵A*也是可逆的，因此r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得｜B｜=0，则19、设A是一个n阶矩阵，且A2一2A一8E=O，则r(4E一A)+r(2E+A)=______。标准答案：n知识点解析：已知A2一2A一8E=O，可得(4e一A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质可知r(4e—A)+r(2E+A)≤n，同时r(4E—A)+r(2E+A)≥r[(4E—A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E—A)+r(2E+A)=n。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)20、已知，AX+X+B+BA=O，求X2006。标准答案：由AX+X+B+BA=O可得(A+E)X=一B(E+A)，而A+E可逆的，所以X=一(A+E)—1B(E+A)，故X2006=(A+E)—1B2006(E+A)=(A+E)—1(E+A)=E。知识点解析：暂无解析21、已知，求A2016。标准答案：令，其中，则知识点解析：暂无解析22、已知，B=PAP—1，求B2016+A4。标准答案：计算可得A4=E，则B2016=PA2016P—1=P(A4)504P—1=E，于是B2016+A4=2E。知识点解析：暂无解析已知A，B是反对称矩阵，证明：23、A2是对称矩阵；标准答案：(A2)T=ATAT=(一A)(一A)=A2，所以A2是对称矩阵。知识点解析：暂无解析24、AB一BA是反对称矩阵。标准答案：(AB—BA)T=BTAT一ATBT=BA—AB=一(AB—BA)，所以AB—BA是反对称矩阵。知识点解析：暂无解析25、已知AB=A一B，证明A，B满足乘法交换律。标准答案：由AB=A—B可得E+A—B—AB=E，即(E+A)(E—B)=E，这说明E+A与E一B互为逆矩阵，所以(E一B)(E+A)=E，将括号展开得BA=A—B，从而可得AB=BA，即A，B满足乘法交换律。知识点解析：暂无解析已知三阶矩阵A和三维向量x，使得x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x。26、记P=(x，Ax，A2x)，求三阶矩阵B，使A=PBP—1；标准答案：令等式A=PBP—1两边同时右乘矩阵P，得AP=PB，即A(x，Ax，A2x)=(Ax，A2x，A3x)=(Ax，A2x，3Ax一2A2x)=(x，Ax，A2x)所以知识点解析：暂无解析27、计算行列式｜A+E｜。标准答案：由上题知A～B，那么A+E～B+E，从而｜A+E｜=｜B+E｜==一4。知识点解析：暂无解析28、设，其中ai≠0，i=1，2，…，n，求A—1。标准答案：令，其中。由分块矩阵的逆可得知识点解析：暂无解析设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。29、计算并化简PQ；标准答案：由AA*=A*A=｜A｜E及A*=｜A｜A—1有知识点解析：暂无解析30、证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA—1α≠b。标准答案：由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有｜P｜｜Q｜=｜PQ｜==｜A｜2(b一αTA—1α)。因为矩阵A可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b一αTA—1α)。由此可知，Q可逆的充分必要条件是b一αTA—1α≠0，即αTA—1α≠b。知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵）模拟试卷第6套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、两个4阶矩阵满足A2=B2，则A、A=B．B、A=－B．C、A=B或A=－B．D、｜A｜=｜B｜或｜A｜=－｜B｜．标准答案：D知识点解析：对A2=B2两边取行列式，得｜A｜2=｜B｜2<=>｜A｜2－｜B｜2=0<=>(｜A｜－｜B｜)(｜A｜+｜B｜)=0<=>｜A｜－｜B｜=0或｜A｜+｜B｜=0即｜A｜=｜B｜或｜A｜=－｜B｜．2、设A是3阶矩阵，将A的第2行加到第1行上得B，将B的第1列的－1倍加到第2列上得C．则C=()．A、P－1AP．B、PAP－1．C、PTAP．D、PAPT．标准答案：B知识点解析：根据初等矩阵的有关性质，则B=PA，C=BP－1，得C=PAP－1．3、设A是任一n阶矩阵，下列交换错误的是A、A*A=AA*．B、AmAp=ApAm．C、ATA=AAT．D、(A+E)(A－E)=(A－E)(A+E)．标准答案：C知识点解析：因为AA*=A*A=｜A｜E，AmAp=ApAm=Am+p，(A+E)(A－E)=(A－E)(A+E)=A2－E，所以A、B、D均正确．故C不正确．4、设A，B均是n阶矩阵，下列命题中正确的是A、AB=0<=>A=0或B=0．B、AB≠0<=>A≠0且B≠0．C、AB=0<=>｜A｜=0或｜B｜=0．D、AB≠0<=>｜A｜≠0且｜B｜≠0．标准答案：C知识点解析：A=≠0，B=≠0，但AB=0，所以A，B均不正确．又如，有AB≠0，但｜A｜=0且｜B｜=0．可见D不正确．由AB=0有｜AB｜=0，有｜A｜.｜B｜=0．故｜A｜=0或｜B｜=0．应选C．注意矩阵A≠0和行列式｜A｜≠0是两个不同的概念，不要混淆．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、若A=，则A2=________，A3=________．标准答案：；知识点解析：6、设A=，则A－1=________．标准答案：知识点解析：利用易见7、设A是n阶矩阵，满足A2－2A+E=0，则(A+2E)－1=________．标准答案：知识点解析：由(A+2E)(A－4E)+9E=A2－2A+E=0有8、若A－1=，则(3A)*=________．标准答案：知识点解析：因为(kA)*=kn－1A*，故(3A)*=32A*，又A*=｜A｜A－1，9、设A，B均为3阶矩阵，且满足AB=2A+B，其中A=，则｜B－2E｜=________．标准答案：－2知识点解析：由AB－2A－B+2E=2E，有A(B－2E)－(B－2E)=2E，则(A－E)(B－2E)=2E．于是｜A－E｜.｜B－2E｜=｜2E｜=8，而｜A－E｜==－4，所以｜B－2E｜=－2．10、设XA=AT+X，其中A=，则X=________．标准答案：知识点解析：由XA－X=AT有X(A－E)=AT，因为A可逆，知X与A－E均可逆．三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)11、n维向量α=(a，0，．．．，0，a)T，a＜0，A=E－ααT，A－1=E+α－1ααT，求a．标准答案：(E－ααT)(E+a－1ααT)=EE+a－1ααT－ααT－a－1ααTααT=Ea－1ααT－ααT－a－1ααTααT=0，(αTα=2a2)(a－1－1－2a)ααT=0，a－1－1－2a=0，(因为ααT不是零矩阵．)1－a－2a2=0，a=－1．知识点解析：暂无解析12、设A=αβT，其中α和β都是n维列向量，证明对正整数k，Ak=(βTα)k－1A=(tr(A))k－1A．(tr(A)是A的对角线上元素之和，称为A的迹数．)标准答案：Ak=(αβT)k=αβTαβT…αβTαβT=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT=(βTα)k－1A．βTα=a1b1+a2b2+…+anbn，而a1b1，a2b2，…，anbn正好的A=αβT的对角线上各元素，于是βTα=tr(A)，Ak=(tr(A))k－1A．知识点解析：暂无解析13、设A=，求An．标准答案：A的秩为2，不符合例2．5注的条件，不能用例2．5的方法直接求A的方幂．我们先求A2．A2=2A即AA=2A，A在乘A上的作用相当于2乘A，于是An=An－1A=2n－1A．知识点解析：暂无解析14、设A=，(1)证明当n＞1时An=An－2+A2－E．(2)求An．标准答案：(1)An=An－2+A2－E即An－An－2=A2－E．An－2(A2－E)=A2－E．只要证明A(A2－E)=A2－E．此式可以直接检验：(2)把An=An－2+A2－E作为递推公式求An．n是偶数2k时：A2k=A2k－2+A2－E=A2k－4+2(A2－E)：……=k(A2－E)+E．n是奇数2k+1时：A2k+1=AA2k=A[k(A2－E)+E]=k(A2－E)+A．知识点解析：暂无解析15、3阶矩阵A，B满足ABA*=2BA*+E，其中A=，求｜B｜．标准答案：用A从右侧乘ABA*=2BA*+E的两边，得｜A｜AB=2｜A｜B+A，｜A｜(A－2E)B=A，两边取行列式｜A｜3｜A－2E｜｜B｜=｜A｜，知识点解析：暂无解析16、A是3阶矩阵，α是3维列向量，使得P=(α，Aα，A2α)可逆，并且A3α=3Aα－2A2α．(1)求B，使得A=PBP－1．(2)求｜A+E｜．标准答案：(1)A=PBP－1即AP=PB或A(α，Aα，A2α)=(α，Aα，A2α)B．A(α，Aα，A2α)=(Aα，A2α，Aα)=(Aα，A2α，3Aα－2A2α)(2)A+E=P(B+E)P－1．则｜A+E｜=｜P｜｜B+E｜｜P－1｜=｜B+E｜==－4．知识点解析：暂无解析17、已知=3，求标准答案：记α=(α1，α2，α3)T，β=(b1，b2，b3)T，γ=(c1，c2，c3)T，所求行列式相应的矩阵为：(λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα)．将它对(α，β，γ)做矩阵分解，得(λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα)=两边求行列式，得所求行列式的值：｜λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα｜==3(λ3+μ3)．知识点解析：暂无解析18、设3阶矩阵A=，A－1XA=XA+2A，求X．标准答案：A－1XA=XA+2A<=>A－1X=X+2E<=>X=AX+2A<=>(E－A)X=2A，用初等变换法解此基本矩阵方程：知识点解析：暂无解析19、4阶矩阵A，B满足ABA－1=BA－1+3E，已知标准答案：用A右乘ABA－1=BA－1+3E的两边，得AB=B+3A；再用A*从左乘两边，得｜A｜B=A*B+3｜A｜E，由｜A*｜=8，得｜A｜=2，代入上式：(2E－A*)B=6E，用初等变换法求得知识点解析：暂无解析20、设3阶矩阵A的各行元素之和都为2，向量α1=(－1，1，1)T，α2=(2，－1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解．求A．标准答案：令α3=(1，1，1)T，则Aα3=(2，2，2)T，建立矩阵方程：A(α1，α2，α3)=(0，0，2α3)，用初等变换法解得知识点解析：暂无解析21、设A，B和C都是n阶矩阵，其中A，B可逆，求下列2n阶矩阵的伴随矩阵．标准答案：因为A，B都可逆，所以这几个矩阵都可逆．于是可利用公式A*=｜A｜A－1来求伴随矩阵．知识点解析：暂无解析22、设A是n阶非零实矩阵，满足A*=AT．证明｜A｜＞0．标准答案：把条件A*=AT写出，则aij=Aij，i，j．于是｜A｜=(也可从AAT=AA*=｜A｜E，也可得到｜A｜=．)由于A是实矩阵，其元素的平方≥0，又A有非0元素，得｜A｜＞0．知识点解析：暂无解析23、设A是n阶实反对称矩阵，证明E+A可逆．标准答案：A是一个抽象矩阵，因此用行列式证明是困难的．下面的证明思路是通过(E+A)X=0只有零解来说明结论．设η是一个n维实向量，满足(E+A)η=0，要证明η=0．用ηT左乘上式，得ηT(E+A)η=0，即ηTη=－ηTAη由于A