初中定值问题

苏州市2015—2016学年初三数学定值问题专题复习

课前演练：

一、选择题

1.（2015•潍坊）如图，直线1是一条河，A,B两地相距5km,A,B两地到1的距离分别为

3km,6km,欲在1上的某点M处修建一个水泵站，向A,B两地供水，现有如下四种铺设

方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）

2.（2015•甘肃）如图，A,B两个电话机离电话线1的距离分别是3米，5米，CD=6米，若由

1上一点分别向A,B连线，最短为（）

A.11米8.10米C.9米D.8米

3.如图，AC±BC于C,连接AB,点D是AB上的动点，AC=6,BC=8,AB=10,则

点C到点D的最短距离是（）

4024

A.6B.8C.—Dr^-

P

~ABCD-，第6题图）

4.（2015•贵阳模拟）如图MZ\ABC中，AB=BC=4,D为BC的中点，在AC边上存在一点

E,连接ED,EB,则aBDE周长的最小值为（）

A.2小B.2小C.2/+2D.2小+2

二、填空题

5.如图，从直线外一点A到这条直线的所有线段中，线段最短.

6.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由是

7.如图，在等腰三角形aABC中，ZABC=120°,P是底边AC上的一个动点，M,N分

别是AB,BC的中点，若PM+PN的最小值是2,贝IJ/XABC的周长是

8.如图，在菱形ABCD中，NBAD=60°，点M是AB的中点，P是对角线AC上的一个

动点，若PM+PB的最小值是9,则AB的长是.

9.如果P是边长为2的正方形ABCD的边CD上任意一点且PE±DB,PFXCA,垂足分别

为E,F,则PE+PF=

10.如图，/ABC=45°，:BC=4、「，BD平分NABC交AC于点D,M,N分别是BD和

BC上的动点（M与B,D两点不重合，N与B,C两点不重合），则CM+MN的最小值是.

典型例题:

例1.小虎家新建一间房子，要在屋外的A处安装水表，从大路边到A处怎样接水管最近?

把最短的线段画出来，并简要说明道理.

例2.等边4ABC的边长是8,AD±BC,E是BD的中点，M,N分别是AB,AD上的动

点，求MN+EN的最小值.

BEDC

例3.如图，ZAOB=45°,P是NAOB内一定点，PO=10,Q,R分别是OA,OB上的

动点，求^PQ!^周长的最小值.（要求画出示意图，写出解题过程）

例4.如图，在菱形ABCD中，AB=4,ZA=135°，点P,M,N分别为对角线BD及边

BC,CD上的动点，求PM+PN的最小值.

例5.如图，正方形ABCD的边长为4,ZDAC的平分线交DC于点E,若点P,Q分别是

AD和AE上的动点，求DQ+PQ的最小值.

巩固练习：

一、填空题

1.在半。O中，点C是半圆弧AB的中点，D是弧BC上距离点B较近的一个三等分点，

点P是直径AB上的动点，若AB=10,则PC+PD的最小值是.

2.（2015•株洲）如图，AB是。O的一条弦，点C是。O上一动点，且/ACB=30°，点E,

F分别是AC,BC的中点，直线EF与。O交于G,H两点，若。O的半径为7,则GE+FH

的最大值为.

3.（2015•莆田）如图，在反比例函数y=§上有两点A（3,2）,B（6,1）,在直线y=-x上有

一动点P,当P点的坐标为时，PA+PB有最小值.

二、解答题

4.已知点M(3,2),N(1,-1)，点P在y轴上，求使得的周长最小的点P的坐标.

5.(2015•宁德)如图，AB是。O的直径，AB=8,点M在。O上，ZMAB=20°,N是弧

MB的中点，P是直径AB上的一动点.若MN=1,则aPNIN周长的最小值为多少.

V

B

6.(2015•永州模拟)如图,已知抛物线y=ax?+bx+c经过A(—3,0),B(1,0),C(0,3)三

点，其顶点为D,对称轴与x轴交于点H.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，求aPBC周长的最小值.

7.小明在学习轴对称的时候，老师留了一道思考题：如图1,若点A,B在直线m的同侧，

在直线m上找一点P，使得AP+BP的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个

问题的正确方法，他的做法是这样的：(a)作点B关于直线m的对称点B，,(b)连接AB，与直

线m交于点P,则点P为所求.

请你参考小明的做法解决下列问题：

(1)如图2,在等边4ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点

P(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，使得BP+PE的值最小，并求出最小值；

(2)如图3,在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,G为边AD上的中点，若E,F为AB

边上的两个动点，点E在点F的左侧，且EF=1,当四边形CGEF的周长最小时，请你在

图3中确定点E,F的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，并求出四边形CGEF的

周长的最小值.

B'

ffll图2图3

8.(2015•大庆)如图，抛物线y=-x?+4x+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.已知

M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.APCM是以CM为

底的等腰三角形.

(1)求点P的坐标；

(2)当a为多少时，四边形PMEF周长最小.

拓展提局：

1.(2012年苏州)如图，已知半径为2的。O与直线1相切于点A,点P是直径AB左侧半

圆上的动点，过点P作直线1的垂线，垂足为C,PC与。O交于点D,连接PA、PB,设

PC的长为x(2<x<4).

<1)当*=至时，求弦PA、PB的长度；

2

(2)当x为何值时，PD・CD的值最大？最大值是多少?

2.(2012年苏州)如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD

以lcm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终

与边FG重合，连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形

ABCD的边长为1cm,矩形EFGH的边FG,GH的长分别为4cm,3cm,设正方形移动时间

为x(s),线段GP的长为y(cm),其中04x42.5.

(1)试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；

(2)记4DGP的面积为Si，4CDG的面积为S2.试说明S「S2是常数；

(3)当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.

中午作业：（分类练习）

一、定值问题解

1、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4）,现有两动点P、

Q,点P从点0出发沿线段0C（不包括端点0,C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C

运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C,D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点

D运动.点P,Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=2，^.

（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；

（2）连接AQ并延长交X轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF,则

的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S

的值.

（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？

2、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120",4AEF为正三角形，点E、F分别在菱

形的边BC.CD上滑动，且E、F不与B.C.D重合.

（1）证明不论E、F在BC.CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC.CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和4CEF的面积是否发生变化？

如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值.

二、由运动产生的线段和差问题（最值问题）

3、如图所示，已知A(；,yJ,B(2,y2)为反比例函数y=,图像上的两点，动

点P(x,O)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【】

135

A.(-,0)B.(1,0)C.(-,0)D.(-,0)

4、如图，抛物线1交x轴于点A(-3,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,-3).将抛物线

1沿y轴翻折得抛物线li.

(1)求L的解析式；

(2)在L的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出

理由；

5、如图，已知抛物线y=-x,+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点，与y轴交

于点N.其顶点为D.

(1)抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值；

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点，过点E作EF〃BD

交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若

不能，请说明理由；

(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求AAPC的面积的最大值.

回家作业：(压轴题训练)

1、如图，已知抛物线y=ax?+bx+c经过A(4,0),B(2,3),C(0,3)三点.

(1)求抛物线的解析式及对称轴.

(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标.

(3)在抛物线上是否存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形?

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2.(2012四川自贡12分)如图所示，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120°,ZXAEF为

正三角形，点E、F分别在菱形的边BC.CD上滑动，且E、F不与B.C.D重合.

(1)证明不论E、F在BC.CD上如何滑动，总有BE=CF；

(2)当点E、F在BC.CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和4CEF的面积是否发生变

化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.

3.(2015•常州10分)如图，一次函数y=-x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,

过点A作x轴的垂线1,点P为直线1上的动点，点Q为直线AB与4OAP外接圆的交点，

点P、Q与点A都不重合.

(1)写出点A的坐标；

(2)当点P在直线1上运动时，是否存在点P使得ACQB与4APQ全等？如果存在，求出

点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

(3)若点M在直线1上，且NPOM=90。，记AOAP外接圆和AOAM外接圆的面积分别是

Si、S2，求卷号的值.

参考答案：

课前演练：_

1.B；2.B；3.D；4.C；5.AD；6.垂线段最短;7.4+2\/3；8._6^/3；9._^2；10.，；

2典型例题：

例1.解：如图所不：

沿AB线段接水管最近，因为直线外一点与直线的所有连接线段中，垂直线段最短

（例1答图）8ADHC（例2答图）\1（例3答图）

例2.解：作点E关于AD的对称点H,过点H作HGXAB于G,则MN+EN的最小值是

GH

HG,RtAHBG中，sin60°=,解得，GH=3'\/3。

例3.解：分别作点P关于OA,OB的对称点M,N,连接OM,ON,MN,MN交OA,

OB于点Q,R,连接PR,PQ,此时△PQR周长的最小值等于MN.由轴对称性质可得，OM

=ON=OP=10,NMOA=NPOA,ZNOB=ZPOB,/.ZMON=2ZAOB=2X45°=

90°,在RtZ\MON中，MN=^/OM2+ON2=1（h/2,即△PQR周长的最小值等于1即。

例4.解：过点M作关于BD的对称点Mi,连接MjN交BD于点P,连接PM,则PM+

PN的最小值就是MiN，过点C作CHLAB于点H,则MN>CH,VZA=135°，,ZHBC

=45°，:四边形ABCD是菱形，,AB=BC=4,由三角函数的定义有，加45°=*,

二坐=¥，解得，CH=2陋,即PM+PN的最小值为2巾o

B\lC（例4答图）B「（例5答图）

例5.解：作D关于AE的对称点D,再过D作DP_LAD于P',VDD,±AE，二ZAFD

NAFD',VAF=AF,/DAE=/CAE，二△DAFgZXD'AF，,D'是D关于AE的对

称点，AD'=AD=4,P'即为DQ+PQ的最小值，：四边形ABCD是正方形，二

/DAD'=45°,.*.AP,=P'D'，，在RtZkAP'D‘中，P'D'2+AP,2=AD,2,ADZ

2=16,VAP,=P'D',2P'D'2=AD'2,即2P'D'2=16,：.P'D'=2小,即DQ+PQ

的最小值为2吸

巩固练习：

1._W1；2._?_；3.,—多点拨:设A点关于直线y=—X的对称点为A，,连接AB,

交直线y=-x为P点，此时PA+PB有最小值，VA点关于直线y=-x的对称点为"，

—3=—2k+b

A(3,2),・・・A'(―2,-3),设直线AB的直线解析式为y=kx+b,\'解得

l=6k+b,

f1-

丫=/一

k=T,b=—2，，直线AB解析式为y=1x—2,联立＜2,44

解得x=§,y=—§,即P

、y=­x，

点坐标(g,—,故答案为g,—1)o

4.解：作出M关于y轴的对称点连接NM\与y轴相交于点P,则P点即为所求，

2=-3k+b,31

设过NM，两点的直线解析式为y=kx+b(kWO)，贝匹解得k=-T,b=一公，故

T=k+b,

此一次函数的解析式为y=—1x—1,因为b=一；,所以P点坐标为(0,—1)o

5.解：作N关于AB的对称点N，,连接MN-NN',ON',OM,ON,VN关于

AB的对称点N，,...MN'与AB的交点P，即为△PMN周长最小时的点，：N是弧MB

的中点，/.ZA=ZNOB=ZMON=20°,-,.ZMON,=60°,/.△MON,为等边三

角形，...MN'=OM=4,.♦.△PMN周长的最小值为4+1=5

图)

a+b+c=O,

6.解：(1)把A(—3,0),B(1,0),C(0,3)三点坐标代入y=ax?+bx+c中A9a-3b+c=0,

、c=3,

a=-1,

解得1b=—2,即抛物线的解析式是y=-x?—2x+3

、c=3,

(2)如图，Z\PBC的周长=PB+PC+BC,VBC是定值，，当PB+PC最小时，Z\PBC

的周长最小.A,B两点关于对称轴对称，连接AC,交对称轴于点P,点P即为所求，­/

AP=BP,APBC的最小周长=PB+PC+BC=AC+BC,VA(-3,0),B(1,0),C(0,3),

AAC=3^2,BC=V10,APBC的最小周长=3陋+JT5。

7.解：(1)如图2,作点E关于AD的对称点F,交AC于点F,连接BF,交AD于点

P,连接PE,点P即为所求.在等边AABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD

是高，，F是AC的中点，,BFLAC于点F,/.BP+PE的最小值=BF=声，=5(2)

如图3,作点G关于AB的对称点M,在CD上截取CH=1,连接MH,交AB于点E,在

BE上截取EF=1,连接CF，则E,F为所求，VAB=4,BC=6,G为边AD上的中点，

AEAMAE3

・・・DG=GA=AM=3,VAE//DH,AAMAE^AMDH，，==次，;kF,，AE=

UrlU1V1Jy

1..在RdGAE皿ACDG中，分别由勾股定理解得,GE=^/AE2+AG2=A/12+32

=V10，CF=^BF2+BC2=^/22+62=2VTb,CG=^DG2+DC2=5,四边形GEFC的周

长的最小值=GE+EF+FC+CG=415+l+2，T5+5=6+3710

8.解：(l)Vy=-x2+4x+5与y轴交于点C,...点C的坐标为(0,5)又：M(O,1),APCM

是以点P为顶点的等腰三角形，二点P的纵坐标为3，令y=—x?+4x+5=3解得x=2i\同,

:点P在第一象限，；.P(2+优,3)

(2)四边形PMEF的四条边中，PM,EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF

的周长将取得最小值，将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得,1)，作点Mi

关于X轴的对称点M,,则M2(l,-1),连接PM2,与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2

最小，设直线PM2的解析式为y=mx+n,将P(2+&，3),M2(l,—1)代入得:

4^/6-4

(2+-J6)m+n=3m-5,••.yg工-吟,当y=0时，解得

,,解得：5

m+n=—1-4^6-155

「5

x=加J5.5,0),VF(a+l,0),■时,四边形PMEF周长

(拓展2答

1.解：(1):。O与直线1相切于点A,且AB为。O的直径，.-.ABXL又：PC，1,

；.AB〃PC,/.ZCPA=ZPAB,：AB是。O的直径，ZAPB=90°,又PC_LL

AZPCA=ZAPB=90°,AAPCA^AAPB,，匹二生，即PA2=PC・AB,；PC=2AB=4,

APAB2

.•.PA=J|x4=gi，，RdAPB中，AB=4,PA=V10,由勾股定理得：PBR”-10=加;

(2)过O作OE_LPD,垂足为E,：PD是。O的弦，OE_LPD,.\PE=ED,

XZCEO=ZECA=ZOAC=90°,四边形OACE为矩形，.,.CE=OA=2,又PC=x,

；.PE=ED=PC-CE=x-2,；.CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x,

；.PD・CD=2(x-2)•(4-x)=-2X2+12X-16=-2(x-3)2+2,

：2<x<4,...当x=3时，PD・CD的值最大，最大值是2.

2.解：(1)VCG/7AP,.•.△GCD^AAPG,，包=匹，VGF=4,CD=DA=1,AF=x,

GDAG

/.GD=3-x,AG=4-x,=~,即y=^——；.y关于x的函数关系式为y=———

3_x4-x3-x3-x

当y=3时，12^=3,解得x=2.5,经检验的x=2.5是分式方程的根.故x的值为2.5；

3-x

(2),/SI=-1GP«GD=A.-1Z^.(3-x)S7=AGD«CD=1(3-x)1=—

223-x2222

ASi-S2=g=-即为常数；

222

(3)延长PD交AC于点Q.：正方形ABCD中，AC为对角线，；./CAD=45。，

VPQXAC,?.NADQ=45。，ZGDP=ZADQ=45°..,.△DGP是等腰直角三角形,则GD=GP,

；.3-xJ——化简得：x2-5x+5=0.解得：x=』一"1，,V0<x<2.5,

3-x2

GD

Ax-5一泥，在RtADGP中,PD-O=42(3-x)=V2+Vlp

2cos452

中午作业：

1.【答案】解：(1)由题意可知，当t=2(秒)时，0P=4,CQ=2,在RtZXPCQ中，由勾股定

理得:PC=7PQ2-CQ2=^(2A/5)2-22=4,.*.0C=0P+P.C=4+4=8o又：矩形AOCD,A(0,4),

AD(8,4)o

t的取值范围为：0<t<4。

(2)结论:Z\AEF的面积S不变化。YAOCD是矩形，；.AD〃OE,.,△AQDsZXEQC。*=出，

ADDQ

即解得CE=d。由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4—t,则CF=CD+DF=8—t。

84-t4-t

S=S梯形AOCF+SAFCE-SAAOE--(OA+CF)•OC+-CF-CE--OA*OE=-[4+(8-t)]X8+-(8

22222

Q+1Q+

-t)•——--X4X(8+——)。化简得：S=32为定值。所以4AEF的面积S不变化，

4-t24-t

S=32。

(3)若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ〃AF。由PQ〃AF可得：

△CPQ^ADAFo

ACP：AD=CQ：DF,即8-2t：8=t：4-t,化简得t2-12t+16=0,解得：匕=6+2石，tZ=6—2/。

由(1)可知，0<t<4,.,.如=6+26不符合题意，舍去。二当t=6-2行秒时，四边形APQF

是梯形。

2.【答案】解：(1)证明：如图，连接AC。

,四边形ABCD为菱形，ZBAD=120°,

ZBAE+ZEAC=60°,ZFAC+ZEAC=60°,AZBAE=ZFACO

VZBAD=120°,；./ABF=60°。,ZiABC和AACD为等边三角形。

AZACF=60°,AC=ABoAZABE=ZAFC„

二在AABE和AACF中，ZBAE=ZFAC,AB=AC,ZABE=ZAFC,

/.△ABE^AACF(ASA)o；.BE=CF。

(2)四边形AECF的面积不变，ACEF的面积发生变化。理由如下:

由（1）得4ABE丝zXACF,贝ISAABE=S.CF。

S四边形AECF二S4AEc+S^ACF二S/kAEc+S^ABE二SaABC,是定值。

作AHLBC于H点，则BH=2,

s四边形AECF=SAABC=；•BC・AH=gBC•VAB2-BH2=4百。

由''垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.

故4AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小,

又SACEF-S四边形AECF-SAAEF,则此时4CEF的面积就会最大.

—

SACEF—S四边形AECFSAAEF—4-\/3,2-\/3,=y/3o

/.△CEF的面积的最大值是由o

3.【答案】Do

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。

【分析】•••把A(g,yJ,B(2,y?)分别代入反比例函数y=：得:

.*•A(—，2),B(2,—)o

22

•.•在4ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|<AB,

延长AB交x轴于P'，当P在P'点时，PA-PB=AB,

即此时线段AP与线段BP之差达到最大。

1,

2=-k+bk=-l

设直线AB的解析式是y=kx+b,把A、B的坐标代入得:，解得：5直

b=一

—=2k+b2

2i

线AB的解析式是y=-x+3。当y=0时，x=-BPP(-,0)。故选D。

222

4.【答案】解：(1)如图1,设经翻折后，点A.B的对应点分别为A1、BL

依题意，由翻折变换的性质可知4(3,0),Bj(-1,0),C点坐标不变,

二抛物线L经过&(3,0),Bi(-1,0),C(0,-3)三点,

设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c,则

9a+3b+c=0a=l

<a-b+c=0,解得<b——2o

c=-3c=-3

・••抛物线li的解析式为：y=x2-2x-3o

b-2

(2)抛物线li的对称轴为：x-------........=1,

2a2

如图2,连接RC并延长，与对称轴x=l交于点P,则点P即为所求。

此时，|PAi-PC|=|PBi-PC|=BiCo

设P，为对称轴x=l上不同于点P的任意一点，

则有：|P'A-P，C\=\P'Bi-P，C|VBiC(三角形两边之差小于第三边),

・・.|P，A-PzC|<|PAi-PC|,即|PAi-PC|最大。

—k+b=O

设直线BiC的解析式为尸kx+b,则

b=-3

解得k=b=-3。・••直线BiC的解析式为：y=-3x-3O令x=l,得y=-6。，P(1,-6)。

5.【答案】解：(1)由抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0)及C(2,3)得,

-l-b+c=0解得仁。

/.抛物线的函数关系式为y=-x2+2x+3=

-4+2b+c=3

设直线AC的函数关系式为丫=1«+11,由直线AC过点A(-1,0)及C(2,3)得:

-k+n=0k=l

,解得

2k+n=3n=l

二直线AC的函数关系式为y=x+lo

(2)作N点关于直线x=3的对称点N，,

令x=0,得y=3,即N(0,3)o

・・・N，(6,3)

由y=-x?+2x+3=-(x-l/+4得：D(1,4)o

C6w~|~t—3

设直线DM的函数关系式为产sx+t,贝IJ：~,解得<

[s+t=4

121

故直线DN，的函数关系式为丫=-^x+E。

根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M(3,m)在直线DN'上时，MN+MD的值最小，

1?11812

Am=——x3+—=一。.,.使MN+MD的值最小时m的值为一。

5555

(3)由⑴、(2)得D(1,4),B(1,2),

①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形,

此时，点E与点C重合，即E(2,3)o

②当BD为平行四边形边时，•:点E在直线AC上，.,•设E(x,x+1),则F(x,-X?+2x+3)。

2

又,.・BD=2,・,•若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EFOA|-x+2x+3-(x+l)|=2,

即卜x，+x+2卜2。若一x2+x+2=2,解得，x=0或x=l(舍去)，AE(0,l)o

(4)如图，过点P作PQ，x轴交AC于点Q；过点C作CG，x轴于点G,

2

设Q(x,x+1),则P(x,-X+2X+3)O

PQ=(-x2+2x+3)-(x-1)=-x2+x+2o

+

*e,SAAPC=^AAPQSACPQ--PQ,AG

=—(-x2+x+2)x3=-—(x--)2+—o

2228

3127

•・・—-<0,・,•当x=—时，AAPC的面积取得最大值，最大值为一。

228

回家作业：(压轴题训练)

1.【答案】解：(1),/抛物线y=ax2(4,

0),B(2,3),C(0,3)三点，

r3

a=——

16a+4b+c=08

3

<4a+2b+c=3,解得b=2o

4

c=3

c=3

・・・抛物线的解析式为:y=——x2+—x+3,其对称轴为：x=——=1o

842a

(2)由B(2,3),C(0,3),且对称轴为x=L可知点B、C是关于对称轴x=l的对称点。

如图1所示，连接AC,交对称轴x=l于点M,连接MB,则MA+MB=MA+MOAC,根据两点之

间线段最短可知此时MA+MB的值最小。设直线AC的解析式为尸kx+b,

VA(4,0),C(0,3),A，k+b=O,解得<卜=一晨...直线AC的解析式为：y=_2x

b=3ic4

+3o

9

得一Q

令x=l,4-•'•M点坐标为(1,-)

4o

(3)结论:存在。

如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：

①若BC〃APi,此时梯形为ABCPio

由B(2,3),C(0,3),可知BC〃x轴，

则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。

在丫二一一X?+—x+3中令y=0,解得xi=-2,X2=4O

84

APi(-2,0)oVPiA=6,BC=2,「.PiAWBC。,四边形ABCPi为梯形。

②若AB〃CP2,此时梯形为ABCP2。设CP2与x轴交于点N,・・・BC〃x轴，AB〃CP2,・••四边形

ABCN为平行四边形。.'.AN=BC=2。.・・N(2,0)o设直线CN的解析式为尸kix+bi,则有:

J2ki+bi1=0,解得k=—2。J直线CN的解析式为：y二一3士x+3。

瓦二3k22

-1[b=3

•・,点P2既在直线CN：y=——x+3±,又在抛物线：y=—x2+-x+3±,

284

——x+3=——x2+—x+3,化简得：x2—6x=0,解得xi=O(舍去)，xz=6。

284

.•.点P2横坐标为6,代入直线CN解析式求得纵坐标为一6。；.P2(6,—6)。

VQABCN,.*.AB=CN,而CPzWCN,.*.CP2^ABo四边形ABCP2为梯形。

综上所述，在抛物线上存在点P,使得以点A、B、

点P的坐标为(-2,0)或(6,—6)o

2.【答案】解：(1)证明：如图，连接AC

:四边形ABCD为菱形，ZBAD=120°,

ZBAE+ZEAC=60°,ZFAC+ZE