高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.5基本不等式8大题型(精练)(原卷版+解析)

1.5基本不等式8大题型【题型解读】【题型一基本不等式及其应用】1.(2023·黑龙江·哈九中三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（

）A． B．C． D．2.（多选题）(2023·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（

）A． B．C． D．3.（多选）(2023·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．4.(2023·山西运城·模拟预测）已知等比数列的公比为q，且，则下列选项不正确的是（

）A． B． C． D．【题型二直接法求最值】1.(2023·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则ab的最大值为（

）A．2 B．1 C． D．2.（多选题）(2023·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（

）A．的最小值是1 B．的最大值是1C．的最小值是 D．的最大值是3.(2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．4.(2023·广东河源·模拟预测）函数的最小值为（

）A． B． C． D．【题型三凑配法求最值】1.(2023·江苏省天一中学高三期末）设实数满足，则函数的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．62.(2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．3.(2023·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为___________.4.(2023·山西·怀仁市第一中学校二模）函数的最小值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【题型四“1”的代换法求最值】1.(2023·安徽·高三阶段练习）已知，，，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．62.（多选）(2023·河北保定·一模）下面描述正确的是（

）A．已知，，且，则B．函数，若，且，则的最小值是C．已知，则的最小值为D．已知，则的最小值为3.(2023·辽宁·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．124.(2023·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为__________.【题型五消元法求最值】1.(2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．62.(2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为_________【题型六二次商式求最值】1.(2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值（1）；（2）.2.(2023·江西南昌·高三期末）当时，函数的最小值为___________．3．(2023·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．4.(2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【题型七基本不等式求参】1.(2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C．D．2.(2023·全国·高三专题练习）设，，且恒成立，则的最大值是（

）A． B． C． D．3.(2023·甘肃·无高三期末）已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．4.(2023·全国·高三专题练习）不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．【题型八基本不等式的实际应用】1.(2023·河南·模拟预测）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为，则（

）A． B． C． D．以上都有可能2.(2023·全国·高三课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2022年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2022年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？1.5基本不等式8大题型【题型解读】【题型一基本不等式及其应用】1.(2023·黑龙江·哈九中三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】x，y都是正数，由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．故选：D．2.（多选题）(2023·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（

）A． B．C． D．答案：BC【解析】对于A选项，当时，，此时，故A不正确.对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.对于D选项，，当且仅当，即无解，故D不正确.故选：BC.3.（多选）(2023·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．答案：AB【解析】对于A：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以成立.故A正确；对于B：因为，所以，当且仅当时取等号.所以成立.故B正确；对于C：因为，所以，所以.记，则，所以，所以，即.故C错误；对于D：因为所以.故D错误.故选：AB4.(2023·山西运城·模拟预测）已知等比数列的公比为q，且，则下列选项不正确的是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为等比数列的公比为q，且，所以，，，，所以，当且仅当，即时取等号，故A正确；所以，当时，故B错误；，故C正确；，故D正确；故选：B【题型二直接法求最值】1.(2023·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则ab的最大值为（

）A．2 B．1 C． D．答案：D【解析】∵，，∴，即，当且仅当时等号成立，∴．故选：D．2.（多选题）(2023·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（

）A．的最小值是1 B．的最大值是1C．的最小值是 D．的最大值是答案：BC【解析】因为，所以，所以，可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1，故错误，B正确．因为，故的最小值为，无最大值，故C正确，D错误．故选：BC3.(2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得：，又由，即有，，当，分别取时，等号成立，即的最小值为-5，故选：D4.(2023·广东河源·模拟预测）函数的最小值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】（当且仅当，即时等号成立），（当且仅当，即时等号成立）.两个等号可以同时成立，的最小值为.故选：C.【题型三凑配法求最值】1.(2023·江苏省天一中学高三期末）设实数满足，则函数的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案：A【解析】，函数，当且仅当，即时取等号．因此函数的最小值为3．故选：A．2.(2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．答案：D【解析】因，且，则，即有，同理，由得：，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：D3.(2023·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为___________.答案：9【解析】，当且仅当时等号成立，取等条件满足，所以的最小值为9.故答案为：94.(2023·山西·怀仁市第一中学校二模）函数的最小值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5答案：D【解析】因为，所以3x－1>0，所以，当且仅当，即x=1时等号成立，故函数的最小值为5．故选：D．【题型四“1”的代换法求最值】1.(2023·安徽·高三阶段练习）已知，，，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．6答案：C【解析】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号；故选：C2.（多选）(2023·河北保定·一模）下面描述正确的是（

）A．已知，，且，则B．函数，若，且，则的最小值是C．已知，则的最小值为D．已知，则的最小值为答案：AC【解析】对于选项A，∵，，，∴，∴，当且仅当时取等号，∴，∴A正确；对于选项B：因为，所以，又，所以由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，所以，即，故B不正确；对于选项C，根据题意，已知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故C正确；对于选项D，，令，所以，所以，此时无解，所以选项D不正确，故选：AC．3.(2023·辽宁·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．12答案：C【解析】由，且，可得，所以，当且仅当，即，时取等号．故选：C4.(2023·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为__________.答案：【解析】.因为，，且，所以，当且仅当即时取等.所以.，即的最大值为.故答案为：.【题型五消元法求最值】1.(2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．6答案：B【解析】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.2.(2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为_________答案：【解析】令，则，则，即，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.【题型六二次商式求最值】1.(2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值（1）；（2）.答案：（1）3；（2）10.【解析】（1）∵（当且仅当，即x=1时取等号）的最小值为3；（2）令，则，当且仅当即t=3时取等号y的最小值为102.(2023·江西南昌·高三期末）当时，函数的最小值为___________．答案：【解析】因为，则，则，当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.故答案为：.3．(2023·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】解：因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；故选：C4.(2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A．3 B．2 C．1 D．-1答案：D【解析】，当且仅当,即等号成立.故选：D.【题型七基本不等式求参】1.(2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C．D．答案：A【解析】因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立；又不等式恒成立，所以只需，即，解得.故选：A.2.(2023·全国·高三专题练习）设，，且恒成立，则的最大值是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】解：等价于，故得到则的最大值是4.故选：C.3.(2023·甘肃·无高三期末）已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号．由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即．故选：D．4.(2023·全国·高三专题练习）不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．答案：1【解析】因为，当时取等号，所以的最大值是，即，解得，所以a的最大值是1．故答案为：【题型八基本不等式的实际应用】1.(2023·河南·模拟预测）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为，则（

）A． B． C． D．以上都有可能答案：A【解析】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，，，当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.因此，顾客购得的黄金.故选：A.2.(2023·全国·高三课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数