人教版九年级数学中考复习二次函数真题专练(解析版)

二次函数----真题专练一、选择题在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2-bx的图象可能是（）A. B.

C. D.若二次函数y=x2−6x+9的图象经过A(−1,y1)，B(1,y2)，C(3+3,y3)A.y1>y2>y3 B.将抛物线y=−3x2平移，得到抛物线y=−3

(x−1)2−2，下列平移方式中，正确的是A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b＜0，c＞0；②a+b+c＜0；③方程的两根之和大于0；④a-b+c＜0，其中正确的个数是（）A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

在二次函数y=−x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是(A.x<1 B.x>1 C.x<−1 D.x>−1已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：

x-1

0

1

3

y-3

1

3

1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：

①a、b同号；

②当x=1和x=3时，函数值相等；

③4a+b=0；

④当-1＜x＜5时，y＜0．

其中正确的有（）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

抛物线y=12（x-2）2-3的顶点坐标是（）A.(2,3) B.(2,−3) C.(−2,3) D.(−2,−3)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：

①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．

其中正确的是（）A.①④

B.②④

C.①②③

D.①②③④

如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a-b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）A.①③

B.②③

C.②④

D.②③④

二、填空题函数y=1x+2-3−x中自变量x的取值范围是______．已知抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为______．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=-1，点B的坐标为（1，0）．下面的四个结论：

①AB=4；

②b2-4ac＞0；

③ab＜0；

④a-b+c＜0，

其中正确的结论是______（填写序号）．二次函数y=-x2+2x+2图象的顶点坐标是______．若二次函数y=mx2+x+m（m-2）的图象经过原点，则m的值为______．如图，抛物线C1：y=12x2经过平移得到抛物线C2：y=12x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是______三、解答题如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．

（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，−52）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

如图，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点

（1）求m的值及C点坐标；

（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由

（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q

①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；

②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．

①当PE=2ED时，求P点坐标；

②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；

（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为22？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】

此题主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．

【解答】解：A.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2-bx来说，对称轴x=＞0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；

B.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2-bx来说，对称轴x=＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；

C.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2-bx来说，图象开口向上，对称轴x=＞0，应在y轴的右侧，故符合题意；

D.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2-bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误；

故选C．2.【答案】A

【解析】【分析】

​本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性以及增减性，确定出各点到对称轴的距离的大小是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，再求出点A、B、C到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．

【解答】

解：二次函数对称轴为直线x=-=3，

3-（-1）=4，

3-1=2，

3+-3=，

​∵a=1＞0，开口向上，离对称轴越远，y值越大，

又∵4＞2＞，

∴y1＞y2＞y3．

故选A．3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．

【解答】

解：∵y=-3x2的顶点坐标为（0，0），y=-3（x-1）2-2的顶点坐标为（1，-2），

∴将抛物线y=-3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=-3（x-1）2-2．

故选D．

4.【答案】B

【解析】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线对称轴x＞0，且抛物线与y轴交于正半轴，

∴b＞0，c＞0，故①错误；

由图象知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故②正确，

令方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，

由对称轴x＞0，可知＞0，即x1+x2＞0，故③正确；

由可知抛物线与x轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：-1＜x＜0，

∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，故④正确．

故选：B．

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数​系数符号与抛物线开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点是关键．5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了二次函数的性质有关知识，先配方得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质求解．

【解答】

解：y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，

抛物线的对称轴为直线x=1，

∵a=-1＜0，开口向下，

∴当x＞1时，y随x的增大而减少．

故选B．

6.【答案】B

【解析】解：由表格可知，

二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值，

∴抛物线的开口向下，故①正确，

其图象的对称轴是直线x=，故②错误，

当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，

方程ax2+bx+c=0的一个根大于-1，小于0，则方程的另一个根大于=3，小于3+1=4，故④错误，

故选：B．

根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x==，再由图象中的数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，然后跟距x=0时，y=1，x=-1时，y=-3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．

本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了二次函数图象与系数的关系有关知识，根据函数图象可得各系数的关系：a＞0，b＜0，即可判断①，根据对称轴为x=2，即可判断②；由对称轴x=-=2，即可判断③；求得抛物线的另一个交点即可判断④.

【解答】

解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴x=2，

∴-=2，

∴b=-4a＜0，

∴a、b异号，故①错误；

∵对称轴x=2，

∴x=1和x=3时，函数值相等，故②正确；

∵对称轴x=2，

∴-=2，

∴b=-4a，

∴4a+b=0，故③正确；

∵抛物线与x轴交于（-1，0），对称轴为x=2，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），

∴当-1＜x＜5时，y＜0，故④正确；

故正确的结论为②③④三个，

故选C.8.【答案】B

【解析】【分析】

此题考查了二次函数顶点式的性质有关知识，已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标.

【解答】

解：因为的是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，-3）．

故选B.

9.【答案】C

【解析】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，

∴b=-2a＜0，

∴ab＜0，所以①正确；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△=b2-4ac＞0，所以②正确；

∵x=1时，y＜0，

∴a+b+c＜0，

而c＜0，

∴a+b+2c＜0，所以③正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，

∴b=-2a，

而x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，

∴a+2a+c＞0，所以④错误．

故选：C．

由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a，加上x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，则可对④进行判断．

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数有△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10.【答案】D

【解析】解：①∵二次函数图象的开口向下，

∴a＜0，

∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，

∴-＞0，

∴b＞0，

∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴c＞0，

∴abc＜0，故①错误；

②∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），

∴a-b+c=0，故②正确；

③∵a-b+c=0，∴b=a+c．

由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，

∴4a+2（a+c）+c＜0，

∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；

④∵a-b+c=0，∴c=b-a．

由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，

∴4a+2b+b-a＜0，

∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．

故选D．

①根据开口向下得出a＜0，根据对称轴在y轴右侧，得出b＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出c＞0，从而得出abc＜0，进而判断①错误；

②由抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），即可判断②正确；

③由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把b=a+c代入即可判断③正确；

④由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把c=b-a代入即可判断④正确．

本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11.【答案】-2＜x≤3

【解析】【分析】

本题考查的是函数自变量取值范围，分式有意义的条件，二次根式的概念.根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不为0，列不等式组求解.

【解答】

解：根据题意，得，

解得：-2＜x≤3，

则自变量x的取值范围是-2＜x≤3.

​故答案为-2＜x≤3.12.【答案】4，-8，-2

【解析】解：当抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在x轴上时，△=0，即△=（k+2）2-4×9=0，解得k=4或k=-8；

当抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在y轴上时，x=-==0，解得k=-2．

故答案为：4，-8，-2．

由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．

本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．13.【答案】①②④

【解析】解：∵抛物线对称轴是直线x=-1，点B的坐标为（1，0），

∴A（-3，0），

∴AB=4，故选项①正确；

∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故选项②正确；

∵抛物线开口向上，∴a＞0，

∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，

∴ab＞0，故选项③错误；

当x=-1时，y=a-b+c此时最小，为负数，故选项④正确；

故答案为：①②④．

利用二次函数对称性以及结合b2-4ac的符号与x轴交点个数关系，再利用数形结合分别分析得出答案．

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确判断a-b+c的符号是解题关键．14.【答案】（1，3）

【解析】解：∵y=-x2+2x+2

=-（x2-2x+1）+3

=-（x-1）2+3，

故顶点的坐标是（1，3）．故填空答案：（1，3）．

此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．

求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．15.【答案】2

【解析】【分析】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义．此题属于易错题，学生们往往忽略二次项系数不为零的条件．本题中已知二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m-2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．

【解答】

解：根据题意得：m（m-2）=0，

∴m=0或m=2，

∵二次函数的二次项系数不为零，即m≠0，

∴m=2．

故答案为2．16.【答案】4

【解析】解：抛物线C1：y=x2的顶点坐标为（0，0），

∵y=x2+2x=（x+2）2-2，

∴平移后抛物线的顶点坐标为（-2，2），对称轴为直线x=-2，

当x=-2时，y=×（-2）2=2，

∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积为：（2+2）×2=4，

故答案为：4．

确定出抛物线y=x2+2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．17.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），

∴a×(−1)2+b×(−1)+c=0a×32+3b+c=0c=−3，

解得，a=1b=−2c=−3，

即此抛物线的解析式是y=x2-2x-3；

（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴此抛物线顶点D的坐标是（1，-4），对称轴是直线x=1；

（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，

设点P的坐标为（1，y），

当PA=PD时，

(−1−1)2+(0−y)2=(1−1)2+(−4−y)2，

解得，y=-32，

即点P的坐标为（1，-32）；

当DA=DP时，

(−1−1)2+[0−(−4)]2=(1−1)2+(−4−y)2，

解得，y=-4±25，

即点P的坐标为（1，-4-25）或（1，-4+25）；

当AD=AP时，

(−1−1)2+[0−(−4)]2=(−1−1)2+(0−y)2，

解得，y=±4，

即点P的坐标是（1，4）或（1

（1）根据抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），可以求得抛物线的解析式；

（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；

（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．

本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．18.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（-1，0），B（5，0），C（0，−52）三点在抛物线上，

∴a−b+c=025a+5b+c=0c=−52，

解得a=12b=−2c=−52．

∴抛物线的解析式为：y=12x2-2x-52；

（2）∵抛物线的解析式为：y=12x2-2x-52，

∴其对称轴为直线x=-b2a=-−22×12=2，

连接BC，如图1所示，

∵B（5，0），C（0，-52），

∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∴5k+b=0b=−52，

解得k=12b=−52，

∴直线BC的解析式为y=12x-52，

当x=2时，y=1-52=-32，

∴P（2，-32）；

（3）存在．

如图2所示，

①当点N在x轴下方时，

∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，-52），

∴N1（4，-52）；

②当点N在x轴上方时，

如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，

在△AN2D与△M2CO中，

∠N2AD=∠CM2OAN2=CM2∠AN2D=∠M2CO

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴N2D=OC=52，即N2点的纵坐标为52．

∴12x2

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；

（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；

（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．

本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．19.【答案】解：

（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

把A、B、C三点坐标代入可得a−b+c=016a+4b+c=0c=−4，解得a=1b=−3c=−4，

∴抛物线解析式为y=x2-3x-4；

（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，

∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点，

∵C（0，-4），

∴D（0，-2），

∴P点纵坐标为-2，

代入抛物线解析式可得x2-3x-4=-2，解得x=3−172（小于0，舍去）或x=3+172，

∴存在满足条件的P点，其坐标为（3+172，-2）；

（3）∵点P在抛物线上，

∴可设P（t，t2-3t-4），

过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，

∵B（4，0），C（0，-4），

∴直线BC解析式为y=x-4，

∴F（t，t-4），

∴PF=（t-4）-（t2-3t-4）=-t2+4t，

∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=12PF•OE+12PF•BE=12PF•（OE+BE）=12PF•OB=12（-t2+4t）×4=-2（t-2）2+8，

∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2-3t-4=-6，

∴当本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；

（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．

20.【答案】解：（1）将B（4，0）代入y=-x2+3x+m，

解得，m=4，

∴二次函数解析式为y=-x2+3x+4，

令x=0，得y=4，

∴C（0，4），

（2）存在，

理由：∵B（4，0），C（0，4），

∴直线BC解析式为y=-x+4，

当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，

∴y=−x+4+by=−x2+3x+4，

∴x2-4x+b=0，

∴△=16-4b=0，

∴b=4，

∴x=2y=6，

∴M（2，6），

（3）①如图，

∵点P在抛物线上，

∴设P（m，-m2+3m+4），

当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，

∵B（4，0），C（0，4）

∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，

∴m=-m2+3m+4，

∴m=1±5，

∴P（1+5，1+5）或P（1-5，1-5），

②如图，

设点P（t，-t2+3t+4），

过点P作y轴的平行线l交BC于点D，交x轴于点E，过点C作l的垂线交l于点F，

∵点D在直线BC上，

∴D（t，-t+4），

∵PD=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t，

BE+CF=4，

∴S四边形PBQC=2S△PBC=2（S△PCD+S△PBD）=2（12PD×CF+12PD×BE）=4PD=-4t2+16t，

∵0＜t＜4，

∴当t=2时，S四边形

（1）用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先判断出面积最大时，平移直线BC的直线和抛物线只有一个交点，从而求出点M坐标；

（3）①先判断出四边形PBQC时菱形时，点P是线段BC的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解；

②先求出四边形PBCQ的面积与t的函数关系式，从而确定出它的最大值．

此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值的确定，对称性，面积的确定，解本题的关键是确定出△MBC面积最大时，点P的坐标．21.【答案】解：

（1）∵点B（4，m）在直线y=x+1上，

∴m=4+1=5，

∴B（4，5），

把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得a−b+c=016a+4b+c=525a+5b+c=0，解得a=−1b=4c=5，

∴抛物线解析式为y=-x2+4x+5；

（2）①设P（x，-x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），

则PE=|-x2+4x+5-（x+1）|=|-x2+3x+4|，DE=|x+1|，

∵PE=2ED，

∴|-x2+3x+4|=2|x+1|，

当-x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=-1或x=2，但当x=-1时，P与A重合不合题意，舍去，

∴P（2，9）；

当-x2+3x+4=-2（x+1）时，解得x=-1或x=6，但当x=-1时，P与A重合不合题意，舍去，

∴P（6，-7）；

综上可知P点坐标为（2，9）或（6，-7）；

②设P（x，-x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），

∴BE=(x−4)2+(x+1−5)2=2|x-4|，CE=(x−5)2+(x+1)2=2x2−8x+26，BC=(4−5)2+(5−0)2=26，

当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，

当BE=CE时，则2|x-4|=2x2−8x+26，解得x=34，此时P点坐标为（34，11916）；

当BE=BC时，则2|x-4|=26，解得x=4+13或x=4-13，此时P点坐标为（4+13，-413-8）或（4-13，413-8）；

当CE=BC时，则2x2−8x+26=26，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0

（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用