高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.5解三角形6大常考题型(精练)(原卷版+解析)

4.5解三角形6大常考题型【题型解读】【题型一已知边角元素解三角形】1.(2023·山东济南一模）中内角所对的边分别为，已知，则（

）A． B． C． D．2.(2023·重庆市育才中学高三二模）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（

）A． B． C．或 D．或3.(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测）））在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角A，，的对边分别为，，，面积为S，且，，________？4．(2023·四川·树德中学模拟）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若a，b，c成等比数列，且，则A的大小是（

）A． B． C． D．【题型二已知边角关系解三角形】1.(2023·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（

）A． B． C． D．2.(2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（

）A． B． C． D．3．(2023·安徽马鞍山·一模）已知的内角的对边分别为，设，，则（

）A． B． C． D．4.(2023·山东潍坊·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积．(1)求角B的大小；(2)若，求．【题型三判断三角形形状】1.(2023·全国·高三专题练习）设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形2.(2023·四川省峨眉第二中学校月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（

）A．等腰非等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形3.(2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（

）A．若，则是锐角三角形B．若，则是等腰三角形C．若，则是等腰三角形D．若，则是等边三角形4.(2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【题型四三角形解的个数问题】1.(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（

）A．4 B． C． D．2.(2023·浙江·高三专题练习）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（

）A．2 B．1 C．0 D．不确定3.(2023·全国·高三专题练习）中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是（

）A．①④ B．①② C．①②③ D．③④4.(2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（

）A．3 B．4 C． D．【题型五解三角形中的最值范围问题】1.(2023·宁夏石嘴山·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2.(2023·广东江门·模拟预测）在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差数列，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3.(2023·全国·高三课时练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.△ABC的面积为S，若.(1)求角C；(2)求的取值范围.4.(2023·陕西高三期中）在中，，，分别是角，，的对边，并且．（Ⅰ）已知_______，计算的面积；请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．（Ⅱ）求的最大值．【题型六解三角形实际应用问题】1.(2023·山东省六地市部分学校高三3月线考）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.2.(2023·山东泰安·高三期末）为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；(2)求隧道口间的距离.4.5解三角形6大常考题型【题型解读】【题型一已知边角元素解三角形】1.(2023·山东济南一模）中内角所对的边分别为，已知，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由余弦定理得：，所以.故选：A.2.(2023·重庆市育才中学高三二模）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（

）A． B． C．或 D．或答案：A【解析】由题意可得，则或.因为，所以，所以.故选：A3.(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测）））在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角A，，的对边分别为，，，面积为S，且，，________？答案：答案不唯一，具体见解析【解析】由题意可知在中，因为，且，所以，由余弦定理可知，所以因为，所以；

若选①，由正弦定理可得，解得，

在中，因为，所以，又因为，则角A只有一解，且，

所以．若选②，由正弦定理可得，解得，

在中，因为，所以，又因为，则角A有两解，

所以．

若选③，由正弦定理可得，解得，因为，所以无解，即三角形不存在．4．(2023·四川·树德中学模拟）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若a，b，c成等比数列，且，则A的大小是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由已知得，由，得，所以，得，由余弦定理得，又，所以．故选：B．【题型二已知边角关系解三角形】1.(2023·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为由正弦定理可得，所以又所以故选:D2.(2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】在中，因为，由正弦定理，可得，即，可得，因为，可得，即，因为，可得，所以.故选：C.3．(2023·安徽马鞍山·一模）已知的内角的对边分别为，设，，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】在中，由及正弦定理得：，即，由余弦定理得：，而，解得，由得，显然，则，，所以.故选：C4.(2023·山东潍坊·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积．(1)求角B的大小；(2)若，求．答案：(1)(2)【解析】(1)因为，所以，.又因为，所以.(2)因为，所以，即，所以，.因为，，所以，即..【题型三判断三角形形状】1.(2023·全国·高三专题练习）设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形答案：B【解析】因的三个内角，而，则，又，由正弦定理得：，由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，所以是等边三角形.故选：B2.(2023·四川省峨眉第二中学校月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（

）A．等腰非等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形答案：B【解析】由，可得，所以，所以.在中，，故，因为，所以，因为，所以，故为直角三角形.故选：B3.(2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（

）A．若，则是锐角三角形B．若，则是等腰三角形C．若，则是等腰三角形D．若，则是等边三角形答案：ACD【解析】对于A，因为，所以，，因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；对于B：由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；对于C：由及正弦定理化边为角，可知，即，因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确；故选：ACD.4.(2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案：A【解析】因为，由正弦定理可得：，整理可得：，即，所以或者，所以或，而当时则，所以三角形为直角三角形，所以，则中，这时，分母为0无意义所以，选：A．【题型四三角形解的个数问题】1.(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（

）A．4 B． C． D．答案：C【解析】由题意，根据正弦定理有，所以，要使三角形有两组解，则，且，即，所以，所以a的值可以为．故选：C．2.(2023·浙江·高三专题练习）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（

）A．2 B．1 C．0 D．不确定答案：A【解析】由正弦定理知，，即，解得，又，由三角函数性质知角B由两个解，当角B为锐角时，满足，即存在；当角B为钝角时，，，则满足，即存在；故有两个解.故选：A3.(2023·全国·高三专题练习）中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是（

）A．①④ B．①② C．①②③ D．③④答案：B【解析】①，三角形有两解；②，三角形有两解；③，三角形有一解；④，三角形无解.故选：B.4.(2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（

）A．3 B．4 C． D．答案：B【解析】由已知，到直线的距离为，所以当或时，即或时，满足条件的三角形有且只有一个.所以对于A，符合，故三角形有一解；对于B：当b=4时，符合，故三角形有两解；对于C：符合，故三角形有一解；对于D：符合，故三角形有一解.故选：B.【题型五解三角形中的最值范围问题】1.(2023·宁夏石嘴山·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】在中，，故题干条件可化为，由余弦定理得，故，又由正弦定理化简得：，整理得，故或（舍去），得为锐角三角形，故，解得，故故选：C2.(2023·广东江门·模拟预测）在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差数列，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】在中，由，，成等差，可得，由，得，．由余弦定理，可得，又，当且仅当时等号成立，即，即，解得所以的取值范围是．故选：A3.(2023·全国·高三课时练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.△ABC的面积为S，若.(1)求角C；(2)求的取值范围.答案：(1)；(2).【解析】(1)由题设，，而，所以，又，所以，又，且，所以且，则.(2)由（1），，由，则.所以，故.4.(2023·陕西高三期中）在中，，，分别是角，，的对边，并且．（Ⅰ）已知_______，计算的面积；请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．（Ⅱ）求的最大值．【解析】（Ⅰ）∵b2+∴由余弦定理知，cosA=b2+c2−a选择①②：∵b2∴4+c2−7=2c，即c2−2c−3=0∴∆ABC的面积S=1选择①③：由正弦定理知，bsinB∵sinC=2sinB，∴c=2b(∗)∵b∴b2+c2−7=bc(∗)，由∗∴∆ABC的面积S=1选择②③：由正弦定理知，bsinB∵sinC=2sinB，∴c=2b=4，∴∆ABC的面积S=1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A=π3，∴∴cosB+cosC=cosB+cos2π∵0<B<2π3，∴∴sinB+π6【题型六解三角形实际应用问题】1.(2023·山东省六地市部分学校高三3月线考）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.答案：(1)海里(2)游船应该沿北偏东的方向航行.【解析】(1)解：(1)在中，，根据余弦定理得：..所以小岛A到小岛C的最短距离是海里.(2)解：(2)根据正弦定理得：解得在