江苏省盐城市2025届高三数学下学期5月第三次模拟考试试题含解析

PAGEPAGE20江苏省盐城市2025届高三数学下学期5月第三次模拟考试试题（含解析）留意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中全部试题必需作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|y＝EQ\R(,x－2)}，B＝{y|y＝EQ\R(,x－2)}，C＝{(x，y)|y＝EQ\R(,x－2)}，则下列集合不为空集的是A．A∩BB．A∩CC．B∩CD．A∩B∩C2．若复数z满意|z－i|≤2，则z的最大值为A．1B．2C．4D．93．同学们都知道平面内直线方程的一般式为Ax＋By＋C＝0，我们可以这样理解：若直线l过定点P0(x0，y0)，向量EQ\o\ac(\S\UP7(→),n)＝(A，B)为直线l的法向量，设直线l上随意一点P(x，y)，则EQ\o\ac(\S\UP7(→),n)EQ\o\ac(\S\UP7(→),P\S\DO(0)P)＝0，得直线l的方程为eqA(x－x\s\do(0))＋B(y－y\s\do(0))＝0，即可转化为直线方程的一般式．类似地，在空间中，若平面α过定点Q0(1，0，－2)，向量eq\o\ac(\S\UP7(→),m)＝(2，－3，1)为平面α的法向量，则平面α的方程为A．2x－3y＋z＋4＝0B．2x＋3y－z－4＝0C．2x－3y＋z＝0D．2x＋3y－z＋4＝04．将函数eqf(x)＝sin\f(1,2)x的图象向左平移eq\f(π,3)个单位，得到函数g(x)的图象，若x∈(0，m)时，函数g(x)的图象在f(x)的上方，则实数m的最大值为A．eq\f(π,3)B．eq\f(2π,3)C．eq\f(5π,6)D．eq\f(π,6)5．已知数列eq{a\s\do(n)}的通项公式为eqa\s\do(n)＝\f(n,(n＋1)!)，则其前n项和为A．eq1－\f(1,(n＋1)!)B．eq1－\f(1,n!)C．eq2－\f(1,n!)D．eq2－\f(1,(n＋1)!)6．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之－是发觉了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程eqax\s\up6(3)＋bx\s\up6(2)＋cx＋d＝0(a≠0)的3个实数根为x1，x2，x3，则eqx\s\do(1)＋x\s\do(2)＋x\s\do(3)＝－\f(b,a)，eqx\s\do(1)x\s\do(2)＋x\s\do(2)x\s\do(3)＋x\s\do(3)x\s\do(1)＝\f(c,a)，x\s\do(1)x\s\do(2)x\s\do(3)＝－\f(d,a)．已知函数eqf(x)＝2x\s\up6(3)－x＋1，直线l与f(x)的图象相切于点eqP(x\s\do(1)，f(x\s\do(1)))，且交f(x)的图象于另一点eqQ(x\s\do(2)，f(x\s\do(2)))，则A．eq2x\s\do(1)－x\s\do(2)＝0B．eq2x\s\do(1)－x\s\do(2)－1＝0C．2x1＋x2＋1＝0D．2x1＋x2＝07．设双曲线C：eq\f(x\s\up6(2),a\s\up6(2))－\f(y\s\up6(2),b\s\up6(2))＝1(a，b＞0)的焦距为2，若以点P(m，n)(m＜a)为圆心的圆P过C的右顶点且与C的两条渐近线相切，则OP长的取值范围是A．(0，eq\f(1,2))B．(0，1)C．(eq\f(1,2)，1)D．(eq\f(1,4)，eq\f(1,2))8．已知正数x，y，z满意xlny＝yez＝zx，则x，y，z的大小关系为A．x＞y＞zB．y＞x＞zC．x＞z＞yD．以上均不对二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知X~N(μ1，σ12)，Y~N(μ2，σ22)，μ1＞μ2，σ1＞0，σ2＞0，则下列结论中肯定成立的有A．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)B．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＞P(|Y－μ2|≤1)C．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝1D．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＜110．设数列{an}的前n项和为eqS\s\do(n)，若eqa\s\do(n)＋S\s\do(n)＝An\s\up6(2)＋Bn＋C，则下列说法中正确的有A．存在A，B，C使得{an}是等差数列B．存在A，B，C使得{an}是等比数列C．对随意A，B，C都有{an}肯定是等差数列或等比数列D．存在A，B，C使得{an}既不是等差数列也不是等比数列11．已知矩形ABCD满意AB＝1，AD＝2，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折起，点B折至B′，得到四棱锥B′－AECD，若点P为B′D的中点，则A．CP//平面B′AEB．存在点B′，使得CP⊥平面AB′DC．四棱锥B′－AECD体积的最大值为eq\f(\r(,2),4)D．存在点B′，使得三棱锥B′－ADE外接球的球心在平面AECD内12．将平面对量eq\o\ac(\S\UP7(→),a)＝(x\s\do(1)，x\s\do(2))称为二维向量，由此可推广至n维向量eq\o\ac(\S\UP7(→),a)＝(x\s\do(1)，x\s\do(2)，…，x\s\do(n))．对于n维向量eq\o\ac(\S\UP7(→),a)，\o\ac(\S\UP7(→),b)，其运算与平面对量类似，如数量积eq\o\ac(\S\UP7(→),a)\o\ac(\S\UP7(→),b)＝|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)||EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)|cosθ＝(θ为向量eq\o\ac(\S\UP7(→),a)，\o\ac(\S\UP7(→),b)的夹角)，其向量eq\o\ac(\S\UP7(→),a)的模|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)|＝，则下列说法正确的有A．不等式()()≤()2可能成立B．不等式()()≥()2肯定成立C．不等式n＜()2可能成立D．若eqx\s\do(i)＞0(i＝1，2，…，n)，则不等式≥n2肯定成立三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．文旅部在2024年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力气”“体验漂亮乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”．这些精品线路中包含上海—大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个呈现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区．为支配旅游路途，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有种．14．满意等式(1－tanα)(1－tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组．15．若向量EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)满意|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)－EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)|＝EQ\R(,3)，则EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)的最小值为．16．对于函数eqf(x)＝lnx＋mx\s\up6(2)＋nx＋1，有下列4个论断：甲：函数f(x)有两个减区间；乙：函数f(x)的图象过点(1，－1)；丙：函数f(x)在x＝1处取极大值；丁：函数f(x)单调．若其中有且只有两个论断正确，则m的取值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满意3EQ\o\ac(\S\UP7(→),BD)＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),BC)与eq\o\ac(\S\UP7(→),AD)·\o\ac(\S\UP7(→),AC)＝0.(1)若b＝c，求A的值；(2)求B的最大值．18．(12分)请在①eqa\s\do(1)＝\r(,2)；②eqa\s\do(1)＝2；③eqa\s\do(1)＝3这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前1个评分)．命题：已知数列eq{a\s\do(n)}满意an＋1＝an2，若，则当n≥2时，an≥2n恒成立．19．(12分)如图，在三棱柱eqABC－A\s\do(1)B\s\do(1)C\s\do(1)中，eqAC＝BB\s\do(1)＝2BC＝2，∠CBB\s\do(1)＝2∠CAB＝\f(π,3)，且平面ABC⊥平面eqB\s\do(1)C\s\do(1)CB.(1)求证：平面ABC⊥平面eqACB\s\do(1)；A1(2)设点P为直线BC的中点，求直线eqA\s\do(1)P与平面eqACB\s\do(1)所成角的正弦值．A1C1C1BB1CACAPPBB20．(12分)如图，在平面直角坐标系eqxOy中，已知点P是抛物线eqC\s\do(1)：x\s\up6(2)＝2py(p＞0)上的一个点，其横坐标为x0，过点P作抛物线eqC\s\do(1)的切线l．(1)求直线l的斜率(用x0与p表示)；(2)若椭圆eqC\s\do(2)：\f(y\s\up6(2),2)＋x\s\up6(2)＝1过点P，l与eqC\s\do(2)的另一个交点为A，OP与eqC\s\do(2)的另一个交点为B，求证：AB⊥PB．yxyoyxyoPPABOxABOx21．(12分)运用计算机编程，设计一个将输入的正整数k“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将[0，k)中的随意一个整数替换k的值并输出k的值，反复按回车键执行以上操作直到输出k＝0后终止操作．(1)若输入的初始值k为3，记按回车键的次数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望；(2)设输入的初始值为k(k∈N*)，求运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率．22．(12分)设eqf(x)＝\f(lnx,x\s\up6(n))(n∈N*)．(1)求证：函数f(x)肯定不单调；(2)试给出一个正整数a，使得eqe\s\up6(x)＞x\s\up6(2)lnx＋asinx对∀x∈(0，＋∞)恒成立．(参考数据：e≈2.72，e2≈7.39，e3≈20.10)盐城市2025届高三年级第三次模拟考试数学2024.05留意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中全部试题必需作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|y＝EQ\R(,x－2)}，B＝{y|y＝EQ\R(,x－2)}，C＝{(x，y)|y＝EQ\R(,x－2)}，则下列集合不为空集的是A．A∩BB．A∩CC．B∩CD．A∩B∩C【答案】A【考点】集合的运算【解析】由题意可知，集合A，B，均为数集，C为点集，则选项BCD均错误，故答案选A．2．若复数z满意|z－i|≤2，则z的最大值为A．1B．2C．4D．9【答案】D【考点】复数的运算【解析】由题意可知，设z＝a＋bi，则|z－i|＝|a＋(b－1)i|≤2，即a2＋(b－1)2≤4，不妨设a＝2cosθ，b＝2sinθ＋1，则z＝a2＋b2＝4cos2θ＋2sin2θ＋4sinθ＋1＝5＋4sinθ≤9，故答案选D．3．同学们都知道平面内直线方程的一般式为Ax＋By＋C＝0，我们可以这样理解：若直线l过定点P0(x0，y0)，向量EQ\o\ac(\S\UP7(→),n)＝(A，B)为直线l的法向量，设直线l上随意一点P(x，y)，则EQ\o\ac(\S\UP7(→),n)EQ\o\ac(\S\UP7(→),P\S\DO(0)P)＝0，得直线l的方程为eqA(x－x\s\do(0))＋B(y－y\s\do(0))＝0，即可转化为直线方程的一般式．类似地，在空间中，若平面α过定点Q0(1，0，－2)，向量eq\o\ac(\S\UP7(→),m)＝(2，－3，1)为平面α的法向量，则平面α的方程为A．2x－3y＋z＋4＝0B．2x＋3y－z－4＝0C．2x－3y＋z＝0D．2x＋3y－z＋4＝0【答案】C【考点】新情景问题下的直线方程的求解【解析】由题意可知，平面α的方程为2(x－1)－3(y－0)＋1(z＋2)＝0，化简可得，2x－3y＋z＝0，故答案选C．4．将函数eqf(x)＝sin\f(1,2)x的图象向左平移eq\f(π,3)个单位，得到函数g(x)的图象，若x∈(0，m)时，函数g(x)的图象在f(x)的上方，则实数m的最大值为A．eq\f(π,3)B．eq\f(2π,3)C．eq\f(5π,6)D．eq\f(π,6)【答案】C【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由题意可知，g(x)＝sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6))，令sineq\f(1,2)x＝sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6))，解得eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，所以x＝kπ－eq\f(π,6)，k∈Z，则当x∈(0，m)时，若要函数g(x)的图象在f(x)的上方，则m≤x＝kπ－eq\f(π,6)，当k＝0时，m≤eq\f(5π,6)，故答案选C．5．已知数列eq{a\s\do(n)}的通项公式为eqa\s\do(n)＝\f(n,(n＋1)!)，则其前n项和为A．eq1－\f(1,(n＋1)!)B．eq1－\f(1,n!)C．eq2－\f(1,n!)D．eq2－\f(1,(n＋1)!)【答案】A【考点】数列的求和：裂项相消法【解析】由题意可知，eqa\s\do(n)＝\f(n,(n＋1)!)＝eq\f(n＋1－1,(n＋1)!)＝eq\f(1,n!)－eq\f(1,(n＋1)!)，所以Sn＝1－eq\f(1,2!)＋eq\f(1,2!)－eq\f(1,3!)＋…＋eq\f(1,n!)－eq\f(1,(n＋1)!)＝1－eq\f(1,(n＋1)!)，故答案选A．6．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之－是发觉了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程eqax\s\up6(3)＋bx\s\up6(2)＋cx＋d＝0(a≠0)的3个实数根为x1，x2，x3，则eqx\s\do(1)＋x\s\do(2)＋x\s\do(3)＝－\f(b,a)，eqx\s\do(1)x\s\do(2)＋x\s\do(2)x\s\do(3)＋x\s\do(3)x\s\do(1)＝\f(c,a)，x\s\do(1)x\s\do(2)x\s\do(3)＝－\f(d,a)．已知函数eqf(x)＝2x\s\up6(3)－x＋1，直线l与f(x)的图象相切于点eqP(x\s\do(1)，f(x\s\do(1)))，且交f(x)的图象于另一点eqQ(x\s\do(2)，f(x\s\do(2)))，则A．eq2x\s\do(1)－x\s\do(2)＝0B．eq2x\s\do(1)－x\s\do(2)－1＝0C．2x1＋x2＋1＝0D．2x1＋x2＝0【答案】D【考点】新情景问题下的导数的几何意义的应用【解析】由题意可知，f′(x)＝6x2－1，所以直线l的斜率k＝f′(x1)＝6x12－1，且k＝EQ\F(f\b\bc\((\l(x\S\DO(2)))－f\b\bc\((\l(x\S\DO(1))),x\S\DO(2)－x\S\DO(1))＝EQ\F(2x\S\DO(2)\s\up3(3)－x\S\DO(2)＋1－\b\bc\((\l(2x\S\DO(1)\s\up3(3)－x\S\DO(1)＋1)),x\S\DO(2)－x\S\DO(1))＝EQ\F(\b\bc\((\l(x\S\DO(2)－x\S\DO(1)))\b\bc\((\l(2x\S\DO(1)\s\up3(2)＋2x\S\DO(1)x\S\DO(2)＋2x\S\DO(2)\s\up3(2)－1)),x\S\DO(2)－x\S\DO(1))＝2x12＋2x1x2＋2x22－1，即2x12＋2x1x2＋2x22－1＝6x12－1，化简得(2x1＋x2)(x1－x2)＝0，因为x1－x2≠0，所以2x1＋x2＝0，故答案选D．7．设双曲线C：eq\f(x\s\up6(2),a\s\up6(2))－\f(y\s\up6(2),b\s\up6(2))＝1(a，b＞0)的焦距为2，若以点P(m，n)(m＜a)为圆心的圆P过C的右顶点且与C的两条渐近线相切，则OP长的取值范围是A．(0，eq\f(1,2))B．(0，1)C．(eq\f(1,2)，1)D．(eq\f(1,4)，eq\f(1,2))【答案】B【考点】圆锥曲线中双曲线的几何性质应用【解析】由题意可知，c＝1，渐近线方程为：bx±ay＝0，由圆P与渐近线相切可得，r＝EQ\F(|bm＋an|,c)＝EQ\F(|bm－an|,c)，解得n＝0，所以圆的半径r＝a－m＝bm，所以m＝EQ\F(a,b＋1)，则m2＝(EQ\F(a,b＋1))2＝EQ\F(1－b\S(2),(b＋1)\s\up3(2))＝EQ\F(1－b,b＋1)＝－1＋EQ\F(2,b＋1)，因为b∈(0，1)，所以－1＋EQ\F(2,b＋1)∈(0，1)，则m∈(0，1)，所以OP∈(0，1)，故答案选B．8．已知正数x，y，z满意xlny＝yez＝zx，则x，y，z的大小关系为A．x＞y＞zB．y＞x＞zC．x＞z＞yD．以上均不对【答案】A【考点】比较大小【解析】由题意可知，lny＞0，即y＞1，由xlny＝zx，可得z＝lny≤y－1，则z－y≤－1＜0，所以z＜y；又yez＝zx，所以(z＋1)ez≤yez＝zx＜yx，所以z＋1≤ez＜x，则z－x＜－1＜0，所以z＜x；因为xlny＝yez，所以x＝EQ\F(ye\S(z),lny)＝EQ\F(ye\S(z),z)＞EQ\F(yz,z)＝y，即x＞y，所以x＞y＞z，故答案选A．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知X~N(μ1，σ12)，Y~N(μ2，σ22)，μ1＞μ2，σ1＞0，σ2＞0，则下列结论中肯定成立的有A．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)B．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＞P(|Y－μ2|≤1)C．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝1D．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＜1【答案】AC【考点】正态分布的应用【解析】法一：由题意可知，对于选项AB，若σ1＞σ2，则Y分布更加集中，则在相同区间范围Y的相对概率更大，所以P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)，所以选项A正确，选项B错误；对于选项CD，由正态分布的性质可得，P(Y＞μ1)＝P(X≤μ2)，又P(X≤μ2)＋P(X＞μ2)＝1，所以P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝1，所以选项C正确，选项D错误；综上，答案选AC．法二：由题意可知，可把正态分布标准化，即EQ\F(X－μ\S\DO(1),σ\S\DO(1))＝Z＝EQ\F(Y－μ\S\DO(2),σ\S\DO(2))，则Z~N(0，1)，对于选项AB，若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＝P(|Z|≤EQ\F(1,σ\S\DO(1)))，P(|Y－μ2|≤1)＝P(|Z|≤EQ\F(1,σ\S\DO(2)))，因为σ1＞σ2＞0，所以EQ\F(1,σ\S\DO(1))＜EQ\F(1,σ\S\DO(2))，所以P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)，所以选项A正确，选项B错误；对于选项CD，若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＝P(Z＞EQ\F(μ\S\DO(2)－μ\S\DO(1),σ))，P(Y＞μ1)＝P(Z＞EQ\F(μ\S\DO(1)－μ\S\DO(2),σ))，所以P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝P(Z＞EQ\F(μ\S\DO(2)－μ\S\DO(1),σ))＋P(Z≤EQ\F(μ\S\DO(1)－μ\S\DO(2),σ))＝1，所以选项C正确，选项D错误；综上，答案选AC．10．设数列{an}的前n项和为eqS\s\do(n)，若eqa\s\do(n)＋S\s\do(n)＝An\s\up6(2)＋Bn＋C，则下列说法中正确的有A．存在A，B，C使得{an}是等差数列B．存在A，B，C使得{an}是等比数列C．对随意A，B，C都有{an}肯定是等差数列或等比数列D．存在A，B，C使得{an}既不是等差数列也不是等比数列【答案】ABD【考点】等差与等比数列的综合应用【解析】由题意可知，对于选项A，取A＝0，B＝C＝1，则有an＋Sn＝n＋1，此时可得到an＝1，即{an}是等差数列，所以选项A正确；对于选项B，取A＝0，B＝0，C＝1，则有an＋Sn＝1，所以n≥2时，an－1＋Sn－1＝1，两式相减可得2an＝an－1，即数列{an}是等比数列，所以选项B正确；对于选项CD，取A＝C＝0，B＝2，则有an＋Sn＝2n，所以n≥2时，an－1＋Sn－1＝2(n－1)，两式相减可得an＝EQ\F(1,2)an－1＋1，即an－2＝EQ\F(1,2)(an－1－2)，即数列{an－2}是以EQ\F(1,2)为公比的等比数列，所以{an}既不是等差数列也不是等比数列，所以选项C错误，选项D正确；综上，答案选ABD．11．已知矩形ABCD满意AB＝1，AD＝2，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折起，点B折至B′，得到四棱锥B′－AECD，若点P为B′D的中点，则A．CP//平面B′AEB．存在点B′，使得CP⊥平面AB′DC．四棱锥B′－AECD体积的最大值为eq\f(\r(,2),4)D．存在点B′，使得三棱锥B′－ADE外接球的球心在平面AECD内【答案】ACD【考点】立体几何的综合应用：位置关系、体积、外接球问题【解析】由题意可知，对于选项A，取AB′的中点为Q，连结EQ、PQ，因为CEEQ\F(1,2)D，PQEQ\F(1,2)D，所以PQCE，所以四边形CEQP为平行四边形，所以CP∥QE，又QE平面AB′E，CP平面AB′E，所以CP∥平面AB′E，所以选项A正确；对于选项B，若CP⊥平面AB′D，则CP⊥AB′，所以QE⊥AB′，则与AB′⊥BE冲突，所以选项B错误；对于选项C，过B′作B′O⊥AE，垂足为O，可得B′O＝eq\f(\r(,2),2)，所以VB′－AECD＝EQ\F(1,3)SAECDh＝EQ\F(1,3)EQ\F(1,2)(1＋1)1h≤EQ\F(1,2)B′O＝eq\f(\r(,2),4)，所以选项C正确；对于选项D，若三棱锥B′－ADE外接球的球心在平面AECD内，则球心为△ADE的外心，则为△ADE直角三角形，且AD为斜边，则球心O为AD的中点，所以R＝OB′＝OA＝OD＝1，则AB′⊥B′D，所以B′D＝EQ\R(,3)，而B′D∈(1，EQ\R(,5))，可知存在，则满意题意，所以选项D正确；综上，答案选ACD．12．将平面对量eq\o\ac(\S\UP7(→),a)＝(x\s\do(1)，x\s\do(2))称为二维向量，由此可推广至n维向量eq\o\ac(\S\UP7(→),a)＝(x\s\do(1)，x\s\do(2)，…，x\s\do(n))．对于n维向量eq\o\ac(\S\UP7(→),a)，\o\ac(\S\UP7(→),b)，其运算与平面对量类似，如数量积eq\o\ac(\S\UP7(→),a)\o\ac(\S\UP7(→),b)＝|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)||EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)|cosθ＝(θ为向量eq\o\ac(\S\UP7(→),a)，\o\ac(\S\UP7(→),b)的夹角)，其向量eq\o\ac(\S\UP7(→),a)的模|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)|＝，则下列说法正确的有A．不等式()()≤()2可能成立B．不等式()()≥()2肯定成立C．不等式n＜()2可能成立D．若eqx\s\do(i)＞0(i＝1，2，…，n)，则不等式≥n2肯定成立【答案】ABD【考点】新情景问题下的数量积与模的应用【解析】由题意，可设eq\o\ac(\S\UP7(→),a)＝(x1，x2，…，xn)，eq\o\ac(\S\UP7(→),b)＝(y1，y2，…，yn)，所以()()＝|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)|2|EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)|2，()2＝(|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)||EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)|)2＝|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)|2|EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)|2cos2<EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)>，由cos2<EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)>≤1，可得()()≥()2，当且仅当<EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)>＝0或π时取等号，若xi＞0，则≥＝n2，所以选项A、B、D正确；设eq\o\ac(\S\UP7(→),c)＝(1，1，…，1)(n个1)，则n＝n|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)|2，()2＝(EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)eq\o\ac(\S\UP7(→),c))2＝|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)|2|eq\o\ac(\S\UP7(→),c)|2cos2<EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)，eq\o\ac(\S\UP7(→),c)>＝n|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)|2cos2<EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)，eq\o\ac(\S\UP7(→),c)>，由cos2<EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)，eq\o\ac(\S\UP7(→),c)>≤1，可得n≥()2，当且仅当<EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)，eq\o\ac(\S\UP7(→),c)>＝0或π时取等号，所以选项C错误；综上，答案选ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．文旅部在2024年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力气”“体验漂亮乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”．这些精品线路中包含上海—大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个呈现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区．为支配旅游路途，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有种．【答案】185【考点】排列组合【解析】由题意，可用间接法，总体状况为从12个景区中选3个景区EQC\o\al(\S\UP5(3),\S\DO3(12))，从7个非传统红色旅游景区中选3个景区EQC\o\al(\S\UP5(3),\S\DO3(7))，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有EQC\o\al(\S\UP5(3),\S\DO3(12))－EQC\o\al(\S\UP5(3),\S\DO3(7))＝185．14．满意等式(1－tanα)(1－tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组．【答案】(0，EQ\F(3π,4))；满意α＋β＝EQ\F(3π,4)＋kπ，k∈Z，且α，β≠EQ\F(3π,4)＋kπ，k∈Z的数组(α，β)均可．【考点】开放性试题：三角函数的公式应用【解析】由题意可知，可令α＝0，即有1－tanβ＝2，所以tanβ＝－1，则可令β＝EQ\F(3π,4)即可满意题意．15．若向量EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)满意|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)－EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)|＝EQ\R(,3)，则EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)的最小值为．【答案】－EQ\F(3,4)【考点】平面对量的综合应用【解析】法一：由题意，|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)－EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)|2＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)2＋EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)2－2EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)≥－2EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)－2EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)＝－4EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)，即3≥－4EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)，则EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)≥－EQ\F(3,4)．法二：由题意，EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)＝EQ\F(|\o\ac(\S\UP7(→),a)＋\o\ac(\S\UP7(→),b)|\S(2)－|\o\ac(\S\UP7(→),a)－\o\ac(\S\UP7(→),b)|\S(2),4)≥－EQ\F(1,4)|EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)－EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)|2＝－EQ\F(3,4)，所以EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)的最小值为－EQ\F(3,4)．16．对于函数eqf(x)＝lnx＋mx\s\up6(2)＋nx＋1，有下列4个论断：甲：函数f(x)有两个减区间；乙：函数f(x)的图象过点(1，－1)；丙：函数f(x)在x＝1处取极大值；丁：函数f(x)单调．若其中有且只有两个论断正确，则m的取值为．【答案】2【考点】逻辑推理题：函数的性质综合应用【解析】由题意可知，f′(x)＝EQ\F(1,x)＋2mx＋n＝EQ\F(2mx\S(2)＋nx＋1,x)，当x＞1时，f′(x)＝0最多有一个解，则函数f(x)最多有一个减区间，则甲错误；若乙正确，则f(1)＝m＋n＋1＝－1，即有m＋n＝－2，此时f′(x)＝EQ\F(2mx\S(2)－(2＋m)x＋1,x)＝EQ\F((2x－1)(mx－1),x)，若丙正确，则解得m＝1，所以n＝－3，而此时f(x)在x＝1处取微小值，且不单调，即与丙丁冲突；若丁正确，则m＝2，n＝－4，可满意题意；综上，乙丁正确，且m＝2．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满意3EQ\o\ac(\S\UP7(→),BD)＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),BC)与eq\o\ac(\S\UP7(→),AD)·\o\ac(\S\UP7(→),AC)＝0.(1)若b＝c，求A的值；(2)求B的最大值．【考点】解三角形与平面对量综合应用【解析】(1)因为EQ\o\ac(\S\UP7(→),AD)EQ\o\ac(\S\UP7(→),AC)＝0，所以(EQ\o\ac(\S\UP7(→),AB)＋EQ\F(1,3)EQ\o\ac(\S\UP7(→),BC))EQ\o\ac(\S\UP7(→),AC)＝0，即(EQ\F(2,3)EQ\o\ac(\S\UP7(→),AB)＋EQ\F(1,3)EQ\o\ac(\S\UP7(→),AC))EQ\o\ac(\S\UP7(→),AC)＝0，……2分所以EQ\F(2,3)bccosA＋EQ\F(1,3)b2＝0，因为b＝c，所以cosA＝－EQ\F(1,2)，……4分因为0＜A＜π，所以A＝EQ\F(2π,3)．……5分(2)因为EQ\o\ac(\S\UP7(→),AD)EQ\o\ac(\S\UP7(→),AC)＝(EQ\F(2,3)EQ\o\ac(\S\UP7(→),AB)＋EQ\F(1,3)EQ\o\ac(\S\UP7(→),AC))EQ\o\ac(\S\UP7(→),AC)＝EQ\F(2,3)bccosA＋EQ\F(1,3)b2＝0，所以b2＋c2－a2＋b2＝0，即2b2＋c2－a2＝0，……6分cosB＝EQ\F(a\S(2)＋c\S(2)－b\S(2),2ac)＝EQ\F(a\S(2)＋c\S(2)－\F(a\S(2)－c\S(2),2),2ac)＝EQ\F(\F(a\S(2),2)＋\F(3c\S(2),2),2ac)≥EQ\F(\R(,3),2)，……8分因为0＜B＜π，所以B的最大值为EQ\F(π,6)．……10分18．(12分)请在①eqa\s\do(1)＝\r(,2)；②eqa\s\do(1)＝2；③eqa\s\do(1)＝3这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前1个评分)．命题：已知数列eq{a\s\do(n)}满意an＋1＝an2，若，则当n≥2时，an≥2n恒成立．【考点】数列的通项公式求解与不等式的证明【解析】选②．证明：由an＋1＝an2，且eqa\s\do(1)＝2，所以an＞0，所以lgan＋1＝lgan，lgan＝EQ2\S\UP6(n－1)lg2，an＝EQ2\S\UP6(2\S\UP6(n－1))，……5分当n≥2时，只需证明EQ2\S\UP6(n－1)≥n，令bn＝EQ\F(n,2\S\UP6(n－1))，则bn＋1－bn＝EQ\F(n＋1,2\S\UP6(n))－EQ\F(n,2\S\UP6(n－1))＝EQ\F(1－n,2\S\UP6(n))＜0，……10分所以bn≤b2＝1，所以EQ2\S\UP6(n－1)≥n成立．综上所述，当a1＝2且n≥2时，an≥2n成立．……12分注：选②为假命题，不得分，选③参照给分．19．(12分)如图，在三棱柱eqABC－A\s\do(1)B\s\do(1)C\s\do(1)中，eqAC＝BB\s\do(1)＝2BC＝2，∠CBB\s\do(1)＝2∠CAB＝\f(π,3)，且平面ABC⊥平面eqB\s\do(1)C\s\do(1)CB.(1)求证：平面ABC⊥平面eqACB\s\do(1)；zA1A1(2)设点P为直线BC的中点，求直线eqA\s\do(1)P与平面eqACB\s\do(1)所成角的正弦值．zA1A1C1C1C1C1B1B1B1B1CCACCAyAPyAPPPEBBEBBxx第19题图【考点】立体几何中证明位置关系、求线面角的正弦值【解析】(1)证明：因为AC＝2BC＝2，所以BC＝1．因为2∠ACB＝EQ\F(π,3)，所以∠ACB＝EQ\F(π,6)．在△ABC中，EQ\F(BC,sinA)＝EQ\F(AC,sinB)，即EQ\F(1,sin\F(π,6))＝EQ\F(2,sinB)，所以sinB＝1，即AB⊥BC．……2分又因为平面ABC⊥平面eqB\s\do(1)C\s\do(1)CB，平面ABC∩平面eqB\s\do(1)C\s\do(1)CB＝BC，AB平面ABC，所以AB⊥平面eqB\s\do(1)C\s\do(1)CB．又B1C平面eqB\s\do(1)C\s\do(1)CB，所以AB⊥B1C，在△B1BC中，B1B＝2，BC＝1，∠CBB1＝EQ\F(π,3)，所以B1C2＝B1B2＋BC2－2B1BBCcosEQ\F(π,3)＝3，即B1C＝EQ\R(,3)，所以B1C⊥BC．……4分而AB⊥B1C，AB平面ABC，BC平面ABC，AB∩BC＝B，所以B1C⊥平面ABC．又B1C平面eqACB\s\do(1)，所以平面ABC⊥平面eqACB\s\do(1)．……6分(2)在平面ABC中过点C作AC的垂线CE，分别以CE，CA，CB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系：则B(EQ\F(\R(,3),2)，EQ\F(1,2)，0)，A(0，2，0)，B1(0，0，EQ\R(,3))，所以P(EQ\F(\R(,3),4)，EQ\F(1,4)，0)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),B\S\DO(1)A\S\DO(1))＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),BA)＝(－EQ\F(\R(,3),2)，EQ\F(3,2)，0)，……8分所以A1(－EQ\F(\R(,3),2)，EQ\F(3,2)，EQ\R(,3))，所以EQ\o\ac(\S\UP7(→),A\S\DO(1)P)＝(EQ\F(3\R(,3),4)，－EQ\F(5,4)，－EQ\R(,3))，平面ACB1的一个法向量为EQ\o\ac(\S\UP7(→),n)＝(1，0，0)，……10分设直线A1P与平面ACB1所成的角为α，则sinα＝|cos<EQ\o\ac(\S\UP7(→),A\S\DO(1)P)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),n)>|＝EQ\F(|\o\ac(\S\UP7(→),A\S\DO(1)P)·\o\ac(\S\UP7(→),n)|,|\o\ac(\S\UP7(→),A\S\DO(1)P)||\o\ac(\S\UP7(→),n)|)＝EQ\F(\F(3\R(,3),4),\R(,\F(27,16)＋\F(25,16)＋3))＝EQ\F(3\R(,3),10)．……12分20．(12分)如图，在平面直角坐标系eqxOy中，已知点P是抛物线eqC\s\do(1)：x\s\up6(2)＝2py(p＞0)上的一个点，其横坐标为x0，过点P作抛物线eqC\s\do(1)的切线l．(1)求直线l的斜率(用x0与p表示)；(2)若椭圆eqC\s\do(2)：\f(y\s\up6(2),2)＋x\s\up6(2)＝1过点P，l与eqC\s\do(2)的另一个交点为A，OP与eqC\s\do(2)的另一个交点为B，求证：AB⊥PB．yyPPABOxABOx【考点】圆锥曲线中抛物线与椭圆的综合应用：斜率表示、证明垂直问题【解析】(1)由x2＝2py，得y＝EQ\F(1,2p)x2，所以y′＝EQ\F(1,p)x，所以直线l的斜率为EQ\F(1,p)x0．……3分(2)设P(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，kPB＝EQ\F(y\S\DO(0),x\S\DO(0))，由(1)知kPA＝EQ\F(1,p)x0＝EQ\F(y\S\DO(0),2x\S\DO(0))，……5分设A(x1，y1)，所以EQ\F(y\S\DO(0)\s\up3(2),2)＋x02＝1，EQ\F(y\S\DO(1)\s\up3(2),2)＋x12＝1，作差得EQ\F(\b\bc\((\l(y\S\DO(0)＋y\S\DO(1)))\b\bc\((\l(y\S\DO(0)－y\S\DO(1))),2)＋(x0＋x1)(x0－x1)＝0，即EQ\F(y\S\DO(0)＋y\S\DO(1),x\S\DO(0)＋x\S\DO(1))EQ\F(y\S\DO(0)－y\S\DO(1),x\S\DO(0)－x\S\DO(1))＝－EQ\F(1,2)，所以kPAkAB＝－EQ\F(1,2)，……10分所以EQ\F(y\S\DO(0),2x\S\DO(0))kAB＝－EQ\F(1,2)，即kAB＝－EQ\F(x\S\DO(0),y\S\DO(0))，所以kPBkAB＝－1，所以AB⊥PB．……12分注：其他解法参照评分．21．(12分)运用计算机编程，设计一个将输入的正整数k“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将[0，k)中的随意一个整数替换k的值并输出k的值，反复按回车键执行以上操作直到输出k＝0后终止操作．(1)若输入的初始值k为3，记按回车键的次数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望；(2)设输入的初始值为k(k∈N*)，求运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率．【考点】随机事务的概率与期望【解析】(1)P(ξ＝3)＝EQ\F(1,3)×EQ\F(1,2)＝EQ\F(1,6)，P(ξ＝2)＝EQ\F(1,3)×EQ\F(1,2)＋EQ\F(1,3)＝EQ\F(1,2)，P(ξ＝1)＝EQ\F(1,3)，……3分则ξ的概率分布如下表：ξ123PEQ\F(1,3)EQ\F(1,2)EQ\F(1,6)所以E(ξ)＝1×EQ\F(1,3)＋2×EQ\F(1,2)＋3×EQ\F(1,6)＝EQ\F(11,6)．……5分(2)设运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率为Pn，得出Pn＝EQ\F(1,n＋1)，……7分法一：则Pn＝Pn＋1×EQ\F(1,n＋1)＋Pn＋2×EQ\F(1,n＋2)＋Pn＋3×EQ\F(1,n＋3)＋…＋Pk－1×EQ\F(1,k－1)＋EQ\F(1,k)，故0≤n≤k－2时，Pn＋1＝Pn＋2×EQ\F(1,n＋2)＋Pn＋3×EQ\F(1,n＋3)＋…＋Pk－1×EQ\F(1,k－1)＋EQ\F(1,k)，以上两式作差得，Pn－Pn＋1＝Pn＋1×EQ\F(1,n＋1)，则Pn＝Pn＋1×EQ\F(n＋2,n＋1)，……10分则Pn＋1＝Pn＋2×EQ\F(n＋3,n＋2)，Pn＋2＝Pn＋3×EQ\F(n＋4,n＋3)，…，Pk－2＝Pk－1×EQ\F(k,k－1)，则PnPn＋1Pn＋2…Pk－1＝Pn＋1Pn＋2Pn＋3…Pk－1×EQ\F(n＋2,n＋1)×EQ\F(n＋3,n＋2)×EQ\F(n＋4,n＋3)×…×EQ\F(k,k－1)，化简得Pn＝Pk－1×EQ\F(k,n＋1)，而Pk－1＝EQ\F(1,k)，故Pn＝EQ\F(1,n＋1)，又n＝k－1时，Pn＝EQ\F(1,n＋1)也成立，故Pn＝EQ\F(1,n＋1)(0≤n≤k－1)．……12分法二：同法一得Pn＝Pn＋1×EQ\F(n＋2,n＋1)，……9分则P0＝P1×EQ\F(2,1)，P1＝P2×EQ\F(3,2)，P2＝P3×EQ\F(4,3)，…，Pn－1＝Pn×EQ\F(n＋1,n)，则P0P1P2…Pn－1＝P0P1P2…Pn×EQ\F(2,1)×EQ\F(3,2)×EQ\F(4,3)×…×EQ\F(n＋1,n)，化简得P0＝Pn×