2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第七章 统计案例复习提升

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

本章复习提升

易混易错练

易错点1选错回归模型致错

1.（2020广东佛山第一中学月考）在一项调查中有两个变量x和y,下图是由这两

个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程的

函数类型是（）

A

58S

56o

54o

52o

50O

.

03.84.04.24.44.64.85.05.25.45.6x

A.y=a+bxB.y=c+dVx

C.y=m+nx2D.y=p+qcx(q>0)

2.(2020山西康杰中学月考)在一次抽样调查中测得5组成对数据,其数值及散点

图如下：

x0.250.5124

y1612521

UP

n•

n61

n421

n0

8

6

421

024

（1）根据散点图判断y=a+bx与y=c+k•哪一个更适宜作为y关于x的回归方

程类型；（给出判断即可,不必说明理由）

⑵根据⑴的判断结果及表中数据,试建立y与x的回归方程；(计算结果保留整

数)

⑶在(2)的条件下,设z=y+x且x£[4,+°°),试求z的最小值.

AAA

参考公式：回归方程y=bx+a中，

nn

AZ,(工厂制(%-歹)^Xtyt-nxy

u-hn=以_________n_=0_____)___

S(%i-x)2Sx^-nx2

i=ii=i1

A_A_

a=y-bx.

易错点2对线性相关系数理解不正确致错

3.变量X与Y相对应的一组数据为

(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为

(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,l),n表示变量Y与X之间的线性相

关系数,n表示变量V与U之间的线性相关系数,贝IJ()

A.r2<ri<0B.0<r2<ri

C.r2<0<riD.r2=ri

易错点3用错x2公式致错

4.（2020重庆二诊）“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友

圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20

人），记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下：

0〜2OOP5oor8oor>

性别2000500080001000010000

男12368

女021062

（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超

过5000的概率；

⑵已知某人一天的走路步数超过8000就被系统评定为“积极型”，否则为

“懈怠型”，根据题意完成下面的2X2列联表，试问：“评定类型”与“性别”

是否有关？

一f一一类型

性别'''''积极型懈怠型总计

男

女

总计

5.（2020陕西西安高新一中期末）某地区计划向当地农户推行某类景观树苗种植.

工作小组根据市场前景重点考察了A,B两种景观树苗,为对比两种树苗的成活率,

工作小组进行了引种试验,分别引种树苗A,B各50株,试验发现有80%的树苗成

活,未成活的树苗A,B株数之比为1：3.

⑴完成2义2列联表,试问：树苗A,B的成活率是否有差异？

jj类别

AB总计

成活情况--------

成活株数

未成活株数

总计5050100

⑵已知树苗A经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售,

但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位:cm）影响,扶贫工作小组对一

批已出售的景观树A的相关数据进行统计,得到结果如下表：

直径x/cm1015202530

单株售价y/百元48101627

根据上述数据,判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数r

加以说明.（一般认为，|r|>0.75为高度线性相关）

n

E（阳-君（、厂歹）55

参考公式及数据:相关系数厂内-1n——,E（勺工）2=250,£（y「歹）2=

在俨司J/、例201=1

320.

思想方法练

一、函数与方程思想在统计中的应用

1.（2020云南昆明一中月考）某学校食堂统计了最近5天到餐厅就餐的人数x（百）

与食堂向食材公司购买所需食材（原材料）的数量y（袋），得到如下统计表：

第一第二第三第四第五

天天天天天

就餐人13981012

数x（百）

原材料

数量y3223182428

（袋）

AA

⑴根据所给的5组数据,求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;

⑵已知购买食材的费用C（元）与数量y（袋）的关系为

，与歌鲁3选;Ri）'投入使用的每袋食材相应的销售单价为7。。元，

多余的食材必须无偿退还给食材公司，据悉下周一大约有1500人到食堂餐厅就

餐,根据（1）中求出的线性回归方程,预测食堂应购买多少袋食材才能获得最大利

润,最大利润是多少？（注:利润L=销售收入-原材料费用）

n__n

A

公—八一厂元）（%-歹）,^Xiyt-nxyA_A_

参考公式：6二三、------=上与------->CL-y-bx.

22

iE=i（vXi1-x）7iE=ix}l-nx

555

参考数据：£xy=1343,Exi=558,£W=3237.

i=ltti=li=l

二、数形结合思想在统计中的应用

2.（2020福建泉州适应性线上测试）下图是某地区2010年至2019年污染天数y

与年份x的折线图，根据2010年至2014年的数据,2015年至2019年的数

据,2010年至2019年的数据分别建立一元线性回归模型

AAA

y=b,x+ai,y=b2x+a2,y=b3x+a3,贝（J（）

A.bi<b2<b3,ai<a2<a3

B.bXbs^bz,a£a3〈a2

C.bzVbsVbi,aX&3<a,2

D.b2<b3<bi,a3<a2<ai

3.（2022贵州毕节威宁八中期中）某医院用光电比色计检测尿汞时，得尿汞含量

（毫克/升）与消光系数的数据如下表：

尿汞含量x246810

消光系数y64138205285360

⑴画出散点图；

⑵如果y与x之间具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程〉£+£

⑶估计尿汞含量为9毫克/升时的消光系数（结果保留整数）.

n_n

公*八-A,^xtyi-nxyg（劭君（"田A_A_

参考公式:b弓——一二1-------------,a=y-bx.

2

iE=ixf1-nxiE=i（Xj1-x）

参考数据：22+42+62+82+10=220,2X64+4X138+6X205+8X285+10X360=7790.

三、转化与化归思想在统计中的应用

4.(2021湖南师大附中月考)某工厂生产一种不同规格的产品，根据统计分析,其

合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间的关系可用回归模型y=cx'(b,c都为正实

数)进行拟合.现随机抽取6件合格产品，其检测数据如下表：

尺寸

384858687888

x(mm)

质量

16.818.820.722.42425.5

y(g)

质量与

尺寸的0.4420.3920.3570.3290.3080.290

比x

X

(1)检测标准指出，当产品质量与尺寸的比值在区间(0.302,0.388)内时为优等品.

现从所抽取的6件合格产品中再任选2件,求选中的2件产品均为优等品的概率;

6666

⑵经计算，EInXi«24.6,EIn«18.3,E(InX[)2«101.4,E(Inx；•In

i=li=li=li=l

y卜75.3,求y关于x的回归方程.

附:对于样本数据(Ui,Vi)(i=l,2,…,n),其回归直线v=bu+a的斜率和截距的最小

nn

LUjVi-nu万八——

二乘估计分别为匕-----------,a=v-bu.

皿㈤2Eu?-nu2

1=1i=i1

答案与分层梯度式解析

本章复习提升

易混易错练

1.B散点图上的点大致分布在一条光滑的曲线附近,排除A,且增长速度变慢,排

除C、D,故选B.

2.解析(1)由题中散点图可以判断,y=c+k・X-更适宜作为y关于x的回归方程

类型.

(2)令t=x-',则y=c+kt,构造新的成对数据,如下表：

t4210.50.25

y1612521

易知y与t存在线性相关关系.

AAA

计算得£=1.55,y=7.2,k^4,c=y-kt^l,

A

所以y关于t的回归方程为y=4t+l,

所以y关于x的回归方程为

⑶由⑵得z=y+x=-+x+l,易得z=-+x+l在x£[4,+8)上是单调递增函数，即最

XX

小值为6.

3.C由变量X与Y相对应的一组数据为

(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),可得变量Y与X正相关，所以

rt>0.

而由变量U与V相对应的一组数据为

(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),可得变量V与U负相关，所以

r2<0.

因此r,与r2的大小关系是r2<0<r1.

易错警示给出一组数据，判断该组数据的线性相关系数的符号，可根据该组数

据变量之间正、负相关关系进行判断，若是正相关，则相关系数大于0;若是负相

关，则相关系数小于0.

4.解析(1)由题知,40人中该日走路步数超过5000的有35人，频率为:，所以

估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000的概率为］

O

⑵依题意知2X2列联表如下：

积极型懈怠型总计

性别

男14620

女81220

总计221840

所以X2=40X(]"_6X8)2』3,636.

20X20X22X1811

因为3.636>2.706,所以有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.

5.解析试验发现有80%的树苗成活，故未成活的树苗有20株,未成活的树苗

A,B株数之比为1：3,所以树苗A未成活5株,成活45株,树苗B未成活15株,

成活35株.

⑴2义2列联表如下:

类别

AB总计

成活情况

成活株数453580

未成活株数51520

总计5050100

b||jx2_100X(45X15-35X5)2_625

人」80x20x50x50"一"

因为6.25>3.841,所以有95%的把握认为树苗A,B的成活率有差异.

⑵可以用线性回归模型拟合y与x的关系.由题表中数据易得行20,歹=13,

所以r=

(-10)X(-9)+(-5)X(-5)+0X(-3)+5X3+10X14

V250xV320

入095>0.75.

故可以用线性回归模型拟合y与x的关系.

误区警示解决一般的独立性检验问题，首先由题目所给的2X2列联表确定

a,b,c,d,n的值，然后代入X?的计算公式求出x2,确定有多大的把握认为两个

分类变量有关系.

思想方法练

1.解析(1)由所给数据可得濯】3+9+:1。+12一J。.4

—32+23+18+24+28

疾—5—•:=25,

5

A

八Exiyi-5xyA

1343—5x10.4x25-—ci-icAI

则5二鼻-------='----------=2n.5,a=y-b7x=2o5r-2.5X10.4=T,

558-5X10.42,

£x?-5x2

i=i

故y关于X的线性回归方程为y=2.5x-l.

(2)由(1)得y=2.5x-l,所以当x=15时,y=36.5,即预计需要36.5袋食材,

因为

cJ400y-20,0<y<36(y£N),

l380y,y>36(y£N),

通过购买食材的费用与数量的分段函数来建立利润与数量的关系式,再利用函数

的性质求最值,充分体现了函数思想.

所以当0<y<36时，利润L=700y-(400y-20)=300y+20,

此时当y=35时，Lraax=300X35+20=10520,

当y236时，由题意可知,剩余的食材只能无偿退还，

此时当y=36时,利润L=700X36-380X36=11520,

当y=37时，利润L=700X36.5-380X37=11490,

综上所述,食堂应购买36袋食材才能获得最大利润，最大利润为11520元.

2.C回归直线应分布在散点图的附近，由题中统计图可知2010年至2014年,y

随着x的增加平缓下降,2015年至2019年,y随着x的增加迅速下降，

根据题图可直观得出污染天数y与年份x在每个阶段的关系，体现了数形结合的

思想.

八八AA八

根据线性回归方程y=bx+a中a,匕的几何意义可知，a2>abb2<b<0,由点的分布可

知，a3G(a,,a2),b:iG(b2,bj,所以b2<b3<bi,at<a3<a2.故选C.

3.解析(1)利用散点图的特征判断线性回归关系,进而求解回归方程,整个解题

过程体现了数形结合的思想方法.

散点图如图所示.

4