2025年高考数学一轮复习-8.5-空间向量的运算及其坐标表示【导学案】

PAGE8.5-空间向量的运算及其坐标表示【课标解读】【课程标准】1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;探索并得出空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念、空间向量基本定理、空间向量投影的概念及其意义.3.掌握空间向量的线性运算、数量积的运算及其坐标表示.【核心素养】直观想象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法常以空间向量的表示为载体,考查空间向量投影、线性运算、数量积的运算.空间向量数量积的运算是高考热点,在选择题或填空题中体现.预测2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查,试题难度中档.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.空间向量有关概念(1)单位向量:模为1的向量.(2)共线向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.(3)共面向量:平行于同一个平面的向量.微点拨(1)零向量与任意向量平行;(2)空间中任意两个向量是共面向量,任意三个向量不一定是共面向量.2.空间向量有关定理(1)共线向量定理:对空间中任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.a,b,3.空间向量有关运算设a=a1,a2,a3,b=(b1(1)坐标运算:则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R.(2)数量积运算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|cos<a,b>.微点拨向量a在向量b方向上的投影向量:acos<a,b>·bb=a·b4.空间向量有关公式(1)空间两点间距离公式已知P1x1,y1,z1,P(2)空间两点的中点公式设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则x=(3)空间向量共线与垂直公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.a∥b⇔a=λb⇔x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).(4)空间向量模与夹角公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则|a|=a·a=cos〈a,b〉=a·b|常用结论1.在平面中A,B,C三点共线的充要条件是:OA=xOB+yOC(其中x+y=1),O为平面内任意一点.2.在空间中P,A,B,C四点共面的充要条件是:OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1),O为空间中任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.4.在利用MN=xAB+yAC证明MN∥平面ABC时,必须说明M点或N点不在平面ABC内.基础诊断·自测类型辨析改编易错题号12,341.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.(×)提示:(1)直线的方向向量不是唯一的,有无数多个;(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α.(×)提示:(2)a⊥α;(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(×)提示:(3)若a,b,c中有一个是0,则a,b,c共面,不能构成空间的一个基底;(4)若a·b<0,则<a,b>是钝角.(×)提示:(4)若<a,b>=π,则a·b<0.2.(选择性必修一P6T5·变形式)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量是(A.-12a+12b+c B.12a+1C.-12a-12b+c D.12a-1【解析】选A.BM=BB1+B1M=AA1+12(AD-AB)=c+12(b-a)=-3.(选择性必修一P5例1·变形式)若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则()A.m,n,p共线 B.m与p共线C.n与p共线 D.m,n,p共面【解析】选D.因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=12m+12n,又m与n不共线,所以m,n,p4.(忘记开方导致错误)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为.

【解析】|EF|2=EF2=(EC+CD+DF)2=EC2+CD2+DF2+2(EC·CD+EC·DF+=12+22+12+2(1×2×cos120°+0+2×1×cos120°)=2,所以|EF|=2,所以EF的长为2.答案:2【核心考点·分类突破】考点一空间向量的线性运算[例1](1)(2023·武汉模拟)如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,且MN=13OM,设OA=a,OB=b,OC=c,则下列向量与AN相等的向量是(A.-a+13b+1B.a+13b+1C.-a+16b+1D.a+16b+1【解析】选A.因为M是四面体OABC的棱BC的中点,MN=13OM所以AN=ON-OA=23OM-OA=23×12(OB+OC)-OA=13OB+13OC-OA=-(2)在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且AA1=a,AB=b,AC=c,则A1A.12a+12b+B.12a-12b+C.12a+12b-D.-12a+12b+【解析】选D.A1D=A1A=-AA1+AB+12(B=-AA1+AB+12AA1+=-12AA1+12AB+12AC=-1解题技法用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中,三角形法则、平行四边形法则仍然成立.对点训练如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,(1)AP;【解析】(1)因为P是C1D1的中点,所以AP=AA1+A1D1+D1=a+c+12AB=a+c+1(2)A1【解析】(2)因为N是BC的中点,所以A1N=A1A+AB+BN=-a=-a+b+12AD=-a+b+1(3)MP+NC【解析】(3)因为M是AA1的中点,所以MP=MA+AP=12A=-12a+a+c+12b=1又NC1=NC+CC1=12BC=12c+a所以MP+NC1=1=32a+12b+3考点二共线、共面向量的应用[例2](1)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是()A.2,12 B.-13,12 C.-3,2 【解析】选A.因为a∥b,所以设b=xa,所以x(解得μ=12(2)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的中点,AF=13AD,AG=2GA1,AC1与平面EFG交于点M,则【解析】由题可设AM=λAC因为AC1=AB+AD=2AE+3AF+32所以AM=2λAE+3λAF+32λAG因为M,E,F,G四点共面,所以2λ+3λ+32λ=1,解得λ=2答案:2(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若点P满足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,则点P可以是正方体表面上的点.

【解析】因为点P满足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,所以点A,M,N,P四点共面,又因为M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,连接MN,AB1,则MN∥AB1,所以△AB1C即为经过A,M,N三点的平面与正方体的截面,故P点可以是正方体表面上线段AB1,B1C,AC上的点.答案:线段AB1(线段B1C或线段AC)上(答案不唯一)解题技法1.共线、共面向量定理的应用(1)向量共线可以用来判断直线平行、三点共线;(2)向量共面可以用来判断直线与平面平行,四点共面;(3)根据向量共线和向量共面求参数取值;(4)与a同向的单位向量为aa,反向的单位向量为-aa,共线的单位向量为±2.证明四点P,M,A,B共面的方法(1)MP=xMA+yMB;(2)对空间任意一点O,OP=OM+xMA+yMB;(3)对空间任意一点O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1);(4)PM∥AB或PA∥MB或PB∥AM.对点训练1.已知空间中A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若BD=6PA-4PB+λPC,则λ等于()A.2 B.-2 C.1 D.-1【解析】选B.BD=6PA-4PB+λPC,即PD-PB=6PA-4PB+λPC,整理得PD=6PA-3PB+λPC,由A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,可得6-3+λ=1,解得λ=-2.2.在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则()A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0【解析】选A.因为A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),所以AB=(0,1,-1),AC=(-2,2,2),AD=(x-1,y-1,z+2).因为A,B,C,D四点共面,所以存在实数λ,μ使得AD=λAB+μAC,即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),所以x-1=-2μy-1=考点三空间向量的数量积及应用[例3](1)在正三棱锥P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AB=2,则PO·PA等于()A.59 B.63 C.423 【解析】选D.因为P-ABC为正三棱锥,O为△ABC的中心,所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AO,所以PO·OA=0,|AO|=23·|AB|·sin60°=2故PO·PA=PO·(PO+OA)=|PO|2=|AP|2-|AO|2=4-43=8(2)已知A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4).①求<AB,BC>;【解析】①因为A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4),所以AB=(0,3,3),BC=(2,-2,0).因为AB·BC=0×2+3×(-2)+3×0=-6,|AB|=32,|BC|=22,所以cos<AB,BC>=AB·BC|AB||故<AB,BC>=2π3②求AC在AB上的投影向量.【解析】②因为AC=(2,1,3),AB=(0,3,3),所以AC·AB=0+1×3+3×3=12.因为|AB|=32,|AC|=14,所以cos<AC,AB>=AC·AB|AC||所以AC在AB上的投影向量为|AC|cos<AC,AB>·AB|AB|=14×277×解题技法空间向量数量积的应用对点训练1.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点,OA+λOB与OB的夹角为120°,则λ的值为()A.±66 B.66 C.-66 【解析】选C.由于OA+λOB=(1,-λ,λ),OB=(0,-1,1),则cos120°=λ+λ1+2λ2·2=-12,解得λ=±66.2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.(1)求线段AC1的长;【解析】(1)如图所示,设AB=a,AD=b,AA1=则|a|=|b|=1,|c|=2.a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos120°=-1.因为AC1=AB+BC+CC1=a+所以|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1