2024年天津市高考数学真题试卷及答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ150120Ⅰ卷1至3页，第卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：PABPAPBBB如果事件如果事件互斥，那么．PPAPB相互独立，那么．4VR33球的体积公式，其中R表示球的半径．1VSh3Sh，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高．圆锥的体积公式一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A4，B4,5AB1.（）4441D.A.a,bR2.设，则“a3b3”“ab”的（）A.充分不必要条件必要不充分条件充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中，相关性系数最大的是（）第1共页A.D.4.下列函数是偶函数的是（）xx12xx2exxx1sinx4xeyyyA.yD.D.22x1e|x|xa0.3b4.20.3c，，c5.若的大小关系为（）4.2A.abcbaccabbcam,n为两条不同的直线，6.若为一个平面，则下列结论中正确的是（）nmnm//,n//mnA若m//，若D.若m//,nmnm//,nmn与若π3ππ126fxsin3x7.已知函数0的最小正周期为π．则函数在,的最小值是（）32323A.0D.2x22y22a，bF、F.P28.双曲线）12ab．△1F是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（2x2y2x2y2x2y2x2y2111D.1A.828428489.一个五面体．已知AD∥∥，且两两之间距离为1．并已知CF3．则该五面体的体积为（）第2共页333412333412A.D.62第卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．______．5i510.i是虚数单位，复数633x在展开式中，常数项为______．x33(x2y的距离为______．,B,C,D,E2的圆心与抛物线y22px(p的焦点FA12.13.1A的概率为______A活动，他再选择B活动的概率为______．,，则1214.在边长为1的正方形中，点E为线段CD的三等分点，CE______F为线段上的动点，G为中点，则AFDG的最小值为______．15.若函数fx2x2axax21有唯一零点，则a取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第3共页9a23cosBb，16.在．ca1）求；2）求A；cosB2A．3）求ABCD为梯形，//AA，ADAB，17.已知四棱柱，11111NBC的中点，M是的中点．111．是111N//1M1）求证；2）求平面1M与平面CC的夹角余弦值；13）求点B到平面1M的距离．x22y2212ab椭圆的离心率e，C是线段18.已知椭圆A的中点，ab332△ABC．1）求椭圆方程．32Qy02的动直线与椭圆有两个交点轴上是否存在点T存在求出这个T点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．1．S23anSa是公比大于0的等比数列．其前项和为n119.已知数列nanS；n1）求数列前nk,nkbnb112）设，，其中是大于1的正整数．kb2k,knk1n1nak1时，求证：n1akbⅰ；n第4共页Snbiⅱ．i1fxx20.设函数1）求．f1处的切线方程；fx图象上点时恒成立，求取值范围；fxaxxxa2）若3）若在1x,2fxfx122．112第5共页2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ150120Ⅰ卷1至3页，第卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：PABPAPBBB如果事件如果事件互斥，那么．PPAPB相互独立，那么．4VR33球的体积公式，其中R表示球的半径．1VSh3Sh，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高．圆锥的体积公式一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A4，B4,5AB1.（）4441D.A.【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.A4，B4,5【详解】因为集合，AB2,3,4，第6共页故选：Ba,bR2.设，则“a3b3”“ab）A.充分不必要条件充要条件【答案】C必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.3b3和3a3bab都当且仅当.a故选：3.下列图中，相关性系数最大的是（）A.D.【答案】A【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较r好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.故选：A4.下列函数是偶函数的是（）sinx4xexx12xx2exxx1yyyD.A.yx22x1e|x|【答案】B第7共页【解析】【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.exx2e11e1f1f1，AfxRf，fx2122故A错误；xx2对gx，函数定义域为R，2x12xxxx2且gx为偶函数，故B正确；gxgxx2x211exx，函数定义域为x|xhx不是偶函数，故C错误；对hx，不关于原点对称，则x1sinx4xsin14sin14对Dx，因为，，函数定义域为R，e|x|ee11则x不是偶函数，故D错误.故选：a0.3b4.20.3c，，c的大小关系为（5.若）4.2A.abc【答案】B【解析】baccabD.bca【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.y4.2x在R上递增，且0，【详解】因为04.2，00a1b，014.2ylogx在)上递增，且01，10c0，bac，故选：Bm,n为两条不同的直线，6.若为一个平面，则下列结论中正确的是（）m//,n//A.若m//，nmn若mn第8共页m//,nmnm//,nmn与若D.若【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB的正误，根据线面垂直的性质可判断的正误.nm,n【详解】对于Am//，平行或异面，故A错误.m//,n//n平行或异面或相交，故B错误.m//,nm作平面，使得smnC正确.，，msnsm//sm//,nmn与相交或异面，故D错误.D故选：C.π3ππ126fxsin3x7.已知函数0的最小正周期为π．则函数在,的最小值是（）32323A.0D.2【答案】A【解析】ππfxsin2xx,时，2x6的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.π32π2fxsin3x【详解】sinxπsin3xTπ得，3ππ6ππfxsin2xx,2x,即，63fxsin2x图象，如下图，ππ126fxsin2x,由图可知，在上递减，π6π3xfxsin所以，当32第9共页故选：Ax22y22a，bF、F.P28.双曲线）12ab．△1F是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（2x2y2x2y2x2y2x2y2111D.1A.82842848【答案】C【解析】2m【分析】可利用△1F三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设m，2ca由勾股定理得出，结合第一定义再求出.FPF2m【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，，，122F,Fktan12，求得sin12211122511Fk，所以k21，求得ktan2，1211221sin2::FFsin:sin:sin902:1:5，121212，由正弦定理可得：52mm,FFcm，得112121SPFPFm2m8得m22，12由PF12222,42,FFc210,c则，2112a22由双曲线第一定义可得：，a2,bc2a28，12x2y21.所以双曲线的方程为28故选：C9.一个五面体．已知AD∥∥，且两两之间距离为1．并已知CF3．则该五面体的体积为（）333412333412A.D.62【答案】C【解析】【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，D,NE,M;F,L；重合，ADBE3AD∥∥，且两两之间距离为1．，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314，11133VABCV4.ABC22222故选：第卷第共页注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．______．5i510.i是虚数单位，复数【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.5i55227【详解】.故答案为：7.633x在的展开式中，常数项为______．x33【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.6r36rx33x3Tr1Cr662rCr6x6r3,r,6，【详解】因为的展开式的通项为x33x336r30，可得r3，令所以常数项为30C3620.故答案为：20.(x2y2的圆心与抛物线y2px(p的焦点FA212.的距离为______．4【答案】##5【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及的方程，从而可求原点到直线的距离.p(x2y2的圆心为F01即p2，【详解】圆22x1y2x或2x240x4x62由故y4x243A4x14x3y404x3y40:y，故直线即或，4545故原点到直线的距离为d，4故答案为：5,B,C,D,E13.1A的概率为______A活动，他再选择B活动的概率为______．312【答案】【解析】.②.5【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A活动，他再选择B活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,共10种情况，ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,其中甲选到A有6种可能性：，63P则甲选到A得概率为：；105ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,A活动有6种可能性：其中再选则B有3种可能性：，ABC,ABD,ABE，31故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为=.62解法二：设甲、乙选到A为事件M，乙选到B为事件N，CC243535PM则甲选到A的概率为；C133PPMC12PNM5乙选了A活动，他再选择B活动的概率为CC2435312故答案为：；5,，则1214.在边长为1的正方形中，点E为线段CD的三等分点，CE______F为线段上的动点，G为中点，则AFDG的最小值为______．435.【答案】【解析】.18,BE为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得【分析】解法一：以，设kBE，求AF,AFDGBE，1Fa,a,a,0即可得AF,，结合数量积的坐标运算求AFDG的最小值.312313CECECE【详解】解法一：因为，2431,1，所以；30由题意可知：，1F为线段上的动点，设BFkBEkBAkBC,k0,1，313AFABBFABkBEk1BAkBC则，1112312DAAGBCAFk1BAk1BC又因为G为中点，则，211112k1kk1k132322112312563k1kk1k，95105k又因为，可知：当k1AFDG取到最小值；18解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，13A1,0,B0,0,C0,1,D,E,1则，13BA1,0,BC0,1,BE,1，143,，所以3；1131Fa,a,a:y3x,x,0,0，因为点F在线段上，设3a13且G为中点，则G,a，22a123AFaa,,a1，222a13223aa15a则AF，251013513a,0，所以当aAFDG取到最小值为；且18435故答案为：；.1815.若函数fx2x2axax21有唯一零点，则的取值范围为______．a33,1【答案】【解析】2a2ax2x2与hx【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数gx，则1,xa0、a0与a0a0xa或x0，a2y轴右侧无交点的情况a0,2y计算可得即可得；当a0时，按同一方式讨论即可得.fx02x21，2【详解】令由题可得x20，2xR2x2211x当a0，不符合要求，舍去；22xa2aa02x221当时，则，1,x2a2ax即函数gx2x2与函数hx有唯一交点，1,xxa或x02x由x20，可得，当x0时，则202211，41ax2，整理得24a2x2212ax12ax10，即4x1当a2时，即4x10x，412a12aa2xx0当，或11ax0或x0，有两解，舍去，当2a2a0,22x2210在x0时有唯一解，aa0,22x2210在xa时需无解，a0,2xa当2a2ax213hxhxx0xx或由函数对称，令，可得，aaa1,x12aa23aa且函数在hx,,上单调递减，在上单调递增，2ax222ygxy2x21，令a2a42xy21axagx图象为双曲线x右支的轴上方部分向右平移所得，故由a2a224x2aay21的渐近线方程为yx2xa2a2，24a2即部分的渐近线方程为y2xgx，其斜率为2，2a2ax2又时的斜率a2，a0,2hxx在a1,x令gx2x20，可得xa或x0且函数在,上单调递增，gx1aaa3，解得1a3，故1a3符合要求；a2xa2a02x221当时，则，1,x2a2ax即函数gx2x2与函数hx有唯一交点，1,xx0xa或，由x20，可得当x0时，则202x2211，4x41ax2，整理得4a22212x2ax12ax10，即1当a2时，即4x10x，412a12aa2,0，x0x0，当当（负值舍去）或11a,2x0x0或，有两解，舍去，2a2aa2,02x2210在x0时有唯一解，a2,02x210在xa2时需无解，a2,0xa当2x213a2ahxhxx或x0x由函数对称，令，可得，aaa1,x21aa32aa且函数在hx,,上单调递减，在上单调递增，2xy21axa图象为双曲线gxx左支的轴上方部分向左平移所得，同理可得：a2a224a2渐近线方程为gx，其斜率为2，y2x的2x2a2aa2,0hxa时的斜率2,0，x又在a1,x令gx2x20，可得xa或x0且函数在,a上单调递减，gx1aaa33a13a1符合要求；，解得a.a3,13综上所述，故答案为：3,13.fxgx2x与函数2【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数2a2axhx的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.1,x三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9a23cosBb，16.在．ca1）求；2）求A；cosB2A．3）求【答案】（）472）3）45764【解析】at,ct），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；2）法一：求出BA，则得到sinA，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出；3）法一：根据大边对大角确定A为锐角，则得到法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】A，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；at,ct，t0设，则根据余弦定理得b2a2c2B，925t2t22tt，解得t2即则16a4,c6.【小问2详解】9257法一：因为B为三角形内角，所以sinB12B1，45ab7再根据正弦定理得sinA57，解得A，sinAsinB4b2c2a252624234法二：由余弦定理得cosA，bc2562347AπsinA14【小问3详解】9π2BπcosB0B法一：因为，所以，1657由（2）法一知sinB，162734abABA1，所以，4324733718则sin2A2sinAA2，2A22A12144819573757B2ABcos2AsinBsin2A.816168647337法二：sin2A2sinAA2，44823182A22A121则4，9257B为三角形内角，所以sinB12B1，9157375716816B2ABcos2AsinBsin2A864ABCD为梯形，//AA，ADAB，17.已知四棱柱，11111NBC的中点，M是的中点．111．是111N//1M1）求证；2）求平面1M与平面CC的夹角余弦值；13）求点B到平面1M【答案】（）证明见解析的距离．22）3）2【解析】CB1P，连接NP，1，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证；2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取CB1P，连接NP，，12CC，1NBCNP//NP由是的中点，故11111DMCC1MCC，1由M是的中点，故1111221MNP、1MNP，11N//，故四边形是平行四边形，故又1M，1N1M，故1N//1M；【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，B0MC0C2，A0,0,0B2,0,2有、、、、、111,2CM0,1、10,0,2CB、，1nx,y,zx,y,z、，1222设平面1M与平面CC的法向量分别为m111mCBxyz0nCBx2y22z2011111，，mCMxz0n2z01112y3xx1z11、y21z，20，分别取，则有、121mn0、，即则mn,n131911122211mn，2故平面1M与平面CC的夹角余弦值为；1【小问3详解】m0,0,2，平面1M由的法向量为，，1m221m1912B到平面1M的距离为.x22y2212ab椭圆的离心率e，C是线段18.已知椭圆A的中点，ab332△ABC．1）求椭圆方程．32Qy0轴上是否存在点T2的动直线与椭圆有两个交点存在求出这个T点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．x2y21【答案】（）90恒成立.32Tt3t2）存在，使得【解析】）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.32yPx,y,Qx,y,Tt2，，1122k,t0t的范围.合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用TPTQ，再根据【小问1详解】1eacc，其中为半焦距，c因为椭圆的离心率为，b2c13332Ac,0,Bc,C2c△c，222x2y23，所以a23，b31.故c，故椭圆方程为：9【小问2详解】3232y若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，2Px,y,Qx,y,Tt设由，112223x4y34kx12270，2232y12k34k2734k324576kΔ144k210834k220xx,xx,故而且122122TPt,TQ1,1x2,y2t，33TPTQxxytytxxtt故12121212222323221k22xxktxxt12122734k312k321kktt2234k2232227k218k212k2t3t3tk234k2232232t22tk3t，34k2t03t33t，解得0恒成立，故2.33t02232P0,3,Q3P3,Q0,3或若过点的动直线的斜率不存在，则，323t33t此时需，两者结合可得.0恒成立.32Tt3t综上，存在，使得【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.S231．anSa是公比大于0的等比数列．其前项和为n119.已知数列nanS；n1）求数列前nk,nkbb12）设ⅰⅱ，，其中是大于1的正整数．knb2k,knk11n1nak1时，求证：n1akb；nSnbi．i1Snn1【答案】（）n141nSn2）①证明见详解；②i9i1【解析】q0，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求qa1）设等比数列和公式分析求解；的公比为na21k1,nk1，bk21，利用作差法分析证明；②根据题意结合k2）①根据题意分析可知kn12k1i1k14kk1k44等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解.k9i2【小问1详解】q0，a设等比数列的公比为naSa1aaa1，123123可得1qq21，整理得qq20，解得q=2或q1212nSn2n1.12【小问2详解】2n1kk2，ani）由（1）可知k1k1n1k22当nk12k4时，则akn1ak1n1a1ak1k12k1,nk1a，kn1ak1k12kk2k2k11k21k，k11k2kkk20，babk2k1k12kk12kn1knk2当且仅当时，等号成立，bn1akb；nS2nn1n11，ii）由（1）可知：Sb1若n1；11n2ak1k2k1若，i21ii1kkb，可知为等差数列，i当2k1k111k122k221ik2k1kk4k1k14kk44k1，k19i2n14n1S1nbi154224843542n14nn44n1，99i1n14nS1n且n1，符合上式，综上所述：i.9i1i21ii1kkb，可知为等差数列；i【点睛】关键点点睛：分析可知当2k12k11ik14kk1k44.根据等差数列求和分析可得k19i2fxx20.设函数1）求．f1处的切线方程；fx图象上点时恒成立，求的取值范围；fxaxxxa2）若3）若在1x,2fxfx122．112【答案】（）yx122）3）证明过程见解析【解析】）直接使用导数的几何意义；2）先由题设条件得到a2，再证明a2时条件满足；fx3）先确定的单调性，再对x,x分类讨论.12【小问1详解】fxx1.fxxxf10，f11，所以所求的切线经过，且斜率为1，故其方程为yx1.【小问2详解】1t1htt1t0t1htht0.ht10设，从而当时t1时tththth1上递增，这就说明t1t，且等号成立当且仅当在上递减，在t1.gtat12lnt设111xa2lnx