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第八章解析几何第二节两直线的位置关系1.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知A(4,0)到直线4x-3y+a=0的距离等于3,则a的值为()A.-1 B.-13或-19C.-1或-31 D.-133.已知点A(1,2)与B(3,3)关于直线ax+y+b=0对称,则a,b的值分别为()A.2,-132 B.-2,-C.-2,32 D.2,4.已知点A(0,-1),点B在直线x-y+1=0上,直线AB垂直于直线x+2y-3=0,则点B的坐标是()A.(-2,-3) B.(2,3)C.(2,1) D.(-2,1)5.(多选)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,则下列说法正确的是()A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直 B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0C.直线l过定点(0,1) D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等6.(多选)已知直线l过点P(1,2),且点A(2,3),B(4,-5)到直线l的距离相等,则l的方程可能是()A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0C.3x+2y-7=0 D.2x+3y-7=07.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|AB|=.8.直线x-2y+1=0关于直线x=3对称的直线方程是.9.已知l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)的两条平行直线,当l1与l2之间的距离最大时,直线l1的方程是.10.已知光线经过直线l1:3x-y+7=0和l2:2x+y+3=0的交点M,且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射.(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标;(2)求反射光线所在的直线l3的方程.11.直线l:y=k(x+2)上存在两个不同的点到原点的距离等于1,则k的取值范围是()A.(-2,2) B.(-3,3)C.(-1,1) D.(-33,312.(多选)若P,Q分别为l1:3x+4y+5=0,l2:ax+8y+c=0上的动点,且l1∥l2,下面说法正确的有()A.直线l2的斜率为定值 B.当c=25时,|PQ|的最小值为3C.当|PQ|的最小值为1时,c=20 D.c≠1013.设△ABC的一个顶点是A(3,-1),角B,C的角平分线的方程分别是x=0,y=x,则直线BC的方程是.14.已知直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点为M.(1)求过点M且与直线l3:x+3y+1=0垂直的直线的方程;(2)求过点M,且点P(4,0)到它的距离为3的直线的方程.15.如图所示,m,n,l是三条公路,m与n是互相垂直的,它们在O点相交,l与m,n的交点分别是M,N,且|OM|=4,|ON|=8,工厂A在公路n上,|OA|=2,工厂B到m,n的距离分别为2,4.货车P在公路l上.(1)要把工厂A,B的物品装上货车P,问:P在什么位置时,搬运工走的路程最少?(2)P在什么位置时,工厂B搬运工与工厂A搬运工走的路程差距最多?(假设货物一次性搬运完)参考答案与解析1.A若两直线平行,则a(a+1)=2,即a2+a-2=0,∴a=1或-2,故a=1是两直线平行的充分不必要条件.2.C由距离公式可得,|4×4-3×0+a|42+32=3,即|a+16|=15,3.A易知kAB=12,则直线ax+y+b=0的斜率为-2,所以-a=-2,即a=2.易知AB的中点坐标为(2,52),代入2x+y+b=0,得b=-1324.B设B(a,b),则由题意可得a-b+1=0①,且kAB=b+1a-0=2②,由①②解得a=2,b=3.即点B的坐标是(2,5.AC对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与x+y=0垂直,正确;对于B,若直线l与直线x-y=0平行,可知(a2+a+1)·(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,不正确;对于C,当x=0时,有y=1,所以直线过定点(0,1),正确;对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,在x轴,y轴上的截距分别是-1,1,不正确.6.AC由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点,当直线l∥AB时,因为直线AB的斜率为3−(−5)2-4=-4,所以直线l的方程是y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0;当直线l经过线段AB的中点(3,-1)时,l的斜率为2−(−1)1-3=-32,此时l的方程是y-2=-7.25解析:设A(x,0),B(0,y),∵AB中点P(2,-1),∴x2=2,y2=-1,∴x=4,y=-2,即A(4,0),B(0,-2),∴|AB|=428.x+2y-7=0解析:设直线x-2y+1=0关于直线x=3对称的直线为l2,则l2的斜率为-12,且过直线x-2y+1=0与x=3的交点(3,2),则l2的方程为y-2=-12(x-3),即x+2y9.x+2y-3=0解析:当直线AB与l1,l2垂直时,l1,l2之间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1),所以kAB=-1-10-1=2,所以两平行直线的斜率k=-12,所以直线l1的方程是y-1=-12(x-10.解:(1)由3x-y+7=0,2x+y+3=0,得x所以点M关于x轴的对称点P的坐标为(-2,-1).(2)法一设直线MN的倾斜角为α,则直线l3的倾斜角为180°-α,易知kMN=0-11−(−2)=-13,所以直线l故反射光线所在的直线l3的方程为y=13(x-1),即x-3y-法二由题意知反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程.易知直线PN的方程为y-0-1-0=x-1-故反射光线所在的直线l3的方程为x-3y-1=0.11.D直线l:y=k(x+2)上存在两个不同的点到原点的距离等于1,则原点到直线的距离小于1,所以|2k|k2+1<1,解得-3312.ABD因为l1∥l2,所以a3=2,c5≠2,所以a=6,c≠10,故A、D正确;因为|PQ|的最小值为两平行直线间的距离,所以当c=25时,d=|10-25|62+82=32,故B正确;当|PQ|的最小值为1时,d=|1013.y=2x+5解析:A关于直线x=0的对称点是A'(-3,-1),关于直线y=x的对称点是A″(-1,3),由角平分线的性质可知,点A',A″均在直线BC上,所以直线BC的方程为y=2x+5.14.解:(1)由x-2y+3=0,2x+3y-8=0因为直线l3:x+3y+1=0的斜率为-13,所求直线与直线l3垂直所以所求直线的斜率为3,其方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.(2)由(1)知M(1,2),则当直线的斜率不存在时,所求直线的方程为x=1,点P(4,0)到它的距离为3,满足题意;当直线的斜率存在时,设所求直线的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,所以点P(4,0)到它的距离d=|3k+2|1+k2=3所以所求直线的方程为5x-12y+19=0.综上可得,所求直线的方程为x=1或5x-12y+19=0.15.解:以m,n所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略),则有A(2,0),B(-2,-4),M(0,4),N(-8,0),故公路l所在直线的方程为x-2y+8=0.(1)P在什么位置时,搬运工走的路程最少,即求|PA|+|PB|的值最小时P的位置.设点A关于直线l的对称点为A'(a,b),则b-0a-2=-2,a+2又P为直线l上的一点,则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当且仅当B,P,A'三点共线时等号成立,此时|PA|+|PB|取得最小值|A'B|,点P就是直线A'B与直线l的交点,联立x=-2,x-2y+8=0,解得x即P在到公路m的距离为2,到公路n的距离为3的公路l上.(2)由题意可知,原问题等价于求点P的位
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