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文档简介
1.5基本不等式8大题型【题型解读】【题型一基本不等式及其应用】1.(2023·黑龙江·哈九中三模)已知x,y都是正数,且,则下列选项不恒成立的是(
)A. B.C. D.2.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)下列函数中最小值为6的是(
)A. B.C. D.3.(多选)(2023·重庆八中高三阶段练习)设,则下列不等式中一定成立的是(
)A. B.C. D.4.(2023·山西运城·模拟预测)已知等比数列的公比为q,且,则下列选项不正确的是(
)A. B. C. D.【题型二直接法求最值】1.(2023·全国·模拟预测)若实数a,b满足,则ab的最大值为(
)A.2 B.1 C. D.2.(多选题)(2023·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习)已知,是两个正数,4是与的等比中项,则下列说法正确的是(
)A.的最小值是1 B.的最大值是1C.的最小值是 D.的最大值是3.(2023·全国·高三专题练习)已知实数满足,则的最小值为(
)A. B. C. D.4.(2023·广东河源·模拟预测)函数的最小值为(
)A. B. C. D.【题型三凑配法求最值】1.(2023·江苏省天一中学高三期末)设实数满足,则函数的最小值为(
)A.3 B.4 C.5 D.62.(2023·全国·高三专题练习)若,且,则的最小值为(
)A.3 B. C. D.3.(2023·浙江·镇海中学模拟预测)已知,则的最小值为___________.4.(2023·山西·怀仁市第一中学校二模)函数的最小值为(
)A.8 B.7 C.6 D.5【题型四“1”的代换法求最值】1.(2023·安徽·高三阶段练习)已知,,,则的最小值是(
)A.1 B.2 C.4 D.62.(多选)(2023·河北保定·一模)下面描述正确的是(
)A.已知,,且,则B.函数,若,且,则的最小值是C.已知,则的最小值为D.已知,则的最小值为3.(2023·辽宁·模拟预测)已知正实数x,y满足,则的最小值为(
)A.2 B.4 C.8 D.124.(2023·天津河北·一模)已知,,且,则的最大值为__________.【题型五消元法求最值】1.(2023·全国·高三专题练习)已知正实数a,b满足,则的最小值是()A.2 B. C. D.62.(2023·全国·高三专题练习)若,且,则的最小值为_________【题型六二次商式求最值】1.(2023·全国·高三专题练习)求下列函数的最小值(1);(2).2.(2023·江西南昌·高三期末)当时,函数的最小值为___________.3.(2023·全国·高三专题练习)若对任意恒成立,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.4.(2023·全国·高三专题练习)函数的最大值为(
)A.3 B.2 C.1 D.-1【题型七基本不等式求参】1.(2023·全国·高三专题练习)已知,,且,若不等式恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B.C.D.2.(2023·全国·高三专题练习)设,,且恒成立,则的最大值是(
)A. B. C. D.3.(2023·甘肃·无高三期末)已知正实数a,b满足,若不等式对任意的实数x恒成立,则实数m的取值范围是(
)A. B. C. D.4.(2023·全国·高三专题练习)不等式对任意正数x,y,z恒成立,则a的最大值是__________.【题型八基本不等式的实际应用】1.(2023·河南·模拟预测)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金,售货员先将5的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为,则(
)A. B. C. D.以上都有可能2.(2023·全国·高三课时练习)为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2022年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知2022年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).(1)将该厂家2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;(2)该厂家2022年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大?1.5基本不等式8大题型【题型解读】【题型一基本不等式及其应用】1.(2023·黑龙江·哈九中三模)已知x,y都是正数,且,则下列选项不恒成立的是(
)A. B.C. D.答案:D【解析】x,y都是正数,由基本不等式,,,,这三个不等式都是当且仅当时等号成立,而题中,因此等号都取不到,所以ABC三个不等式恒成立;中当且仅当时取等号,如即可取等号,D中不等式不恒成立.故选:D.2.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)下列函数中最小值为6的是(
)A. B.C. D.答案:BC【解析】对于A选项,当时,,此时,故A不正确.对于B选项,,当且仅当,即时取“”,故B正确.对于C选项,,当且仅当,即时取“”,故C正确.对于D选项,,当且仅当,即无解,故D不正确.故选:BC.3.(多选)(2023·重庆八中高三阶段练习)设,则下列不等式中一定成立的是(
)A. B.C. D.答案:AB【解析】对于A:因为,所以,当且仅当,即时取等号,所以成立.故A正确;对于B:因为,所以,当且仅当时取等号.所以成立.故B正确;对于C:因为,所以,所以.记,则,所以,所以,即.故C错误;对于D:因为所以.故D错误.故选:AB4.(2023·山西运城·模拟预测)已知等比数列的公比为q,且,则下列选项不正确的是(
)A. B. C. D.答案:B【解析】因为等比数列的公比为q,且,所以,,,,所以,当且仅当,即时取等号,故A正确;所以,当时,故B错误;,故C正确;,故D正确;故选:B【题型二直接法求最值】1.(2023·全国·模拟预测)若实数a,b满足,则ab的最大值为(
)A.2 B.1 C. D.答案:D【解析】∵,,∴,即,当且仅当时等号成立,∴.故选:D.2.(多选题)(2023·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习)已知,是两个正数,4是与的等比中项,则下列说法正确的是(
)A.的最小值是1 B.的最大值是1C.的最小值是 D.的最大值是答案:BC【解析】因为,所以,所以,可得,当且仅当时等号成立,所以的最大值为1,故错误,B正确.因为,故的最小值为,无最大值,故C正确,D错误.故选:BC3.(2023·全国·高三专题练习)已知实数满足,则的最小值为(
)A. B. C. D.答案:D【解析】若ab+c取最小值,则ab异号,c<0,根据题意得:,又由,即有,,当,分别取时,等号成立,即的最小值为-5,故选:D4.(2023·广东河源·模拟预测)函数的最小值为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】(当且仅当,即时等号成立),(当且仅当,即时等号成立).两个等号可以同时成立,的最小值为.故选:C.【题型三凑配法求最值】1.(2023·江苏省天一中学高三期末)设实数满足,则函数的最小值为(
)A.3 B.4 C.5 D.6答案:A【解析】,函数,当且仅当,即时取等号.因此函数的最小值为3.故选:A.2.(2023·全国·高三专题练习)若,且,则的最小值为(
)A.3 B. C. D.答案:D【解析】因,且,则,即有,同理,由得:,于是得,当且仅当,即时取“=”,所以的最小值为.故选:D3.(2023·浙江·镇海中学模拟预测)已知,则的最小值为___________.答案:9【解析】,当且仅当时等号成立,取等条件满足,所以的最小值为9.故答案为:94.(2023·山西·怀仁市第一中学校二模)函数的最小值为(
)A.8 B.7 C.6 D.5答案:D【解析】因为,所以3x-1>0,所以,当且仅当,即x=1时等号成立,故函数的最小值为5.故选:D.【题型四“1”的代换法求最值】1.(2023·安徽·高三阶段练习)已知,,,则的最小值是(
)A.1 B.2 C.4 D.6答案:C【解析】因为,,,所以,当且仅当,即,时取等号;故选:C2.(多选)(2023·河北保定·一模)下面描述正确的是(
)A.已知,,且,则B.函数,若,且,则的最小值是C.已知,则的最小值为D.已知,则的最小值为答案:AC【解析】对于选项A,∵,,,∴,∴,当且仅当时取等号,∴,∴A正确;对于选项B:因为,所以,又,所以由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减,所以,即,故B不正确;对于选项C,根据题意,已知,则,当且仅当,即时,等号成立,所以,故C正确;对于选项D,,令,所以,所以,此时无解,所以选项D不正确,故选:AC.3.(2023·辽宁·模拟预测)已知正实数x,y满足,则的最小值为(
)A.2 B.4 C.8 D.12答案:C【解析】由,且,可得,所以,当且仅当,即,时取等号.故选:C4.(2023·天津河北·一模)已知,,且,则的最大值为__________.答案:【解析】.因为,,且,所以,当且仅当即时取等.所以.,即的最大值为.故答案为:.【题型五消元法求最值】1.(2023·全国·高三专题练习)已知正实数a,b满足,则的最小值是()A.2 B. C. D.6答案:B【解析】由,得,所以,当且仅当,即取等号.故选:B.2.(2023·全国·高三专题练习)若,且,则的最小值为_________答案:【解析】令,则,则,即,则,当且仅当,即时等号成立,故的最小值为.故答案为:.【题型六二次商式求最值】1.(2023·全国·高三专题练习)求下列函数的最小值(1);(2).答案:(1)3;(2)10.【解析】(1)∵(当且仅当,即x=1时取等号)的最小值为3;(2)令,则,当且仅当即t=3时取等号y的最小值为102.(2023·江西南昌·高三期末)当时,函数的最小值为___________.答案:【解析】因为,则,则,当且仅当时,等号成立,所以,当时,函数的最小值为.故答案为:.3.(2023·全国·高三专题练习)若对任意恒成立,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】解:因为,所以,当且仅当即时取等号,因为恒成立,所以,即;故选:C4.(2023·全国·高三专题练习)函数的最大值为(
)A.3 B.2 C.1 D.-1答案:D【解析】,当且仅当,即等号成立.故选:D.【题型七基本不等式求参】1.(2023·全国·高三专题练习)已知,,且,若不等式恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B.C.D.答案:A【解析】因为,,且,所以,当且仅当时,等号成立;又不等式恒成立,所以只需,即,解得.故选:A.2.(2023·全国·高三专题练习)设,,且恒成立,则的最大值是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】解:等价于,故得到则的最大值是4.故选:C.3.(2023·甘肃·无高三期末)已知正实数a,b满足,若不等式对任意的实数x恒成立,则实数m的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:D【解析】因为,,,所以,当且仅当,即,时取等号.由题意,得,即对任意的实数x恒成立,又,所以,即.故选:D.4.(2023·全国·高三专题练习)不等式对任意正数x,y,z恒成立,则a的最大值是__________.答案:1【解析】因为,当时取等号,所以的最大值是,即,解得,所以a的最大值是1.故答案为:【题型八基本不等式的实际应用】1.(2023·河南·模拟预测)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金,售货员先将5的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为,则(
)A. B. C. D.以上都有可能答案:A【解析】由于天平两臂不等长,可设天平左臂长为,右臂长为,则,再设先称得黄金为,后称得黄金为,则,,,,,当且仅当,即时等号成立,但,等号不成立,即.因此,顾客购得的黄金.故选:A.2.(2023·全国·高三课时练习)为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2022年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数
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