高中数学一轮复习课时作业梯级练三十八等差数列及其前n项和课时作业理含解析新人教A版

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业梯级练三十八等差数列及其前n项和一、选择题(每小题5分,共25分)1.若等差数列{an}的公差为d,则数列{QUOTE}是 ()A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列C.公差为nd的等差数列D.非等差数列〖解析〗选B.数列{QUOTE}其实就是a1,a3,a5,a7,…,奇数项组成的数列,它们之间相差2d.2.(2021·安顺模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=51,则2a10-a11= ()A.2B.3C.4D.6〖解析〗选B.因为S17=51,所以QUOTE=51,a1+a17=6=2a9,解得a9=3,则2a10-a11=a9=3.3.已知QUOTE是等差数列,且a2+a5+a8+a11=48,则a6+a7= ()A.12 B.16 C.20 〖解析〗选D.由等差数列的性质可得a2+a5+a8+a11=2(a6+a7)=48,则a6+a7=24.4.(2021·贵阳模拟)在等差数列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最小值时的n的值为 ()A.6 B.7 C.8 〖解析〗选C.因为在等差数列{an}中,|a6|=|a11|,所以a6<0,a11>0,a6=-a11,a1=-QUOTEd,有Sn=QUOTE〖(n-8)2-64〗,所以当n=8时前n项和取最小值.5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S13<0,S12>0,则在数列中绝对值最小的项为 ()A.第5项 B.第6项C.第7项 D.第8项〖解析〗选C.根据等差数列{an}的前n项和公式Sn=QUOTE,因为QUOTE所以QUOTE由QUOTE得QUOTE所以数列{an}中绝对值最小的项为第7项.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·开封模拟)已知QUOTE是公差不为零的等差数列,且a1+a10=a9,则QUOTE=.

〖解析〗由条件可知2a1+9d=a1+8d,整理得a1=-d,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.〖答案〗:QUOTE7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将2至2019这2018个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列QUOTE,则此数列的项数为.

〖解析〗由能被2除余1且被3除余1的数就是能被6除余1的数,故an=6n-5.因为an=6n-5≤2019,解得n≤337QUOTE,n∈N*,n=1时,an=1,不是数列中的项,所以数列的项数为337-1=336.〖答案〗:3368.记Sn为等差数列QUOTE的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则QUOTE=.

〖解析〗设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4.〖答案〗:4〖一题多解〗考虑到题型问题,可令a1=1,则a2=3,即d=2,从而S5=5a1+QUOTE×d=5+20=25,S10=10a1+QUOTE×d=10+90=100,故QUOTE=4.〖答案〗:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知QUOTE是等差数列,其前n项和为Sn,且满足S5=30,a1=2.(1)求数列QUOTE的通项公式;(2)设bn=QUOTE,求数列QUOTE的前n项和Tn.〖解析〗(1)设等差数列QUOTE的公差为d,由等差数列的性质可得S5=5a3=30,则a3=6,则a3-a1=2d,即d=2,所以数列QUOTE的通项公式为an=2n(n∈N*);(2)Sn=QUOTE=n2+n,bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,Tn=b1+b2+…+bn=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.10.已知等差数列QUOTE满足:a3=7,a5+a7=26,QUOTE的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=QUOTE(n∈N*),求数列QUOTE的前n项和Tn.〖解析〗(1)设等差数列QUOTE的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以有QUOTE解得a1=3,d=2,所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+QUOTE×2=n2+2n.(2)由(1)知,an=2n+1,所以bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE(QUOTE-QUOTE),所以Tn=QUOTE=QUOTE=QUOTE.即数列QUOTE的前n项和为Tn=QUOTE.1.(2021·长沙模拟)数列QUOTE是等差数列,且a1=1,a3=-QUOTE,那么a5= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.5 D.-5〖解析〗选B.由于数列QUOTE是等差数列,所以QUOTE+QUOTE=2×QUOTE,又a1=1,a3=-QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=2×QUOTE,解得a5=-QUOTE.2.等差数列QUOTE与QUOTE的前n项和分别为Sn与Tn,若QUOTE=QUOTE,则QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选A.由QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,故QUOTE=QUOTE.3.(2021·北京模拟)已知Sn是等差数列QUOTE(n∈N*)的前n项和,且S5>S6>S4,以下有四个命题:①数列QUOTE中的最大项为S10;②数列QUOTE的公差d<0;③S10>0;④S11<0.其中正确的序号是 ()A.②③ B.②③④ C.②④ D.①③④〖解析〗选B.因为S5>S6>S4,所以a6<0,a5+a6>0,所以a5>0,d<0,所以数列QUOTE中的最大项为S5,S10=QUOTE=5QUOTE>0,S11=QUOTE=11a6<0,所以正确的序号是②③④.4.在数列QUOTE中a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求证:数列QUOTE是等差数列;(2)求数列QUOTE的前n项和Sn.〖解析〗(1)nan+1-(n+1)an=2n2+2n的两边同除以n(n+1),得QUOTE-QUOTE=2,又QUOTE=4,所以数列QUOTE是首项为4,公差为2的等差数列.(2)由(1)得QUOTE=a1+2(n-1),即QUOTE=2n+2,所以an=2n2+2n,故QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以Sn=QUOTE=QUOTE=QUOTE.〖加练备选·拔高〗已知数列QUOTE的首项a1=3,通项an与前n项和Sn之间满足2an=Sn·Sn-1(n≥2).(1)求证:数列QUOTE是等差数列,并求公差;(2)求数列QUOTE的通项公式.〖解析〗(1)因为n≥2时,an=Sn-Sn-1,所以2QUOTE=SnSn-1,所以QUOTE-QUOTE=-QUOTE.所以QUOTE为等差数列且首项为QUOTE,公差为-QUOTE.(2)由(1)知QUOTE=QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以Sn=QUOTE,an=QUOTE-QUOTE(n≥2),a1=3不满足上式,故an=QUOTE,整理得an=QUOTE.5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(1)求证:QUOTE-an=λ.(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.〖解析〗(1)由题设,anan+1=λSn-1,知an+1QUOTE=λSn+1-1.两式相减得,an+1(QUOTE-an)=λan+1.由于an+1≠0,所以QUOTE-an=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故QUOTE-an=4,由此可得,{QUOTE}是首项为1,公差为4的等差数列,QUOTE=1+(n-1)·4=4n-3=2(2n-1)-1;{QUOTE}是首项为3,公差为4的等差数列,QUOTE=3+(n-1)·4=4n-1=2×(2n)-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.1.已知数列QUOTE的通项公式为an=26-2n,要使数列QUOTE的前n项和Sn最大,则n的值为 ()A.14 B.13或14C.12或11 D.13或12〖解析〗选D.因为an=26-2n,所以数列QUOTE是以a1=24为首项,公差d=-2的等差数列,所以Sn=na1+QUOTEd=-n2+25n.由二次函数的性质可得:当n=13或12时Sn最大.2.(2020·潍坊模拟)已知数列QUOTE,定义数列QUOTE为数列QUOTE的“2倍差数列”,若QUOTE的“2倍差数列”通项公式为an+1-2an=2n+1,且a1=2,若函数QUOTE的前n项和为Sn,则S33= ()A.238+1 B.239+2C.238+2 D.239〖解析〗选B.根据题意得an+1-2an=2n+1,a1=2,所以QUOTE-QUOTE=1,所以数列QUOTE表示首项为1,公差d=1的等差数列,所以QUOTE=1+QUOTE=n,所以an=n·2n,所以Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,所以2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,所以-Sn=2+22+23+24+…+2n-n·2n+1=QUOTE-n·2n+1=-2+2n+1-n·2n+1=-2+QUOTE2n+1,所以Sn=QUOTE2n+1+2,S33=QUOTE233+1+2=239+2.〖加练备选·拔高〗项数为n的数列a1,a2,a3,…,an的前k项和为Sk(k=1,2,3,…,n),定义QUOTE为该项数列的“凯森和”,如果项数为99项的数列a1,a2,a3,…,a99的“凯森和”为1000,那么项数为100的数列100,a1,a2,a3,…,a99的“凯森和”为 ()A.991 B.1001C.1090 D.1100〖解析〗选C.项数为99项的数列a1,a2,a3,…,a99的“凯森和”为1000,所以QUOTE=1000,又100,a1,a2,a3,…,a99的“凯森和”为QUOTE=100+QUOTE=100+990=1090.课时作业梯级练三十八等差数列及其前n项和一、选择题(每小题5分,共25分)1.若等差数列{an}的公差为d,则数列{QUOTE}是 ()A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列C.公差为nd的等差数列D.非等差数列〖解析〗选B.数列{QUOTE}其实就是a1,a3,a5,a7,…,奇数项组成的数列,它们之间相差2d.2.(2021·安顺模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=51,则2a10-a11= ()A.2B.3C.4D.6〖解析〗选B.因为S17=51,所以QUOTE=51,a1+a17=6=2a9,解得a9=3,则2a10-a11=a9=3.3.已知QUOTE是等差数列,且a2+a5+a8+a11=48,则a6+a7= ()A.12 B.16 C.20 〖解析〗选D.由等差数列的性质可得a2+a5+a8+a11=2(a6+a7)=48,则a6+a7=24.4.(2021·贵阳模拟)在等差数列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最小值时的n的值为 ()A.6 B.7 C.8 〖解析〗选C.因为在等差数列{an}中,|a6|=|a11|,所以a6<0,a11>0,a6=-a11,a1=-QUOTEd,有Sn=QUOTE〖(n-8)2-64〗,所以当n=8时前n项和取最小值.5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S13<0,S12>0,则在数列中绝对值最小的项为 ()A.第5项 B.第6项C.第7项 D.第8项〖解析〗选C.根据等差数列{an}的前n项和公式Sn=QUOTE,因为QUOTE所以QUOTE由QUOTE得QUOTE所以数列{an}中绝对值最小的项为第7项.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·开封模拟)已知QUOTE是公差不为零的等差数列,且a1+a10=a9,则QUOTE=.

〖解析〗由条件可知2a1+9d=a1+8d,整理得a1=-d,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.〖答案〗:QUOTE7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将2至2019这2018个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列QUOTE,则此数列的项数为.

〖解析〗由能被2除余1且被3除余1的数就是能被6除余1的数,故an=6n-5.因为an=6n-5≤2019,解得n≤337QUOTE,n∈N*,n=1时,an=1,不是数列中的项,所以数列的项数为337-1=336.〖答案〗:3368.记Sn为等差数列QUOTE的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则QUOTE=.

〖解析〗设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4.〖答案〗:4〖一题多解〗考虑到题型问题,可令a1=1,则a2=3,即d=2,从而S5=5a1+QUOTE×d=5+20=25,S10=10a1+QUOTE×d=10+90=100,故QUOTE=4.〖答案〗:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知QUOTE是等差数列,其前n项和为Sn,且满足S5=30,a1=2.(1)求数列QUOTE的通项公式;(2)设bn=QUOTE,求数列QUOTE的前n项和Tn.〖解析〗(1)设等差数列QUOTE的公差为d,由等差数列的性质可得S5=5a3=30,则a3=6,则a3-a1=2d,即d=2,所以数列QUOTE的通项公式为an=2n(n∈N*);(2)Sn=QUOTE=n2+n,bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,Tn=b1+b2+…+bn=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.10.已知等差数列QUOTE满足:a3=7,a5+a7=26,QUOTE的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=QUOTE(n∈N*),求数列QUOTE的前n项和Tn.〖解析〗(1)设等差数列QUOTE的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以有QUOTE解得a1=3,d=2,所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+QUOTE×2=n2+2n.(2)由(1)知,an=2n+1,所以bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE(QUOTE-QUOTE),所以Tn=QUOTE=QUOTE=QUOTE.即数列QUOTE的前n项和为Tn=QUOTE.1.(2021·长沙模拟)数列QUOTE是等差数列,且a1=1,a3=-QUOTE,那么a5= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.5 D.-5〖解析〗选B.由于数列QUOTE是等差数列,所以QUOTE+QUOTE=2×QUOTE,又a1=1,a3=-QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=2×QUOTE,解得a5=-QUOTE.2.等差数列QUOTE与QUOTE的前n项和分别为Sn与Tn,若QUOTE=QUOTE,则QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选A.由QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,故QUOTE=QUOTE.3.(2021·北京模拟)已知Sn是等差数列QUOTE(n∈N*)的前n项和,且S5>S6>S4,以下有四个命题:①数列QUOTE中的最大项为S10;②数列QUOTE的公差d<0;③S10>0;④S11<0.其中正确的序号是 ()A.②③ B.②③④ C.②④ D.①③④〖解析〗选B.因为S5>S6>S4,所以a6<0,a5+a6>0,所以a5>0,d<0,所以数列QUOTE中的最大项为S5,S10=QUOTE=5QUOTE>0,S11=QUOTE=11a6<0,所以正确的序号是②③④.4.在数列QUOTE中a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求证:数列QUOTE是等差数列;(2)求数列QUOTE的前n项和Sn.〖解析〗(1)nan+1-(n+1)an=2n2+2n的两边同除以n(n+1),得QUOTE-QUOTE=2,又QUOTE=4,所以数列QUOTE是首项为4,公差为2的等差数列.(2)由(1)得QUOTE=a1+2(n-1),即QUOTE=2n+2,所以an=2n2+2n,故QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以Sn=QUOTE=QUOTE=QUOTE.〖加练备选·拔高〗已知数列QUOTE的首项a1=3,通项an与前n项和Sn之间满足2an=Sn·Sn-1(n≥2).(1)求证:数列QUOTE是等差数列,并求公差;(2)求数列QUOTE的通项公式.〖解析〗(1)因为n≥2时,an=Sn-Sn-1,所以2QUOTE=SnSn-1,所以QUOTE-QUOTE=-QUOTE.所以QUOTE为等差数列且首项为QUOTE,公差为-QUOTE.(2)由(1)知QUOTE=QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以Sn=QUOTE,an=QUOTE-QUOTE(n≥2),a1=3不满足上式,故an=QUOTE,整理得an=QUOTE.5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(1)求证:QUOTE-an=λ.(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.〖解析〗(1)由题设,anan+1=λSn-1,知an+1QUOTE=λSn+1-1.两式相减得,an+1(QUOTE-an)=λan+1.由于an+1≠0,所以QUOTE-an=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故QUOTE-an=4,由此可得,{QUOTE}是首项为1,公差为4的等差数列,QUOTE=1+(n-1)·4=4n-3=2(2n-1)-1;{QUOTE}是首项为3,公差为4的等差数列,QUOTE=3+(n-1)·4=4n-1=2×(2n)-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.因此存在λ=4,使得