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文档简介
4.9三角形中的最值、范围问题【题型解读】【题型一与角有关的最值、范围问题】1.(2023·全国·高三课时练习)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2csinC=(a+b)(sinB-sinA),则当角C取得最大值时,B=(
)A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)在∆ABC中,内角A、B、C的对应边分别为a、b、c.已知acosB−bsinB=c.(1)若B=30°,求A.(2)求sinA+sinB的取值范围.3.(2023·全国高三单元测试)已知,,分别为三个内角,,的对边,且,则的最大值为______.4.(2023·合肥百花中学高三期末)在中,,若,则的最大值是____________.5.(2023·全国高三课时练习)在∆ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∆ABC的面积记为S∆ABCa2(1)求∠C(2)若c=3,求2a−4sinB6.(2023·山东潍坊高三期末)已知锐角∆ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b(1)求角A的大小;(2)求sinB∙cosC的取值范围【题型二与边有关的最值、范围问题】1.(2023·广西河池·高三期末)在中,,是线段上的点,,若的面积为,则的最大值是(
)A. B. C.1 D.2.(2023·山东青岛·高三期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列,则的取值范围是(
)A. B. C. D.3.(2023·河南·高三期中)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,角A、B、C的度数成等差数列,.(1)若,求c的值;(2)求的最大值.4.(2023·甘肃兰州·高三期中)在中,若,,则的最大值为(
)A.7 B. C. D.5.(2023·四川资阳市高三月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求角B的大小.(2)若a+c=1,求b的取值范围.【题型三与周长有关的最值、范围问题】1.(2023·河南·高三阶段练习)已知中,、分别是线段、的中点,与交于点,且,若,则周长的最大值为__________2.(2023·山东济南市高三月考)在中,分别为内角的对边,若.(1)求;(2)若,求周长的取值范围.3.(2023·陕西高三期中)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设.(1)求B;(2)若△ABC的面积等于,求△ABC的周长的最小值.4.(2023·绵阳南山中学实验学校月考)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,则△ABC的周长的最大值为________.5.(2023·济南省实验月考)在△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB.(1)求角C的大小;(2)若c=eq\r(3),求△ABC周长的取值范围.【题型四与面积有关的最值、范围问题】1.(2023·贵州金沙·高三阶段练习)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设.(1)求角A;(2)若,且AD=2,求△ABC面积的最大值.2.(2023·湖南益阳·高三期末)设锐角的内角的对边分别为,已知,,则面积的取值范围为(
)A. B. C. D.3.(2023·山东省济宁市高三月考)在中,内角A,B,C所对的边长分别为.(1)求角C;(2)若,求面积的最大值.4.(2023·湖南益阳月考)在锐角中,角,,的对边分别为,,,的面积,若,则的取值范围是________.5.(2023·昆明市官渡区第一中学高三月考)在中,角,,所对的边分别为,,,.(1)求角的大小;(2)若,求面积的最大值.4.9三角形中的最值、范围问题【题型解读】【题型一与角有关的最值、范围问题】1.(2023·全国·高三课时练习)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2csinC=(a+b)(sinB-sinA),则当角C取得最大值时,B=(
)A. B. C. D.答案:D【解析】由正弦定理得2c2=(a+b)(b-a),即b2-a2=2c2.又cosC==≥=.当且仅当3a2=b2,即b=a时,cosC取到最小值,从而角C取到最大值.当b=a时,3a2-a2=2c2,则a=c.所以A=C=,从而B=π-A-C=π.故选:.2.(2023·全国·高三专题练习)在∆ABC中,内角A、B、C的对应边分别为a、b、c.已知acosB−bsinB=c.(1)若B=30°,求A.(2)求sinA+sinB的取值范围.答案:(1)A=120°(2)1,【解析】(1)由正弦定理得:sinAcosB−sin∵sinC=sin∴sinAcosB−即sinAcosB−∴cosAsinB=−sin2B,∵sin∵0<A<180°,∴A=120°(2)由(1)得cosA=−sinB∴sin又cosA=−sinB=cos90°+B,∴∵A+B<180°,∴90°<A<135°,∴45°<A−45°<90°,∴22<sinA−45°<1则sinA+sinB的取值范围是3.(2023·全国高三单元测试)已知,,分别为三个内角,,的对边,且,则的最大值为______.答案:【解析】因为,所以.因为,所以.所以因为,所以,所以,所以,所以.即的最大值为.故答案为:.4.(2023·合肥百花中学高三期末)在中,,若,则的最大值是____________.答案:【解析】解:因为,所以,由余弦定理得,得,由余弦定理可得当且仅当,即时取等号,此时取得最小值,根据余弦函数在上单调递减可知,此时角取得最大值为
所以的最大值是故答案为:5.(2023·全国高三课时练习)在∆ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∆ABC的面积记为S∆ABCa2(1)求∠C(2)若c=3,求2a−4sinB答案:(1)C=π3【解析】(1)∵a2∴2abcosC=433由C为三角形内角得C=π(2)由正弦定理得asin∴a=2sinA,∴2a−4sinB=4sinA−4sinB=4sinA−4sin由0<A<2π3得∴−32<sin故2a−4sinB的取值范围−236.(2023·山东潍坊高三期末)已知锐角∆ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b(1)求角A的大小;(2)求sinB∙cosC的取值范围答案:(1)A=π6【解析】(1)∵b2结合余弦定理,可得:cosA=∴cosA=32又∵0<A<π,∴A=(2)因为A+B+C=π,A=π6,所以B+C=5π6所以sin=3=1∵∆ABC时候锐角三角形,∴0<5π6∴C∈π3,π2,∴∴12sin2C+π【题型二与边有关的最值、范围问题】1.(2023·广西河池·高三期末)在中,,是线段上的点,,若的面积为,则的最大值是(
)A. B. C.1 D.答案:A【解析】依题意,所以,设,则,化简得,当且仅当时等号成立.故选:A2.(2023·山东青岛·高三期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列,则的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:A【解析】∵角A,B,C成等差数列,∴,∵,∴,∴.根据正弦定理得:=,∵,∴,∴,∴.故选:A.3.(2023·河南·高三期中)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,角A、B、C的度数成等差数列,.(1)若,求c的值;(2)求的最大值.答案:(1);(2).【解析】(1)由角A、B、C的度数成等差数列,得2B=A+C.又,∴.由正弦定理,得,即.由余弦定理,得,即,解得.(2)由正弦定理,得,∴,.∴.由,得.所以当时,即时,.4.(2023·甘肃兰州·高三期中)在中,若,,则的最大值为(
)A.7 B. C. D.答案:B【解析】设,由正弦定理知,因此,故,其中,所以当时,,取得最大值,且最大值为,故选:B.5.(2023·四川资阳市高三月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求角B的大小.(2)若a+c=1,求b的取值范围.答案:(1)B=π3【解析】(1)由题意得,C=π−A+B∴cosC=−cos∴−cos∴−cosAcosB∴sinAsinB−3∵0<A<π,∴sinA≠0,∴sinB−3cosB=0,∵cosB≠0∵0<B<π,∴B=π(2)由(1)B=π3,∵∴由余弦定理可得:b2由ac≤a+c22=14,∴又由a+c>b,得b>1,∴1【题型三与周长有关的最值、范围问题】1.(2023·河南·高三阶段练习)已知中,、分别是线段、的中点,与交于点,且,若,则周长的最大值为__________答案:【解析】在中,、分别是线段、的中点,与交于点,则为的重心,因为,故,则.,,所以,即,所以,,,当且仅当时,等号成立.因此,周长的最大值为.2.(2023·山东济南市高三月考)在中,分别为内角的对边,若.(1)求;(2)若,求周长的取值范围.答案:(1)(2)【解析】(1)解:由及正弦定理得:,又,所以,所以,又,所以,(2)解:由正弦定理可得,所以,,所以的周长,因为,所以,所以所以,即,所以周长的取值范围为.3.(2023·陕西高三期中)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设.(1)求B;(2)若△ABC的面积等于,求△ABC的周长的最小值.答案:(1);(2).【解析】(1)因为,由正弦定理得.因为,所以sinA>0,所以,所以,因为,所以,即.(2)依题意,即ac=4.所以当且仅当时取等号.又由余弦定理得∴,当且仅当a=c=2时取等号.所以△ABC的周长最小值为.4.(2023·绵阳南山中学实验学校月考)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,则△ABC的周长的最大值为________.答案:9【解析】解:∵a2=b2+c2-bc,∴bc=b2+c2-a2,∴cosA==,∵A∈(0,π),∴A=.∵a=3,∴由正弦定理得===2,∴b=2sinB,c=2sinC,则a+b+c=3+2sinB+2sinC=3+2sinB+2sin=3+3sinB+3cosB=3+6sin,∵B∈,所以,∴当B=时,△ABC的周长取得最大值9.故答案为:9.5.(2023·济南省实验月考)在△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB.(1)求角C的大小;(2)若c=eq\r(3),求△ABC周长的取值范围.答案:(1)C=eq\f(2π,3)(2)【解析】(1)由题意知1-sin2A=sin2B+1-sin2C+sinAsinB,即sin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinB,由正弦定理得a2+b2-c2=-ab,由余弦定理得cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)=eq\f(-ab,2ab)=-eq\f(1,2),又∵0<C<π,∴C=eq\f(2π,3).(2)由正弦定理得eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2,∴a=2sinA,b=2sinB,则△ABC的周长为L=a+b+c=2(sinA+sinB)+eq\r(3)=2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinA+sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)-A))))+eq\r(3)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3)))+eq\r(3).∵0<A<eq\f(π,3),∴eq\f(π,3)<A+eq\f(π,3)<eq\f(2π,3),∴eq\f(\r(3),2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3)))≤1,∴2eq\r(3)<2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3)))+eq\r(3)≤2+eq\r(3),∴△ABC周长的取值范围是(2eq\r(3),2+eq\r(3)].【题型四与面积有关的最值、范围问题】1.(2023·贵州金沙·高三阶段练习)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设.(1)求角A;(2)若,且AD=2,求△ABC面积的最大值.答案:(1)(2)【解析】(1)因为,由正弦定理得:.又,所以,即:,得出,又,所以;(2)在中,由余弦定理得:
①又因为,所以,且,即,由余弦定理,得
②将①②联立得:,即,(当且仅当时等号成立).2.(2023·湖南益阳·高三期末)设锐角的内角的对边分别为,已知,,则面积的取值范围为(
)A. B. C. D.答案:D【解析】由得:,;,,,解得:,;由正弦定理得:;为锐角三角形,,解得:,,,,.故选:D.3.(2023·山东省济宁市高三月考)在中,内角A,B,C所对的边长分别为.(1)求角C;(2)若,求面积的最大值.答案:(1)(2)【解析】(1)由,可得,,因为,所以,.(
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