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文档简介
9.8离散型随机变量及其分布列、数字特征【题型解读】【题型一分布列的性质】1.(2023·华师大二附中高三练习)随机变量的概率分布列如下:0123456则___________.2.(2023·河南高三月考)已知随机变量X的分布列如表所示,则(
)X123Pa2a3aA. B. C. D.3.(2023·全国高三课时练习)若随机变量X的分布列如下表所示:X0123Pab则a2+b2的最小值为________.4.随机变量的概率分布满足(,1,2,…,10),则的值为___________.5.已知随机变量X的分布列为,,则等于(
)A. B. C. D.【题型二求离散型随机变量的分布列】1.(2023·四川模拟)甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛,计分规则如下:在一轮比赛中,如果甲赢而乙输,则甲得1分;如果甲输而乙赢,则甲得分;如果甲和乙同时赢或同时输,则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6,乙赢机器人的概率为0.5.求:(1)在一轮比赛中,甲的得分的分布列;(2)在两轮比赛中,甲的得分的分布列及期望.2.(2023·武昌模拟)某乒乓球队有9名队员,其中2名是种子选手,现挑选5名队员参加比赛,设X表示其中种子选手人数,求X的分布列.3.(2023·石家庄模拟)将个质地、大小一样的球装入袋中,球上依次编号.现从中任取个球,以表示取出球的最大号码.(1)求的分布列;(2)求的概率.4.(2023·临沂二模)为了解决家长接送孩子放学的问题,教育部提出推行课后服务“”模式,即学校每周5天都要开展课后服务,每天至少开展2h,结束时间要与当地正常下班时间相衔接,且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展,某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集,并从中随机抽取了100份调查表,以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图:(1)从样本中随机抽取2份调查表,若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200min,求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min的概率;(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况,从样本中建议课后服务时长超过180min的人中分层抽取10人,再从这10人中任取3人,记建议课后服务时长在的人数为X,求X的分布列与数学期望.5.2022年7月,中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》(简称“双减”政策).某校为了落实“双减”政策,安排了25名教师参与课后服务工作,在某个星期内,他们参与课后服务的次数统计如图所示.(1)求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数;(2)从这25名教师中任选2人,设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X,求X的分布列与数学期望.【题型三离散型随机变量的均值和方差】1.(2023·唐山二模)已知随机变量的分布列为下表所示,若,则(
)A. B. C.1 D.2.(2023·全国·高三专题练习)已知随机变量的分布列如下:X123Pab2b—a则的最大值为(
)A. B.3C.6 D.53.(2023·高三课时练习)随机变量的概率分布列为,k=1,2,3,其中c是常数,则的值为(
)A.10 B.117 C.38 D.354.(2023·广东高三模拟)1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章,2022年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊、尊重、合作的精神,使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新,几十年来,乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一,今有小王、小张、小马三人进行乒乓球比赛,规则为:先由两人上场比赛,另一人做裁判,败者下场做裁判,另两人上场比赛,依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王、小张先上场比赛,小马做裁判.根据以往经验比赛:小王与小张比赛小王获胜的概率为,小马与小张比赛小张获胜的概率为,小马与小王比赛小马获胜的概率为.(1)比赛完3局时,求三人各胜1局的概率;(2)比赛完4局时,设小马做裁判的次数为X,求X的分布列和期望.【题型四均值和方差在决策问题中应用】1.(2023·山东·高密三中高三阶段练习)2021年7月24日,在奥运会女子个人重剑决赛中,中国选手孙一文在最后关头一剑封喉,斩获金牌,掀起了新一轮“击剑热潮”.甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛,每局两人对战,没有平局,已知每局比赛甲赢乙的概率为,甲赢丙的概率为,丙赢乙的概率为.因为甲是最弱的,所以让他决定第一局的两个比赛者(甲可以选定自己比赛,也可以选定另外两个人比赛),每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛,在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军,比赛结束.(1)若甲指定第一局由乙丙对战,求“只进行三局甲就成为冠军”的概率;(2)请帮助甲进行第一局的决策(甲乙、甲丙或乙丙比赛),使得甲最终获得冠军的概率最大.2.(2023·常州市新桥高级中学高三模拟)手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计职工一天行走步数(单位:百步)得到如下频率分布直方图.由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125(百步),其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表.(1)试计算图中的a、b值,并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值;(2)为鼓励职工积极参与健康步行,该单位制定甲、乙两套激励方案:记职工个人每日步行数为,其超过平均值的百分数,若,职工获得一次抽奖机会;若,职工获得二次抽奖机会;若,职工获得三次抽奖机会;若,职工获得四次抽奖机会;若超过50,职工获得五次抽奖机会.设职工获得抽奖次数为n.方案甲:从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的逐个抽取n个小球,抽得红球个数即表示该职工中奖几次;方案乙:从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的逐个抽取n个小球,抽得红球个数即表示该职工中奖几次;若某职工日步行数为15700步,以期望为决策依据判断哪个方案更佳?3.(2023·济北中学高三月考)某学校的自主招生考试中有一种多项选择题,每题设置了四个选项ABCD,其中至少两项、至多三项是符合题目要求的.在每题中,如果考生全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题,他没有能力判断每个选项正确与否,只能瞎猜.假设对于每个选项,正确或者错误的概率均为.(1)写出正确选项的所有可能情况;如果小明随便选2个或3个选项,求出小明这道题能得5分的概率;(2)从这道题得分的数学期望来看,小明应该只选一个选项?还是两个选项?还是三个选项?4.(2023·全国·模拟预测)某财经杂志发起一项调查,旨在预测中国经济前景,随机访问了位业内人士,根据被访问者的问卷得分(满分分)将经济前景预期划分为三个等级(悲观、尚可、乐观).分级标准及这位被访问者得分频数分布情况如下:经济前景等级悲观尚可乐观问卷得分12345678910频数23510192417974假设被访问的每个人独立完成问卷(互不影响),根据经验,这位人士的意见即可代表业内人士意见,且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士,试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率;(2)某人有一笔资金,现有两个备选的投资意向:物联网项目或人工智能项目,两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关,根据经验,大致关系如下(正数表示赢利,负数表示亏损):经济前景等级乐观尚可悲观物联网项目年回报率(%)124人工智能项目年回报率(%)75根据以上信息,请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差,并用统计学知识给出投资建议.9.8离散型随机变量及其分布列、数字特征【题型解读】【题型一分布列的性质】1.(2023·华师大二附中高三练习)随机变量的概率分布列如下:0123456则___________.答案:64【解析】根据概率分布列的概率性质可知,所以,即,解得.故答案为:2.(2023·河南高三月考)已知随机变量X的分布列如表所示,则(
)X123Pa2a3aA. B. C. D.答案:C【解析】解:依题意,解得,所以;故选:C3.(2023·全国高三课时练习)若随机变量X的分布列如下表所示:X0123Pab则a2+b2的最小值为________.答案:【解析】由分布列的性质,知,即.因为,当且仅当时取等号.所以的最小值为.故答案为:4.随机变量的概率分布满足(,1,2,…,10),则的值为___________.答案:1024【解析】由题意.故答案为:1024.5.已知随机变量X的分布列为,,则等于(
)A. B. C. D.答案:A【解析】由题意得:.故选:A【题型二求离散型随机变量的分布列】1.(2023·四川模拟)甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛,计分规则如下:在一轮比赛中,如果甲赢而乙输,则甲得1分;如果甲输而乙赢,则甲得分;如果甲和乙同时赢或同时输,则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6,乙赢机器人的概率为0.5.求:(1)在一轮比赛中,甲的得分的分布列;(2)在两轮比赛中,甲的得分的分布列及期望.【解析】(1)依题意可得的可能取值为,,,所以,,,所以的分布列为01(2)依题意可得的可能取值为,,,,,所以,,,,,所以的分布列为0120.040.20.370.30.09所以.2.(2023·武昌模拟)某乒乓球队有9名队员,其中2名是种子选手,现挑选5名队员参加比赛,设X表示其中种子选手人数,求X的分布列.答案:012【解析】解:可取,,,,故分布列如下:0123.(2023·石家庄模拟)将个质地、大小一样的球装入袋中,球上依次编号.现从中任取个球,以表示取出球的最大号码.(1)求的分布列;(2)求的概率.答案:(1)分布列见解析(2)【解析】(1)由已知可得随机变量的可能取值有:,,,,所以,,,,所以分布列为(2)由(1)得.4.(2023·临沂二模)为了解决家长接送孩子放学的问题,教育部提出推行课后服务“”模式,即学校每周5天都要开展课后服务,每天至少开展2h,结束时间要与当地正常下班时间相衔接,且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展,某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集,并从中随机抽取了100份调查表,以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图:(1)从样本中随机抽取2份调查表,若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200min,求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min的概率;(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况,从样本中建议课后服务时长超过180min的人中分层抽取10人,再从这10人中任取3人,记建议课后服务时长在的人数为X,求X的分布列与数学期望.答案:(1)(2)X0123P,【解析】(1)依题意,课后服务时长超过200min的调查表共有(份),设事件A为其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200min,事件B为另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min,则,,故.(2)根据题意及分层抽样的知识可知,抽取的10人中,建议课后服务时长在内的有6人,则X的所有可能取值为0,1,2,3,且,,,,所以X的分布列为X0123PX的数学期望.5.2022年7月,中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》(简称“双减”政策).某校为了落实“双减”政策,安排了25名教师参与课后服务工作,在某个星期内,他们参与课后服务的次数统计如图所示.(1)求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数;(2)从这25名教师中任选2人,设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X,求X的分布列与数学期望.答案:(1)(2)分布列答案见解析,数学期望:【解析】(1)由统计图可知,25名教师中,参与课后服务2次的有4人,参与课后服务3次的有5人,参与课后服务4次的有10人,参与课后服务5次的有6人,所以这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数为.(2)由题可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,,,,,所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望.【题型三离散型随机变量的均值和方差】1.(2023·唐山二模)已知随机变量的分布列为下表所示,若,则(
)A. B. C.1 D.答案:B【解析】由,解得由随机变量的分布列的性质得,得所以故选:B2.(2023·全国·高三专题练习)已知随机变量的分布列如下:X123Pab2b—a则的最大值为(
)A. B.3C.6 D.5答案:C【解析】,只需求的最大值即可,根据题意:,,,所以,当时,其最大值为,故的最大值为.故选:C.3.(2023·高三课时练习)随机变量的概率分布列为,k=1,2,3,其中c是常数,则的值为(
)A.10 B.117 C.38 D.35答案:C【解析】,k=1,2,3,,解得,,,.故选:C4.(2023·广东高三模拟)1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章,2022年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊、尊重、合作的精神,使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新,几十年来,乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一,今有小王、小张、小马三人进行乒乓球比赛,规则为:先由两人上场比赛,另一人做裁判,败者下场做裁判,另两人上场比赛,依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王、小张先上场比赛,小马做裁判.根据以往经验比赛:小王与小张比赛小王获胜的概率为,小马与小张比赛小张获胜的概率为,小马与小王比赛小马获胜的概率为.(1)比赛完3局时,求三人各胜1局的概率;(2)比赛完4局时,设小马做裁判的次数为X,求X的分布列和期望.答案:(1)(2)分布列答案见解析,数学期望:【解析】(1)设小王与小张比赛小王获胜记为事件A,小马与小张比赛小张获胜记为事件B,小马与小王比赛小马获胜记为事件C,且A,B,C相互独立.则设“比赛完3局时,三人各胜1局”记为事件M,则(2)X的可能取值为1,2则X的分布列为X12P则【题型四均值和方差在决策问题中应用】1.(2023·山东·高密三中高三阶段练习)2021年7月24日,在奥运会女子个人重剑决赛中,中国选手孙一文在最后关头一剑封喉,斩获金牌,掀起了新一轮“击剑热潮”.甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛,每局两人对战,没有平局,已知每局比赛甲赢乙的概率为,甲赢丙的概率为,丙赢乙的概率为.因为甲是最弱的,所以让他决定第一局的两个比赛者(甲可以选定自己比赛,也可以选定另外两个人比赛),每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛,在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军,比赛结束.(1)若甲指定第一局由乙丙对战,求“只进行三局甲就成为冠军”的概率;(2)请帮助甲进行第一局的决策(甲乙、甲丙或乙丙比赛),使得甲最终获得冠军的概率最大.【解析】(1)若甲指定第一局由乙丙对战,“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况:①乙丙比乙胜,甲乙比甲胜,甲丙比甲胜,其概率为;②乙丙比丙胜,甲丙比甲胜,甲乙比甲胜,其概率为.所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为.(2)若第一局甲乙比,甲获得冠军的情况有三种:甲乙比甲胜,甲丙比甲胜;甲乙比甲胜,甲丙比丙胜,乙丙比乙胜,甲乙比甲胜;甲乙比乙胜,乙丙比丙胜,甲丙比甲胜,甲乙比甲胜,所以甲能获得冠军的概率为.若第一局为甲丙比,则同上可得甲获得冠军的概率为.若第一局为乙丙比,那么甲获得冠军只能是连赢两局,则甲获得冠军的概率即第(1)问的结果.因为,所以甲第一局选择和丙比赛,最终获得冠军的概率最大.2.(2023·常州市新桥高级中学高三模拟)手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计职工一天行走步数(单位:百步)得到如下频率分布直方图.由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125(百步),其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表.(1)试计算图中的a、b值,并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值;(2)为鼓励职工积极参与健康步行,该单位制定甲、乙两套激励方案:记职工个人每日步行数为,其超过平均值的百分数,若,职工获得一次抽奖机会;若,职工获得二次抽奖机会;若,职工获得三次抽奖机会;若,职工获得四次抽奖机会;若超过50,职工获得五次抽奖机会.设职工获得抽奖次数为n.方案甲:从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的逐个抽取n个小球,抽得红球个数即表示该职工中奖几次;方案乙:从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的逐个抽取n个小球,抽得红球个数即表示该职工中奖几次;若某职工日步行数为15700步,以期望为决策依据判断哪个方案更佳?【解析】(1)由题意得:解得,,∴;(2)某职工日行步数(百步),,∴职工获得三次抽奖机会,设职工中奖次数为X,在方案甲下,则分布列为:X0123P;在方案乙下:的可能取值为0,1,2,3,,,,所以分布列为:X0123P,因为,所以方案乙更佳.3.(2023·济北中学高三月考)某学校的自主招生考试中有一种多项选择题,每题设置了四个选项ABCD,其中至少两项、至多三项是符合题目要求的.在每题中,如果考生全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题,他没有能力判断每个选项正确与否,只能瞎猜.假设对于每个选项,正确或者错误的概率均为.(1)写出正确选项的所有可能情况;如果小明随便选2个或3个选项,求出小明这道题能得5分的概率;(2)从这道题得分的数学期望来看,小明应该只选一个选项?还是两个选项?还是三个选项?答案:(1);(2)只选一个选项.【解析】(1)依题意,对于这道多选题,可能的正确答案AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD共有种,它们等可能,记事件A为“小明这道题随便选2个或3个选项能得5分”,而正确答案只有1个,则有,所以小明这道题能得5分的概率.(2)如果小明只选一个选项,那么他这道题的得分X的所有可能取值为0和2,小明选了一项,若有两项符合要求,则与所选项组成两项的结果有,若有三项符合要求,则与所选项组成三项的结果有,于是有,,则有X的分布列为:02X的数学期望为,如果小明只选两个选项,那么他这道题的得分Y的所有可能取值为0,2,5,的事件是小明所选两项恰好符合要求,只有1个结果,若有
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