初中数学 翻折圆小

翻折圆小专题

评卷人得分

选择题（共5小题）

1.如图，将窟沿弦A8翻折过圆心。点，交弦AC于D,AD=l,CD=2,则AB长为（）

C.在D.V7

2.已知。。的半径为5,弦A8的长为8,将窟沿直线翻折得到褊，如图所示，则点

。到ACB所在圆的切线长。C为（）

V22C.5D.3

3.如图，在。。中，将AB沿弦A3翻折交半径4。的延长线于点D延长BD交。。于点C,

AC切ADB所在的圆于点A，贝Itan/C的值是（）

A.VsB-3C.2+A/3D.1+-72

4.以半圆中的一条弦8c（非直径）为对称轴将弧8C折叠后与直径48交于点D,若坦上,

DB3

且A8=10,则C8的长为（)

5.如图，在O。中，点C在优弧窟上，将弧正沿3c折叠后刚好经过的中点D.若O。

的半径为旄，AB=4,则BC的长是（）

二.填空题（共11小题）

6.如图，等腰△ABC中，AC=BC=2«.ZACB=120°,以AB为直径在△ABC另一侧

作半圆，圆心为。，点。为半圆上的动点，将半圆沿AD所在直线翻叠，翻折后的弧

与直径交点为R当弧与BC边相切时，AF的长为.

7.如图，48是。。的弦，点C在右上，点。是A8的中点.将M沿AC折叠后恰好经过

点、D,若。。的半径为2、n，AB=8.则AC的长是.

8.一张半径为R的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，。为半圆

2,则折痕长为.

9.如图，将。。的劣弧AB沿AB翻折，。为优弧ADB上一点，连接4。，交AB于点C,连

则BD

10.如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径A8于点。，若AD=4,DB=8,则BC的长是.

11.已知：如图，在半径为8的OO中，为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将AC折

叠后与相交于点。，如果那么AC的长为

12.如图，是半圆。的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点。，再

将弧8D沿AB对折后交弦8C于E,若E恰好是BC的中点，则BC：AB

13.如图，已知。0中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过A2的中点£）,

若8C=W^,AB=4,则。。的半径为

14.以半圆的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D,若tanB

=工，且A£）=4,则A8=.

\0

15.如图，已知半圆。的直径AB=4,沿它的一条弦折叠.若折叠后的圆弧与直径相切

于点。，且A。：DB=3：1,则折痕EF的长.

ODB

16.如图，扇形。48的半径为4,90°,尸是半径上一动点，。是弧AB上的

一动点.

（1）当尸是。2中点，且尸。〃。4时（如图1）,弧A0的长为；

（2）将扇形OAB沿尸。对折,使折叠后的弧QB,恰好与半径04相切于C点（如图2）.若

。尸=3,则。到折痕PQ的距离为_______.

B,B,------

评卷人得分

三.解答题（共9小题）

17.如图，将弧AB沿着弦A8翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于。，连接

BC.

(1)求证：BC=BD；

(2)若AC=LCD=4,弧第=120°,求弦AB的长和圆的半径.

18.如图1和图2,4B是。。的直径，AB=10,C是。。上的一点，将前沿弦BC翻折,

交AB于点D

(1)若点。与圆心。重合，直接写出N8的度数；

(2)设交。。于点E,若CE平分/ACB,

①求证：是等腰三角形；

②求△2DE的面积；

(3)将图1中的俞沿直径AB翻折，得到图2,若点尸恰好是翻折后的面的中点，直接

写出N8的度数.

E

图1图2

19.如图1,4B是。。的直径，AB=10,C是。。上的一点，将弧沿弦8C翻折，交

AB于点D,连接CD并延长，交。。于点E,连接BE.

(1)当AZ)=2时，8E的长是.

(2)当点。位于线段OA上时(不与点A重合)，设则a的取值范围是

(3)当N43C=15°时，点。和点。的距离是.

(4)如图2,设氤所在圆的圆心是O',当BE与。相切时，求BE的

20.如图1,将长为10的线段。4绕点O旋转90°得到OB,点A的运动轨迹为篇，P是

半径08上一动点，。是篇上的一动点，连接PQ.

(1)当/尸。。=度时，尸。有最大值，最大值为.

(2)如图2,若尸是08中点，且于点P,求命的长；

(3)如图3,将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点8的对应点夕恰好落在AO的延长线

上，求阴影部分面积.

(4)如图4,将扇形沿P。折叠，使折叠后的弧Q8'恰好与半径OA相切，切点

为C,若OP=6,求点。到折痕PQ的距离.

21.如图，A8为OO的直径，点。为。。上一点，将弧8c沿直线8C翻折，使弧8C的中

点。恰好与圆心。重合，连接OC,CD,BD,过点C的切线与线段BA的延长线交于点

P,连接A。，在PB的另一侧作/A/PB=NA£)C.

(1)判断PM与O。的位置关系，并说明理由；

(2)若PC=M，求四边形。83的面积.

22.如图，AB为。。的直径，点C是。。上一点，CD是OO的切线，ZCZ)B=90°,BD

交。。于点E.

(1)求证：AC=CE.

(2)若AE=12,BC=10.

①求AB的长；

②如图2,将前沿弦8C折叠，交AB于点凡则AF的长为

23.已知半圆。的直径AB=4,沿它的一条弦折叠.

(1)如图，若折叠后的圆弧与直径相切于点且A。：DB=3：1,求折痕跖的

长；

(2)在使折叠后的圆弧与直径AB相切的过程中，请直接写出折痕EF的最大值和最小

值.

ODB

24.如图，。。的半径为2,弧42等于120°,E是劣弧AB的中点.

(1)如图①，试说明：点O、E关于AB对称(即AB垂直平分。E.)；

(2)把劣弧AB沿直线A8折叠(如图②)。。的动弦CD始终与折叠后的弧相切,

围.国⑷图②图③（备用图）

25.如图1,半圆的直径A8长为6,点C在A8上，以8c为一边向半圆内部作一正方形

BCDE,连接并延长交半圆于F点，连接8E设BC的长为无（0<x<3）,AF的长

为y,

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当x=2时，

①求BF的长；

图1

图2

翻折圆小专题

参考答案与试题解析

选择题（共5小题）

1.如图，将窟沿弦翻折过圆心。点，交弦AC于D,AO=1,8=2,贝UA2长为（）

C.A/5D.V7

【分析】求出△OB为等边三角形，求出8E和。E的长，求出AE,再根据勾股定理求

出AB即可.

【解答】解:

过点。作。尸_LAB于R过点8作8E_LAC于E,连接。4、OB、BD、BC,

,?OF^IJOA,

2

ZAOF=ZBOF=6Q°,

：.ZADB=ZAOB=120°,ZACB=^ZAOB=60°,

2

：.ZCDB=ZACB=60°,

...△COB为等边三角形,

,:CD=2,

：.DE=l,BE=M，

•••A3=1AE2+BE2=J（1+1产+（正）2=6,

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定，圆周角定理和垂径定理，能

构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦.

2.已知的半径为5,弦A8的长为8,将窟沿直线A8翻折得到函，如图所示，贝U点

O到标所在圆的切线长。＜^为（）

A.VT1B.V22C.5D.3

【分析】首先作出狗所在圆，圆心为。'，连接交于点E,连接，O'C,0B,

由垂径定理，可求得OE的长，即可求得O。'的长，由切线的性质，利用勾股定理即可

求得答案.

【解答】解：作出瘫所在圆，圆心为。'，连接。O交AB于点E,连接O'C,OB,

：。。是0。’的切线，

：.O'CLOC,

.*.B£=X4B=AX8=4,

22

-".OE=^OB2_BE2=3,

00'=2OE=6,

：-oc=700/2-0/C2=^62-52=E，

故选：A.

【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅

助线的作法，注意数形结合思想的应用.

3.如图，在。。中，将AB沿弦AB翻折交半径A0的延长线于点D,延长BD交于点C,

AC切疏所在的圆于点A,贝廿an/C的值是（）

r

A.VsB.AC.2+V3D.I+V2

3

【分析】作点。关于A3的对称点H,连接A”,BH,CH.首先证明CH是。0的直径,

△ACH,△5。”都是等腰直角三角形，再证明NACD=NCH5=67.5即可解决问题；

【解答】解：作点。关于A5的对称点〃，连接A”,BH,CH.

根据对称性可知，流所在圆的圆心在直线A”上,

〈AC切函所在的圆于点A,

：.AC±AH,

：.ZCAH=9Q°,

・・・C”是。。的直径，

；・/CBH=9U°,

AZABD=ZABH=45°,

AZAHC=ZABC=45°,

AZACH=ZAHC=45°,

：.AC=AH,

•・•OC=OH,

・,・AO垂直平分线段CH,

:・DC=DH,

：.ZDCH=ZDHC,

•：BD=BH,

：.ZBDH=ZBHD=45°,

NBDH=ZDCH+ZDHC,

：.ZDCH=22.5°,

AZACD=ZCHB=67.5°,

设BD=BH=a,则8=。"=任，

tanNAC5=tanNCHB=BC=W2a=1+^

BHa

故选：D.

【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、翻折变换、等腰直角三角形的判定和性质、

解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CH是

直径，△ACH,△8OH都是等腰直角三角形.

4.以半圆中的一条弦3c（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D,若m=2,

DB3

且AB=10,则CB的长为（）

【分析】作AB关于直线的对称线段A'B,交半圆于。'，连接AC、CA',构造全

等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答.

【解答】解：如图，若地=2,且43=10,

DB3

.\AD=4,BD=6,

作AB关于直线BC的对称线段A'B,交半圆于。'，连接AC、CA',

可得A、C、A'三点共线，

•.•线段A'8与线段AB关于直线8c对称，

：.AB=A'B,

J.AC^A'C,AD=A'D'=4,A'B=AB=10.

而A'C-A'A=A'D'"A'B,HPA'C"2A'C=4X10=40.

则A'C2=20,

又C2=A,B2-CB2,

.*.20=100-CB2,

:.CB=4后

故选：A.

【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，

要善于观察图形特点，然后做出解答.

5.如图，在。。中，点C在优弧立上，将弧前沿折叠后刚好经过的中点D.若。。

A.273B.3A/2C.D.

22

【分析】连接AC,DC、OB、OC,作CE_LA2于E,。尸_LCE于尸，如图，利用垂

径定理得到则于是根据勾股定理可计算出。。=1,再利

2

用折叠的性质可判断弧AC和弧。所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到京=而，

所以AC=OC,利用等腰二角形的性质得AE=OE=1,接着证明四边形0£>£尸为正方形

得至I]OF=EF=1,然后计算出CF后得到CE=BE=3,于是得到BC=3近.

【解答】解：连接。。、AC.DC、OB、OC,作CEL4B于E,OFVCE^F,如图，

为A8的中点，

：.OD±AB,

：.AD=BD^1AB=2,

2

在RtzlXOB。中，0已=｛（粕）2_F2=1,

:将弧近沿BC折叠后刚好经过4B的中点。.

...弧AC和弧C。所在的圆为等圆,

•*.AC=CD）

J.AC^DC,

：.AE=DE=1,

易得四边形跖为正方形,

：.OF=EF=\,

在RtzXOCP中，CFf（泥）2_]2=2,

：.CE=CF+EF=2+1=3,

而BE=BD+DE=2+1=3,

：.BC=3-J2.

故选:B.

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了圆周角定理和垂径定理.

二.填空题（共11小题）

6.如图，等腰△A8C中，AC=BC=2A/3.ZACB=120°,以AB为直径在△ABC另一侧

作半圆，圆心为。，点。为半圆上的动点，将半圆沿所在直线翻叠，翻折后的弧

与直径43交点为E当弧AD与BC边相切时，AP的长为上丁^.

【分析】作点。关于的对称点O',连接O'A,延长BC交。。于点E,设。。'

与8C相切于点G,证明四边形O'AEG为平行四边形，得AO'//BE,即/AB=Z

ABC=30°,作O'于在RtZk。'AM中，O'A=3,/O'AB=30°,可求

得AM的长，进而得出AF的长.

【解答】解：如图，作点。关于的对称点。'，连接O'A,

,:AC=BC=2M.ZACB=120°,

：.AB=6,

：.O'A=OA=3,

延长BC交OO于点E,

VAB是O。的直径，

；.NE=90°,

设。O'与BC相切于点G,则/O'GB=90°,

:.NE=/0'GB,

J.AE//O'G,

VZABC=30°,48=6,

：.AE=O'G=3,

...四边形O'AEG为平行四边形，

：.AO'//BE,

：.ZO'A3=NABC=30°,

作O'于M

'：O'A=3,AO'AB=30°,

:.AM=MF=^J^-,

2

：.AF=2AM=

故答案为

E、一

【点评】本题考查圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，平行四边形的判定

和性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质.

7.如图，AB是O。的弦，点C在第上，点。是A3的中点.将立沿AC折叠后恰好经过

点。，若。。的半径为2灰，AB=8.则AC的长是

【分析】如图，延长3。交。0于E,连接AE,OD,OC,BC,作于首

先证明NCAE=NCAH=45°,推出N5OC=90°,推出5。=2月&设AH=CH=x,

则5"=8-羽在RtZXBCH中，根据。〃2+3“2=502,构建方程求出入即可解决问题；

【解答】解：如图，延长80交。0于E,连接AE,0A,0D,OC,BC,作CH1AB

于"

'：AD=DB,

：.0D±AB,

：.ZADO=90°,

•：0A=2后,AD=DB=4,

•'-OZ)=7OA2-AD2=2,

・・・5E是直径，

：.ZBAE=90°,

'：AD=DB,EO=OB,

C.0D//AE,AE=2OD=4,

：.AE=AD,

AD=AE，

♦•辰=&，

：.ZCAE=ZCAH=45°,

：.ZBOC=2ZCAB=9Q°,

BC—V,2,0C—2y10,

CHLAB,

：.ZCAH=ZACH=45°,

:・AH=CH,设AH=CH=%,则3〃=8-刈

在RtZXBCH中，*?CH2+BH2=BC2,

：.x+(8-X)2=(2>/10)2,

；.x=6或2(舍弃)，

在RtZXACH中，：AC=〃H2KH2,

：.AC=6-/2-

故答案为6证.

【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性比

较强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构

建方程解决问题.属于中考填空题中的压轴题.

8.一张半径为R的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，。为半圆

圆心，如果切点分直径之比为3：2,则折痕长为'遥.

一5—

【分析】如图，作。点关于A8的对称点。,，则点为弧AD8所在圆的圆心，连结

O'D,则D1EF,O'D=R,先利用EDDF^3：2计算出则

55

OD=LR,再在RtAO,0D中利用勾股定理计算出0'=乂2匠R,则0=

_552

叵天，然后在RtAAOC中根据勾股定理可计算出AC=Y遥，再利用垂径定理可得

1010

AB=2AC=''^R.

5

【解答】解：如图，作O点关于的对称点O,则点。'为弧所在圆的圆心，

连结O'D,则O'D±EF,O'D=R,

:ED：DF=3：2,

；.DF=&2R=©,

55

：.OD=1-R,

5_

在RtZ!\O'OO中，00'=J（_1R）2+R2=2Z|L?,

AOC^IJO'0=e^R,

210_____________

在RtZXAOC,"=JR2（4^）R

V（10）10

OC±AB,

J.AC^BC,

/.AB=2AC=^ZL?.

_5

即折痕长为Y遥.

5

故答案为'遥.

5

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来

进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关

问题.也考查了垂径定理.

9.如图，将。。的劣弧窟沿翻折，。为优弧南上一点，连接AD,交源于点C,连

【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到NAO8=/BCZ),根据等腰三角形的判

定定理解答.

【解答】解：由翻转变换的性质可知，所对的弧是劣弧AB，

ZCAB所对的弧是劣弧BC，/CBA所对的弧是劣弧AC.

ZADB=ZCAB+ZCBA,

由三角形的外角的性质可知，ZBCD=ZCAB+ZCBA,

：.ZADB=ZBCD,

:.BD=BC=5,

故答案为：5.

【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称

变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.

10.如图，将弧BC沿弦8c折叠交直径A8于点£>,若AO=4,DB=8,则8c的长是,,质

【分析】根据折叠的性质可得筋=敲，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相

等可得NA4c根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

^^ZADC=ZBCD+ZCBD,从而得到/8AC=NAZ)C,根据等角对等边可得AC=C£>,

过点C作CELA。于E,根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=DE=L。，然后利

用△ACE和△C3E相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE,在RtABCE中,

利用勾股定理列式计算即可得解.

【解答】解：•••弧8C沿弦8c折叠交直径于点。，

•••BC=BDC.

/.ZBAC=ZBCD+ZCBD,

在△BCD中，ZADC=ZBCD+ZCBD,

：./BAC=ZADC,

：.AC=CD,

过点C作CELA。于E,

则4£=。£=虱。=工*4=2,

22

：.BE=BD+DE=S+2=10,

\'AB是直径,

ZACB=90°，

：.ZACE+ZBCE=ZACB=90°,

VZACE+ZCAE=180°-90°=90°,

：.ZCAE=ZBCE,

又：NAEC=NBEC=90°,

AACEsACBE,

.AE=CE

"CEBE'

/•CE=YAE・BE=“2X10=2泥,

在RtABCE中，BC=-^CE2+BE2={(2泥)2+1()2=7120=2V30-

故答案为：2倔.

【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等

腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，

作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键，难点在于求出AC=CD.

11.已知：如图，在半径为8的OO中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将左折

叠后与A2相交于点。，如果那么AC的长为上旧―.

【分析】根据翻折变换的性质和圆周角定理可得/ABC=NACQ+NCAZ）,根据三角形的

外角的性质可得/8OC=NACQ+/CAO,从而得到/ABC=/BOC,根据等角对等边可

得BC=CD,过点C作CE±BD于E,根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=DE=

工BD,然后利用和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE,在

2

口△2CE中，利用勾股定理列式计算即可.

【解答】解：连接C。、CB,作CELA8于E,

,/弧AC沿弦AC折叠交直径AB于点D,

：.ZABC=ZACD+ZCAD,

在△BCD中，ZBDC^ZACD+ZCAD,

：.ZABC=ZBDC,

:.BC=CD,又CELAB,

:.BE=DE=LBD,

2

\"AD=3DB,AD+BD=16,

：.BD=4,AD=12,

AE=A£>+OE=12+2=14,

VAB是直径，

ZACB=90°,

AZACE+ZCAD=ZACB=90°,

VZACE+ZBCE=90°,

；.NCAD=NBCE,

XVZAEC=ZBEC=90°,

：.AACE^ACBE,

•AE=CE；

"CEW

：.CE=2"

AAC=22=

VAE4CE4^1^，

故答案为：4^14.

【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等

腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，

作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键.

12.如图，是半圆。的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点。，再

将弧BD沿A2对折后交弦BC于E,若E恰好是BC的中点，贝UBC：

【分析】过。点作BC的垂线，垂足为M,延长。M交益于。'，连接CD、DE、BD',

过点C作CPLAB于点R由圆周角定理得出众=无尸=&=踊，得出AC=CD=Z)E,

证出CAf=EM,延长CM=&C,证出。河〃AC,设NABC=a,则NACP

44

=a,得出AO=2AR由三角函数得出4。=24小$布2式，因此匕8=24小$布2式，求出sina

4

=返，由勾股定理和三角函数得出cosa=AG=H,即可得出结果.

4AB4

【解答】解：过。点作BC的垂线，垂足为M,延长交窟于。'，连接C。、DE、

BD',过点C作CPLAB于点R如图所示：

由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：AC=CD^=CD=DE.

：.AC=CD=DE,

:.CM=EM,

是BC的中点，

:.CM=LBC,

4

,：AB是半圆O的直径，

：.AC1BC,

'：DM±BC,

J.DM//AC,

:.AD=1AB,

4

设/4BC=a,贝l|NACB=a,

\'AC^CD,

：.AD=2AF,

VAF=AC*sina,AC=AB*sina,

AD=2AB•sina,

AAB=2AB*sin2a,

4

—V2anACV2

4AB4

BC=«AB2-4C2="V^^C,

【点评】本题考查了翻折变换的性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练

掌握圆周角定理，求出cosa是解决问题的关键.

13.如图，已知。。中，点C在优弧AB上，将弧8C沿2c折叠后刚好经过42的中点D,

若8C=M，AB=4,则O。的半径为—遥

【分析】连接。。、AC.DC、OB、OC,作CE_LAB于E,OFlCE^F,首先证明AC

=CD,推出AE=OE=1,再证明四边形OFED是正方形即可解决问题.

【解答】解：连接。。、AC,DC,OB,OC,作CE_LAB于E,OFLCE^F,如图，

为48的中点，

：.OD±AB,

：.AD=BD=1AB=2,

2

沿BC折叠后刚好经过AB的中点D

，弧AC和弧CQ所在的圆为等圆，

•••AC=CD)

：.AC^DC,

：.AE=DE=1,

:.BE=3,EC^A/BC2-BE2==3,

:.EC=EB,

；./ECB=NEBC=45°,

'：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

：.ZOCE=ZOBD,

'：ZOFC^ZODB^90°,OC=OB,

:.△OCF"AOBD(AAS),

：.OF=OD,可得四边形OOEF为正方形,

：.OF=EF=1,

在中，OB={0D2+BD2=&.

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了圆周角定理和垂径定理.

14.以半圆的一条弦8C（非直径）为对称轴将弧8C折叠后与直径A8交于点。，若tanB

【分析】作线段A8关于直线BC的对称线段84',交。。于，连接AC、CAr,设

AC=a,BC=2a,则42=倔，由A'C-A'A=A'D'•A,B,列出方程解决.

【解答】解：作线段AB关于直线8c的对称线段54,,交。。于。'，连接AC、CA'.

VAB是直径，

ZACB^ZBCA'=90°，

；.A、C、A'共线，

根据对称性可知：AD^A'£)=4,

VtanZABC=-^-=A,设AC=a,BC=2a,则

BC2

由A'C'A'A=A'D'WB,

.".a*2a=4

u—2^5.

43=加，2旄=10.

故答案为10.

【点评】本题考查翻折变换、相交弦定理，解题的关键是作线段48关于直线BC的对称

线段BA',转化为相交弦定理解决问题.

15.如图，已知半圆。的直径AB=4,沿它的一条弦折叠.若折叠后的圆弧与直径相切

于点。，且AQ：DB=3：I,则折痕E尸的长_五二.

【分析】设折叠后的圆弧所对圆心为O',连接。,O、O'D、OE,O'。与EE交于

点M,根据相交圆的性质就可以得出。与所互相垂直平分，由勾股定理就可以求出

OO1和的值，从而得出结论.

【解答】解:设折叠后的圆弧所对圆心为O',连接0'0、O'D、OE,O'。与EF

交于点M,

：.0'。与所互相垂直平分.

；.OM^1-OO',EF=2EM.

2

VAB=4,

：.OA=OB=OE=2.

\'AD；DB=3：1,

:.DB=1AB=I,

4

：.OD=1

:'0'0=VoD2-H3yD2=712+22=

：.0M=正

2_

2-2=

EM=VOEOM,吟=

；.EF=2EM=4Yi，即折痕跖的长为，五.

故答案为：V11,

【点评】本题考查了翻折的性质的运用，相交圆的性质的运用，勾股定理的运用，垂直

平分线的性质的运用，解答时求出根据相交圆的性质求解是关键.

16.如图，扇形OAB的半径为4,ZAOB=90°,P是半径08上一动点，。是弧AB上的

一动点.

（1）当P是08中点，且尸。〃。4时（如图1）,弧4。的长为2n；

-3―

（2）将扇形0AB沿PQ对折,使折叠后的弧恰好与半径0A相切于C点（如图2）.若

0P=3,则0到折痕PQ的距离为—娓

【分析】（1）要想求弧长，就得求命所对的圆心角的度数，所以要连接。。构成圆心

角，利用直角三角形直角边是斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°求出Nl=

30°,再利用平行线截得内错角相等得出/2的度数，代入弧长公式计算即可.

（2）先找点。关于尸。的对称点O',连接OO'、O'B、O'C、O'P,证明四边形

OCOf8是矩形，由勾股定理求OB,从而求出00，的长，则=遍.

【解答】解：(1)如图1,连接0Q,

•・•扇形QA3的半径为4且尸是05中点，

：.0P=2,0。=4,

9：PQ//OA,

：.ZBPQ=ZAOB=90°,

AZ1=30°,

・・・N2=N1=3O°,

由弧AQ的长=30X71X4=4,

1803

故答案为：2R；

3

(2)如图2,找点。关于PQ的对称点O',连接0。、O'B、O'C、O'P,ON,

则0M=OM,OO'_LPQ,O'P=OP=3,点O'是铲吊所在圆的圆心，

：.O'C=OB=4,

•・,折叠后的弧。夕恰好与半径。4相切于C点，

：.O'CLAO,

：.O'C//OB,

：.ZPOO'=ZCO'M=/POM,

VZPMO'=ZQMO'=90°,

：.ZO'PM=ZMNO\

：.O'P=O'N=OP=3,

：.四边形0PoW是平行四边形，

OP=ON,

IO与O对称,

：・ON=ON=3,

:・BP=CN=4-3=1,

•：PN20O,

：./MNO=/MNO,

:・/BP0、=/CN0,

:.△O'BP"AOCN(SAS),

：.ZO'BP=ZOCN=90°,

.••四边形0cO'2是矩形，

在RtZ!\O'8尸中，。'3=正2_]2=2料,

在Rt^OB。'中，。。'="+(2收2=2加,

：.OM=^-OO'=AX2A/6=V6>

22

即0到折痕PQ的距离为遥，

故答案为：V6-

【点评】本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公

式/=电曳(”为圆心角度数，R为圆半径)，明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这

180

是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分.

三.解答题(共9小题)

17.如图，将弧窟沿着弦A8翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于。，连接

BC.

(1)求证：BC=BD；

(2)若AC=1,CD=4,弧窟=120°,求弦AB的长和圆的半径.

【分析】(1)作点C关于A8的对称点C',连接AC',BC.利用翻折不变性，以及

圆周角定理即可解决问题；

(2)连接。4,OB,作。M_LA8于/,AH_LBC交8c的延长线于H.解直角三角形求

出AB,04即可；

【解答】(1)证明：作点C关于A8的对称点C',连接AC',BC.

由翻折不变性可知：BC=BC',ZCAB=ZBAC,

•••BD=BC7'-

:.BD=BC',

:.BC=BD.

(2)解：连接。4,OB,作。于AH_LBC交的延长线于H.

:弧窟=120。，

AZD=JLX120°=60°,

2

AZAOB=ZACB=2ZD=120°,

"：BC=BD,

Z\BCD是等边三角形,

：.BC=DC=4,

在RtZ^ACH中，VZH=90°,ZACH=6Q°,AC=1,

.\CH=XAH=®,

22____________

AB=4AH2+BH2=J(半)?+c|■衣同

'：OM1AB,

:.AM=BM=J^L,

2

在RtZXAOM中，：/OAM=30。,ZAMO^90°,

；.OA=-汕—=有

cos300

【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边

三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造

直角三角形解决问题.

18.如图1和图2,AB是O。的直径，AB=10,C是。。上的一点，将能沿弦BC翻折，

交于点D

（1）若点。与圆心。重合，直接写出N2的度数；

（2）设CD交。。于点E,若CE平分

①求证：ABDE是等腰三角形；

②求△3OE的面积；

（3）将图1中的命沿直径翻折，得到图2,若点尸恰好是翻折后的笳的中点，直接

写出的度数.

【分析】（1）如图所示：将。。沿BC翻折得到，则OO与。。'为等圆，然后证

明/=而=而，则可得到血的弧度，从而可求得的度数；

（2）①将O。沿BC翻折得到O。'，则OO与。为等圆，在O。'上取点,连

接CE，，BE'.由等弧所对的圆周角相等可得到,依据圆内接四边形的

性质可得到=ZBDE,故此可证明/（7即=/瓦）£：；②连接OE.先证明NBOE为直

角，依据勾股定理可求得BE的长，从而得到8。的长，最后依据△QBE的面积=皂。・

2

0E求解即可；

（3）将。。沿BC翻折得到。0'，将。。'沿翻折得到。。"，则0。、0。'、0。"

为等圆.依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC=DC=DF=FB，从

而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得的度数.

【解答】解：（1）如图所示：将。。沿8c翻折得到，则。。与为等圆.

:孩与向所对的角均为NC2A，O。与。。,为等圆,

AC=CD.

又YCDuBC,

•1•CD=BD-

又；璇=时，

AC=—•ACB»

3

/.ZAZ)C=Ax180°=60°.

3

.,.ZB=30°.

(2)①将o。沿3c翻折得到o。'，则o。与o。'为等圆，在O。'上取点E',连

接CE',BE'.

由翻折的性质可知：CFB=CDB，

:.NCEB=NE'.

•.•四边形CDBE'是圆内接四边形,

AZE'=/BDE.

：.ZCEB=ZBDE.

：.BE=BD.

...△BDE为等腰三角形.

②如图2所示：连接

TAB是。。的直径，

AZACB=90°.

•・,CE是NACB的角平分线，

:./BCE=45°.

：.ZBOE=90°.

在RtZ\OBE中，BE—g2g2=5^2.

:.BD=5&

：./\DBE的面积=LBD•O£=AX5A/2><5=以2、

222

（3）将。。沿BC翻折得到OO'，将。。'沿8。翻折得到。。〃，则。。、。。‘、。。"

为等圆.

修

：0。与0。'为等圆，劣弧AC与劣弧C。所对的角均为NABC,

AC=CD.

同理：DF=CD.

又：尸是劣弧3。的中点，

•,•DF=BF.

•••AC=DC=DF=FB.

...弧AC的度数=180°4-4=45°.

/.ZB=AX45°=22.5°.

2

【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、

圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解

题的关键.

19.如图1,A3是。。的直径，AB=10,C是。。上的一点，将弧3c沿弦BC翻折，交

A3于点D,连接CD并延长，交。。于点E,连接BE.

(1)当AO=2时，BE的长是8.

(2)当点。位于线段。4上时(不与点A重合)，设NABC=a,则。的取值范围是0

<aW30°.

(3)当NABC=15°时，点。和点。的距离是5、孱-5.

(4)如图2,设武所在圆的圆心是0',当BE与O。'相切时，求BE的

【分析】(1)由折叠的性质以及圆周角定理的推理可知众=商，从而可知AC=OC,根

据等腰三角形的性质可知：ZCAD^ZCDA,然后再证明可推出BE=

BD,最后根据求解即可；

(2)当点。与点A重合时，点C与点A重合，此时，NA8C=a=0°；当点。与点。

重合时，可证得△AOC为等边三角形，从而可知NA2C=30°,进而可确定出。的取值

范围；

(3)如图2所示：过点C作CF_LAB,垂足为尸，连接。C,先征得/COF=30°,在

□△5。中，根据特殊锐角三角函数值，可求得。/=上叵，然