高三数学期末考试加试试题

江苏省镇江市高三数学期末试题

第II卷（理科附加卷）

21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，

若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，圆。与圆P相交于AB两点，点P在圆。上，圆。的弦切圆P于点3,CP及

其延长线交圆P于。,E两点，过点E作历，CE交CB延长线于点尸.若

CD=2,CB=242,求£尸的长.

B.（选修4-2：矩阵与变换）

「r1

已知矩阵加二,N=2，试求曲线丁=411工在矩阵MN变换下的函数解析式.

2」0】

C.（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知直线/的极坐标方程为rsin（4-2）=6,圆C的参数方程为i'-lOcos"©为参数）.

3jy=10sinq

（I）请分别把直线/和圆C的方程化为直角坐标方程;

（2）求直线/被圆截得的弦长.

D.（选修4-5：不等式选讲）

已知函数f（x）=\x-l|+|x-2|,若不等式|a+4+|a-1？时/⑺对任意R恒成立,

求实数x的取值范围.

【必做题】第22,23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

22.(本小题满分10分)

已知A为曲线。:4父-y+l=0上的动点，定点M(-2,0),若,求动点7的轨

迹方程.

23.(本小题满分10分)

已知四棱锥P-A8CO的底面为直角梯形，ABIICD,?DAB90殖PA底面ABC。,且

/>4=4。=。。=，48=1,又是758的中点.

2

(1)证明：平面PAZ)A平面PCO；

(2)求AC与PB所成角的余弦值；

(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角(锐

角)的余弦值.

10上0

21.B解：MN=2・・・・・・4

02c

1J\_02

x

即在矩阵MN变换下->.......6分

y

V=g“=2y,

.......8分

代入得：；=sin2x',

即曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2sin2x.…“10分

21.C解：(1)由夕sin(e-1)=6,得:p(；sin。一日cos。)=6

y-\/3x=12,即gx-y+12=0.......4分

圆的方程为d+y?=ioo......6分

(2)d=6/=10,

弦长/=2*00-36=16.…70分

22.解：设丁(%”4%，%)，则44一为+1=0,①……2分

又M(-2,0),由AT=27M得(x—x°,y—y0)=2(—2—x,0—y),.......5分

二.%=3%+4,%=3y,……7分

代入①式得4(3x+4『—3y+l=0,即为所求轨迹方程........10分

23.解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),D(l,0,0),P(0,0,l),B(0,2,0),C(l,1,0),M(0,1,^),

……1分

(1)证明：因为AP=(0,0,1),10c=(0,1,0),故APDC=0,所以APLDC,

由题设知AO,OC,且AP与力。是平面皿)内的两条相交直线，

由此得。C_L面又。Cu面PC£>,故平面必。_1_面28........4分

(2)因AC=(1,1,0),尸8=(0,2,-1),.-JAC\=⑸PB\=ACPB=2,

ACPBVio

/.cos<AC,PB>=分

\ACV\PB\~5……7

（3）设平面AMC的一个法向量为“=（N，y,Z|）,

则4±AM,•AM=（%,y,Z]）•（0,l,g）=y+gZ[=0,

又〃]±AC,•AC=（^1,y,,Zj）-（1,1,0）=x}+y=0,

取3=1,得y=—1,Z]=2,故勺=（1,一1,2）,

同理可得面BMC的一个法向量为%=（1,1,2）,

1—1+42△

cosy,>=,2|=-=~j==-，.......10分

'同国76x763

，平面AMC与平面8MC所成二面角（锐角）的余弦值为2.

3

数学试题（附加题）

（考试时间：30分钟总分：40分）

21.A.（本小题满分10分，矩阵与变换）在平面直角坐标系xoy中，设曲线G在矩阵A=

10]2

1对应的变换作用下得到曲线C2：—+/=1,求曲线G的方程。

0-4-

L2」

B.（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）

己知曲线C1的极坐标方程为夕COS（。-7）=-乎，以极点为原点，极轴为X轴的非

负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为{,,求曲线Cl与曲线C2交点

y=sirra

的直角坐标。

[必做题]第22题，第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.

22.（（本小题满分10分）射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶

2

射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为一，命中一次得3分；命中乙靶

3

3

的概率为命中一次得2分，若没有命中则得。分，用随机变量J表示该射手一次测试

4

累计得分，如果J的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次

测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。

(1)如果该射手选择方案1,求其测试结束后所得部分f的分布列和数学期望EJ；

(2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。

23.((本小题满分10分)

对于给定的大于1的正整数n,设x=+ann",其中

a,,G{0,1,2,f=l,2,且a“0O,记满足条件的所有x的和为A.。

(1)求A2

(2)设4=/(〃)；,求f(n)

第二部分(加试部分)

21.

A.设P(x,y)是曲线G上任意一点，点P(x,y)在矩阵A对应的变换下变为点P'(x',y')

10X=X

xx

则有,15分

y0-yy=2y

2,

2

又因为点P'(x',V)曲线V=1上,

故等+(yy=i,从而%+即=1

所以曲线G的方程是X2+/=4.10分

由°cos(e—?)=—#,得曲线G的直角坐标系的方程为

B.

x+y+1=0,3分

x=cosa

由,,,得曲线G的普通方程为

y=sin~a

x2-i-y=1(-1<X<1),7分

x+y+l=O-

由《，，得》2-％-2=0,即x=2（舍去）或x=—l,

x2+y=1

所以曲线G与曲线C2交点的直角坐标为（T，°）.……10

22.在甲靶射击命中记作A,不中记作入；在乙靶射击命中记作8,不中记作》,

2—213—31

其中P(A)=—,P(A)=1——=-,P(B)=-,P(B)=l一一=-•••・・・2)

333444

⑴J的所有可能取值为0,2,3,4,则

------———1111

P(J=0)=P(ABB)=PM)P(B)P(B)=-x-x-=—

34448)

P(J=2)=P(ABB)+P(ABB)=P(A)P(B)P(B)+P(A)P(B)P(B)

1311136

—X—X—+—X—X—=——

34434448,

P《=3)=P(A)=|

--1339

P代=4)=P(A8B)=P(A)P(B)P(8)=-x-x-

34448

J的分布列为:

自0234

1629

P

484848

=0x-+2x—+3x-+4x—=3

4848348

7分

⑵射手选择方案1通过测试的概率为勺，选择方案2通过测试的概率为P2,

2931

[=代短3)=—+—=—；

134848

1333133327

=PC>3)=P®BB)+P侬B)+P(BB)=—X—X—+—X—X—+—X—=

£4444444432

,•,9分

因为所以应选择方案2通过测试的概率更大.10分

23⑴当〃=2时，x=q）+勿］+4生，aQe{0,l},e{0,l},%=1,

故满足条件的工共有4个，

分别为：元=0+0+4,x=0+2+4,x=l+0+4,x=l+2+4,

它们的和是22.……4分

⑵由题意得，a。,。］,%，,4_］各有〃种取法；。〃有〃—1种取法，

由分步计数原理可得。0,4,。2，，。〃-1的不同取法共有几•几・〃・（力-1）二，（〃一1）,

即满足条件的X共有〃〃伽一1）个,6分

当％分别取0,1,2,，〃一1时，4M2，，〃〃_］各有〃种取法，a〃有〃一1种取法,

故4中所有含％项的和为（0+1+2++n-l）n,,~l（»-l）^—（/7~n-；

nn（n—}}2

同理，A,中所有含4项的和为（0+1+2+2L.“；

4中所有含出项的和为（0+1+2++〃_所〃”_1）.“2=生（丁）一.“2；

片中所有含a,-项的和为(0+1+2++n-1)n"-'(〃-1)•4=型7匚-n'-'；

当a”分别取i=l,2,，"-1时，4,a1,4,,a“T各有〃种取法,

n"+］（〃-1）

故4中所有含4项的和为（1+2++〃—^

2

.rt"(n-l)..2

所以A=—>2,(1+〃+〃-+-n"；

〃"(〃—1尸n"-ln"+1(rt-l)„

-----------------1-----------n(〃田+〃"—1)

2n-\22

故了（〃）=〃.10分

泰州市2015届高三第一次模拟考试

数学试题（附加题）

（考试时间：30分钟总分：40分）

21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前

两题记分.

A.（本小题满分10分，几何证明选讲）

如图，£4与圆。相切于点A,。是E4的中点，过点。引圆。的割线，与圆。相交于点

B,C,连结EC.

求证：NDEB=NDCE.

8.（本小题满分10分，矩阵与变换）

1012

己知矩阵4=,B=若矩阵AB'对应的变换把直线/变为直线

0201

/':x+y—2=0,求直线/的方程.

C.（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）

己知在平面直角坐标系xOy中，圆。的参数方程为《（a为参数）.以原点。为

y-2sin«

极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为p（sin6-cosO）=l,

直线/与圆M相交于A,B两点，求弦A8的长.

D.（本小题满分10分，不等式选讲）

hcci

已知正实数a,上c满足a+8+c=3,求证：—+—+—>3.

［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.

22.（（本小题满分10分）

如图，在长方体ABC。—AB'C'Z）'中，DA=DC=2,DD'=l,A'C'与5'。'相交于点

。'，点P在线段3。上（点P与点3不重合）.

（1）若异面直线O'P与BC所成角的余弦值为叵，求DP的长度;

55

（2）若。尸=,求平面PA'C与平面DCB所成角的正弦值.

2

23.（（本小题满分10分）

记G'为从》个不同的元素中取出八个元素的所有组合的个数.随机变量4表示满足

C；V；『的二元数组（尸由中的「，其中，G{2,3,4,5,6,7,8,9,10},每一个C；（〃=。，12…,

i）都等可能出现.求EJ.

附加题参考答案

21.A.证明：；屈4与。相切于点A.由切割线定理：DA?=DB•DC.

是EA的中点，DA=DE.:.DE?=DB-DC.............5分

.匹=幽.."DB=NCDE：.\EDB\CDE：.NDEB=NDCE……10分

DCDE

"121।「1一2一

2IB解：VB=,AB'=,

0101

设直线/上任意一点（乐y）在矩阵AB'对应的变换下为点（x',/）

1-2Xx'

02yy'

代入/':(X—2y)+(2y)—2=0,化简后得：l:x=2.10分

21.C.解:圆。：X2+/=4,直线/:x-y+l=O,5分

圆心。到直线/的距离d=J==《2,弦长48=2

)2=V14.10分

V22

21.D证明：正正实数a,b,c满足a+b+c=3,

3=a+b+c>3\jabc,abc<1,5分

bcaIhca/1-

+FN33—•—•—=33->3.10分

c2Va"b~c"Vabc

22.解：（1）以。ADC,。。'为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系。-肛z,

由题意，知0((),0,()),A'(2,0,1)，

3(2,2,0),C'(0,2』)，设PQ/O),

1),8C'=(-2,0,1).

设异面直线O'P与BC所成角为e，

,O'PBC'\_|—2(f-1)—1|_^55

则cos6=

|。则叼一,2"1)2+1.6-55

2?

化简得：21/―20，+4=0,解得：，二一或，二一,

37

DP=^6.或DP=Z区

5分

37

(2)VDP=—,AP(-,-,0),

222

1331

DC=(0,2,1),。8=(2,2,0),PAr=(-,--,l),PC=1),

设平面0cB的一个法向量为勺=（玉,y,zj,

々•。。'=02yl+z,=0Z|=~2y',取％=-1,4=(1,-1,2),

11，即1

4•DB—02玉+2y=0.%=->i

设平面PA'C'的一个法向量为々=（x2,y2,z2）,

13八

-^2--y2+Z2=0

n2•PA=0

取%=1，%=(1,1,1),

nPC=0311^2=%

2_产+^>2+Z2=0n

设平面尸AC与平面DCB所成角为夕，

网,闻2叵

n)|-|»2|瓜忑3

10分

1,

23.解：IC.<-i2,

2

当iN2时，

C,°=C=1K；尸，C；=C'-'=i<^i2,C；=C；-2=唱“吴GJ

二当2<i<5"eN*时，。：<,尸的解为r=0,1,八...........3分

2

;_1

当6<i<10"wN*,C；+,>C；<=>r<-—,

2

由c；=2)<1/o»=3,4,5可知：

62

1i

当〃=0,1,2"—2"-1"时，/成立，

当r=3,,i—3时，C；NC："2(等号不同时成立)，即C；〉,」...........6分

22

4012345678C1

0

1

2,

1')1()L)1(>1515151515:448

8分

311177

EJ=(0+l+2)x—+(3+4+5+6+7+8)x—+9x—+10x—=—.

1616244824

............................10分

苏州市2015届上学期高三期末调研考试

数学

数学n附加题部分

注意事项

1.本试卷共2页，均为解答题（第21题〜第23题，共4题）.本卷满分为40分，考试时

间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置

作答一律无效.

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作

答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

A.选修4-1：几何证明选讲

（本小题满分10分）如图，过圆O外一点P作圆O的切线PA,切点为A,连结OP与

圆O交于点C,过C作AP的算线，垂足为D,若PA=12cm,PC=6cm,求CD的长。

B.选修4-2：矩阵与变换

（本小题满分10分）

已知矩阵，A=12向量尸=2,求向量口，使得A?a=月.

C.选修4-4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆0=3cos6与直线2pcos（9+4/?sine+a=0相切，求实数”的值.

D.选修4一5：不等式选讲

（本小题满分10分）设实数x,y,z满足x+2y+3z=6,求x'+y2+z'，的最小值,

并求此时x,y,z的值。

【必做题】第22题'第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解

答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）

如图，已知正方形ABC。和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=y[2,AF=l.

（1）求二面角A-DF-B的大小；

（2）试在线段AC上确定一点P,使PF与BC所成角为600.

（第22爆）

23、（10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年

后可能获利10%,可能损失10%,可能不陪不赚，这三种情况发生的概率分别为

244

如果投资乙项目，一年后可能获利20%,可能损失20%,这两种情况发生的概率分别为a

和B（a+0=1）.

（1）如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求X的

概率分布列及数学期望E（X）.

（2）若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求a的取值范围.

苏州市2015届高三调研测试

数学n试题'2015.1

参考答案与评分标准

XJ[2

B.解：解：设。=,由片0二力得：15分

23jbjL

y\L

3x+4y=2[x=2,「2

二.V,<99*•Ct=10分

2x+3y=l3=-1

C.解：p2=3pcosO,圆Q=3COS8的普通方程为:

x2+y2=3x,BP(x--)2+j2=—,........................................................................

24

直线22cose+4〃sin6+a=0的普通方程为：2x+4y+a=0,..........................6分

3

|2・；+4・0+o|q

又圆与直线相切，所以T=^=^=三,解得：°=一3±3石,

分

物+42210

(2)由题意，设〉(a,a,0)(0WU),则

PF=(y/2-a,yf2-a,Y),而=(0,及,0).

'：PF与BC所成的角为60°,

V2-(V2-a)

:.cos60°=|

V2X小2(\/^_〃)2+1

解得“也或a"述(舍)，

22

所以占P在线段4c的中点处..........................................10分

一，*

22.解：(1)如图，以而，CB.E为正交基底建立

空间直角坐标系，

则E(0,0,l),D(V2,0,0),3(0,a,0),

F(V2,V2,1)..................................................2分

平面尸的法向量，=(1,0,0)，而=(a,-右,0)，

BF=(72,0,1).

设平面DFB法向量”=(a也c),则”•而=0,

n~BF=0>

J缶-历=0,令“I,得…

41a+c=0.

.,•/»=(!,1,-72).....................................................................................................分

■而,(l,0,0)(l,l,-V2)_l

从而cos<n,t>=--------------------------，

1x22

显然二面角4-。尸-5为锐角，

故二面角4—0尸一B的大小为60°.....................................................................6分

(2)由题意，设)(a,a,0)(0Wa近&),则

PF=(V2-a,V2-a,l),CB=(0,72,0).

：P尸与BC所成的角为60°,

।y/2•(V2-a)

必收及-4+12

解得a=•或a=(舍),

22

所以占P在线段4c的中点处.10分

数学II附加题部分

注意事项

1.本试卷共2页，均为解答题（第21题〜第23题，共4题）.本卷满分为40分，考试时

间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置

作答一律无效.

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作

答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4-1：几何证明选讲

（本小题满分10分）如图，已知AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，分别延长AB,

CD相交于点M,N为圆O上一点，AN=AC,证明：ZMDN=2Z0CA

（第2I-A题）

B.选修4-2：矩阵与变换

2］的逆矩阵-21,求实数m,n

（本小题满分10分）已知矩阵V二

73-7m

C.选修4・4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）在平面直角坐标xoy中，已知曲线C的参数方程为

fJ2

X=彳，，1

（，为参数），曲线与直线y相交于A，B两点，求线段AB的长。

1.1

D.选修4一5：不等式选讲

（本小题满分10分）已知a,b,c均为正数，求证：3+2++

becaababc

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解

答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.(本小题满分10分)如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE

J_平面BCDE,AB=AE,DB=DE,ZBAE=ZBDE=90°o

(1)求异面直线AB与DE所成角的大小；

(2)求二面角B-AE-C的余弦值。

第22厩用

23、设4是满足下述条件的自然的个数：各数位上的数字之和为n且每数位

上的数字只能是1或2。

(1)求卬，色，6，G的值；

(2)求证：的是5的倍数。

数学口（附加题）参考答案及评分建议

21.【选做飕】本翘包括A、B,C、D四小题.请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答

若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4—1:几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，已知48是0。的直径，8是。。的弦,分别

延长8相交于点M.N为◎。上一点,AN=AC.

证明：NMDN=2NOCA.

【解】连结OM因为，N="C,ONOC.04是公共边,

B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知矩阵“=［；"的逆斑阵"'=［二口,求实数明”.

—21Fmn-\401「1

【解】1115/,W'：m_[_7n-215分

-14+3m0

wn-14=l

所以,7”-2l=0，解得，..................................[o分

-!4+3m=)W3

c.选修i：坐标系与参数方程（本小Si满分io分）

在平面直角坐标系*0中，已知曲线c的参数方程为2（，为参数），曲线与H

V

线/：y=）x相交于儿B两点.求线段彳8的长.

1

X=-

2

【解】解法-：将曲线C的参数方程1化为普通方程为x=8/......3分

V-

-=4

分

0

1

J

,

0

.

0

4

)

分

.

.

.

.

.

..

.

.

.