2025年高考数学一轮复习-第六章-第六节-复数-专项训练【含答案】

六章-第六节-复数-专项训练一、单项选择题1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，3)，则z的共轭复数z＝()A．1＋3i B．1－3iC．－1＋3i D．－1－3i2．|2＋i2＋2i3|＝()A．1 B．2C．5 D．53．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i是虚数单位，若z－z＝23i，则复数z的虚部为()A．3 B．23C．3i D．23i4．已知i是虚数单位，则化简1+iA．i B．－iC．－1 D．15．已知i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝|1＋i|，则z＝()A．22+22iC．－22+22i6．已知复数z＝(1＋i)·(m－2i)在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m的取值范围为()A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(－2，2) D．(－∞，－2)二、多项选择题7．在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则()A．p＝2 B．x2＝1－iC．x1·x2＝－2i D．x8．下列结论正确的是()A．若复数z满足z＋z＝0，则z为纯虚数B．若复数z满足1z∈R，则z∈C．若复数z满足z2≥0，则z∈RD．若复数z1，z2满足z12+z22三、填空题9．在复平面内，O为坐标原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB对应的复数为________．10．已知复数z＝3－ai(i为虚数单位)满足|z－2|＜2，则实数a的取值范围为________．11．如图，正方形OABC中，点A对应的复数是3＋5i，则顶点B对应的复数是()A．－2＋8iB．2－8iC．－1＋7iD．－2＋7i12．棣莫弗公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数ω＝cos2π3＋i·sin2π3A．－ω B．1ωC．ω D．ω13．(多选)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f(x)＝0在复数集中有n个复数根(重根按重数计)．在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1＝()A．0 B．1C．2 D．314．(多选)(2024年1月九省联考卷)已知复数z，w均不为0，则()A．z2＝|z|2 B．zz＝C．z−w＝z−w D．z15．请写出一个同时满足①z−2i=z−2；②z2＝2的复数16．(2023·上海春季高考)已知z1，z2∈C且z1＝i·z2，|z1－1|＝1，则|z1－z2参考答案1．D[∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，3),∴z＝－1＋3i，则z的共轭复数z＝－1－3i，故选D.]2．C[|2＋i2＋2i3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5.故选C.]3．A[z－z＝2bi＝23i，解得b＝3.故选A.]4．D[因为1+i1−i＝1所以1+i1−i2024＝i5．B[因为z(1＋i)＝|1＋i|，所以z＝1+i1+i＝21+i6．A[z＝(1＋i)·(m－2i)＝m＋2＋(m－2)i，对应点(m＋2，m－2)，由于点(m＋2，m－2)在第一象限，所以m+2>0，7．BD[因为x1＝1＋i且实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，所以x1x2＝2，可得x2＝2x1＝21+i＝1－i，故B正确；又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A错误；由x2＝1＋i，所以x1·x2＝(1＋i)2＝2i≠－2i，故C错误；x1x28．BC[设复数z＝0，z＋z＝0，z不为纯虚数，A错误；设复数z＝a＋bia，b∈R，则1z＝1a+bi＝a−bi设复数z＝a＋bia，b∈R，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，所以ab＝0且a2－b2≥0，所以b＝0，即z设复数z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，但9．－2＋i[因为A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点B(－2，1)，所以向量OB对应的复数为－2＋i.]10．(－3，3)[由题知，z＝3＋ai，因为|z－2|＜2，所以|1＋ai|＜2，即12＋a2＜22，解得－11．A[由题意得OA＝(3，5)，不妨设C点对应的复数为a＋bi(a<0，b>0)，则OC＝(a，b)，由OA⊥OC，|OA|＝|OC|，得a2+b2=32+52，3a+5b12．C[依题意知，ω＝cos2π3＋i·sin2π3＝－12+32i，由棣莫弗公式，得ω4＝cos2π3+i·sin2π34＝cos8π3＋i·sin813．AD[因为x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝−1±3即ω＝1或ω＝−1±3当ω＝1时，ω2＋ω＋1＝3；当ω＝−1±3i2时，ω214．BCD[设z＝a＋bia，b∈R，w＝c＋d对A：因为z＝a＋bia，b∈R，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2|z|2＝a2+b22＝a对B:zz＝z2z·z，又z·z对C：z－w＝a＋bi－c－di＝a－c＋(b－d)i，则z−w＝a－c－(b－d)i，z＝a－bi，w＝c－di，则z−w＝a－即有z−w＝z对D：zw＝a+＝ac＝ac＝a＝a＝a2zw＝a2＝a＝a2故zw＝z故选BCD.]15．1＋i或－1－i(任选一个作答即可)[设z＝a＋bi，a，b∈R，由条件①可以得到a2+b−22＝a−22+b2，两边平方化简可得a＝b，由z2＝2⇒