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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,那么该双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.已知等差数列的前n项和为,,则A.3 B.4 C.5 D.63.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},则A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}4.点在所在的平面内,,,,,且,则()A. B. C. D.5.函数的图象可能是()A. B. C. D.6.已知中内角所对应的边依次为,若,则的面积为()A. B. C. D.7.函数与在上最多有n个交点,交点分别为(,……,n),则()A.7 B.8 C.9 D.108.在长方体中,,则直线与平面所成角的余弦值为()A. B. C. D.9.数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为()A. B. C. D.10.将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,则函数图象的一个对称中心为()A. B. C. D.11.已知数列的前项和为,且,,,则的通项公式()A. B. C. D.12.已知非零向量、,若且,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,若,则的取值范围是__14.已知向量,若向量与共线,则________.15.六位同学坐在一排,现让六位同学重新坐,恰有两位同学坐自己原来的位置,则不同的坐法有________种(用数字回答).16.已知数列的各项均为正数,满足,.,若是等比数列,数列的通项公式_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:的离心率为,左、右顶点分别为、,过左焦点的直线交椭圆于、两点(异于、两点),当直线垂直于轴时,四边形的面积为1.(1)求椭圆的方程;(2)设直线、的交点为;试问的横坐标是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.18.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,).在以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)若点在直线上,求直线的极坐标方程;(2)已知,若点在直线上,点在曲线上,且的最小值为,求的值.19.(12分)已知椭圆:的长半轴长为,点(为椭圆的离心率)在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,为直线上任一点,过点椭圆上点处的切线为,,切点分别,,直线与直线,分别交于,两点,点,的纵坐标分别为,,求的值.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为;直线l的参数方程为(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若点P的极坐标为,,求的值.21.(12分)为了保障全国第四次经济普查顺利进行,国家统计局从东部选择江苏,从中部选择河北、湖北,从西部选择宁夏,从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区,然后再逐级确定普查区域,直到基层的普查小区,在普查过程中首先要进行宣传培训,然后确定对象,最后入户登记,由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利,这为正式普查提供了宝贵的试点经验,在某普查小区,共有50家企事业单位,150家个体经营户,普查情况如下表所示:普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户10050150合计14060200(1)写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法;(2)根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”;(3)以该小区的个体经营户为样本,频率作为概率,从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象,入户登记顺利的对象数记为,写出的分布列,并求的期望值.附:0.100.0100.0012.7066.63510.82822.(10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到曲线,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程;(2)曲线上是否存在不同的两点,(以上两点坐标均为极坐标,,),使点、到的距离都为3?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

由抛物线的焦点得双曲线的焦点,求出,由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为,由焦半径公式,联立求解.【详解】解:由抛物线,可得,则,故其准线方程为,抛物线的准线过双曲线的左焦点,.抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,,又,,则双曲线的离心率为.故选:.【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.2.C【解析】

方法一:设等差数列的公差为,则,解得,所以.故选C.方法二:因为,所以,则.故选C.3.D【解析】

解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.【详解】因为集合,故选:D.【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.4.D【解析】

确定点为外心,代入化简得到,,再根据计算得到答案.【详解】由可知,点为外心,则,,又,所以①因为,②联立方程①②可得,,,因为,所以,即.故选:【点睛】本题考查了向量模长的计算,意在考查学生的计算能力.5.A【解析】

先判断函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为,,该函数为偶函数,排除B、D选项;当时,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法得出结果,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.6.A【解析】

由余弦定理可得,结合可得a,b,再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故选:A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.7.C【解析】

根据直线过定点,采用数形结合,可得最多交点个数,然后利用对称性,可得结果.【详解】由题可知:直线过定点且在是关于对称如图通过图像可知:直线与最多有9个交点同时点左、右边各四个交点关于对称所以故选:C【点睛】本题考查函数对称性的应用,数形结合,难点在于正确画出图像,同时掌握基础函数的性质,属难题.8.C【解析】

在长方体中,得与平面交于,过做于,可证平面,可得为所求解的角,解,即可求出结论.【详解】在长方体中,平面即为平面,过做于,平面,平面,平面,为与平面所成角,在,,直线与平面所成角的余弦值为.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角,定义法求空间角要体现“做”“证”“算”,三步骤缺一不可,属于基础题.9.D【解析】

利用等差数列通项公式推导出λ,由d∈[1,2],能求出实数λ取最大值.【详解】∵数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是减函数,∴d=1时,实数λ取最大值为λ.故选D.【点睛】本题考查实数值的最大值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.10.D【解析】

根据函数图象的变换规律可得到解析式,然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解:图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,故选:D【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质,基础题.11.C【解析】

利用证得数列为常数列,并由此求得的通项公式.【详解】由,得,可得().相减得,则(),又由,,得,所以,所以为常数列,所以,故.故选:C【点睛】本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识;考查运算求解能力,逻辑推理能力,应用意识.12.D【解析】

设非零向量与的夹角为,在等式两边平方,求出的值,进而可求得向量在向量方向上的投影为,即可得解.【详解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影为.故选:D.【点睛】本题考查向量投影的计算,同时也考查利用向量的模计算向量的夹角,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

根据分段函数的性质,即可求出的取值范围.【详解】当时,,,当时,,所以,故的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查分段函数的性质,已知分段函数解析式求参数范围,还涉及对数和指数的运算,属于基础题.14.【解析】

计算得到,根据向量平行计算得到答案.【详解】由题意可得,因为与共线,所以有,即,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数,意在考查学生的计算能力.15.135【解析】

根据题意先确定2个人位置不变,共有种选择,再确定4个人坐4个位置,但是不能坐原来的位置,计算得到答案.【详解】根据题意先确定2个人位置不变,共有种选择.再确定4个人坐4个位置,但是不能坐原来的位置,共有种选择,故不同的坐法有.故答案为:.【点睛】本题考查了分步乘法原理,意在考查学生的计算能力和应用能力.16.【解析】

利用递推关系,等比数列的通项公式即可求得结果.【详解】因为,所以,因为是等比数列,所以数列的公比为1.又,所以当时,有.这说明在已知条件下,可以得到唯一的等比数列,所以,故答案为:.【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式,属于简单题目.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)是为定值,的横坐标为定值【解析】

(1)根据“直线垂直于轴时,四边形的面积为1”列方程,由此求得,结合椭圆离心率以及,求得,由此求得椭圆方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,化简后写出根与系数关系.求得直线的方程,并求得两直线交点的横坐标,结合根与系数关系进行化简,求得的横坐标为定值.【详解】(1)依题意可知,解得,即;而,即,结合解得,,因此椭圆方程为(2)由题意得,左焦点,设直线的方程为:,,.由消去并整理得,∴,.直线的方程为:,直线的方程为:.联系方程,解得,又因为.所以.所以的横坐标为定值.【点睛】本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和直线交点坐标的求法,考查运算求解能力,属于中档题.18.(1)(2)【解析】

(1)利用消参法以及点求解出的普通方程,根据极坐标与直角坐标的转化求解出直线的极坐标方程;(2)将的坐标设为,利用点到直线的距离公式结合三角函数的有界性,求解出取最小值时对应的值.【详解】(1)消去参数得普通方程为,将代入,可得,即所以的极坐标方程为(2)的直角坐标方程为直线的直角坐标方程设的直角坐标为∵在直线上,∴的最小值为到直线的距离的最小值∵,∴当,时取得最小值即,∴【点睛】本题考查直线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化以及根据曲线上一点到直线距离的最值求参数,难度一般.(1)直角坐标和极坐标的互化公式:;(2)求解曲线上一点到直线的距离的最值,可优先考虑将点的坐标设为参数方程的形式,然后再去求解.19.(1);(2).【解析】

(1)因为点在椭圆上,所以,然后,利用,,得出,进而求解即可(2)设点的坐标为,直线的方程为,直线的方程为,分别联立方程:和,利用韦达定理,再利用,,即可求出的值【详解】(1)由椭圆的长半轴长为,得.因为点在椭圆上,所以.又因为,,所以,所以(舍)或.故椭圆的标准方程为.(2)设点的坐标为,直线的方程为,直线的方程为.据得.据题意,得,得,同理,得,所以.又可求,得,,所以.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题,联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参,属于中档题20.(1),;(2)2.【解析】

(1)由得,求出曲线的直角坐标方程.由直线的参数方程消去参数,即求直线的普通方程;(2)将直线的参数方程化为标准式(为参数),代入曲线的直角坐标方程,韦达定理得,点在直线上,则,即可求出的值.【详解】(1)由可得,即,即,曲线的直角坐标方程为,由直线的参数方程(t为参数),消去得,即直线的普通方程为.(Ⅱ)点的直角坐标为,则点在直线上.将直线的参数方程化为标准式(为参数),代入曲线的直角坐标方程,整理得,直线与曲线交于两点,,即.设点所对应的参数分别为,由韦达定理可得,.点在直线上,,.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用,属于中档题.21.(1)分层抽样,简单随机抽样(抽签亦可)(2)有(3)分布列见解析,【解析】

(1)根据题意可以选用分层

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