高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.9三角形中的最值、范围问题(精练)(原卷版+解析)

4.9三角形中的最值、范围问题【题型解读】【题型一与角有关的最值、范围问题】1.(2023·全国·高三课时练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csinC＝(a＋b)(sinB－sinA)，则当角C取得最大值时，B＝（

）A． B． C． D．2.(2023·全国·高三专题练习）在∆ABC中，内角A、B、C的对应边分别为a、b、c.已知acosB−bsinB=c.（1）若B=30°，求A.（2）求sinA+sinB的取值范围.3．(2023·全国高三单元测试）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则的最大值为______．4．(2023·合肥百花中学高三期末）在中，，若，则的最大值是____________．5．(2023·全国高三课时练习）在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∆ABC的面积记为S∆ABCa2（1）求∠C（2）若c=3，求2a−4sinB6．(2023·山东潍坊高三期末）已知锐角∆ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b（1）求角A的大小；（2）求sinB∙cosC的取值范围【题型二与边有关的最值、范围问题】1.(2023·广西河池·高三期末）在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（

）A． B． C．1 D．2.(2023·山东青岛·高三期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是(

)A． B． C． D．3．(2023·河南·高三期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．（1）若，求c的值；（2）求的最大值．4．(2023·甘肃兰州·高三期中）在中，若，，则的最大值为（

）A．7 B． C． D．5.(2023·四川资阳市高三月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小.（2）若a+c=1，求b的取值范围.【题型三与周长有关的最值、范围问题】1.(2023·河南·高三阶段练习）已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为__________2.(2023·山东济南市高三月考）在中，分别为内角的对边，若.(1)求；(2)若，求周长的取值范围.3．(2023·陕西高三期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求B；（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．4．(2023·绵阳南山中学实验学校月考）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________.5.(2023·济南省实验月考）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB．（1）求角C的大小；（2）若c＝eq\r(3)，求△ABC周长的取值范围．【题型四与面积有关的最值、范围问题】1.(2023·贵州金沙·高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设．(1)求角A；(2)若，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．2.(2023·湖南益阳·高三期末）设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（

）A． B． C． D．3．(2023·山东省济宁市高三月考）在中，内角A，B，C所对的边长分别为.（1）求角C；（2）若，求面积的最大值.4.(2023·湖南益阳月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，若，则的取值范围是________．5.(2023·昆明市官渡区第一中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．4.9三角形中的最值、范围问题【题型解读】【题型一与角有关的最值、范围问题】1.(2023·全国·高三课时练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csinC＝(a＋b)(sinB－sinA)，则当角C取得最大值时，B＝（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2．又cosC＝＝≥＝.当且仅当3a2＝b2，即b＝a时，cosC取到最小值，从而角C取到最大值.当b＝a时，3a2－a2＝2c2，则a＝c．所以A＝C＝，从而B＝π－A－C＝π．故选：.2.(2023·全国·高三专题练习）在∆ABC中，内角A、B、C的对应边分别为a、b、c.已知acosB−bsinB=c.（1）若B=30°，求A.（2）求sinA+sinB的取值范围.答案：（1）A=120°（2）1,【解析】（1）由正弦定理得：sinAcosB−sin∵sinC=sin∴sinAcosB−即sinAcosB−∴cosAsinB=−sin2B，∵sin∵0<A<180°，∴A=120°（2）由（1）得cosA=−sinB∴sin又cosA=−sinB=cos90°+B，∴∵A+B<180°，∴90°<A<135°，∴45°<A−45°<90°，∴22<sinA−45°<1则sinA+sinB的取值范围是3．(2023·全国高三单元测试）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则的最大值为______．答案：【解析】因为，所以.因为,所以.所以因为，所以，所以，所以，所以.即的最大值为.故答案为：.4．(2023·合肥百花中学高三期末）在中，，若，则的最大值是____________．答案：【解析】解：因为，所以，由余弦定理得，得，由余弦定理可得当且仅当,即时取等号,此时取得最小值，根据余弦函数在上单调递减可知，此时角取得最大值为

所以的最大值是故答案为:5．(2023·全国高三课时练习）在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∆ABC的面积记为S∆ABCa2（1）求∠C（2）若c=3，求2a−4sinB答案：（1）C=π3【解析】（1）∵a2∴2abcosC=433由C为三角形内角得C=π（2）由正弦定理得asin∴a=2sinA，∴2a−4sinB=4sinA−4sinB=4sinA−4sin由0<A<2π3得∴−32<sin故2a−4sinB的取值范围−236．(2023·山东潍坊高三期末）已知锐角∆ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b（1）求角A的大小；（2）求sinB∙cosC的取值范围答案：（1）A=π6【解析】（1）∵b2结合余弦定理，可得：cosA=∴cosA=32又∵0<A<π，∴A=（2）因为A+B+C=π，A=π6，所以B+C=5π6所以sin=3=1∵∆ABC时候锐角三角形，∴0<5π6∴C∈π3,π2，∴∴12sin2C+π【题型二与边有关的最值、范围问题】1.(2023·广西河池·高三期末）在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（

）A． B． C．1 D．答案：A【解析】依题意，所以，设，则，化简得，当且仅当时等号成立.故选：A2.(2023·山东青岛·高三期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是(

)A． B． C． D．答案：A【解析】∵角A，B，C成等差数列，∴，∵，∴，∴.根据正弦定理得：＝，∵，∴，∴，∴.故选：A.3．(2023·河南·高三期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．（1）若，求c的值；（2）求的最大值．答案：（1）；（2）．【解析】（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．又，∴．由正弦定理，得，即．由余弦定理，得，即，解得．（2）由正弦定理，得，∴，．∴．由，得．所以当时，即时，．4．(2023·甘肃兰州·高三期中）在中，若，，则的最大值为（

）A．7 B． C． D．答案：B【解析】设，由正弦定理知，因此，故，其中，所以当时，，取得最大值，且最大值为，故选：B.5.(2023·四川资阳市高三月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小.（2）若a+c=1，求b的取值范围.答案：（1）B=π3【解析】（1）由题意得，C=π−A+B∴cosC=−cos∴−cos∴−cosAcosB∴sinAsinB−3∵0<A<π，∴sinA≠0，∴sinB−3cosB=0，∵cosB≠0∵0<B<π，∴B=π（2）由（1）B=π3，∵∴由余弦定理可得：b2由ac≤a+c22=14，∴又由a+c>b，得b>1，∴1【题型三与周长有关的最值、范围问题】1.(2023·河南·高三阶段练习）已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为__________答案：【解析】在中，、分别是线段、的中点，与交于点，则为的重心，因为，故，则.，，所以，即，所以，，，当且仅当时，等号成立.因此，周长的最大值为.2.(2023·山东济南市高三月考）在中，分别为内角的对边，若.(1)求；(2)若，求周长的取值范围.答案：(1)(2)【解析】(1)解：由及正弦定理得：，又，所以，所以，又，所以，(2)解：由正弦定理可得，所以，，所以的周长，因为，所以，所以所以，即，所以周长的取值范围为．3．(2023·陕西高三期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求B；（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．答案：（1）；（2）．【解析】（1）因为，由正弦定理得．因为，所以sinA＞0，所以，所以，因为，所以，即．（2）依题意，即ac＝4．所以当且仅当时取等号．又由余弦定理得∴，当且仅当a＝c＝2时取等号．所以△ABC的周长最小值为．4．(2023·绵阳南山中学实验学校月考）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________.答案：9【解析】解：∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.∵a＝3，∴由正弦定理得＝＝＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，则a＋b＋c＝3＋2sinB＋2sinC＝3＋2sinB＋2sin＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋6sin，∵B∈，所以，∴当B＝时，△ABC的周长取得最大值9.故答案为：9.5.(2023·济南省实验月考）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB．（1）求角C的大小；（2）若c＝eq\r(3)，求△ABC周长的取值范围．答案：（1）C＝eq\f(2π,3)（2）【解析】（1）由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－ab,2ab)＝－eq\f(1,2)，又∵0<C<π，∴C＝eq\f(2π,3)．（2）由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋eq\r(3)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinA＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－A))))＋eq\r(3)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋eq\r(3)．∵0<A<eq\f(π,3)，∴eq\f(π,3)＜A＋eq\f(π,3)＜eq\f(2π,3)，∴eq\f(\r(3),2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))≤1，∴2eq\r(3)<2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋eq\r(3)≤2＋eq\r(3)，∴△ABC周长的取值范围是(2eq\r(3)，2＋eq\r(3)]．【题型四与面积有关的最值、范围问题】1.(2023·贵州金沙·高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设．(1)求角A；(2)若，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．答案：(1)(2)【解析】(1)因为，由正弦定理得：．又，所以，即：，得出，又，所以；(2)在中，由余弦定理得：

①又因为，所以，且，即，由余弦定理，得

②将①②联立得：，即，（当且仅当时等号成立）．2.(2023·湖南益阳·高三期末）设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由得：，；，，，解得：，；由正弦定理得：；为锐角三角形，，解得：，，，，.故选：D.3．(2023·山东省济宁市高三月考）在中，内角A，B，C所对的边长分别为.（1）求角C；（2）若，求面积的最大值.答案：（1）（2）【解析】（1）由，可得，，因为，所以，.（