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文档简介
第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列10.2.1二项式定理(题型战法)知识梳理一二项式定理的基本概念(1)二项式展开式有(2)二项式系数:(3)项的系数:包括符号和前面的常数(4)通项:二二项式定理的性质(1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等。即(2)当时,二项式系数逐渐增大;当时,二项式系数逐渐减小。(3)二项式系数的最大值当是偶数时,中间一项(第项)的二项式系数最大,最大值;当是奇数时,中间两项(第项和第项)的二项式系数相等,且同时取到最大值,最大值为或。(4)各二项式系数的和的展开式的各二项式系数的和等于,即;二项展开式中奇数项和偶数项的二项系数的和相等,为。(5)各项系数的问题,则各项系数之和为。奇数项系数之和;偶数项系数之和。题型战法题型战法一求指定项的二项式系数与系数典例1.在的二项展开式中,第4项的二项式系数是(
)A.20 B. C.15 D.变式1-1.的展开式中含项的二项式系数为(
)A. B. C. D.变式1-2.的展开式中的系数为(
)A.10 B.20 C.40 D.80变式1-3.展开式的常数项为(
)A.120 B.60 C.30 D.15变式1-4.的展开式中所有有理项的系数和为(
)A.85 B.29 C. D.题型战法二已知二项式系数与系数求参数典例2.已知的展开式中的系数为60,则正整数n=(
)A.4 B.5 C.6 D.7变式2-1.若展开式中项的系数是8,则实数的值是(
)A.2 B. C. D.变式2-2.若二项式的展开式中的系数是-80,则实数(
)A.-80 B.80 C.-2 D.2变式2-3.的展开式的常数项为,则展开式中含项的系数为(
)A. B. C.或 D.或变式2-4.若二项式的展开式中第5项与第6项的系数相同,则(
)A.9 B.10 C.11 D.12题型战法三二项式系数与系数的增减性与最值典例3.在()的展开式中,若第5项为二项式系数最大的项,则n值不可能是(
)A.7 B.8 C.9 D.10变式3-1.展开式中二项式系数最大的项是(
)A. B.C.和 D.和变式3-2.若展开式中只有第4项的二项式系数最大,则展开式的常数项是(
)A.160 B.60 C. D.变式3-3.的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值,则a的值为(
)A.2 B.3 C.4 D.变式3-4.二项式的展开式中,系数最大的项为(
)A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项题型战法四二项式系数之和、各项系数之和典例4.已知展开式各项的二项式系数之和为512,则展开式中的常数项是(
)A.84 B.-84 C.126 D.-126变式4-1.在的展开式中,二项式系数的和是16,则展开式中各项系数的和为(
)A.16 B.32 C.1 D.变式4-2.若,则的值是()A. B.127 C.128 D.129变式4-3.若,则(
)A.6562 B.3281 C.3280 D.6560变式4-4.对任意实数,有,则(
)A. B.C. D.题型战法五三项展开式的系数问题典例5.在的展开式中,含的项的系数为(
)A.-120 B.-40 C.-30 D.200变式5-1.的展开式中,的系数为(
)A.51 B.50 C.-51 D.-50变式5-2.的展开式中常数项为(
)A. B. C. D.变式5-3.在的展开式中含和含的项的系数之和为(
)A. B. C. D.1485变式5-4.在的二项展开式中含项的系数为(
)A.20 B.21 C.18 D.16题型战法六两个二项式乘积展开式的系数问题典例6.的展开式中的系数为(
)A.40 B.80 C. D.变式6-1.展开式中的系数为(
)A.15 B.20 C.30 D.0变式6-2.的展开式中项的系数为A.30 B.35 C.20 D.25变式6-3.展开式中项的系数为160,则(
)A.2 B.4 C. D.变式6-4.展开式中的常数项为(
)A.11 B.19 C.23 D.题型战法七整除与余数问题、近似值问题典例7.被5除的余数为(
)A.1 B.2 C.3 D.4变式7-1.已知,且恰能被14整除,则m的取值可以是(
)A.1 B.12 C.7 D.27变式7-2.设,则a除以9所得的余数为(
)A.1 B.2 C. D.变式7-3.的近似值(精确到0.01)为(
)A.1.12 B.1.13 C.l.14 D.1.20变式7-4.估算的结果,精确到0.01的近似值为(
)A.30.84 B.31.84 C.30.40 D.32.16题型战法八杨辉三角典例8.下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中,称之为“杨辉三角”,该表中第10行第7个数是(
)A.120 B.210 C.84 D.36变式8-1.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据数组中的数构成的规律,其中的a所表示的数是(
)A.2 B.4 C.6 D.8变式8-2.杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家,在他所著的《详解九章算法》一书中,画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形,称为“开方做法本源”.现在简称为“杨辉三角”.下面是,当时展开式的二项式系数表示形式.借助上面的表示形式,判断与的值分别是(
)A. B. C. D.变式8-3.习近平总书记在“十九大”报告中指出:坚定文化自信,推动中华优秀传统文化创造性转化,“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律,最早在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中出现欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就,激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望,如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第行中从左至右第与第个数的比值为(
)A. B. C. D.1变式8-4.如图所示,在由二项式系数构成的杨辉三角中,第m行中从左至右第14个数与第15个数的比为,则(
)A.40 B.50 C.34 D.32第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列10.2.1二项式定理(题型战法)知识梳理一二项式定理的基本概念(1)二项式展开式有(2)二项式系数:(3)项的系数:包括符号和前面的常数(4)通项:二二项式定理的性质(1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等。即(2)当时,二项式系数逐渐增大;当时,二项式系数逐渐减小。(3)二项式系数的最大值当是偶数时,中间一项(第项)的二项式系数最大,最大值;当是奇数时,中间两项(第项和第项)的二项式系数相等,且同时取到最大值,最大值为或。(4)各二项式系数的和的展开式的各二项式系数的和等于,即;二项展开式中奇数项和偶数项的二项系数的和相等,为。(5)各项系数的问题,则各项系数之和为。奇数项系数之和;偶数项系数之和。题型战法题型战法一求指定项的二项式系数与系数典例1.在的二项展开式中,第4项的二项式系数是(
)A.20 B. C.15 D.【答案】A【分析】根据二项式系数的概念直接求解即可.【详解】解:第4项的二项式系数为.故选:A变式1-1.的展开式中含项的二项式系数为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】求出二项式展开式的通项,令的指数位置等于求得的值,即可求解.【详解】的展开式的通项为:,令可得,所以含项的二项式系数为,故选:D.变式1-2.的展开式中的系数为(
)A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【分析】由二项展开式的通项公式代入即可解决.【详解】二项式展开式的通式为,由,得r=2,此时即的展开式中的系数为40故选:C变式1-3.展开式的常数项为(
)A.120 B.60 C.30 D.15【答案】B【分析】根据二项式展开公式得=,令,解出的值,代入计算即可.【详解】解:因为==,令,解得,所以常数项为=60.故选:B.变式1-4.的展开式中所有有理项的系数和为(
)A.85 B.29 C. D.【答案】C【分析】写出通项后可得有理项,进一步计算可得结果.【详解】展开式的通项为:,其中,当时为有理项,故有理项系数和为,故选:C.题型战法二已知二项式系数与系数求参数典例2.已知的展开式中的系数为60,则正整数n=(
)A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【分析】求出展开式的通项,令的指数等于2,再结合已知即可得出答案.【详解】解:的展开式的通项为,令,则的系数为,即,解得(舍去).故选:C.变式2-1.若展开式中项的系数是8,则实数的值是(
)A.2 B. C. D.【答案】D【分析】直接求出含的项,再由项的系数是8解方程即可求出.【详解】由题意知:含的项为,又项的系数是8,则,解得.故选:D.变式2-2.若二项式的展开式中的系数是-80,则实数(
)A.-80 B.80 C.-2 D.2【答案】C【分析】求出二项展开式的通项,令x的次数为5求出对应r的值,再根据的系数是-80即可求出a的值.【详解】的展开式的通项为,令,解得.的展开式中的系数是,,解得.故选:C.变式2-3.的展开式的常数项为,则展开式中含项的系数为(
)A. B. C.或 D.或【答案】C【分析】首先写出展开式的通项,令,求出,即可求出展开式的常数项,从而求出,再代入计算可得;【详解】解:二项式展开式的通项为,令,解得,所以展开式的常数项为,解得,令,解得,所以展开式中项为,当时项的系数为,当时项的系数为.故选:C变式2-4.若二项式的展开式中第5项与第6项的系数相同,则(
)A.9 B.10 C.11 D.12【答案】A【分析】根据题意可得,利用组合数的性质,求得n的值,即得答案.【详解】由已知二项式的展开式中第5项与第6项的系数相同,即这两项的二项式系数相同,可得,所以,故选:A.题型战法三二项式系数与系数的增减性与最值典例3.在()的展开式中,若第5项为二项式系数最大的项,则n值不可能是(
)A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【分析】由题意,利用二项式系数的性质,求得的值.【详解】当时,的展开式有8项,的展开式中二项式系数最大,即第四项和第五项的二项式系数最大;当时,的展开式有9项,的展开式中二项式系数最大,即第五项的二项式系数最大;当时,的展开式有10项,的展开式中二项式系数最大,即第五项和第六项的二项式系数最大.当时,的展开式有11项,的展开式中二项式系数最大,即第六项的二项式系数最大.故选:D.变式3-1.展开式中二项式系数最大的项是(
)A. B.C.和 D.和【答案】C【分析】利用二项式系数的单调性结合二项式定理可求得结果.【详解】展开式中二项式系数最大的项为,.故选:C.变式3-2.若展开式中只有第4项的二项式系数最大,则展开式的常数项是(
)A.160 B.60 C. D.【答案】B【分析】先求出的值,可得二项式展开式的通项公式,再令的幂指数等于,求得的值,即可求得展开式中的常数项的值.【详解】解:二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大,,则展开式中的通项公式为,令,解得,故展开式中的常数项为.故选:B.变式3-3.的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值,则a的值为(
)A.2 B.3 C.4 D.【答案】A【分析】根据可知二项式系数最大值为,再根据二项展开式的通项公式赋值即可求出.【详解】因为的展开式的通项公式为,令,即时,x的系数为,而二项式系数最大值为,所以,即.故选:A.变式3-4.二项式的展开式中,系数最大的项为(
)A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项【答案】C【分析】显然二项式在第或第项处取得系数最大,再结合对应符号,即可得解.【详解】由二项式的特点可知,系数最大的项在中间项处取得,第项的系数为,第项的系数为,故第项的系数最大.故选:C题型战法四二项式系数之和、各项系数之和典例4.已知展开式各项的二项式系数之和为512,则展开式中的常数项是(
)A.84 B.-84 C.126 D.-126【答案】B【分析】首先根据题意得到,再利用求解即可.【详解】由题知:,解得,因为,,令,解得.所以.故选:B变式4-1.在的展开式中,二项式系数的和是16,则展开式中各项系数的和为(
)A.16 B.32 C.1 D.【答案】A【分析】先根据二项式系数和公式得,再令特殊值即可求得答案.【详解】解:因为二项式系数的和是16,所以,解得,所以,令得展开式中各项系数的和为.故选:A变式4-2.若,则的值是()A. B.127 C.128 D.129【答案】D【分析】利用赋值法计算可得.【详解】解:因为,令,可得,令,可得,所以;故选:D变式4-3.若,则(
)A.6562 B.3281 C.3280 D.6560【答案】B【分析】分别令和再联立求解即可【详解】令有,令有,故故选:B变式4-4.对任意实数,有,则(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】,利用二项展开式的通项即可求得,即可判断B;令,可得,即可判断A;令,可得,即可判断C,令,可得,即可判断D.【详解】解:对任意实数,有,所以,故B正确;令,可得,故A错误;令,可得,则,故C错误;令,可得,故D错误.故选:B.题型战法五三项展开式的系数问题典例5.在的展开式中,含的项的系数为(
)A.-120 B.-40 C.-30 D.200【答案】C【分析】将整理为,根据二项展开式分析可得,对每种情况再根据二项展开式理解运算.【详解】,其展开式为:根据题意可得:当时,则,展开式为:∴,则的项的系数为当时,则,展开式为:∴,则的项的系数为当时,则,展开式为:∴,则的项的系数为综上所述:含的项的系数为故选:C.变式5-1.的展开式中,的系数为(
)A.51 B.50 C.-51 D.-50【答案】C【分析】根据三项的二项式展开的通项,令,即可求出的值,进而可求解.【详解】的展开式通项为:,且,令,则,或者,或者;故的系数为:,故选:C变式5-2.的展开式中常数项为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】将原式看成6个相同的因式相乘,按x的选取个数分类,计算得解.【详解】将原式看成6个相同的因子相乘,按x的选取个数分类,得展开式中常数项为.故选:B.变式5-3.在的展开式中含和含的项的系数之和为(
)A. B. C. D.1485【答案】A【分析】由已知得,分别利用二项式展开式的通项公式求得的系数和含的项的系数,由此可求得答案.【详解】解:,则的系数为1,的系数为,所以在的展开式中含和含的项的系数之和为.故选:A.变式5-4.在的二项展开式中含项的系数为(
)A.20 B.21 C.18 D.16【答案】B【分析】把看作一项,写出的展开式的通项,再写出的展开式的通项,由的指数为4求得、的值,即可得出结果.【详解】的展开式的通项为.的展开式的通项为.由,得,,,或,在的展开式中,含项的系数为.故选:B.题型战法六两个二项式乘积展开式的系数问题典例6.的展开式中的系数为(
)A.40 B.80 C. D.【答案】A【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确选项.【详解】,所以展开式中的系数为.故选:A变式6-1.展开式中的系数为(
)A.15 B.20 C.30 D.0【答案】D【分析】从项的生成分两种情况讨论得解.【详解】展开式中,若提供系数1,则提供含有的项,可得展开式中的系数为;若提供,则提供含有的项,可得展开式中的系数为;所以展开式中的系数为.故选:D【点睛】方法点睛:求两个二项式的乘积的展开式的某一项的系数,一般可以从这一项的生成分类讨论,结合二项式展开的通项求解.变式6-2.的展开式中项的系数为A.30 B.35 C.20 D.25【答案】D【解析】根据二项式定理展开计算、化简即可.【详解】解:展开式中项为:.故选:D.变式6-3.展开式中项的系数为160,则(
)A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】先求得展开式中的系数,可得展开式中的系数,从而得答案.【详解】二项式展开式的通项为,令可得二项式展开式中的系数为,∴展开式中的系数为,可得,解得,故选:C.变式6-4.展开式中的常数项为(
)A.11 B.19 C.23 D.【答案】C【分析】把按照二项式定理展开,可得展开式中的常数项.【详解】,展开式中的常数为,故选:C.题型战法七整除与余数问题、近似值问题典例7.被5除的余数为(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【分析】利用二项式的展开式进行求解.【详解】由题可知,,则其展开式的通项公式为,由通项公式可得,只有时,即不能被5整除,其余项均能被5整除.故被5除的余数为1.故选:A.变式7-1.已知,且恰能被14整除,则m的取值可以是(
)A.1 B.12 C.7 D.27【答案】D【分析】根据二项式展开式,即可求解.【详解】,故若恰能被14整除,只需要能14整除即可,所以m的取值可以是:-1,13,27等故选:D变式7-2.设,则a除以9所得的余数为(
)A.1 B.2 C. D.【答案】D【分析】利用二项式定理进行求解即可.【详解】因为,所以,即,因为,所以a除以9所得的余数为,故选:D变式7-3.的近似值(精确到0.01)为(
)A.1.12 B.1.13 C.l.14 D.1.20【答案】B【解析】展开后按近似要求求解.【详解】.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理的应用,用二项式定理进行近似计算,掌握二项式定理是解题关键.变式7-4.估算的结果,精确到0.01的近似值为(
)A.30.84 B.31.84 C.30.40 D.32.16【答案】A【分析】利用二项式定理进行计算.【详解】原式+.故选:A.题型战法八杨辉三角典例8.下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中,称之为“杨辉三角”,该表中第10行第7个数是(
)A.120 B.210 C.84 D.36【答案】C【分析】由题意第九行的数就是的展开式的各项的二项式系数可得答案.【详解】由题意,第九行的数就是的展开式的各项的二项式系数,所以第10行第7个数是.故选:C.变式8-1.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据数组中的数构成的规律,其中的a所表示的数是(
)A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】根据杨辉三角数的特征,中间数等于上一行肩上两数之和,即可得出结论.【详解】从第三行起头尾两个数均为1,中间数等于上一行
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