一元二次方程根与系数的关系教案 人教版

一元二次方程根与系数的关系教案人教版学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析本节课的主要教学内容是探究一元二次方程的根与系数的关系。教学内容与学生已有知识的联系包括：首先，学生需要掌握一元二次方程的定义及其一般形式；其次，学生需要了解一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、求根公式等；最后，学生需要熟练掌握方程的根与系数的概念。

本节课的教学内容主要包括以下几个方面：

1.回顾一元二次方程的定义及其一般形式，引导学生回顾已知知识，为新知识的学习做好铺垫。

2.通过实际例子，引导学生发现一元二次方程的根与系数之间的关系，让学生体会数学的内在联系。

3.引导学生总结出一元二次方程根与系数的关系公式，并加以证明，锻炼学生的逻辑思维能力。

4.运用根与系数的关系解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

5.进行课堂练习，巩固学生对一元二次方程根与系数的关系的理解和应用。

6.总结本节课的主要内容，强调重点，为学生课后复习和进一步学习打下基础。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养。通过探究一元二次方程的根与系数的关系，学生能够自主发现并总结出规律，锻炼他们的抽象思维和逻辑推理能力。同时，通过运用根与系数的关系解决实际问题，学生能够体会到数学与生活的联系，提高他们的数学建模能力。此外，通过小组合作、讨论交流等环节，学生还能够提升数学沟通能力和团队合作精神。总之，本节课将全面培养学生的数学核心素养，为他们的未来学习和成长奠定坚实基础。教学难点与重点1.教学重点

（1）理解一元二次方程的根与系数的关系，能够运用关系公式进行计算和求解。

例如，学生需要掌握公式：若一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则有x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

（2）能够运用根与系数的关系解决实际问题，如面积、体积计算等。

例如，给定一个抛物线的顶点坐标和开口方向，学生需要能够根据根与系数的关系求出抛物线的对称轴方程。

（3）理解一元二次方程的根的判别式，即Δ=b^2-4ac，并能判断根的情况。

例如，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。

2.教学难点

（1）理解并推导出一元二次方程的根与系数的关系。

例如，学生可能对为什么两个根的和等于-b/a，乘积等于c/a感到困惑，需要通过具体例子和几何解释来帮助学生理解。

（2）运用根与系数的关系解决实际问题。

例如，学生可能不知道如何将实际问题转化为方程形式，或者在应用关系公式时出错。需要通过大量的练习和指导，帮助学生熟练运用关系公式。

（3）判断一元二次方程的根的情况，特别是当Δ<0时，学生可能对为什么没有实数根感到困惑。

例如，需要通过图形和实际例子来帮助学生理解，当Δ<0时，方程的解为复数根，不在实数范围内。教学方法与策略1.教学方法

（1）讲授法：在课堂上，教师将采用讲授法向学生传授一元二次方程根与系数的关系的理论知识，通过清晰的讲解和生动的比喻，帮助学生理解和记忆。

（2）案例研究法：教师将提供一系列实际问题案例，让学生运用根与系数的关系进行解决，从而提高学生运用知识解决实际问题的能力。

（3）小组讨论法：在课堂上，教师将组织学生进行小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和解题方法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。

2.教学活动设计

（1）角色扮演：教师可以让学生扮演“数学侦探”，通过查找线索和推理，发现一元二次方程根与系数的关系，增强学生的参与感和兴趣。

（2）实验操作：教师可以设计实验，让学生通过实际操作，观察和记录一元二次方程的根与系数的变化，从而加深对理论知识的理解。

（3）数学游戏：教师可以设计数学游戏，将一元二次方程根与系数的关系融入游戏中，让学生在轻松愉快的氛围中学习和巩固知识。

3.教学媒体和资源使用

（1）PPT：教师将使用PPT呈现一元二次方程根与系数的关系的理论和实例，通过图文并茂的方式，帮助学生更好地理解和记忆。

（2）视频：教师可以播放与一元二次方程根与系数的关系相关的教学视频，让学生从多个角度理解和掌握知识。

（3）在线工具：教师可以引导学生使用在线数学工具，如数学软件或在线calculator，进行一元二次方程的求解和验证，提高学生的实践操作能力。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程根与系数的关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要根据现象推导出背后规律的情况？”（举例说明：如根据物体下落的时间和距离关系，推导出自由落体运动的规律）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程根与系数的基本概念。一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0（a≠0）的方程，其中a、b、c是常数，x是未知数。根与系数的关系是指方程的两个根x1、x2与系数a、b、c之间存在一定的数学关系。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了根与系数关系在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调根与系数的关系公式和判断方程根的情况这两个重点。对于判别式Δ=b^2-4ac的理解和应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程根与系数关系相关的实际问题。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示一元二次方程根与系数关系的基本原理。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程根与系数关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了一元二次方程根与系数关系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对根与系数关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。教学资源拓展1.拓展资源

（1）课后阅读材料：推荐学生阅读《数学年鉴》中关于一元二次方程根与系数关系的文章，了解该领域的最新研究成果和发展动态。

（2）在线课程：推荐学生观看国内外知名大学开设的一元二次方程根与系数关系相关课程，如麻省理工学院（MIT）的《线性代数》中的相关章节。

（3）数学竞赛题目：鼓励学生参加数学竞赛，如国际数学奥林匹克（IMO）、中国数学奥林匹克（CMO）等，这些竞赛中有很多关于一元二次方程的问题，可以帮助学生加深对知识点的理解和应用。

（4）历史背景资料：介绍一元二次方程根与系数关系的历史发展，如二次公式的历史起源、著名数学家如阿基米德、牛顿、拉格朗日等对这一领域的贡献。

2.拓展建议

（1）让学生结合课后阅读材料，撰写一篇关于一元二次方程根与系数关系的研究报告，提高学生的文献综述能力和研究能力。

（2）组织学生进行小组讨论，选取一个在线课程进行学习，并分享学习心得和收获，促进学生之间的交流和学习。

（3）鼓励学生参加数学竞赛，通过竞赛锻炼自己的数学思维和解题能力，同时了解自己在这一领域的水平和差距。

（4）让学生了解一元二次方程根与系数关系的历史背景，理解数学的发展过程，培养学生的数学文化素养。板书设计①一元二次方程：ax^2+bx+c=0（a≠0）

②根与系数的关系：

-根的判别式：Δ=b^2-4ac

-Δ>0：两个不相等的实数根

-Δ=0：两个相等的实数根

-Δ<0：没有实数根

-根与系数的关系公式：

-x1+x2=-b/a

-x1*x2=c/a

③实际应用：

-几何解释：抛物线的顶点坐标与对称轴

-面积计算：三角形、梯形、圆等

-体积计算：球体、立方体等

板书设计要求简洁明了，重点突出，便于学生理解和记忆。同时，为了激发学生的学习兴趣和主动性，可以在板书中加入一些艺术性和趣味性的元素，如使用彩色粉笔标注重点知识点，或者以图形、符号等形式展示一元二次方程的解法和实际应用。通过精心设计的板书，帮助学生更好地掌握一元二次方程根与系数的关系，并激发他们对数学的热爱和兴趣。反思改进措施（一）教学特色创新

1.引入生活实例：在教学中，引入与学生生活紧密相关的生活实例，使学生能够更好地理解和掌握一元二次方程根与系数的关系，提高学生的学习兴趣。

2.采用小组合作学习：通过小组合作学习，鼓励学生积极参与，促进学生之间的交流和合作，培养学生的团队精神和沟通能力。

3.利用多媒体教学：利用多媒体教学，如PPT、视频等，通过图文并茂的方式，帮助学生更好地理解和记忆一元二次方程根与系数的关系。

（二）存在主要问题

1.部分学生对一元二次方程根与系数的关系理解不透彻，需要加强引导和解释。

2.在小组合作学习中，个别学生参与度不高，需要加强学生之间的互动和交流。

3.部分学生在实际应用中，对一元二次方程根与系数的关系的运用不够灵活，需要加强练习和指导。

（三）改进措施

1.对于理解不透彻的学生，可以通过举更多的例子，提供更多的练习题，让学生在实践中加深对一元二次方程根与系数关系的理解。

2.对于小组合作学习中的问题，可以尝试采用角色分配、小组竞赛等方式，提高学生的参与度和积极性。

3.对于实际应用中的问题，可以通过组织更多的实际问题讨论，让学生在解决实际问题的过程中，更好地掌握一元二次方程根与系数关系的运用。课后作业1.计算一元二次方程的根：

-方程：x^2-5x+6=0

-计算根：x1=?,x2=?

2.判断一元二次方程的根的情况：

-方程：x^2+3x-4=0

-计算判别式：Δ=?

-判断根的情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根？

3.运用根与系数的关系解决实际问题：

-方程：x^2-4x+3=0

-计算根的和与乘积：x1+x2=?,x1*x2=?

-根据根的和与乘积，求解实际问题。

4.运用根与系数的关系求解对称轴方程：

-抛物线顶点坐标：（1,-1），开口向上

-求解对称轴方程：x=?

5.计算三角形面积：

-三角形两边长分别为4和6，斜边长为10

-根据根与系数的关系，计算三角形面积：S=?

答案：

1.方程：x^2-5x+6=0

根：x1=2,x2=3

2.方程：x^2+3x-4=0

判别式：Δ=9

根的情况：有两个不相等的实数根

3.方程：x^2-4x+3=0

根的和与乘积：x1+x2=-1,x1*x2=3

4.抛物线顶点坐标：（1,-1），开口向上

对称轴方程：x=1

5.三角形两边长分别为4和6，斜边长为10

三角形面积：S=6课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.一元二次方程的根与系数的关系：

-根的判别式：Δ=b^2-4ac

-根与系数的关系公式：x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a

-实际应用：几何解释、面积计算、体积计算等

2.实际问题转化为方程：

-将实际问题转化为方程，利用根与系数的关系求解

-注意方程的形式和系数的关系

3.解题技巧：

-利用根与系数的关系简化计算

-注意方程的根的情况，选择合适的解法

当堂检测：

1.判断一元二次方程的根的情况：

-方程：x^2+4x-5=0

-计算判别式：Δ=?

-判断根的情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根？

2.运用根与系数的关系解决实际问题：

-方程：x^2-3x+2=0

-计算根的和与乘积：x1+x2=?,x1*x2