高考数学一轮复习夯基提能课件第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算

第一节平面向量的概念及其线性运算总纲目录教材研读1.向量的有关概念考点突破2.向量的线性运算3.共线向量定理考点二平面向量的线性运算考点一平面向量的有关概念考点三共线向量定理的作用1.向量的有关概念名称定义备注向量既有①大小

又有②方向

的量;向量的大小叫做向量的③长度

(或④模

)向量由方向和长度确定,不受位置影响零向量长度为⑤0

的向量;其方向是任意的记作⑥0

单位向量长度等于⑦1个单位

的向量非零向量a的单位向量为±

平行向量方向⑧相同

或⑨相反

的非零向量0与任意向量 平行

或共线共线向量⑩方向相同或相反

的非零向量又叫做共线向量相等向量长度 相等

且方向 相同

的向量两向量不能比较大小相反向量长度 相等

且方向 相反

的向量0的相反向量为0教材研读2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算

三角形

法则

平行四边形

法则(1)交换律:a+b= 

b+a

;(2)结合律:(a+b)+c= 

a+(b+c)

减法若b+x=a,则向量x叫做a与b的差,求两个向量差的运算,叫做向量的减法

三角形

法则

数乘实数λ与向量a相乘,叫做向量的数乘(1)|λa|= |λ||a|

;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向

相同

;当λ<0时,λa的方向与a的方向 相反

;当λ=0时,λa= 0

λ(μa)= (λμ)a

;(λ+μ)a= 

λa+μa

;λ(a+b)= 

λa+λb

向量运算的常用结论(1)在△ABC中,D是BC的中点,则

=

(

+

);(2)O为△ABC的重心的充要条件是

+

+

=0;(3)四边形ABCD中,E为AD的中点,F为BC的中点,则

+

=2

.3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得

b=λa

.1.下列说法正确的是

()A.

∥

就是

所在的直线平行于

所在的直线B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量长度等于0D.共线向量是在同一条直线上的向量C答案

C

∥

包含

所在的直线与

所在的直线平行和重合两种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;零

向量长度为0,故C正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以

是所在直线互相平行的向量,故D错.2.如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,则下列结论错误的是

()

A.

=

B.

与

共线C.

与

是相反向量D.

=

|

|D答案

D根据向量的有关概念可知,

=

,

∥

,

=-

,

=

,|

|=

|

|.3.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的

()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案

A若a+b=0,则a=-b,故a∥b;反之,a∥b⇒/a+b=0.A4.在四边形ABCD中,

=

,且|

|=|

|,那么四边形ABCD为()A.平行四边形

B.菱形

C.长方形

D.正方形答案

B

=

,则四边形ABCD为平行四边形.又|

|=|

|,则四边形ABCD为菱形,故选B.B5.在▱ABCD中,

=a,

=b,

=3

,M为BC的中点,则

=

(用a,b表示).答案-

a+

b解析由

=3

,得

=

=

(a+b),又

=a+

b,所以

=

-

=

(a+b)-

=-

a+

b.6.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=

.答案-

解析由题意知存在k∈R,使得a+λb=k[-(b-3a)],所以

解得

典例1给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A、B、C、D是不共线的四点,则

=

是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④两向量a、b相等的充要条件是|a|=|b|且a∥b;⑤如果a∥b,b∥c,那么a∥c.其中真命题的序号为

.考点一平面向量的有关概念考点突破②③答案②③解析①不正确.两个向量的模相等,但它们的方向不一定相同,因此由|

a|=|b|推不出a=b.②正确.若

=

,则|

|=|

|且

∥

.又∵A、B、C、D是不共线的四点,∴四边形ABCD是平行四边形.反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB平行DC且

与

方向相同,因此

=

.③正确.∵a=b,∴a、b的长度相等且方向相同.∵b=c,∴b、c的长度相等且方向相同.∴a、c的长度相等且方向相同,∴a=c.④不正确.当a∥b,但方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故

不是a=b的充要条件.⑤不正确.若b=0,则a与c不一定共线.规律总结理解向量有关概念的五个关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制,但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共

线.1-1判断下列四个命题:①若a∥b,则a=b;②若|a|=|b|,则a=b;③若|a|=|b|,则a∥b;④若a=b,则|a|=|b|.

其中正确的个数是

()A.1

B.2

C.3

D.4A答案

A只有④正确.1-2设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使

=

成立的充分条件是

()A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|答案

C因为向量

的方向与向量a相同,向量

的方向与向量b相同,且

=

,所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D.当a=2b时,

=

=

,故a=2b是

=

成立的充分条件.C考点二平面向量的线性运算命题方向命题视角向量的线性运算用基底表示向量根据向量的线性运算求参数已知向量的基底表示,利用平面向量基本定理求参数的值典例2(1)(2018福建福州质检)设D为△ABC所在平面内一点,

=3

,则

()A.

=-

+

B.

=

-

C.

=

+

D.

=

-

(2)在四边形ABCD中,

=

,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,则

()A.

=

+

B.

=

+

C.

=

+

D.

=

+

命题方向一向量的线性运算解析(1)

=

+

=

+

+

=

+

=

+

(

-

)=-

+

.故选A.(2)在四边形ABCD中,因为

=

,所以四边形ABCD为平行四边形,如图所示.由已知得

=

,由题意知△DEF∽△BEA,则

=

,所以

=

=

(

-

)=

×

=

,所以

=

+

=

+

=

+

,故选B.

答案(1)A(2)B典例3(1)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为

AD的中点,若

=λ

+μ

,其中,λ,μ∈R,则λ+μ等于

()A.1

B.

C.

D.

(2)在△ABC中,点M,N满足

=2

,

=

.若

=x

+y

,则x=

,y=

.命题方向二根据向量的线性运算求参数答案(1)D(2)

;-

解析(1)由题意易得

=

+

=

+

,∴2

=

+

,即

=

+

.故λ+μ=

+

=

.(2)由

=2

知M为AC上靠近C的三等分点,由

=

知N为BC的中点,作出草图如下:

则有

=

(

+

),所以

=

-

=

(

+

)-

=

-

,又因为

=x

+y

,所以x=

,y=-

.方法技巧平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用

三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表

示出来,进行比较求参数的值.提醒:注意应用初中平面几何的知识,如平行线分线段成比例定理、相

似三角形的性质等,可以简化运算.2-1在△ABC中,N是AC边上一点且

=

,P是BN上一点,若

=m

+

,则实数m的值是

.答案

解析因为

=

,所以

=

,所以

=m

+

=m

+

,因为P是BN上一点,所以B,P,N三点共线,所以m+

=1,则m=

.典例4设两个非零向量a与b不共线.(1)若

=a+b,

=2a+8b,

=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.考点三共线向量定理的应用解析(1)证明:∵

=a+b,

=2a+8b,

=3(a-b),∴

=

+

=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5

,∴

,

共线,又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.◆探究若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?解析因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),所以

所以k=±1.又λ<0,k=λ,所以k=-1.故当k=-1时,两向量反向共线.规律总结(1)证明三点共线问题,