2024届吉林省四平市伊通满族自治县下学期第二次模拟考试数学试题【含答案解析】

名校调研系列卷·九年级第二次模拟测试数学（人教版）一、选择题（每小题2分，共12分）1.从一批汤圆中挑选4个汤圆编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的是（）编号1234检查结果A.1号汤圆 B.2号汤圆 C.3号汤圆 D.4号汤圆【答案】B【解析】【分析】本题考查了正数负数、绝对值的意义，根据绝对值越小的数最接近标准质量，进行作答即可．【详解】解：依题意，，∵，∴其中最接近标准质量的是2号汤圆，故选：B．2.如图，是由五块相同的小正方体搭成的几何体，若移走标号中的一块小正方体，几何体的俯视图没有发生改变，则移走的小正方体是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：观察图形可知，若移走标号中的一块小正方体，几何体的俯视图没有发生改变，则移走的小正方体是①．故选：A．3.如图，在数轴上对应的点可能是（）A.点A B.点B C.点C D.点D【答案】C【解析】【分析】本题考查的是实数与数轴，先根据题意判断出的取值范围是解答此题的关键．判断出的取值范围，进而可得出结论．【详解】解：∵，∴，∴C点符合题意．故选：C．4.一元二次方程根的判别式的值是（）A. B.3 C. D.5【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：一元二次方程中的，则这个方程根的判别式的值是，故选D．5.平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则．如图②，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数．【详解】解：由题意知，，∴，∵，∴，∴．故选：C．6.如图，、分别是所对的圆心角和圆周角，点P为弦上的一点（点P不与点B、C重合），连接．若，则的度数可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．利用圆周角定理可得，然后利用三角形的外角性质可得，即可解答．【详解】解：，，是的一个外角，，的度数可能是，故选：D．二、填空题（每小题3分，共24分）7.比较大小：_____（填“”或“”）．【答案】【解析】【分析】题目主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键．【详解】解：∵，∴，故答案为：．8.分解因式：_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据式子的特点将公因数提取出来即可得到结果，用适当的方法分解因式是解题的关键．【详解】解：式子中含有公因数，∴，故答案为：．9.不等式组的最小整数解为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法步骤是解本题的关键．分别解不等式组中的两个不等式，确定不等式组的解集，再确定最小整数解即可．【详解】解：，由①得：，由②得：，∴不等式组的解集为：，∴不等式组的最小整数解为：．故答案为：．10.《孙子算经》中记载了一道数学问题，其部分译文为：现有甲、乙两人，所带钱数不详，如果甲得到乙的钱数的一半，甲就有了48钱．设甲、乙各带了x钱、y钱，则可列二元一次方程为____．【答案】【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．设设甲、乙各带了x钱、y钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半，据此列方程即可．【详解】解：设甲、乙各带了x钱、y钱，根据题意可得：，故答案为：．11.如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接、，点、分别为、的中点，连接，若测得，则的长为_____．【答案】10【解析】【分析】本题主要考查了三角形的中位线，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理可直接求解．【详解】解：∵点、分别为、的中点，∴，∵，∴．故答案为：10．12.如图，从A地到B地有三条路线，分别记为路线，则从A地到B地的最短路线是，其中蕴含的数学原理是________．【答案】两点之间，线段最短【解析】【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短，熟知两点之间，线段最短是解题的关键．【详解】解：从A地到B地的最短路线是，其中蕴含的数学原理是两点之间，线段最短，故答案为：两点之间，线段最短．13.制造弯形管道时，经常要先按中心线（）计算长度再下料．如图，已知，，则的长为_____（结果保留）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式计算可得．【详解】解：的长为．故答案为：．14.如图，在等腰中，，将沿翻折得到，点D为的中点，则_____．【答案】##0.6【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟记勾股定理之图形折䑁模型是解题关键．由题意可假设，根据折叠的性质得线段中点的定义得，设，则，再中，利用勾股定理建立方程，求解即可得到答案．【详解】解：∵为等腰直角三角形，∴，设，∵将沿翻折得到，点中点，∴，设，则，中，，∴，解得：，∴，∴．故答案为：．三、解答题（每小题5分，共20分）15.先化简，再求值：，其中．【答案】2【解析】【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【详解】解：原式＝，当时，原式．【点睛】考核知识点：整式化简取值.掌握整式乘法公式是关键.16.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“绿”、“水”、“青”、“山”的四个小球，除汉字不同外小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．（1）若从中随机取一个球，则球上的汉字刚好是“水”的概率为_______；（2）从中随机取一个球，不放回，再从中随机取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“绿水”或“青山”的概率（汉字不分先后顺序）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查概率公式，列表法或画树状图法求等可能事件的概率，掌握用列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．（1）直接利用概率公式计算即可；（2）利用画树状图或列表法解答即可．【小问1详解】解：∵从装有四个小球的口袋里随机取一个球，有4种可能，刚好是“水”有1种可能，∴(球上的汉字刚好是“水”)，故答案为：；【小问2详解】画树状图如下：一共有12种等可能的情况，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“绿水”或“青山”有4种可能的结果，∴(取出的两个球上的汉字恰能组成“绿水”或“青山”)．17.如图，点C在线段上，点A、D在的同侧，，，且，，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．证明，则．由，可得，则，进而结论得证．【详解】证明：∵，，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．18.冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元，求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元？【答案】A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元【解析】【分析】本题考查了列分式方程解应用题，解题的关键是找到等量关系．设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为元，建立方程，求解即可，注意要检验．【详解】解：设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为元，由题意，得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，．答：A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元．四、解答题（每小题7分，共28分）19.图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方的边长均为1，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，要求所画的三角形的顶点及线段的端点均在格点上，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹．（1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形；（2）在图②中，作线段（画一条即可）；（3）在图③中，画线段，使与的夹角为（画一条即可）．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题主要考查了网格作图、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）根据等腰直角三角形的性质作图即可；（2）根据垂线的性质作图即可；（3）取格点，作等腰直角三角形，画线段，使，即可获得答案．【小问1详解】解：如图①，即为所求；【小问2详解】如图②，线段即为所求（答案不唯一）；【小问3详解】如图③，线段即为所求（答案不唯一）．20.如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰△ABC．经测量，钢条AD⊥BC，BC＝600cm，∠B＝38°．（精确到1cm，参考数据：sin38°≈0.616，cos38°≈0.788，tan38°≈0.781）（1）求钢条AB的长．（2）为了加固支架，现在顶部加两根钢条DE和DF，已知DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求DE的长．【答案】（1）钢条AB的长为381cm；（2）钢条DE的长为185cm．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及解直角三角形即可求解；（2）在直角△BDE中，解直角三角形即可求解．【小问1详解】解：∵在等腰△ABC中，AD⊥BC．∴BC＝2BD＝600，∴BD＝300．∵∠ABC＝38°，∴．答：钢条AB的长为381cm；【小问2详解】解：∵DE⊥AB于点E．BD＝300．∴．答：钢条DE的长为185cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21.九年级一班邀请A、B、C、D、E五位评委对甲、乙两位同学的才艺表演打分，并组织全班50名同学对两人进行民意测评投票，绘制了如下的统计表和不完整的条形统计图，并求得了五位评委对甲同学才艺表演所打分数的平均分和中位数：（分）；中位数是91分．五位评委的打分表ABCDE甲8991939486乙8887909892（1）求五位评委对乙同学才艺表演所打分数的平均分和中位数；（2）________，并补全条形统计图；（3）为了从甲、乙二人中选拔出一人去参加艺术节演出，班级制定了如下的选拔规则：选拔综合分最高的同学参加艺术节演出，其中：才艺分五位评委所打分数中去掉一个最高分和去掉一个最低分，再算平均分；测评分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分；综合分才艺分测评分（）；当时，通过计算说明应选拔哪位同学去参加艺术节演出？【答案】（1）平均数是91分；中位数是90分（2）8，见解析（3）应选拔甲同学去参加艺术节演出，计算见解析【解析】【分析】本题考查了中位数、加权平均数及条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂题意并能正确的识图，难度不大．（1）利用中位数及平均数的定义分别求解即可；（2）用样本个数减去其他小组的频数即可求得a值，从而补全统计图；（3）分别根据打分要求确定两人的成绩，然后即可确定参选人员【小问1详解】解：（分）；中位数是90分．【小问2详解】，补全条形统计图如图．【小问3详解】甲的才艺分（分），甲的测评分（分），甲的综合分（分）；乙才艺分（分）乙的测评分（分），乙的综合分（分）．∵甲的综合分乙的综合分，∴应选拔甲同学去参加艺术节演出．22.小明家购买一套商品房，首付45万元，剩余部分需贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，且每月偿还贷款金额数相同．若设每月偿还贷款金额y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示．（1）求y与x的函数关系式；（2）若小明家计划每月偿还贷款金额不超过3000元，求至少需要多少个月还清？【答案】（1）（2）至少需要200个月还清【解析】【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）将代入解析式求出的范围即可．【小问1详解】解：设反比例函数解析式为，点在反比例函数图象上，，反比例函数解析式为：；【小问2详解】解：当万元时，即，解得．答：计划每月偿还贷款不超边3000元，则至少需要200个月还清．五、解答题（每小题8分，共16分）23.近年，净月潭公园将环潭公路改造为东北三省最长的人车分离彩色环保公路，平坦宽敞的路面分橙、黑两色，拓宽了原有的人行步道，成为市民健身的好去处，小明和爸爸参加了此公园举办的“亲子健身赛”，两人的行程y(千米)随时间x(时)变化的图象(全程)如图所示．（1）两人出发后______小时相遇，此次“亲子健身赛”的全程是______千米．（2）求出AB所在直线的函数关系式．（3）若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发1.5小时后，将速度调整为______千米/时．【答案】（1）1，20（2）（3）16【解析】【分析】（1）观察图象，两个图象交点即为两人相遇，由图象即可得相遇的时间；由图象可求得爸爸到达终点的速度及时间，从而可求得全程；（2）由图象知，直线AB过(0.5，8)及(1，10)两点，用待定系数法即可求得解析式；（3）由（2）中的函数解析式可知行驶1.5小时后，小明所行驶的路程及离终点的距离，从而可求得小明应调整的速度．【小问1详解】观察图象知，两人1小时后相遇，此时两人都行驶了10千米，则爸爸的速度为10÷1=10（千米/时），由图象知，爸爸全程行驶了2小时，则全程长为：10×2=20（千米）故答案为：1，20【小问2详解】设直线AB的解析式为由图象知，直线AB过(0.5，8)及(1，10)两点，把这两点的坐标分别代入得：解方程组得：∴直线AB的解析式为【小问3详解】当x=1.5时，∴当小明1.5小时后行驶了12千米，此时离终点还有：20−12=8（千米）由题意知，小明还要行驶2−1.5=0.5小时，才能和爸爸同时到达终点∴小明的速度应为：8÷0.5=16（千米/时）故答案为：16【点睛】本题考查了函数图象，待定系数法求一次函数解析式，正确理解题意，并从函数图象中获取信息是解题的关键．24.【数学实验】如图①，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的是，求光线与纸板左上方所成的的度数；【实验探究】聪明的小明根据该数学实验，将两个短边长相等的平行四边形纸片和按如图②方式放置，两张纸片重叠部分的图形记作四边形．若，，，求四边形的面积；【实验应用拓展】如图③，将图②中的平行四边形纸片绕点M旋转一定的角度，使得，若，，，则四边形的面积为____________．【答案】[数学实验]；[实验探究]；[实验应用拓展]【解析】【分析】[数学实验]由题意知，，如图①，则，，然后作答即可；[实验探究]如图②，过作于，则，证明四边形是平行四边形，则，证明四边形是平行四边形，根据，求解作答即可；[实验应用拓展]如图③，过作于，过作于，则，，同理（2）四边形是平行四边形，证明四边形是矩形，根据，求解作答即可．【详解】[数学实验]解：由题意知，，如图①，∴，，∴，∴的度数为；[实验探究]解：如图②，过作于，∴，由题意知，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴四边形的面积为；[实验应用拓展]解：如图③，过作于，过作于，∴，，同理（2）四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正弦等知识，熟练掌握平行线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正弦是解题的关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25.如图，在中，，，是边的中线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B匀速运动，过点P分别作于点Q，交于点E，设点P运动的时间为，以点P、Q、D、E为顶点的四边形的面积为．（1）当点E与点D重合时，求x的值；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当y的值是的面积的时，直接写出x的值．【答案】（1）（2）当时，；当时，；当时，（3）或【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解；（2）分为当时，当时，当时，分别画图解答即可求解；（3）将分别代入解析式求解即可【小问1详解】解：在中，是边的中线．∴，又．∴当点与点重合时，，∴．【小问2详解】由（1）得，是等腰直角三角形，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，，，，当时，如图1，∴；；②当时，如图2，∴，，∴，；③当时，如图3，根据题意得，∴，，综上，当时，；当时，；当时，．【小问3详解】当y的值是的面积的时，即，将代入得：，无解．将代入得：，解得：或（舍去）；将代入得：，解得：或（舍去）；综上，或．【点睛】该题主要考查了直角三角形的性质，动点函数，二次函数的应用，解题的关键是画出对应图形和分阶段讨论．26.如图①，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点，点D是抛物线上一点，过点D