初中数学 中考数学试卷

2020年湖南省长沙市中考数学试卷

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合

题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1.（3分）（-2）3的值等于（）

A.-6B.6C.8D.-8

2.（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

3.（3分）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收

政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展.据国家统计局相关数据显

示,2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000

用科学记数法表示为（）

A.6.324X1011B.6.324X1O10

C.632.4X109D.0.6324X1012

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.恭我=&B.无*/=/c.73XV2=V5D.（a5）2=/

5.（3分）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案.该方案以“三湘四

水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态.该高铁站建设初期需要

运送大量土石方.某运输公司承担了运送总量为106/土石方的任务，该运输公司平均

运送土石方的速度v（单位：//天）与完成运送任务所需时间f（单位：天）之间的函数

关系式是（）

A.B.v=l（）6fC.v=—^-rD.v=106r

t106

6.（3分）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30。时，船离灯塔的水平

距离是（）

A.42A/3^B.14%米C.21米D.42米

x+l）-l

7.（3分）不等式组X》的解集在数轴上表示正确的是（

恃＜1

A.-2-10

3•.,

D,-2-1012

8.（3分）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别.从中随机摸

出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个.下列说法中，错误的是（）

A.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球

B.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球

C.第一次摸出的球是红球的概率是上

两次摸出的球都是红球的概率是上

9

9.（3分）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”.这个节日的昵称是“TT（Day）”.国

际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字.在古代,

一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平

的一个主要标志.我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点

后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年.以下对于圆周率的四个表述：

①圆周率是一个有理数；

②圆周率是一个无理数；

③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；

④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比.

其中表述正确的序号是（）

A.②③B,①③C.①④D.②④

10.（3分）如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线H）、

GH上,斜边平分/CAD,交直线GH于点E,则/ECB的大小为（）

FA3。

GC\VH

A.60°B.45C.30°D.25°

11.（3分）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，

某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生

产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时

间相同.设更新技术前每天生产无万件产品，依题意得（）

A.400=500B.400=500

x-30xxx+30

c400=500D.400=500

xx-30x+30x

12.（3分）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却

比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比

称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率”产与加工煎炸时间r（单位：分钟）近似

满足的函数关系为：p=。於+初+c（〃WO,a,儿。是常数），如图记录了三次实验的数据.根

据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）

kP

09---------------------------1

0.8-------------------1।•

।•

0.6-------------------1——F--1

।•

।•

।•

।•

।•

।

।••

O{-----------------------------------1——►

345f

A.3.50分钟B.4.05分钟C.3.75分钟D.4.25分钟

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

13.（3分）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某

校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：

次数7次及以654321次及以

上下

人数81231241564

这次调查中的众数和中位数分别是,.

14.（3分）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相

同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个

步骤：

第一步，A同学拿出二张扑克牌给3同学；

第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；

第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，8同学就拿出多少张扑克牌给A同学.

请你确定，最终3同学手中剩余的扑克牌的张数为.

15.（3分）已知圆锥的母线长为3,底面半径为1,该圆锥的侧面展开图的面积为,

16.（3分）如图，点尸在以MN为直径的半圆上运动（点尸不与N重合），PQLMN,

NE平分/MNP,交PM于点E,交PQ于点F.

⑴里+居=

PQPM

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18>19题每小题6分，第20、21题每小题6分,

第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：|-3|-（-/10-1）°+V2COS45°+（-1）-1.

2

18.（6分）先化简再求值：—————_g———,其中x=4.

X2-6X+9X+2X-3

19.（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方

法：

已知：ZAOB.

求作：/AQB的平分线.

作法：（1）以点。为圆心，适当长为半径画弧，交04于点交于点N.

（2）分别以点N为圆心，大于工MN的长为半径画弧，两弧在NA0B的内部相交于

2

点C.

（3）画射线0C,射线0C即为所求（如图）.

请你根据提供的材料完成下面问题.

（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是.（填序号）

①SSS②&4S③A4s④ASA

（2）请你证明OC为/AOB的平分线.

20.（8分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教

育的意见》.长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”.为了解某校

学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：

数

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

（1）这次调查活动共抽取人；

（2）m_，“=；

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上

的学生人数.

21.（8分）如图，为。。的直径，C为上一点，与过C点的直线互相垂直，垂

足为。，AC平分

（1）求证：0c为。。的切线.

（2）若AO=3,DC=43,求。。的半径.

D

22.（9分）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大

的影响.“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A,8两种型号的货车,

分两批运往受灾严重的地区.具体运输情况如下：

第一批第二批

A型货车的辆数（单位：辆）12

2型货车的辆数（单位：辆）35

累计运输物资的吨数（单位：吨）2850

备注：第一批、第二批每辆货车均满载

（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资?

（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车.试问至少还

需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？

23.（9分）在矩形ABC。中，E为QC边上一点，把△&£>£沿AE翻折，使点。恰好落在

8c边上的点尸.

(1)求证：△ABFS^FCE；

(2)若AB=26，AD=4,求EC的长;

(3)若AE-DE=2EC,记NBAP=a,NFAE=R,求tana+tan0的值.

24.(10分)我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函

数称之为函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对点”.根据该约定，完

成下列各题.

(1)在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“J”，

不是“”函数”的打“X”.

①尸2元()；

②尸如(〃层0)()；

x

③y=3尤-1().

(2)若点A(Lm)与点B-4)是关于龙的"H函数"y=a：C'+bx+c(aWO)的一

对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，求a,b,c的值或取值范围.

(3)若关于龙的“H函数"y=a?+26x+3c(a,b,c是常数)同时满足下列两个条件：

①a+6+c=0,②(2c+6-a)(2c+6+3a)<0,求该“X函数”截x轴得到的线段长度的

取值范围.

25.(10分)如图，半径为4的。。中，弦A3的长度为4丁§，点C是劣弧窟上的一个动

点，点。是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接。E、OD、OE.

(1)求NAO8的度数；

(2)当点C沿着劣弧会从点A开始，逆时针运动到点8时，求△ODE的外心尸所经过

的路径的长度；

(3)分别记△ODE,△CDE的面积为Si,S2,当&2=21时，求弦AC的长度.

2020年湖南省长沙市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合

题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1.（3分）（-2）3的值等于（）

A.-6B.6C.8D.-8

【考点】1E：有理数的乘方.

【分析】根据有理数的乘方的运算法则即可得到结果.

【解答】解：（-2）3=-8,

故选：D.

【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的运算法则是解本题的关键.

2.（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可.

【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

8、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

。、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴

对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对

称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

3.（3分）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收

政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展.据国家统计局相关数据显

示,2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000

用科学记数法表示为（）

A.6.324X1011B.6.324X1O10

C.632.4X109D.0.6324X1012

【考点】H：科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞10时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：632400000000=6.324X1。”，

故选：A.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其

中lW|a|＜10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.标我=、而B.C.^/3XV2=-/5D.（a5）2=a7

【考点】47：嘉的乘方与积的乘方；48：同底数累的除法；79：二次根式的混合运算.

【分析】根据二次根式的混合运算法则，同底数塞的除法运算法则以及塞的乘方与积的

乘方计算法则进行解答.

【解答】解：A、«与血不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意.

B、原式=--2=X6,计算正确，故本选项符合题意.

C、原式=北苑=企，计算错误，故本选项不符合题意.

D、原式=/'2="0,计算错误，故本选项不符合题意.

故选：B.

【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，塞的乘方与积的乘方以及同底数累的除

法，属于基础计算题，熟记相关计算法则即可解答.

5.（3分）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案.该方案以“三湘四

水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态.该高铁站建设初期需要

运送大量土石方.某运输公司承担了运送总量为106/土石方的任务，该运输公司平均

运送土石方的速度v（单位：//天）与完成运送任务所需时间f（单位：天）之间的函数

关系式是（）

A.尸舁6B.v=106?C.D.v=106r

t106

【考点】GA：反比例函数的应用.

【分析】按照运送土石方总量=平均运送土石方的速度vX完成运送任务所需时间,,列

出等式，然后变形得出v关于，的函数，观察选项可得答案.

【解答】解：二.运送土石方总量=平均运送土石方的速度vX完成运送任务所需时间

1O6=V6

6

.v10

t

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键.

6.（3分）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平

距离是（）

A.42愿米B.14A/3^C.21米D.42米

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决.

【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42+tan30。=42＜§（米）

故选：A.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三

角形并解直角三角形.

x+l）-l

7.（3分）不等式组|x/的解集在数轴上表示正确的是（）

任＜1_________________

A.-2-10t2B,-2-1012

D.-2-10

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组.

【分析】根据解不等式组的方法可以求得该不等组的解集，从而可以将该不等式组的解

集在数轴上表示出来，本题得以解决.

乂+1）-1

【解答】解：由不等式组X，得-24V2,

代＜1

故该不等式组的解集在数轴表示为：

故选：D.

【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关

键是明确解一元一次不等式组的方法.

8.（3分）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别.从中随机摸

出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个.下列说法中，错误的是（）

A.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球

B.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球

C.第一次摸出的球是红球的概率是上

3

D.两次摸出的球都是红球的概率是上

9

【考点】X6：列表法与树状图法.

【分析】根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案.

【解答】解：A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球，故本选项正确；

2、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的一定不是红球，故本选项错误；

C、：不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，...第一次摸出的球是红球的概率是上，故

3

本选项正确；

。、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿

绿，则两次摸出的球都是红球的概率是工，故本选项正确；

9

故选：B.

【点评】此题考查了概率的求法，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到

的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

9.（3分）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”.这个节日的昵称是“豆（。分）”.国

际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字.在古代,

一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平

的一个主要标志.我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点

后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年.以下对于圆周率的四个表述：

①圆周率是一个有理数；

②圆周率是一个无理数；

③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；

④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比.

其中表述正确的序号是（）

A.②③B.①③C.①④D.②④

【考点】1H：近似数和有效数字；27：实数.

【分析】根据实数的分类和7T的特点进行解答即可得出答案.

【解答】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的

周长与直径的比，

所以表述正确的序号是②③；

故选：A.

【点评】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“IT”的意义是解题的关键.

10.（3分）如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线切入

GH上,斜边AB平分NC4D,交直线GH于点E,则的大小为（）

【考点】JA：平行线的性质.

【分析】依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到/ACE的度数，进而得出/

ECB的度数.

【解答】解：平分NC4。，

/.ZCA£）=2ZBAC=120°,

又,：DEHHG,

：.ZACE=180°-/D4c=180°-120°=60°,

又•.•/ACB=90°,

：.ZECB=ZACB-ZACE=90°-60°=30°,

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补.

11.（3分）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，

某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生

产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时

间相同.设更新技术前每天生产无万件产品，依题意得（）

A.400=500B.400=500

x-30xxx+30

c400=500D400=500

xx-30x+30x

【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程.

【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，

根据工作时间=工作总量+工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前

生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于无的分式方程，此题得解.

【解答】解：设更新技术前每天生产无万件产品，则更新技术后每天生产G+3O）万件

产品，

依题意，得：400=50p

xx+30

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是

解题的关键.

12.（3分）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却

比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比

称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率”尸与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似

满足的函数关系为：p=aP+6+cQWO,fl,b,c是常数），如图记录了三次实验的数据.根

据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）

0.9--------------------------.

0.8------------------1I•

I•

0.6------------------1——%

।•

।•

।•

।•

।••

--------------।----.----•——►

345f

A.3.50分钟B.4.05分钟C.3.75分钟D.4.25分钟

【考点】HE：二次函数的应用.

【分析】将图象中的三个点（3,0.8）、（4,0.9）、（5,0.6）代入函数关系p=at2+bt+c

中，可得函数关系式为：p=-0.2尸+1.5L1.9,再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物

线顶点的横坐标，求出即可得结论.

【解答】解：将图象中的三个点（3,0.8）、（4,0.9）、（5,0.6）代入函数关系p=a/+6/+c

中，

9a+3b+c=0.8

,16a+4b+c=0.9，

,25a+5b+c=0.6

a=_0.2

解得＜b=l.5，

,c=-1.9

所以函数关系式为：p--0.2尸+1.5r-1.9,

由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标:

则当f=3.75分钟时，可以得到最佳时间.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

13.（3分）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某

校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：

次数7次及以654321次及以

上下

人数81231241564

这次调查中的众数和中位数分别是3,5.

【考点】W4：中位数；W5：众数.

【分析】根据中位数和众数的概念求解即可.

【解答】解：这次调查中的众数是5,

这次调查中的中位数是且金=5，

2》

故答案为:5；5.

【点评】本题考查中位数和众数的概念；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据

的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中

位数.

14.（3分）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相

同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个

步骤：

第一步，A同学拿出二张扑克牌给8同学；

第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；

第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，8同学就拿出多少张扑克牌给A同学.

请你确定，最终8同学手中剩余的扑克牌的张数为7.

【考点】32：列代数式；44：整式的加减.

【分析】本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌x张，解答时依题意列出算式，求

出答案.

【解答】解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来

三张扑克牌后，

则B同学有（x+2+3）张牌，

A同学有（x-2）张牌，

那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：龙+2+3-（x-2）=x+5-x+2=l.

故答案为：7.

【点评】本题考查了整式的加减法，此题目的关键是注意要表示清A同学有（x-2）张.

15.（3分）已知圆锥的母线长为3,底面半径为1,该圆锥的侧面展开图的面积为3。.

【考点】MP：圆锥的计算.

【分析】根据圆锥的侧面积公式：SffiJ=lx2nr-/=nr/.即可得圆锥的侧面展开图的面

2

积.

【解答】解：•••圆锥的侧面展开图是扇形，

；・S侧=TTT7=3Xln=3n,

...该圆锥的侧面展开图的面积为37T.

故答案为：31T.

【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积

公式.

16.（3分）如图，点P在以为直径的半圆上运动（点P不与N重合），PQA.MN,

NE平分/MNP,交PM于点、E,交尸0于点?

⑴里+翡=1.

PQPM

(2)若P^=PM*MN,则㈣=近二1

NQ一2一

【考点】M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质.

【分析】（1）证明△PENS/\QFM得患图_①，证明△NPQS^PMQ,得更典②,

'PNQNMPPQ

再①x②得患色，再变形比例式便可求得结果；

PMPQ

（2）证明得PJ^=NQ・MN,结合已知条件得PM=NQ,再根据三角

函数得也旦，进而得与N。的方程，再解一元二次方程得答案.

NQMN

【解答】解：（1）为。。的直径，

：.NMPN=90°,

■:PQ工MN,

：./PQN=/MPN=90°,

,:NE平济/PNM,

：./MNE=ZPNE,

:APENS^QFN,

.•幽a,即至M0,

QFQNPNQN

VZPNQ+ZNPQ=ZPNQ+ZPMQ=9Q°,

ZNPQ=ZPMQ,

:/PQN=/PQM=90°,

：.ANPQ^APMQ,

史旭②，

MPPQ

.•.①x②得患

PMPQ

,:QF=PQ-PF,

.PEQF=I_PF

"PM"PQPQ"

•PF.PE=1

PQPM

故答案为：1；

(2)ZPNQ=ZMNP,/NQP=/NPQ,

：.△NPQS^NMP,

•PN_QN

,•加而

:.Pa=QN,MN,

'：PN2=PM'MN,

：.PM=QN,

.MQ_MQ

,•而后，

tanZM—=^2L,

PMMN

.MQ_PM

"NQ"MN'

.MQ_NQ

"NQ"MQ+NQ'

2

：.NQ1=M^+MQ-NQ,即

设咽_=x，则x2+x-1=0,

NQ

解得，x=g1,或尤=-遍+l<0(舍去)，

22

.MQ=V5-1

"NQ2

故答案为：卮L

2

【点评】本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，关键

是灵活地变换比例式.

三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分,

第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤)

17.(6分)计算：|-3|-("/1Q-1)°+V2COS45°+(A)-1.

4

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数累；6F：负整数指数累；T5：特殊角的三角函数

值.

【分析】首先化简绝对值，求零指数累，特殊角的三角函数，负整数指数累，再按顺序

进行加减运算.

【解答】解：原式=3-14A历X零+4

=2+1+4

=7.

【点评】本题主要考查了化简绝对值，零指数幕，特殊角的三角函数，负整数指数累，

熟练掌握实数的运算法则是解答此题的关键.

2

18.(6分)先化简再求值：—————其中x=4.

X2-6X+9X+2X-3

【考点】6D：分式的化简求值.

【分析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将尤的值代入化简后的式

子即可解答本题.

［解答］解：xt2.工

x2-6x+9x+2x-3

=x+2.(x+3)(x-3)_x

(x-3)2x+2x-3

=x+3x

x-3x-3

=3

x-3

当x=4时，原式=3=3.

4-3

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

19.(6分)人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方

法：

已知：ZAOB.

求作：/AQB的平分线.

作法：(1)以点。为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点交。8于点N.

(2)分别以点N为圆心，大于4N的长为半径画弧，两弧在的内部相交于

2

点C.

(3)画射线0C,射线OC即为所求(如图).

请你根据提供的材料完成下面问题.

（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①.（填序号）

①SSS②SAS③AAS④ASA

（2）请你证明0C为/AOB的平分线.

【考点】IJ：角平分线的定义；KB：全等三角形的判定；N4：作图一应用与设计作图.

【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出基本依据；

（2）直接利用全等三角形的判定与与性质得出答案.

【解答】解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS.

故答案为：①

（2）由基本作图方法可得：OM=ON,OC=OC,MC=NC,

则在△OMC和△ONC中,

OM=ON

-oc=oc>

MC=NC

:.AOMC必ONC(SSS),

ZAOC=ZBOC,

即0c为/AOS的平分线.

【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键.

20.（8分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教

育的意见》.长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”.为了解某校

学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：

某学校学生一周劳动次数的条形统计图某学校学生一周劳动次数的扇形统讲图

*

100

90

S0

70

60

50

40

30

20

10

4次及以上3次砍1次及以下一周劳动次数------

（1）这次调查活动共抽取200人;

（2）m=86,n=27；

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上

的学生人数.

【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图.

【分析】（1）从统计图中可知，“1次及以下”的频数为20,占调查人数的10%,可求出

调查人数；

（2）“3次”的占调查人数的43%,可求出“3次”的频数，确定机的值，进而求出“4

次以上”的频率，确定”值，

（3）求出“2次”的频数，即可补全条形统计图；

（4）“4次以上”占27%,因此估计3000人的27%是“4次以上”的人数.

【解答】解：（1）204-10%=200（人），

故答案为：200；

（2）200X43%=86（人），544-200=27%,即，n=21,

故答案为：86,27；

（3）200X20%=40（人），补全条形统计图如图所示：

人

数某学校学生一周序峰数的条形统计图

1

00

90

80

70

60

50

40

30

20

10

(4)3000X27%=810(人),

答:该校3000名学生中一周劳动4次及以上的有810人.

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数

量和数量关系是正确解答的前提.

21.（8分）如图，A8为的直径，C为。。上一点，与过C点的直线互相垂直，垂

足为D,AC平分NZM8.

（1）求证：DC为的切线.

（2）若AZ）=3,DC=M，求O。的半径.

【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质.

【分析】（1）如图，连接。C,根据已知条件可以证明NOC4=/D4C,nAD//OC,由

AD±DC,得。C_LOC,进而可得。C为OO的切线；

（2）过点。作OELAC于点E,根据Rt^AOC中，AD=3,可得。&C=30°,

再根据垂径定理可得AE的长，进而可得。。的半径.

【解答】解：（1）如图，连接。C,

：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

平分

：.ZDAC=ZOAC,

J.ZOCA^ZDAC,

J.AD//OC,

'：AD±DC,

OCLDC,

又oc是。。的半径，

.♦•OC为。。的切线；

（2）过点O作OELAC于点E,

在Rt^AOC中，AD=3>,DC=M，

：.tanZDAC^^-=J^-,

AD3

.,.ZDAC=30°,

:.AC=2DC=2M，

•/OE±AC,

根据垂径定理，得

A£=£C=X1C=V3>

2

'：ZEAO=ZDAC=30°,

；.。4=—蛆—=2,

cos300

•••OO的半径为2.

【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的判

定与性质.

22.（9分）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大

的影响.“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A,8两种型号的货车,

分两批运往受灾严重的地区.具体运输情况如下：

第一批第二批

A型货车的辆数（单位：辆）12

8型货车的辆数（单位：辆）35

累计运输物资的吨数（单位：吨）2850

备注：第一批、第二批每辆货车均满载

（1）求A、3两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？

（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车.试问至少还

需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？

【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用.

【分析】（1）设A种型号货车每辆满载能运尤吨生活物资，8种型号货车每辆满载能运y

吨生活物资，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x,y的二元一次方程组，

解之即可得出结论；

（2）设还需联系机辆8种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求

一次性运送62.4吨生活物资，即可得出关于根的一元一次不等式，解之取其中最小的整

数值即可得出结论.

【解答】解：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载

能运y吨生活物资，

依题意，得：卜+的=28,

[2x+5y=50

解得：卜=1°.

ly=6

答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活物

资.

（2）设还需联系机辆2种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，

依题意，得：10X3+6m262.4,

解得:唐》5.4,

又为正整数，

'•m的最小值为6.

答：至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是:

（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出

一元一次不等式.

23.（9分）在矩形A8CD中，E为DC边上一点、,把△AZ5E沿AE翻折，使点。恰好落在

BC边上的点F.

（1）求证：AABF^AFCE；

（2）若AB=2«,AD=4,求EC的长；

（3）若AE-DE=2EC,记NBAF=a,ZME=P，求tana+tan0的值.

AD

【考点】SO：相似形综合题.

【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.

(2)设EC=x,证明△ABps△尸CE,可得姻■=典，由此即可解决问题.

CFEC

(3)首先证明tana+tanP=BF+CFBC；设AB=CO=a,BC=AD

ABAFABABABAB

=b,DE=x,解直角三角形求出a,6之间的关系即可解决问题.

【解答】(1)证明：...四边形ABC£＞是矩形，

：.ZB=ZC=ZD=90a,

由翻折可知，ZD=ZAFE=90°,

：.ZAFB+ZEFC^90°,NEFC+/CEF=9Q°,

：.NAFB=/FEC,

：.△ABFs^FCE.

(2)设EC=x,

由翻折可知，AZ)=AF=4,

,•BF=J