2025年高考数学一轮复习-第十一章-第二节-二项式定理【导学案】

PAGE第十一章-第二节-二项式定理【课标解读】【课程标准】1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【核心素养】数学抽象、数学运算.【命题说明】考向考法高考命题常以二项式为载体,考查二项式定理、二项式系数、某一项的系数、二项式系数的性质;二项式定理是高考热点,常以选择题的形式出现.预测预计2025年二项式定理仍会出题,但形式比较灵活.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n=

Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnnbn((2)二项展开式的通项:Tk+1=Cnkan-kbk,它表示通项为展开式的第(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数Cn0,Cn微点拨1.二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.微思考某项的二项式系数与某项的系数相等吗?提示:不一定相等.2.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)最大值:当n是偶数时,中间的一项Cnn2取得最大值;当n是奇数时,中间的两项Cn常用结论1.Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn12.Cn+1m=C基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12431.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)Cnkan-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.(×提示:由二项展开式的通项可知,Cnkan-kbk是(a+b)n的展开式中的第(2)(a+b)n的展开式中各项的二项式系数与a,b无关.(√)提示:因为(a+b)n的展开式中各项的二项式系数为Cn0,Cn(3)通项Tk+1=Cnkan-kbk中的a和b不能互换.(提示:由二项展开式的通项公式可知:通项公式Tk+1=Cnkan-kbk中的(4)二项式的展开式中系数最大的项与二项式系数最大项是相同的.(×)提示:由二项展开式某一项的系数与某一项的二项式系数的定义可知(4)错误.2.(选修第三册P31练习T4)(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是()A.Cnm BC.Cnm-1 D.【解析】选D.(x-y)n的展开式中,第m项为Tm=Cnm-1xn-m+1·(-y)m-1=(-1)m-1·Cnm-1xn所以第m项的系数为(-1)m-1Cn3.(2023·北京高考)(2x-1x)A.-40 B.40 C.-80 D.80【解析】选D.由二项式定理可知(2x-1Tr+1=C5r(2x)5-r(-1x)r=(-1)r25-r令5-2r=1,可得r=2,即含x的项为第3项,所以T3=80x,故x的系数为80.4.(混淆二项式系数与项的系数)(1-2x)8展开式中x项的二项式系数为()A.28 B.-28 C.112 D.-112【解析】选A.(1-2x)8展开式的通项公式为Tk+1=C8k(-2x)k=(-2)k要求x项的二项式系数,只需k2=1,解得k所以x项的二项式系数为C82=8×7【核心考点·分类突破】考点一通项公式的应用角度1形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项[例1](1)设1+xn=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a2=a3,则n=(A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选A.(1+x)n展开式第r+1项Tr+1=Cnrxr,因为a2=a3,所以Cn所以n=2+3=5.(2)(2023·南昌模拟)在(2x+1)4的展开式中,x2的系数为.(用数字作答)

【解析】(2x+1)4的展开式通项为Tr+1=C4r2x4-r,令r=2,得T故x2的系数为24.答案:24解题技法形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项的求解策略(1)写出并化简通项;(2)令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1;(3)代入通项即可得出结论.对点训练1.(2024·扬州模拟)(xlog43+【解析】(xlog43+log3=(log43)4-r·(log32令4-2r=0,解得r=2,则T3=(12log23)2·所以(xlog4答案:32.在二项式(2+x)9的展开式中,常数项是;系数为有理数的项的个数是.

【解析】由题意得,(2+x)9的通项为Tk+1=C9k(2)9-k·xk(k=0,1,2,…,9).当k=0时,可得常数项为T1=C90(2)9=162.若展开式的系数为有理数,则k=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T答案:1625【补偿训练】(x2-2x)5的展开式中x4的系数为(A.10 B.20 C.40 D.80【解析】选C.由题意可得Tk+1=C5k·(x2)5-k·(-2x)k=(-1)kC令10-3k=4,则k=2,所以所求系数为(-1)2C52·22角度2形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式问题[例2](2024·新高考Ⅰ卷)(1-yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为(用数字作答)【解析】因为1-yx(x+y)8=(x+y)8-yx(x+所以1-yx(x+y)8的展开式中含x2y6的项为C86x2y6-yxC85x3y5=-28x2y6,故(1-yx)(x+答案:-28解题技法形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式问题的求解策略(1)若m,n中有一个比较小,可先考虑将其展开,再结合题设要求逐项求出,求其代数和即可得出结论;(2)观察(a+b)(c+d)是否可以化成两项或三项代数和,进而求解.对点训练(2024·北海模拟)(1+2x)(1+x)3展开式中,x2的系数为()A.3 B.6 C.9 D.12【解析】选C.(1+2x)(1+x)3=(1+2x)(1+3x+3x2+x3),故x2的系数为3+6=9.角度3形如(a+b+c)n(n∈N*)的展开式问题[例3](x2-x+1)10的展开式中x3的系数为()A.-210 B.210 C.30 D.-30【解析】选A.方法一:(x2-x+1)10的展开式中含x3项的构成有以下几种可能:①1个x2,1个(-x),8个1,所得项为C101x2·C91(-x)·C88②3个(-x),7个1,所得项为C103(-x)3·C7717=-120x3.所以方法二:(x2-x+1)10=[1+(x2-x)]10,展开式的通项为Tk+1=C10k(x2-x)k(k=0,1,2,3,…,10),要使(x2-x+1)10的展开式中含x3,则需要(x2-x)k的展开式中出现x3,而(x2-x)k展开式的通项为Tr+1=Ckrx2(k-r)(-x)r=(-1)rCkrx2k-k=3,r=3时满足题意,即(x2-x+1)10(-1)1C102C21解题技法求形如(a+b+c)n展开式中特定项的方法对点训练(x+y-2z)5的展开式中,xy2z2的系数是()A.120 B.-120 C.60 D.30【解析】选A.由题意知(x+y-2z)5=[(x+y)-2z]5,展开式的第k+1项为C5k(x+y)5-k(-2z)令k=2,可得第3项为(-2)2C52(x+y)3z(x+y)3的展开式的第m+1项为C3mx令m=2,可得第3项为C32xy2,所以(x+y-2z)5的展开式中,xy2z2的系数是(-2)2C【补偿训练】(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30 D.60【解析】选C.方法一:由二项展开式通项易知Tk+1=C5k(x2+x)5-kyk,令k=2,则T3=C52(x2+x)3y2,对于二项式(x2+x)3,展开式的通项为Tt+1=C3t(x2)3-txt=C3方法二:因为(x2+x+y)5=(x2+x+y)(x2+x+y)·…·(x2+x+y),即共有5个括号相乘,所以展开式中要得到含x5y2的项,只需5个括号中有2个括号里出y,同时剩余的3个括号中2个括号里出x2,另一个括号里出x便可,故含x5y2的项为C52y2C32(x2)2x=C52C32x5y2考点二二项式系数与项的系数问题角度1二项式系数和与系数和[例4]若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a2+a6+a8=;a1+2a2+3a3+…+10a10=.

【解析】由已知得(1+x)10展开式的通项为Tk+1=C10kxk,所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数,故a2+a6+a8=C102对原式两边求导得,10(1+x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+10a10=10×29=5120.答案:3005120解题技法赋值法的应用(1)对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1).(2)(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)+g(-1)](3)(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)-g(-1)]对点训练在二项式(1-2x)n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为()A.-960 B.960 C.1120 D.1680【解析】选C.根据题意,奇数项的二项式系数之和也为128,所以在(1-2x)n的展开式中,二项式系数之和为256,即2n=256,得n=8,则(1-2x)8的展开式的中间项为第5项,且T5=C84(-2)4x4=1120x4【补偿训练】若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,则a1=,a1+a2+…+a5=.

【解析】因为x5=[2+(x-2)]5,则a1=C51·24令x=3,得a0+a1+a2+…+a5=35=243;令x=2,得a0=25=32,故a1+a2+…+a5=243-32=211.答案:80211角度2系数与二项式系数的最值问题[例5](多选题)(2023·唐山模拟)下列关于(1x-2x)6的展开式的说法中正确的是(A.常数项为-160B.第4项的系数最大C.第4项的二项式系数最大D.所有项的系数和为1【解析】选ACD.(1x-2x)6Tk+1=C6k·(1x)6-k·(-2x)k=(-2)kC6对于A,令2k-6=0,解得k=3,所以常数项为(-2)3C6对于B,由通项公式知,若要系数最大,k所有可能的取值为0,2,4,6,所以T1=x-6,T3=4C62x-2=60x-2,T5=(-2)4C64x2=240x2,T7=(-2)6x6所以展开式第5项的系数最大,B错误;对于C,展开式共有7项,得第4项的二项式系数最大,C正确;对于D,令x=1,则所有项的系数和为(1-2)6=1,D正确.解题技法1.二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数,那么中间一项(第n2(2)如果n是奇数,那么中间两项(第n+12与第n2.展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散的,因此求最大值可通过不等式组ak≥(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子,可以看作关于n的数列,通过判断数列单调性从而判断系数的增减性,并根据系数的单调性求出系数的最值.对点训练设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7bA.5 B.6 C.7 D.8【解析】选B.由题意,得a=C2mm,b则13C2mm=7C2m所以7(2m+1经检验m=6为原方程的解.考点三二项式定理的综合应用[例6](1)设n为奇数,那么11n+Cn1·11n-1+Cn2·11nA.-3 B.2 C.10 D.11【解析】选C.11n+Cn1·11n-1+C=Cn0·11n+Cn1·11n-1+Cn2=12n-2=(13-1)n-2=Cn0·13n-Cn1·13n-1+…+(-1)因为n为奇数,则上式=Cn0·13n-Cn1·13n-1+…+(-1)n-1·Cnn-1所以11n+Cn1·11n-1+Cn(2)利用二项式定理计算1.056,则其结果精确到0.01的近似值是()A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34【解析】选D.1.056=(1+0.05)6=C60+C61×0.05+C62×0.052+C63×0.=1+0.3+0.0375+0.0025+…+0.056≈1.34.解题技法二项式定理综合应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形:①观察除式与被除式间的关系;②将被除式拆成二项式;③结合二项式定理得出结论.(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算:当n不是很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx.对点训练1.设a∈Z,且0≤a≤13,若512023+a能被1