高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)2.5.1对数函数(题型战法)(原卷版+解析)

第二章函数2.5.1对数函数（题型战法）知识梳理一对数的概念1.（1）；（2）（3）2...二对数的运算法则（1）积（2）商（3）幂（4）换底公式：，推论:.三对数函数的图像与性质（1）定义域是，因此函数图象一定在y轴的右边.（2）值域是实数集.（3）函数图象一定过点.（4）当a>1时，是增函数；当0<a<1时，是减函数.（5）对数函数的图象（6）对数函数和的图象关于对称.题型战法题型战法一对数与对数的运算典例1．计算：(1)；(2)求的值：.变式1-1．计算求值(1)；(2)；(3)已知，求的值．变式1-2．计算：．变式1-3．计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．变式1-4．计算：(1)；(2)若，求的值．题型战法二对数函数的概念典例2．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥变式2-1．给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式2-2．下列函数是对数函数的是（

）A．y＝lnx B．y＝ln(x＋1)C．y＝logxe D．y＝logxx变式2-3．函数为对数函数，则等于（）A．3 B． C． D．变式2-4．对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（

）A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x题型战法三对数函数的图像典例3．在同一坐标系中，函数与的大致图象是（

）A． B．C． D．变式3-1．函数与在同一坐标系中的图像可能是（

）A． B．C． D．变式3-2．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（

）A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b变式3-3．已知函数且，则函数恒过定点（

）A． B． C． D．变式3-4．函数的图象恒过定点，则点的坐标是（

）题型战法四对数函数的定义域典例4．函数的定义域为（

）A． B． C． D．变式4-1．使式子有意义的的取值范围是（

）A． B． C． D．且变式4-2．函数的定义域为（

）A． B．C． D．变式4-3．函数定义域为（

）A． B． C． D．变式4-4．已知函数，的定义域为M，的定义域为N，则（

）A． B． C．MN D．NM题型战法五对数函数的值域典例5．函数的值域为（

）A． B． C． D．变式5-1．函数的值域是（

）A． B． C． D．变式5-2．函数的最小值是（

）．A．10 B．1 C．11 D．变式5-3．若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式5-4．已知函数的值域为，则实数m的值为（

）A．2 B．3 C．9 D．27题型战法六对数函数的单调性典例6．函数的单调减区间为（）A． B． C． D．变式6-1．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．变式6-2．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．变式6-3．已知函数在上是减函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．变式6-4．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（

）A． B． C． D．题型战法七比较大小与解不等式典例7．若，则（

）A． B． C． D．变式7-1．设，，，则（

）A． B． C． D．变式7-2．若，则（

）A． B． C． D．变式7-3．不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A．B．C． D．变式7-4．设函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．题型战法八对数函数的应用典例8．人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（

）倍．(参考数据：)A． B． C． D．变式8-1．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（

）(附：)A．10% B．20% C．30% D．40%变式8-2．中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（

）（附：）A． B． C． D．变式8-3．声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（

）A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍变式8-4．某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知，）（

）A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年题型战法九反函数典例9．已知函数，其反函数为（

）A． B．C． D．变式9-1．函数的反函数是（

）A． B．C． D．变式9-2．设函数（，且）的图象过点，其反函数的图象过点，则等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5变式9-3．已知函数与的图像关于对称，则（

）A．3 B． C．1 D．变式9-4．与函数的图象关于直线对称的函数是（

）A． B．C． D．第二章函数2.5.1对数函数（题型战法）知识梳理一对数的概念1.（1）；（2）（3）2...二对数的运算法则（1）积（2）商（3）幂（4）换底公式：，推论:.三对数函数的图像与性质（1）定义域是，因此函数图象一定在y轴的右边.（2）值域是实数集.（3）函数图象一定过点.（4）当a>1时，是增函数；当0<a<1时，是减函数.（5）对数函数的图象（6）对数函数和的图象关于对称.题型战法题型战法一对数与对数的运算典例1．计算：(1)；(2)求的值：.【答案】(1)0；(2).【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则计算即可；（2）根据对数的概念将对数式改为指数式即可求解.(1)原式=0；(2).变式1-1．计算求值(1)；(2)；(3)已知，求的值．【答案】(1)44(2)(3)1【解析】【分析】（1）由指数的运算法则计算（2）由对数的运算法则计算（3）将指数式转化为对数式后计算(1)；(2)；(3)，，则，；所以．变式1-2．计算：．【答案】.【解析】【分析】根据指数与对数的运算性质即可求解.【详解】原式

．变式1-3．计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)1(3)4(4)(5)(6)(7)(8)【解析】【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式逐一计算即可.(1)解：；(2)解：；(3)解：；(4)解：；(5)解：；(6)解：；(7)解：；(8)解：.变式1-4．计算：(1)；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据分数指数幂、对数的运算法则及换底公式计算可得；（2）根据换底公式的性质得到，再根据指数对数恒等式得到，即可得解；(1)解：(2)解：，，，．题型战法二对数函数的概念典例2．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【解析】【分析】依据对数函数的定义即可判断.【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C.变式2-1．给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案.【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.变式2-2．下列函数是对数函数的是（

）A．y＝lnx B．y＝ln(x＋1)C．y＝logxe D．y＝logxx【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的定义判断．【详解】A是对数函数，B中真数是，不是，不是对数函数，C中底数不是常数，不是对数函数，D中底数不是常数，不是对数函数．故选：A．变式2-3．函数为对数函数，则等于（）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】可以先根据对数函数的性质来确定的取值范围，再带入得出结果．【详解】因为函数为对数函数，所以函数系数为1，即即或，因为对数函数底数大于0，所以，，所以．【点睛】对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1．变式2-4．对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（

）A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x【答案】A【解析】【分析】设对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，将点代入即可求解.【详解】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．由于对数函数的图像过点M(125，3)，所以3＝loga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝log5x.故选：A.题型战法三对数函数的图像典例3．在同一坐标系中，函数与的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.【详解】由指数函数与对数函数的单调性知：在上单调递增，在上单调递增，只有B满足.故选：B.变式3-1．函数与在同一坐标系中的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】分别讨论和时函数与在的单调性和所过定点，利用排除法即可求解.【详解】由对数和指数函数的性质可得且，当时，过点在上单调递减，过点在单调递减，所以排除选项C，当时，过点在上单调递增，过点在单调递增，所以排除选项AD，故选：B.变式3-2．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（

）A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.故选：D．变式3-3．已知函数且，则函数恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用对数函数过定点求解.【详解】令，解得，，所以函数恒过定点，故选：D变式3-4．函数的图象恒过定点，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】令真数为，求出的值，再代入函数解析式可得定点的坐标.【详解】令，可得，此时，故点的坐标为.故选：A.题型战法四对数函数的定义域典例4．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解．【详解】由题意，解得．故选：A．变式4-1．使式子有意义的的取值范围是（

）A． B． C． D．且【答案】D【解析】【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出的取值范围.【详解】由题意得：，解得：且.故选：D变式4-2．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据根式、对数函数的性质有，即可得定义域.【详解】由题设，，即，可得.所以函数定义域为.故选：D变式4-3．函数定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据使函数有意义得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得且，所以函数的定义域为；故选：C变式4-4．已知函数，的定义域为M，的定义域为N，则（

）A． B． C．MN D．NM【答案】B【解析】【分析】分别求出的定义域为M和的定义域为N即可求解.【详解】，则，，则，所以，故选：B．题型战法五对数函数的值域典例5．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由的值域为可得的值域为.【详解】由对数函数的值域为，向右平移2个单位得函数的值域为，则的值域为，故选：A.变式5-1．函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的性质可求原函数的值域.【详解】设，则，故，故的值域为，故选：D.变式5-2．函数的最小值是（

）．A．10 B．1 C．11 D．【答案】B【解析】【分析】利用换元法，令，则，先求出的范围，从而可求出函数的最小值【详解】设，则，因为，所以，所以的最小值为1，故选：B变式5-3．若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出当和时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可【详解】当时，当时，要使的值域为则，故选：C变式5-4．已知函数的值域为，则实数m的值为（

）A．2 B．3 C．9 D．27【答案】C【解析】【分析】根据对数型复合函数的性质计算可得；【详解】解：因为函数的值域为，所以的最小值为，所以；故选：C题型战法六对数函数的单调性典例6．函数的单调减区间为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求得函数的定义域，利用二次函数的性质求得函数的单调区间，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，即，解得，即函数的定义域为，令，可得其图象开口向下，对称轴的方程为，当时，函数单调递增，又由函数在定义域上为单调递减函数，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调减区间为.故选：A.变式6-1．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出函数的定义域，进而根据“同增异减”求得答案.【详解】由题意，，，按照“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是.故选：A.变式6-2．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】复合函数单调性问题，第一步确定定义域，第二步同增异减，即可得到答案.【详解】由，得或，即函数的定义域为，令，则，所以函数t在上单调递减，在上单调递增，又函数在上单调递增，从而函数的单调递增区间为，由题意知，∴.故选：D.变式6-3．已知函数在上是减函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据复合函数的单调性同增异减求得的取值范围.【详解】由于且，所以为减函数，根据复合函数的单调性同增异减可知.所以.故选：B变式6-4．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据的单调性列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】因为是上的减函数，所以，解得．故选：A题型战法七比较大小与解不等式典例7．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行判断可.【详解】因为，所以，故选：A变式7-1．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解判断即可.【详解】因为，，，所以有，故选：B变式7-2．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质判断．【详解】由对数函数和指数函数性质得：，，，所以．故选：D．变式7-3．不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先利用对数函数单调性解不等式，再判断出充分不必要条件.【详解】由，由于，而，故不等式成立的一个充分不必要条件是，A选项是充要条件，B选项是既不充分也不必要条件，C选项是必要不充分条件.故选：D.变式7-4．设函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】分和两种情况解不等式即可【详解】当时，由，得，得，解得，当时，由，得，得，所以，综上，，故选：A题型战法八对数函数的应用典例8．人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（

）倍．(参考数据：)A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得．【详解】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，则其满足关系和，两式作差可以得到，即，所以，故选：C．变式8-1．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（

）(附：)A．10% B．20% C．30% D．40%【答案】B【解析】【分析】先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可.【详解】当时，；当时，.所以增大的百分比为：.故选：B.变式8-2．中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（

）（附：）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果.【详解】当时，；当时，信道宽度变为原来倍，.因为.故选：D.变式8-3．声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（

）A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍【答案】B【解析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分