高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.8离散型随机变量及其分布列、数字特征(精练)(原卷版+解析)

9.8离散型随机变量及其分布列、数字特征【题型解读】【题型一分布列的性质】1.(2023·华师大二附中高三练习）随机变量的概率分布列如下：0123456则___________.2.(2023·河南高三月考）已知随机变量X的分布列如表所示，则（

）X123Pa2a3aA． B． C． D．3．(2023·全国高三课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：X0123Pab则a2＋b2的最小值为________．4.随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.5.已知随机变量X的分布列为，，则等于（

）A． B． C． D．【题型二求离散型随机变量的分布列】1.(2023·四川模拟）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.2.(2023·武昌模拟）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现挑选5名队员参加比赛，设X表示其中种子选手人数，求X的分布列．3．(2023·石家庄模拟）将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.(1)求的分布列；(2)求的概率.4.(2023·临沂二模）为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2h，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：(1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200min，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min的概率；(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过180min的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在的人数为X，求X的分布列与数学期望.5.2022年7月，中共中央办公厅､国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称“双减”政策）.某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.(1)求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；(2)从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.【题型三离散型随机变量的均值和方差】1.(2023·唐山二模）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（

）A． B． C．1 D．2.(2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下：X123Pab2b—a则的最大值为（

）A． B．3C．6 D．53．(2023·高三课时练习）随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（

）A．10 B．117 C．38 D．354.(2023·广东高三模拟）1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2022年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊､尊重､合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王､小张､小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王､小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为.(1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；(2)比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.【题型四均值和方差在决策问题中应用】1.(2023·山东·高密三中高三阶段练习）2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大．2．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图．由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．(1)试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；(2)为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数，若，职工获得一次抽奖机会；若，职工获得二次抽奖机会；若，职工获得三次抽奖机会；若，职工获得四次抽奖机会；若超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，以期望为决策依据判断哪个方案更佳？3.(2023·济北中学高三月考）某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的．在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜．假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为．(1)写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；(2)从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？4.(2023·全国·模拟预测）某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了位业内人士，根据被访问者的问卷得分（满分分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观､尚可､乐观）.分级标准及这位被访问者得分频数分布情况如下：经济前景等级悲观尚可乐观问卷得分12345678910频数23510192417974假设被访问的每个人独立完成问卷（互不影响），根据经验，这位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；(2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下（正数表示赢利，负数表示亏损）：经济前景等级乐观尚可悲观物联网项目年回报率（%）124人工智能项目年回报率（%）75根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议.9.8离散型随机变量及其分布列、数字特征【题型解读】【题型一分布列的性质】1.(2023·华师大二附中高三练习）随机变量的概率分布列如下：0123456则___________.答案：64【解析】根据概率分布列的概率性质可知，所以，即，解得.故答案为：2.(2023·河南高三月考）已知随机变量X的分布列如表所示，则（

）X123Pa2a3aA． B． C． D．答案：C【解析】解：依题意，解得，所以；故选：C3．(2023·全国高三课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：X0123Pab则a2＋b2的最小值为________．答案：【解析】由分布列的性质，知，即.因为，当且仅当时取等号.所以的最小值为.故答案为：4.随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.答案：1024【解析】由题意.故答案为：1024.5.已知随机变量X的分布列为，，则等于（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由题意得：．故选:A【题型二求离散型随机变量的分布列】1.(2023·四川模拟）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.【解析】（1）依题意可得的可能取值为，，，所以，，，所以的分布列为01（2）依题意可得的可能取值为，，，，，所以，，，，，所以的分布列为0120.040.20.370.30.09所以．2.(2023·武昌模拟）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现挑选5名队员参加比赛，设X表示其中种子选手人数，求X的分布列．答案：012【解析】解：可取，，，，故分布列如下：0123．(2023·石家庄模拟）将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.(1)求的分布列；(2)求的概率.答案：(1)分布列见解析(2)【解析】(1)由已知可得随机变量的可能取值有：，，，，所以，，，，所以分布列为(2)由（1）得.4.(2023·临沂二模）为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2h，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：(1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200min，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min的概率；(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过180min的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在的人数为X，求X的分布列与数学期望.答案：(1)(2)X0123P，【解析】(1)依题意，课后服务时长超过200min的调查表共有（份），设事件A为其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200min，事件B为另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min，则，，故.(2)根据题意及分层抽样的知识可知，抽取的10人中，建议课后服务时长在内的有6人，则X的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，，所以X的分布列为X0123PX的数学期望.5.2022年7月，中共中央办公厅､国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称“双减”政策）.某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.(1)求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；(2)从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.答案：(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：【解析】(1)由统计图可知，25名教师中，参与课后服务2次的有4人，参与课后服务3次的有5人，参与课后服务4次的有10人，参与课后服务5次的有6人，所以这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数为.(2)由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望.【题型三离散型随机变量的均值和方差】1.(2023·唐山二模）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（

）A． B． C．1 D．答案：B【解析】由，解得由随机变量的分布列的性质得，得所以故选：B2.(2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下：X123Pab2b—a则的最大值为（

）A． B．3C．6 D．5答案：C【解析】，只需求的最大值即可，根据题意：，，，所以，当时，其最大值为，故的最大值为．故选：C.3．(2023·高三课时练习）随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（

）A．10 B．117 C．38 D．35答案：C【解析】，k＝1，2，3，，解得，，，.故选：C4.(2023·广东高三模拟）1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2022年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊､尊重､合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王､小张､小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王､小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为.(1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；(2)比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.答案：(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：【解析】（1）设小王与小张比赛小王获胜记为事件A，小马与小张比赛小张获胜记为事件B，小马与小王比赛小马获胜记为事件C，且A，B，C相互独立.则设“比赛完3局时，三人各胜1局”记为事件M，则(2)X的可能取值为1，2则X的分布列为X12P则【题型四均值和方差在决策问题中应用】1.(2023·山东·高密三中高三阶段练习）2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大．【解析】(1)若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为；②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为．所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为．(2)若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，所以甲能获得冠军的概率为．若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为．若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果．因为，所以甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大．2．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图．由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．(1)试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；(2)为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数，若，职工获得一次抽奖机会；若，职工获得二次抽奖机会；若，职工获得三次抽奖机会；若，职工获得四次抽奖机会；若超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，以期望为决策依据判断哪个方案更佳？【解析】（1）由题意得：解得，，∴；（2）某职工日行步数（百步），，∴职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为X，在方案甲下，则分布列为：X0123P；在方案乙下：的可能取值为0，1，2，3，，，，所以分布列为：X0123P，因为，所以方案乙更佳．3.(2023·济北中学高三月考）某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的．在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜．假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为．(1)写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；(2)从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？答案：(1)；(2)只选一个选项.【解析】(1)依题意，对于这道多选题，可能的正确答案AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有种，它们等可能，记事件A为“小明这道题随便选2个或3个选项能得5分”，而正确答案只有1个，则有，所以小明这道题能得5分的概率.(2)如果小明只选一个选项，那么他这道题的得分X的所有可能取值为0和2，小明选了一项，若有两项符合要求，则与所选项组成两项的结果有，若有三项符合要求，则与所选项组成三项的结果有，于是有，，则有X的分布列为：02X的数学期望为，如果小明只选两个选项，那么他这道题的得分Y的所有可能取值为0，2，5，的事件是小明所选两项恰好符合要求，只有1个结果，若有