人教高中数学A版必修一 《任意角 弧度制》

5.1.1任意角三角函数一二三一、任意角1.(1)初中所学的角是如何定义的?初中学过哪些角?初中学过的角的范围是什么?提示:具有公共顶点的两条射线组成的图形;锐角、直角、钝角、平角、周角;0°<α≤360°.(2)在奥运会比赛中,跳水是极具观赏性的项目,其中解说员经常播报出场运动员完成的动作难度系数和一些动作名称.比如说“107B”就表示向前翻腾3周半屈体,“107C”就是向前翻腾3周半抱膝(第三个数字表示翻腾的周数,以“1”为半圆,“2”为一周,“3”为一周半,以此类推).若一位跳水运动员做了一个“5253B”动作,你知道这位运动员翻腾的周数吗?怎样度量这种形式的角呢?提示:5253B中第3个数是5,说明该运动员翻腾两周半,对这样的角的认识必须将以前学过的角的概念进行推广.一二三2.填空(1)角的概念:平面内的一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)角的分类:按旋转方向可将角分为三类温馨提示:1.在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记成“α”;2.如果α是零角,那么记α=0°.一二三二、第几象限角1.如果将一个角放到平面直角坐标系中,且使角α的始边与x轴的非负半轴重合,角的顶点与原点重合,回答以下问题:(1)α=45°的角终边落在第几象限?提示:第一象限.(2)α=120°的角终边落在第几象限?提示:第二象限.(3)α=-90°的角终边落在第几象限?提示:y轴的负半轴上.(4)若α终边落在第二象限,则角φ的范围是多少?提示:90°+k·360°<φ<180°+k·360°,k∈Z.(5)若将α的终边再继续旋转角β得到的角如何表示?提示:α+β一二三2.填空象限角的定义(1)前提:①角的顶点与原点重合;②角的始边与x轴的非负半轴重合.(2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何一个象限.一二三三、终边相同的角1.在同一平面直角坐标系内作出30°,390°,-330°,750°角,观察它们的终边有什么关系,这些角之间相差多少度?提示:终边在相同的位置,它们之间相差360°的整数倍.2.填空一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.一二三3.做一做(1)与-40°角终边相同的角的集合是(

)A.{α|α=k·360°-40°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+40°,k∈Z}C.{α|α=k·360°±40°,k∈Z}D.{α|α=k·360°+80°,k∈Z}答案:A(2)与1680°角终边相同的最大负角是

.

解析:1

680°=5×360°-120°,故与1

680°角终边相同的最大负角是-120°.答案:-120°(3)今天是星期一,那么7k(k∈Z)天后的那一天是

,7k+2(k∈Z)天后的那一天是

,2020天后的那一天是

.

答案:星期一

星期三

星期天探究一探究二探究三思维辨析随堂演练任意角的概念及其表示例1(1)经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是(

)A.60°,720° B.-60°,-720°C.-30°,-360° D.-60°,720°(2)下图中的角α的度数是

.

解析:(1)钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而

×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.(2)要正确识图,确定好旋转的方向和旋转的大小.因为角α旋转的大小是360°-30°=330°,旋转方向是逆时针,所以α=330°.答案:(1)B

(2)330°探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

确定任意角的方法:(1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,顺时针方向旋转形成的角为负角.(2)定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1(1)把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(

)A.120° B.-120°

C.240° D.-240°(2)图中角α=

,β=

.

解析:(1)一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是-240°,故选D.(2)由题图可知α=-(180°-30°)=-150°,β=30°+180°=210°.答案:(1)D

(2)-150°

210°探究一探究二探究三思维辨析随堂演练坐标系中角的概念及其表示角度1

终边相同的角的求解例2写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1080°范围内与75°角终边相同的角.分析:根据与角α终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z},写出与75°角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出360°~1

080°范围内的角.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.当360°≤β<1

080°时,即360°≤k·360°+75°<1

080°,又k∈Z,所以k=1或k=2.当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.综上所述,与75°角终边相同且在360°~1

080°范围内的角为435°角和795°角.反思感悟

求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2

终边在某条直线上的角的集合例3写出终边在如图所示的直线上的角的集合.分析:定0°~360°范围内终边在所给直线上的两个角→分别写出与两个角终边相同的角的集合→写出两个集合的并集即可探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)在0°~360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,又所有与0°角终边相同的角的集合为S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有与180°角终边相同的角的集合为S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.(2)由图形易知,在0°~360°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.(3)终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z},结合(2)知所求角的集合为S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°,k∈Z};终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+180°,k∈Z};终边落在x轴上的角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z};终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+90°,k∈Z};终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°-90°,k∈Z};终边落在y轴上的角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z};终边落在坐标轴上的角的集合为{x|x=k·90°,k∈Z}.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度3

区域角的求解例4如图所示,写出顶点在原点,始边为x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).分析:(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;(2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180°就会重复出现.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)对于阴影部分,先取[-60°,75°]这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}.(2)对于阴影部分,先取[60°,90°]这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为{α|60°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z}.反思感悟

区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:(1)借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界;(2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β;(3)分别将起始边界,终止边界的对应角α,β加上360°的整数倍,即可求得区域角.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:C探究一探究二探究三思维辨析随堂演练象限角及其应用角度1

给定一个角判断它是第几象限角例5已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,指出它们是第几象限角,并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角.(1)405°;(2)-45°;(3)495°;(4)-520°.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:作出各角的终边如图所示.由图可知:(1)405°是第一象限角;(2)-45°是第四象限角;(3)495°是第二象限角;(4)-520°是第三象限角角.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)405°=45°+360°,所以在0°~360°范围内,与405°角终边相同的角是45°.(2)-45°=315°-360°,所以在0°~360°范围内,与-45°角终边相同的角是315°角.(3)495°=135°+360°,所以在0°~360°范围内,与495°角终边相同的角是135°角.(4)-520°=200°-2×360°,所以在0°~360°范围内,与-520°角终边相同的角是200°角.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

(1)作给定的各个角时,可先找出在0°~360°范围内与其终边相同的角,然后根据角的表示方式,利用正角逆时针旋转相应的圈数,负角顺时针旋转相应的圈数,在图形中标注相应的圈数和旋转方向即可.(2)判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β+k·360°(其中k∈Z,β在0°~360°范围内)的形式,观察角β的终边所在的象限即可.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练

探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)画出区域:将坐标系每个象限二等分,得到8个区域;(2)标号:自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(如图所示);(3)确定区域:找出与角α所在象限标号一致的区域,即为所求.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对任意角的概念不清导致角的范围写错典例

写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合.错解一终边为OA的角为k·360°+30°(k∈Z),终边为OB的角为k·360°+150°(k∈Z),所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}.错解二终边为OA的角为k·360°+30°(k∈Z),终边为OB的角为k·360°+150°(k∈Z),所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|k·360°+150°<α<k·360°+30°,k∈Z}.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?怎么防范?探究一探究二探究三思维辨析随堂演练提示:错解一考虑了角的大小,但表示的是终边落在阴影部分以外的角;错解二没有注意到角的大小,写出的集合是空集.正解:因为阴影部分含x轴正半轴,所以终边为OA的角为β=30°+k·360°,k∈Z,终边为OB的角为γ=-210°+k·360°,k∈Z.所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|-210°+k·360°≤α≤30°+k·360°,k∈Z}.防范措施

1.用不等式表示区域角的范围时,要注意观察角的集合形式是否能够合并,能合并的一定要合并.2.对于区域角的书写,一定要看其区域是否跨越x轴的正方向.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.下列叙述正确的是(

)A.三角形的内角必是第一或第二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.第四象限角一定是负角D.钝角比第三象限角小解析:90°角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280°角是第四象限角,它是正角,故C错;-100°角是第三象限角,它比钝角小,故D错.答案:B探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.把-1485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(

)A.315°-5×360° B.45°-4×360°C.-315°-4×360° D.-45°-10×180°解析:∵0°≤α<360°,∴排除C,D选项,经计算可知选项A正确.答案:A3.-495°角的终边与下列哪个角的终边相同(

)A.135° B.45° C.225° D.-225°解析:因为-495°=-2×360°+225°,所以与-495°角终边相同的是225°角.故选C.答案:C4.与-2018°角终边相同的最小正角是

.

解析:∵-2

018°=-6×360°+142°,∴所求值为142°.答案:142°探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.若角α的终边落在如图所示的阴影部分中,试写出其集合.解:以OA为终边的角为75°+k·360°(k∈Z),以OB为终边的角为k·360°-30°(k∈Z),因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为{α|k·360°-30°<α<k·360°+75°,k∈Z}.5.1.2

弧度制三角函数一二三一、弧度制1.(1)在平面几何中,1°的角是怎样定义的?提示:将圆周分成360等份,每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.(2)在我们度量长度时,有时用“米”作单位,有时用“尺”作单位,有不同的单位制,度量质量时,可以使用“千克”、“磅”等不同的单位制,角的度量除了角度制外,是否也有不同的单位制呢?提示:有不同的单位制,即弧度制.一二三2.填空弧度制的定义3.将半径为r的圆的一条半径OA,绕圆心顺时针旋转到OB,若弧AB长为2r,则∠AOB的大小为多少弧度?提示:-2弧度.一二三4.填空弧度数的计算5.做一做已知半径为12cm,弧长为8πcm的弧,其所对的圆心角为α,则α的弧度数的绝对值是

.

一二三二、角度与弧度的换算1.由360°=2πrad,180°=πrad,你能进行角的角度数与弧度数的转换吗?即1°的角等于多少弧度?1rad的角等于多少度?一二三2.角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的换算(2)一些特殊角与弧度数的对应关系

一二三3.做一做下列换算结果错误的是(

)答案:C一二三三、弧度制下扇形的弧长与面积公式1.在弧度制下,弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式?你能推导吗?一二三2.填空扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R,弧长为l,α为其圆心角,则一二三3.做一做已知扇形的半径r=30,圆心角α=,则该扇形的弧长等于

,面积等于

,周长等于

.

答案:5π

75π

60+5π.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练弧度制的概念例1(多选题)下列说法中正确的是(

)A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关解析:无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.答案:ABC探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

1.不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径的大小无关的定值.2.用角度制和弧度制度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,数量也不同.3.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省去.4.以弧度为单位度量角时,常把弧度数写成nπ(n∈R)的形式.若无特别要求,不必把π写成小数,如45°=

rad,不必写成45°≈0.785

rad.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1下列说法正确的是(

)A.1弧度是长度等于半径的弧B.1弧度是1°的圆心角所对的弧C.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角D.1弧度等于1°解析:1弧度角的定义:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.由上可知,只有C正确.答案:C探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练弧度与角度的换算例2(1)把112°30'化为弧度;(3)将-1485°表示成2kπ+α(k∈Z)的形式,且0≤α<2π.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

角度制与弧度制互化的关键与方法:(1)关键:抓住互化公式π

rad=180°是关键;(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度;(4)角度化为弧度时,其结果写成π的形式,没特殊要求,切不可进行近似计算,也不必将π化为小数;(5)注意角度制和弧度制不能混用,如α=2kπ+45°,k∈Z,β=k·360°+,k∈Z都是不正确的写法.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练(1)将α1,α2用弧度表示出来,并指出它们是第几象限角;(2)将β1,β2用角度表示出来,并在-720°~0°范围内,找出与它们有相同终边的所有角.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练用弧度表示角及其范围例3用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.分析:先将边界角由角度化为弧度,再根据阴影部分写出角的集合.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟

用弧度制表示角应注意的问题:(1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度数不能混用.(2)在表示角的集合时,可以先写出一周范围(如-π~π,0~2π)内的角,再加上2kπ,k∈Z.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练3以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练弧长公式与面积公式的应用例4(1)已知扇形的周长为8cm,圆心角为2,求该扇形的面积;(2)已知扇形的周长为10cm,面积等于4cm2,求其圆心角的弧度数.分析: