版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
LYR(2010-09-23)“最值问题”集锦
•平面几何中的最值问题..............01
•几何的定值与最值..................07
・最短路线问题......................14
•对称问题..........................18
・巧作“对称点”妙解最值题........22
•数学最值题的常用解法..............26
•求最值问题........................29
•有理数的一题多解..................34
・4道经典题........................37
・平面几何中的最值问题
在平面几何中,我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题,有时它和不等式联系在
一起,统称最值问题.如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来,可以达到最经济、
最节约和最高效率.下面介绍几个简例.
在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、
图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种:
(1)应用几何性质:
①三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
②两点间线段最短;
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;
④定圆中的所有弦中,直径最长。
⑵运用代数证法:
①运用配方法求二次三项式的最值;
②运用一元二次方程根的判别式。
例1、A、B两点在直线I的同侧,在直线L上取一点P,使PA+PB最小。
变券:声胃两案小射注亶我上的两恻,在直绫■口取.出»融1由最大..
♦A
_____________________L
B・___________I
分析:在直线L上任取一点P',连结AP,BP',
在AABP'中AP'+BP'>AB,如果AP'+BP'=AB,则P'必在线段AB上,而线段AB与
直线L无交点,所以这种思路错误。
取点A关于直线L的对称点A',则AP'=AP,
在AABP中A'P'+BP'>AB,当P,移到A'B与直线L的交点处P点时AP+BP=A'B,
所以这时PA+PB最小。
1已知AB是半圆的直径,如果这个半圆是一块铁皮,ABDC是内接半圆的梯形,试
问怎样剪这个梯形,才能使梯形ABDC的周长最大(图3-91)?
图3-91
分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长,可设半圆半径为R.由于AB||CD,
必有AC=BD.若设CD=2y,AC=x,那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值
即可.
2
解作DE±AB于E,则X2=BD=AB-BE=2R-(R-y)=2R2-2Ry,
2B?-x2
所以
2R2-x2
u=x+y+R=x+―———+R
所以2R
所以求u的最大值,只须求-X2+2RX+2R2最大值即可.
-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2<3R2,
上式只有当x=R时取等号,这时有
2R2-x22B?-R2R
所以2y=R=x.
所以把半圆三等分,便可得到梯形两个顶点C,D,
这时,梯形的底角恰为60°和120°.
2.如图3-92是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得出
最大面积,使得窗户透光最好?
分析与解设x表示半圆半径,y表示矩形边长AD,则必有2x+2y+TTX=8,
8-%x-2x
若窗户的最大面积为S,则
把①代入②有
8-TCX-2x
S=2x
8x--2xJ+—
2
8x-(2+卞x
4+q_832
4+冗
上式中,只有x=J-时,等号成立.这时,由①有
4+冗
8一冗•----------2♦-------
4+冗4+冗
即当窗户周长一定时,窗户下部矩形宽恰为半径时,窗户面积最大.
3.已知P点是半圆上一个动点,试问P在什么位置时,PA+PB最大(图3-93)?
分析与解因为P点是半圆上的动点,当P近于A或B时,显然PA+PB渐小,在极限
状况(P与A重合时)等于AB.因此,猜想P在半圆弧中点时,PA+PB取最大值.
设P为半圆弧中点,连PB,PA,延长AP到C,使PC=PA,连CB,则CB是切线.
为了证PA+PB最大,我们在半圆弧上另取一点P,,连P,A,P'B,延长AP倒C,
使PC=BP\连C,B,CC,贝LPCB=NPBC=NPCB=45°,
所以A,B,C',C四点共圆,所以NCC'A=NCBA=90°,
所以在AACC'中,AC>AC',即PA+PB>P^+PB.
D
图3-94
4如图3-94,在直角0(BC中,AD是斜边上的高,M,N分别是^ABD,AACD的内心,
直线MN交AB,AC于K,L.求证:SAABC^2SAAKL.
证连结AM,BM,DM,AN,DN,CN.
因为在^ABC中,NA=90°,AD±BC于D,
所以NABD=/DAC,/ADB=/ADC=90°.
因为M,N分别是^ABD和AACD的内心,所以
z1=z2=45°,N3=N4,
所以AADNSABDM,
DMBD
所以
DNAD
又因为NMDN=90°=NADB,所以△MDN-△BDA,
所以NBAD=NMND.
由于/BAD=4CD,所以zMND=zLCD,
所以D,C,L,N四点共圆,所以NALK=NNDC=45°.
同理,NAKL=/1=45°,所以AK=AL.因为AAKM2ADM,
所以AK=AD=AL.而
2
S&丽=(AB・AC,SiAKL=|AD-AL=jAD,
而
aAC2AB2AC2♦AB2
AD2=------------=----------------
仙BC2AB2+AC2'
从而
c1“八-AC*AC
S.=-AC*AB*—5-------y
A△题VT2AB2+AC2
)111
45AB*AC*万二三百,
所以SAABC^SAAKL.
5.如图3-95.已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P,Q.求证:PQ<AB.
证设过P,Q的直线与AB,AC分别交于Pi,Qi,连结PiC,显然,PQ<PiQi.
因为〃0干1+才10心=180°,
所以NAQIPI和/PiQiC中至少有一个直角或钝角.
若/AQF位90°,贝ijPQVPiQ遥AP遥AB;
若NPiQiCN90°,则PQ4PiQi〈PiC.
同理,NAPIC和NBPQ中也至少有一个直角或钝角,不妨设/BPiCN90°,
贝|JPiC《BC=AB.
对于P,Q两点的其他位置也可作类似的讨论,因此,PQ4AB.
6.设AABC是边长为6的正三角形,过顶点A引直线I,顶点B,C到I的距离设为di,
d2,求ch+d2的最大值(1992年上海初中赛题).
C
1’
D1
D
图3-96
解如图3-96,延长BA到B,,使ABZ=AB,连B,C,则过顶点A的直线I或者与BC
相交,或者与BC相交.以下分两种情况讨论.
(1)若I与BC相交于D,则
1
2(由+da)*AD=5AABD+‘AADC
73
=S&MC彳436,
所以
18栏上1873
d,+d=——<—^=6.
12AB3^/3
只有当l±BC时,取等号.
⑵若r与BC相交于D,,则
1
5(d]+d2).AD=S&BDA+S&ACD,
=^SAB'D'A'+SQ&ACD,=Qq&ABC
所以
d]+d2C—=64.
上式只有\'±B'C时,等号成立.
综合(1),(2),由+<12的最大值为6、5.
7.如图3-97.已知直角AAOB中,直角顶点0在单位圆心上,斜边与单位圆相切,延
长AO,B0分别与单位圆交于C,D.试求四边形ABCD面积的最小值.
图3-97
解设。0与AB相切于E,有0E=1,从而
AB=OE*AB=AO*OB
AO2+BO2(AO-BO)2
二22
/AO2+BO2AB2
&----------=----
22
即ABN2.
当AO=BO时,AB有最小值2.从而
11
SABCD=万AC•BD=5(1+OA)(1+BO)
1
=-(l+AO+BO+AO*BO)
》g(1+2^/AO•BO+AO•BO)
=1(i+7Ao•BO)2=^(i+JOE*AB)2
=1(I+7AB)2>|(I+72)2
=?3+2®
所以,当AO=OB时,四边形ABCD面积的最小值为
.+2®
・几何的定值与最值
几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素
间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是:分清问题
的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明.
几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长
度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有:
1.特殊位置与极端位置法;
2.几何定理(公理)法;
3.数形结合法等.
注:几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中,由冷点变为热点.这是由于这
类问题具有很强的探索性(目标不明确),解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一
般相结合、
逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.
【例题就解】
【例1】如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和
PB为边作等边AAPC和等边ABPD,则CD长度的最小值为_______
思路点拨如图,作CC'±AB于C,DD1AB于D,,/
DQ±CC,,CD2=DQ2+CQ2,DQ=』AB-常数,当CQ越小,CD丸/\
2C/rL)D
本例也可设AP=x,则PB=io-x,从代数角度探求CD的最小值.
注:从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置与
极端位置是指:
(1)中点处、垂直位置关系等;
(2)端点处、临界位置等.
【例2】如图,圆的半径等于正三角形ABC的段,此圆在沿底边AB滚动,切点为T,
圆交AC、BC于M、N,则对于所有可能的圆的位置而言,MTN为的度数()
A.从30。到60。变动B.从60。到90。变动
C.保持30。不变D.保持60°不变
思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点c时,/coA
其弧的度数,再证明一般情形,从而作出判断.
注:几何定值与最值问题,一般都是置于动态背景下,必v包vV7
ATB
动与静是相对的,我们可以研究问题中的变量,考虑当变
化的元素运动到特定的位置,使图形变化为特殊图形时,
研究的量取得定值与最值.
【例3】如图,已知平行四边形ABCD,AB=«,BC=b(a>b),P为AB边上的一
动点,
直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值.
思路点拨设AP=x把AP、BQ分别用无的代数式表示运用不等式/+及22"(当
且仅当〃时取等号)来求最小值.pc
【例4]如图,已知等边AABC内接于圆在劣弧/Q的点M,设直
线AC与BM相交于K,直线CB与AM相交于点N,证明:线严1人k如口)咐事加=M
点的选择无关.
思路点拨即要证AKBN是一个定值,在图形中AABCAAX/S
的边长是一个定值,说明AKBN与AB有关,从图知AB为
△ABM与AANB的公共边,作一个大胆的猜想,AKBN=AB2,女右
从而我们的证明目标更加明确.
注:只要探求出定值,那么解题目标明确,定值问题就转化为一般的几何证明问题.
[例5]已知AXYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(NZ=90°),它的三个顶点分
别在等腰R3ABC(/C=90°)的三边上,求AABC直角边长的最大可能值.
思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上,当顶点Z在斜边AB上时,取xy
的中点,通过几何不等关系求出直角边的最大值,当顶点Z在(AC或CB)上时,设CX=x
CZ=y,建立x,y的关系式,运用代数的方法求直角边的最大值.
注:数形结合法解几何最值问题,即适当地选取变量,建立几何元素间的函数、方程、
不等式等关系,再运用相应的代数知识方法求解.常见的解题途径是:
(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型,运用判别式求几何最值;
(2)构造二次函数求几何最值.
学力训练
1.如图,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点(可与B点或C点重
合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别是B\C'、D',则BB'+CC'+DD,的最
大值为,最小值为.
2.如图,zAOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q,R(均不同
于点0),贝SPQR的周长的最小值为.
3.如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离
BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,贝ij口-印的最大值等于.
(第1题)(第2题)(第3题)
4.如图,A点是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动
点,©0的半径为1,则AP+BP的最小值为()
A.1B.gC.VID.V3-1
2
5.如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形,动点P从A点出发,沿看圆柱
的侧面移动到BC的中点S的最短距离是()
A.2川+万2B.2,1+4万2C.4〃1+乃2D.214+万2
6.如图、已知矩形ABCD,R,P户分别是DC、BC上的点,E,F分别是AP、RP
的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,那么下列结论成立的是()
A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定
(第4S)(第5题)(第6题)
7.如图,点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合),分别以AC、BC为
边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD
与CE相交于点N.
(1)求证:MN||AB;
(2)若AB的长为10cm,当点C在线段AB上移动时,是否存在这样的一点C,使线段
MN的长度最长?若存在,请确定C点的位置并求出MN的长;若不存在,请说明理由.
(2002年云南省中考题)
8.如图,定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动,M是ST的中点,「是$
对AB作垂线的垂足,求证:不管ST滑到什么位置,NSPM是一定角.
9.已知AABC是。。的内接三角形,BT为。。的切线,B为切点,P为直线AB上一
点,过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F.
⑴当点P在线段AB上时(如图),求证:PAPB=PEPF;
(2)当点P为线段BA延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明,
如果不成立,请说明理日
10.如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=I,
在AB上的一点P,使矩形PNDM有最大面积,则矩形PNDM的面积最大值是()
A.8B.12C.—D.14
2
11.如图NC二点A,线段DB上AB于点B,AB=2;
(第10题i£)〉(第u题)
AC=1,BD=3,P是半圆上的一个动点,则封闭图形ACPDB的最大面积是()
A.2+V2B.1+V2C.3+V2D.73+72
12.如图,在AABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB、AC上分别取点D、E,
使线段DE将AABC分成面积相等的两部分,试求这样线段的最小长度.
(第12题)(第13题)
13.如图,ABCD是一个边长为1的正方形,U、V分别是AB、CD上的点,AV与
DU相交于点P,BV与CU相交于点Q.求四边形PUQV面积的最大值.
14.利用两个相同的喷水器,修建一个矩形花坛,使花坛全部都能喷到水.已知每个
喷水器的喷水区域是半径为I0米的圆,问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、
宽),才能使矩形花坛的面积最大?
15.某住宅小区,为美化环境,提高居民生活质量,要建一个八边形居民广场(平面图
如图所示).其中,正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方
米.
(1)设矩形的边人8=入(米),AM=y(米),用含x的代数式表示y为.
(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛,平均每平方米造价为2100元;在四个相同
的矩形区域上铺设花岗岩地坪,平均每平方米造价为105元;在四个三角形区域上铺设草
坪,平均每平方米造价为40元.
①设该工程的总造价为S(元),求S关于工的函数关系式.
②若该工程的银行贷款为235000元,仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若
能,请列出设计方案;若不能,请说明理由.
③若该工程在银行贷款的基础上,又增加资金73000元,问能否完成该工程的建设
任务?若能,请列出所有可能的设计方案;若不能,请说明理由.
(镇江市中考题)先力代
16.某房地产公司拥有一块“缺角矩形,荒地ABCDE,边长和方向如图,欲在这块地
上建一座地基为长方形东西走向的公寓,请划出这块地基,并求地基的最大面积(精确到
1m2).
'北
D
B70m
参考答案
!M山贴M
随糕】
Ml5加州预,当8=的时为AB的中螭电雌珈)5,
解M和犍E/驰脸CUt其助解
,,nnn/H^ADAD'BPb(a~i)
价w蚣AAnPnIMBAPQ,际次和mBDnQ=-^一下
:,AP+8Q=I+?=IT;H7今。=2业
:,当且除出版=硕,上端腑,蚪AP=y<4P+BQ财期懂加向力
I
阳:4MK〃C=/CAB〃K+UEK,4MK=/MAB&ABK,;/K=dAM=/BAN制理/ABK=
ADAK
d删ABKINA燃用如K,BN=AB?(福和AK与BN睚特M的益欣
DINAD
激⑴蜩1岫Z楠肚船Y的帕M,赶M,ZM,CZ,并作曲肚桶CN机Z<CM=MZ=/y+L
uL
=】产品KN《CZ蒯CN斓,CA=JiCN@
⑵蜘2,熊Z植岫CA值CB)匕蛹触环雌ZMA匕鼠ht,CZ=y,轼丫杠町CA于H,
服AZY磔XZC尚HZ=C卜曲=CZ.MAHY力裾触三触剂AH=^AC4MMi
力卸产My淮MCXZM*H"=F和孑一物+卜1=0小心般瓦财=16卜2Q(h
1)=2卜稠》0展6当行刷,尸?,户£,籍⑴、①虬旃歌II越
33
尉帆
L2潟邪防轴酷肌C=D”1联朋XV葩C髓网加[AC娜+DD'=BD=4M\,
CCM,
1.呃3.5
IC林好珊躺祐A嵯曲攵珊理MMBW力瞰AP+PB孙舶r%Z帆即,A'B
=娜丽=。
5.A6,C
7,(嗝①脚懒都脚飙心1M5:MN阳岑号叶=*,严中司
+2,5(Q<i@消i=5cm斯加=2,5cm,
8.籁OS、(OM贬SPO+/SMO=9(W=18。0,:,S、P、O、M腼耦:"SPM=/S(>k$OT腕ST
L
力趟蜥电为跚蚣0T旎*/SOT晚趟舰SPM卜魏
L
MDHAPFAOEi(2)并削A龈肚-胃肌1)鼬就毋妙.
II.B频明,
11.A式端腿船神胪去凝蒯翻醐友L般MPD的醐制'河DC-LDC上标懒Mi
OWELDC攵耨珅加加力ACPDWD肚毓处部阿=2,0£=并或ME=0E-M=
vl/
和品所卜*.
11豳越龌枫项迎帧述刊甄=/=%AF&S阳"AEU”:AE=",EF
5M3Ii
列一当加力叫EP=a(%与闫圾当叶彩必WDE)加樨豚鞫DE即帐肋
IJT3I5
13.如图,连UV…AU〃DVftSMPV=SAMP»邮=♦**•Sgr=S^D+Sw作PEJ_
:
AD于E,QFj_BC于F,设PE=ti9QF=y,Sumi|pvQv=4(<r+y),^AU=a,DV=b,则三+J
4ab
-nriAr-iHr-His-(l-a)(l-6)(l-a)(l-ft)1aft
-DE+Aj故]-而同理y-而布不==左,%c小产了[r而+।
(】一。)(1-b)]=(a+Xd+l)_2(a+b)W-Q'+H)<2(0+6)-。2-)-21_
2-。-62(a+b)(2—。-6)4(a+6)(2-a-ft)、4(a+b)(2-a-b)
臀芸土;,等号当且仅当a=b时啦面四娜PUQV面积的最大值是:
M.(1)如图◎◎是两个相同的喷水器所在位置,ABCD是设计的短形花坛,设短形边长AD=
1米,则PQ=AD=i米,在RtAO四中,0正=yo^-QE1=J10!-(y)2=1
/
阿牙,;,虹便0Q=20]E=V40P7,AB=2O;O!=2师b;.龙形面积
S=2zV/400Z7(0<I<20),X,.'S2=4?(400-?)=-(2dTO呼+400'.:.当2?
-400=0时S才最大,此时产1。。(米)5才最大,3的最大值为4。。.
从而,符合要求的设计是两个喷水器犍肖为0。力4。卜(1。曲『10①粘,柜形两边长AD=1。例MB=
2。滁,翩花指柄大酬.
15.(1)^=^-^(0<J<20^)(
4J
(2)。S=2IOO?+105X4ij+40X4x1y=2000/+^^+76000(0<x<20#),®5=2000(?+^-80)+
4/r
76OOO+2OOOX8O=2OOO(I--)!+236OOO>235OOO,;.睛新髓稹瓢虹桂腱眈务,。由S=235QOC
I
+73000=308000雨2000/+等+76000=308000M得产10山=4,她的y麟驰户175产49,雌
计旅加压摭区稠雎为1。相酎桐的撕破胀微例物17.5标10米必个棚的三般阴
睡岫钠力17.5米,
27旗麻岫长为珠,酎桐跳腿喊际般分做49和4米册桐的三翻我睡触
长峨49米,
16.嫄怎耨KAE分浙碟、斓Q直触标,BC、AE为正方即长斛岐
f-
米,直成A8的方口加=-4+2。漕先考医与D不根P机脑F在加上的解I,
U
o9220
MF(X20-7Z)(0^30)S=(100-I)[80-(20-TI)]=-?+TI16000
(0((0.vTu
I
=-1(x-5)H60161麻即射=5,尸2卜78ts0K/DIM,其次考虑
3sv
F在AE兢C上的微或腱大籍觥是60加和560显依靛F517)品
既醐是60面,
・最短路线问题
通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中,直线段最短”为原则引申出来的.人
们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.
在本讲所举的例中,如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内,那么所
求的最短路线是线段;如果它们位于凸多面体的不同平面上,而允许走的路程限于凸多面
体表面,那么所求的最短路线是折线段;如果它们位于圆柱和圆锥面上,那么所求的最短
路线是曲线段;但允许上述哪种情况,它们都有一个共同点:当研究曲面仅限于可展开为
平面的曲面时,例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等,将它们展开在一个平面上,两点间的最
短路线则是连结两点的直线段.
这里还想指出的是,我们常遇到的球面是不能展成一个平面的.例如,在地球(近似
看成圆球)上A、B二点之间的最短路线如何求呢?我们用过A、B两点及地球球心。的
平面截地球,在地球表面留下的截痕为圆周(称大圆),在这个大圆周上A、B两点之间
不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线,航海上叫短程线.关于这个
问题本讲不做研究,以后中学会详讲.
在求最短路线时,一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题,而两点
之间直线段最短,从而找到所需的最短路线.像这样将一个问题转变为一个和它等价的问
题,再设法解决,是数学中一种常用的重要思想方法.
例1如下图,侦察员骑马从A地出发,去B地取情报.在去B地之前需要先饮一次
马,如果途中没有重要障碍物,那么侦察员选择怎样的路线最节省时间,请你在图中标出
来.
B
解:要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线.
作点A关于河岸的对称点A\即作AA垂直于河岸,与河岸交于点C,且使AC=A,
C,连接A,B交河岸于一点P,这时P点就是饮马的最好位置,连接PA,此时PA+PB
就是侦察员应选择的最短路线.
证明:设河岸上还有异于P点的另一点P',连接P'A,P'B,P7V.
•.P'A+P'B=P'A'+P'B>A'B=PA'+PB=PA+PB,
而这里不等式P'A,+PB>AB成立的理由是连接两点的折线段大于直线段,
所以PA+PB是最短路线.
此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段AB,所以这种方
法也叫做化直法,其他还有旋转法、翻折法等.看下面例题.
例2如图一只壁虎要从一面墙壁c(上A点,爬到邻近的另一面墙壁B上的B点捕蛾,
它可以沿许多路径到达,但哪一条是最近的路线呢?
解:我们假想把含B点的墙B顺时针旋转90°(如下页右图),使它和含A点的墙a处
在同一平面上,此时B转过来的位置记为B',B点的位置记为B',则A、B'之间最短路线应
该是线段AB',设这条线段与墙棱线交于一点P,那么,折线4PB就是从A点沿着两扇墙
面走到B点的最短路线.
证明:在墙棱上任取异于P点的P'点,若沿折线APB走,也就是沿在墙转90°后的
路线APB,走都比直线段APB,长,所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线.
由此例可以推广到一般性的结论:想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时,可
以把不同平面转成同一平面,此时,把处在同一平面上的两点连起来,所得到的线段还原
到原始的两相邻平面上,这条线段所构成的折线,就是所求的最短路线.
例3长方体ABCD-—A'BCD'中,AB=4,A'A=2"AD=1,有一只小虫从顶点D,出发,
沿长方体表面爬到B点问这只小虫怎样爬距离最短?(见图(1))
D'C,
71c
A/%
2_____________
/_____________/
A4B415D1A4
(1)⑵(3)
解:因为小虫是在长方体的表面上爬行的,所以必需把含D,、B两点的两个相邻的面
“展开”在同一平面上,在这个“展开”后的平面上D'B间的最短路线就是连结这两点的直线
段,这样,从口点出发,到B点共有六条路线供选择.
①从D,点出发,经过上底面然后进入前侧面到达B点,将这两个面摊开在一个平面上
(上页图(2)),这时在这个平面上6、B间的最短路线距离就是连接D\B两点的直
线段,它是直角三角形ABD,的斜边,根据勾股定理,
D‘B2=D'A2+AB2=(1+2)2+42=25,/.D,B=5.
②容易知道,从》出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5.
③从D'点出发,经过左侧面,然后进入前侧面到达B点.将这两个面摊开在同一平面
上,同理求得在这个平面上D'、B两点间的最短路线(上页图(3)),有:
DB2=22+(1+4)2=29.
④容易知道,从D,出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29.
⑤从D,点出发,经过左侧面,然后进入下底面到达B点,将这两个平面摊开在同一平
面上,同理可求得在这个平面上D,、B两点间的最短路线(见图),
D'B2=(2+4)2+12=37.
⑥容易知道,从D'出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37.
比较六条路线,显然情形①、②中的路线最短,所以小虫从D,点出发,经过上底面然
后进入前侧面到达B点(上页图(2)),或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路
线是最短路线,它的长度是5个单位长度.
利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法,可以解决
一些类似的问题,例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题(下
左图),同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面
(下右图),连接A、B成线段AP1P2B,P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点,则折
线AP1P2B就是AB间的最短路线.
圆柱表面的最短路线是一条曲线,“展开”后也是直线,这条曲线称为螺旋线.因为它
具有最短的性质,所以在生产和生活中有着很广泛的应用.如:螺钉上的螺纹,螺旋输粉
机的螺旋道,旋风除尘器的导灰槽,枪膛里的螺纹等都是螺旋线,看下面例题.
例4景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线,如下左图,如果将金线的起
点固定在A点,绕一周之后终点为B点,问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少?
解:将上左图中圆柱面沿母线AB剪开,展开成平面图形如上页右图(把图中的长方
形卷成上页左图中的圆柱面时,A:B,分别与A、B重合),连接AB"再将上页右图还原
成上页左图的形状,则AB'在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路.
圆锥表面的最短路线也是一条曲线,展开后也是直线.请看下面例题.
例5有一圆锥如下图,A、B在同一母线上,8为A0的中点,试求以A为起点,以
B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线.
解:将圆锥面沿母线A0剪开,展开如上右图(把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面
时,A'、B,分别与A、B重合),在扇形中连AB"则将扇形还原成圆锥之后,AB’所成的
曲线为所求.
例6如下图,在圆柱形的桶外,有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找
食物,已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米,B点沿母线到桶口D点的距离是
8厘米,而C、D两点之间的(桶口)弧长是15厘米.如果蚂蚁爬行的是最短路线,应该
怎么走?路程总长是多少?
分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图(下图),由于B点在里面,不
便于作图,设想将BD延长到F,使DF=BD,即以直线CD为对称轴,作出点B的对称
点F,用F代替B,即可找出最短路线了.
解:将圆柱面展成平面图形(上图),延长BD到F,使DF=BD,即作点B关于直
线CD的对称点F,连结AF,交桶口沿线CD于0.
因为桶口沿线CD是B、F的对称轴,所以OB=OF,而A、F之间的最短线路是直
线段AF,又AF=AO+OF,那么A、B之间的最短距离就是AO+OB,故蚂蚁应该在桶外
爬到0点后,转向桶内B点爬去.
延长AC到E,使CE=DF,易知AAEF是直角三角形,AF是斜边,EF=CD,根据勾
股定理,AF2=(AC+CE)2+EF2=(12+8)2+152=625=252,解得AF=25.
即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米.
例7A、B两个村子,中间隔了一条小河(如下图),现在要在小河上架一座小木
桥,使它垂直于河岸.请你在河的两岸选择合适的架桥地点,使A、B两个村子之间路程
最短.
分析因为桥垂直于河岸,所以最短路线必然是条折线,直接找出这条折线很困难,
于是想到要把折线化为直线.由于桥的长度相当于河宽,而河宽是定值,所以桥长是定
值.因此,从A点作河岸的垂线,并在垂线上取AC等于河宽,就相当于把河宽预先扣除,
找出B、C两点之间的最短路线,问题就可以解决.
解:如上图,过A点作河岸的垂线,在垂线上截取AC的长为河宽,连结BC交河岸
于D点,作DE垂直于河岸,交对岸于E点,D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点.即
两村的最短路程是AE+ED+DB.
例8在河中有A、B两岛(如下图),六年级一班组织一次划船比赛,规则要求船从
A岛出发,必须先划到甲岸,又到乙岸,再到B岛,最后回到A岛,试问应选择怎样的路
线才能使路程最短?
解:如上图,分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A,和B',连结A:B,
分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点,则A-E-F-B-A是最短路线,即最短路程为:AE
+EF+FB+BA.
证明:由对称性可知路线A-E-FTB的长度恰等于线段A6,的长度.而从A岛到甲岸,
又到乙岸,再到B岛的任意的另一条路线,利用对称方法都可以化成一条连接A'、B'之间
的折线,它们的长度都大于线段AB,例如上图中用“•一•一•”表示的路线A-E'-F-B的
长度等于折线AEF'B的长度,它大于A'B'的长度,所以AfEfFfB—A是最短路线.
•对称问题
教学目的:进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法,对于轴对称问题、中心对
称问题有一个比较深入的认识,可以通过对称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找
到证明的方法。
教学重点和难点:猜想验证的过程,及几何问题的说理性。
一、点关于一条直线的对称问题
问题超市:一天,天气很热,小明想回家,但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让
小狗到河边喝上水,同是回家又最近?
问题数学化:设小明与小狗在A处,家在B处,小河为L
L,小明要在直线L上找一个点C(小狗在C处饮水),使得
AC+BC最短。(如图所示)“
知识介绍:两条线段之和最短,往往利用对称的思想,把两条线段的和变为一条线段
来研究,利用两点之间的线段最短,可以得出结果。
中学数学中常见的对称有两类,一类是轴对称,一类是中心对称。
轴对称有两个基本特征:垂直与相等。构造点M关于直线PQ的轴对称点N的方法
是:过M作M0垂直于PQ于点0,并延长M0到点N,使NO=MO,则点N就是点M
关于直线PQ的对称点。
问题分析:过A作A0垂直于直
线L于点0,延长A0到点A',使
A'O=AO,连接A'B,交直线L于点
C,则小明沿着ACB的路径就可以满
足小狗喝上水,同时又使回家的路
程最短。
问题的证明方法:三角形两边之和大于第三边及对称的性质。
问题的延伸1:已知直线L外有一个定点P,在直线L上找两八y
点A、B,使AB=m,且PA+PB最短。(其中m为定值)/\
提示:作PC平行于AB,且PC==AB,则问题变为:在直线-4------'------LL
AD
上找一个点B,使它到P、C两点的距离之和最短。
问题的延伸2:在两条相交线
之外有一个定点P,分别在两条直
线上找点B、C使得PB+BC+CP
最短,如何确定B、C的位置?
提示:分别作点P关于直线Li
和直线1_2的对称点Pi和P2,连接P1P2分别与两直线交于B、C点,则PB+BC+PC最短。
证明方法同上。
二、桥该建在哪里:
问题超市:农场里有一条小河,里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂,农场主
经常要在这两个工厂之间来回奔波。农场新买了一辆汽车,想在农场内建造一条马路,同
时在河上修建
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 北师大版语文六年级上册第三次月考卷
- 北师大版小学语文三年级上册期末试卷含参考答案
- 2023-2024学年山西省卓越联盟高一下学期5月联考物理试题(解析版)
- 2023-2024学年辽宁省丹东市高三下学期总复习质量测试物理试卷(二)(解析版)
- 2024房屋租赁合同3
- 2024年有关委托加工的合同范本
- 2024劳动合同,企业职工劳动合同例文
- 七律 长征公开课一等奖创新教学设计逐字稿
- 2024教学科研岗位劳动合同范本版
- 2024银行技术改造借款合同
- 打破信息孤岛新媒体的拓展与链接
- 《成语故事 》课件
- 无人机教学计划
- 口腔设计软件培训课件模板
- 《口腔正畸学绪论》课件
- 主题教育《家务劳动我能行》课件小学综合实践活动通用版
- 传染性软疣教学演示课件
- 2024《触电的急救》ppt课件全新
- 数据存储扩容服务投标方案(技术方案)
- 往年专业知识(水利水电)考试试卷
- 写作《写景如在眼前》(教学课件)【中职专用】高一语文(高教版2023基础模块上册)
评论
0/150
提交评论