促进深度理解的数学跨学科主题学习设计路向

摘要数学跨学科主题学习需要在真实情境中，围绕数学/跨学科概念展开持续的学习实践。数学跨学科主题学习的设计需要关注真实情境、数学概念和跨学科整合三个基本要素，从深度理解的角度去预期学习结果、确定评估证据、合理规划学习过程，实现用高阶带动低阶的学习实践设计，促使学生在持续质疑和反思中达成对数学学科本质的深度理解。关键词小学数学；数学概念；真实情境；跨学科主题学习布鲁姆认为，理解是通过有效应用、分析、综合、评价，来明智、恰当地整理事实和技巧的能力。深度理解则是一种深层次的思考，即解释、思辨、推理、验证、应用等更有难度、更加复杂和更具综合性的学习结果，是学生灵活地运用所知进行思考和行动的能力[1]。夏雪梅指出，从核心知识的提出到挑战性问题的解决，以及最后成果和评价的指向，都需要围绕对学科概念的深度理解展开[2]。数学跨学科主题学习作为培养学生数学核心素养的重要学习方式，必定要基于数学/跨学科概念，围绕真实情境中的挑战性问题展开探究实践，最终指向对数学学科本质的深度理解。因此，数学跨学科主题学习可以围绕基本特征和设计要素展开设计，通过解决真实情境中的数学学科问题，促进学生对数学/跨学科概念的深度理解：既指向内容层面的理解，即知道数学知识是什么；又包括结构层面的理解，即能形成对数学概念的结构化认知；还包括实践层面的理解，即能灵活应用和创新。一、促进深度理解的数学跨学科主题学习的基本特征《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，在主题活动中，学生要面对现实的背景，从数学的角度发现并提出问题，综合运用数学和其他学科的知识与方法，分析并解决问题[3]。这里强调了三个维度：一是现实的背景，即主题要源自于真实情境，具有现实意义和价值；二是数学的角度，即要从数学学科本质的角度去审视问题，坚持数学学科本体；三是综合运用，即要重视数学知识与其他学科知识的结构化整合，强调跨学科融通。由此可见，数学跨学科主题学习至少具备以下三个基本特性：一是问题的真实性。戴维·珀金斯认为，信息时代的教育是围绕“真实生活和现实世界中的问题和机遇”展开的[4]。数学跨学科主题学习中学生需要面对现实的背景，这就强调了问题情境必须具有真实性，即指向主题场景、实施主体和学习实践的真实性。学生在探究真实性问题的过程中，感悟数学与社会生活之间的联系，进一步提高解决实际问题的能力，形成和发展核心素养。二是数学学科性。跨学科主题学习并不脱离学科本身，学习仍注重对学科知识的汲取和对学科的理解，并在理解基础上延伸与拓展[5]。数学跨学科主题学习要解决的是从数学的角度发现问题，因此要从数学学科的视角去提出问题和分析问题、凝练数学概念和方法，在综合运用数学知识解决问题的过程中，学习数学知识并产生概念性理解，在数学知识迁移与应用中，积累数学活动经验、感悟数学思想方法。三是跨学科整合性。深层次的跨学科学习表现为多个学科知识的融合、应用和分析，创造性地解决问题[6]。数学跨学科主题学习强调综合运用数学和其他学科知识解决问题，这就需要将数学和其他学科概念进行结构化整合，从整体的、联系的、发展的视角去审视问题，既能强化对数学概念的本质理解，又能建立起有意义的跨学科知识结构，形成科学的思维习惯。二、促进深度理解的数学跨学科主题学习的设计要素数学跨学科主题学习要设计情境真实、较为复杂的问题，引导学生综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题[7]。因此，在设计时教师需要引导学生综合运用数学学科及其他学科知识去解决真实的、高阶的数学问题，围绕数学核心素养进行跨学科主题学习活动设计，使学生在问题解决中进行深层次的学习，促进数学概念的深度理解、数学/跨学科核心素养的发展和形成。结合数学跨学科主题学习的内涵和特征，在设计时需要关注三个基本要素：真实情境、数学概念和跨学科整合。这三者紧密联系且内在统一，依托挑战性的学习实践、结构化的学习内容，达成可迁移的概念理解。1.真实情境：具有挑战性的学习实践钟启泉教授认为真实性是核心素养的精髓。真实情境中的挑战性问题不仅是连接学生与现实世界的桥梁，还是激发学生学习动机最直接、最有效的方法[8]。数学跨学科主题学习所设计的任务情境要尽可能地接近真实世界中的场景和呈现真正的困难，在高阶学习中渗透低阶学习，以促进高阶思维能力的形成。学生在解决真实情境的挑战性问题中，经历以创新为核心特征的专家思维，并不断形成在具体与抽象之间相互交错的高通路学习迁移能力。如在“校园路线设计”主题学习中，如何绘制校园平面图是一个真实的挑战性问题，学生要观察、测量校园中各类建筑，抽象出校园平面图的结构布局，再结合平面图形绘图的特征解决问题。在这个过程中的学习实践是丰富的、复杂的，而学生在有意义的迁移中形成对平面结构图的深度理解。2.数学概念：引发可迁移的深度理解托马斯认为，高质量的学习要聚焦于学科中的核心概念、原则等关键问题[9]。学生在深入主题研究、解决真实问题的同时，要实现对概念性知识的深度理解，即不仅要知道某个知识点，还要能解释这个知识的意义，更重要的是能建立起概念性知识之间的关联，从而实现知识的再建构。如在“校园路线设计”主题学习中（配合六年级“比例”及“确定位置”单元），学生不仅要掌握“比例”“确定位置”的相关知识点，还要沟通知识点之间的联系，形成对图形的放大与缩小、比例尺等知识的结构化认知。他们绘制的校园平面图不仅要呈现出对物体放大与缩小的概念理解，还要呈现对比例尺的实践性理解。在整个跨学科主题学习的过程中，学生要实现对“实物—平面”之间联系的理解，并能在具体的学习活动中实现迁移。3.跨学科整合：形成结构化的认知体系大概念教学追求认知的结构化，使之成为一种反映专家思维的自然知识，在新的情境中可以被激活和运用[10]。学生在参与数学跨学科主题学习中不仅要建构起数学学科内的知识体系，还要打通与其他学科、学校生活、现实世界等的关联，从整体的、联系的、多元的视角审视并解决问题，在不断形成跨学科结构化认知的同时发展核心素养。如在“校园路线设计”主题学习中，就搭建了“图形的放大与缩小”“比例的基本性质”“解比例”等数学概念框架，统整美术构图、科学测量等多学科知识，链接校园实况勘察、合理评估等现实经验，将数学与其他学科，以及现实生活进行有机统整，形成解决真实问题的完整认知体系。三、促进深度理解的数学跨学科主题学习的设计逻辑学习的发生经历了三个阶段：表层、深层和转化[11]。良好的设计需要考量学习三阶段，即不仅仅是为了使学生获得一些新的技术技能，而且要以目标及其潜在含义为导向，产生更全面、更具体的学习。高质量的数学跨学科主题学习，既要学生掌握基本的知识与技能，还要促进他们对数学概念的深度理解，更要在有效迁移中实现数学素养和跨学科素养的提升。笔者结合苏教版《数学》六年级下册“比例”及“确定位置”单元，将美术、科学、语文等相关内容进行统整，以“校园路线设计”为跨学科主题，提出真实情境中的挑战性问题“学校每学期都要接待幼儿园小朋友来学校参观，为了在‘溪水流坊幼小衔接活动中让幼儿园小朋友更好地了解学校，请同学们像一名真正的建筑绘图师那样绘制出精准的校园平面图，并以小导游的身份设计好路线进行校园文化介绍”，围绕学习三阶段，借助威金斯的逆向设计理念，从深度理解的角度进行数学跨学科主题学习设计。1.关注结果：形成对数学/跨学科概念的深度理解预测学生在跨学科主题学习结束之后应该知道什么，能够做什么，哪些内容需要深入持久的理解，这些在整个逆向教学设计过程中起着至关重要的导向作用[12]。学生不仅仅是参与活动或学习知识，更重要的是在参与活动、不断地学习有意义并且有用知识的过程中获得新的视角和能力。数学跨学科主题学习需要围绕学习三阶段制定目标：既包括数学基本知识与技能的掌握，也包括对数学概念的意义理解，更重要的是通过学习引发对概念的有效迁移。校园平面图的绘制是让学生经历从生活实际中抽象出平面图形的过程，不仅要学会用数学的眼光去观察世界，还要像专业的建筑绘图师那样去分解与组合、测量与估算，形成对现实世界空间观念的整体感知，这既是对数学概念的深度理解，更指向跨学科素养的形成。因此“校园路线设计”主题学习的目标确定如下。表层阶段，主要是掌握基本的知识和技能。知识目标为：图形的放大与缩小，比例的意义和基本性质、解比例，比例尺，用方向和距离确定位置，绘图的各项注意点（美术）；技能目标为：会测量物体的实际距离，会利用比例尺确定图上距离，会利用方向和距离确定方位，会美化平面图（美术），会有序介绍各类景点（语文）。深层阶段，主要是理解概念之间的联系和意义。学生需要深入持久地理解：数据的收集与整理要根据具体的需要确定，数据的变化会影响平面图的整体结构，好的数学方案与现实问题的解决方案之间可能会有误差。相应的基本问题包括：如何从平面图的角度去观察、理解并准确地刻画现实事件，如何像建筑绘图师那样用图形的结构来描述周围的物体。转化阶段，主要指向学习的迁移，即能在新情境中灵活应用大概念：数据的变化引发平面图的变化。学生通过学习获得一个可迁移和应用的观点：每个数据的变化都会引发平面图形的变化，而数据的变化中又蕴含着形状的不变。学生在观测中形成对校园平面图的整体认知，这个过程也是发展数感、建立模型意识、丰富空间意识的过程，也同样适用于其他平面图。学习目标的确立可以提前预估学习结果，通过对基本问题的持续追问，促进学生深入持久地理解概念，从而引发对大概念的灵活迁移。2.基于证据：重视真实情境中的理性表达在跨学科主题学习中需要提前考虑：什么样的证据可以证明学生已经达到了预期的学习目标？如何证明学生已经获得了真正的理解？评估最为重要的并不是评估的方式，而是要发现什么样的证据可以证明学生已经真正理解并可以应用学习内容，以及什么样的证据可以显示学生还没有获得理解[13]。在“校园路线设计”跨学科主题学习中，学生至少需要从两个维度来证明他们获得了真正的理解：一是释义，能用自己的话说明他们对绘制平面图的理解；二是迁移，能将对平面图绘制的理解应用到新的情境中。真实情境任务是评估学生是否理解目标的重要方式，在“校园路线设计”评估中，设计两大评估任务：一是真实情境任务，具体包括：组织一次“确定比例尺”的方案交流；作为一名建筑绘图师，请你讲述校园平面图的设计、绘制经历；作为一名景点讲解员，请你有条理地向幼儿园的小朋友们介绍美丽的校园。二是其他评估，具体包括：前测（学生已经具备了哪些知识和技能），校园平面草图、精修图，校园路线设计方案。学生通过在真实情境任务中的表现，能相对清晰地反应出对数学/跨学科概念的理解：在如何确定比例尺的方案交流中，学生能否围绕“比例的基本性质”，通过计算、调整来确定合适的比例尺；在讲述绘制经历时，学生能否从图形的位置、数据的变化、比例的意义以及美术的构图等方面讲述观点；在最终的作品展中，能否呈现对立体建筑与平面图形、空间结构与平面构图的个性化理解。真实的表现性任务指向学生思维的可视化发展，任务完成的过程就是对大概念深入理解的过程，任务的完成程度直观反映学生对大概念的理解程度。3.规划过程：强调学习实践中的持续探究设计学习规划要以实现意义理解和学习迁移的目标为根据。在学习规划时，要考虑每个活动的设计能否激发学生的探究兴趣并促进学生对概念的理解；每项活动需要提供怎样的学习策略以帮助学生深入项目探究过程；教师什么时候介入并进行相关事实性知识的指导等。以下是“校园路线设计”主题的学习流程设计，包括对真实情境中不良结构问题的讨论、对基本问题持续的质疑和反思，学生在参与多项学习实践、多轮辩论分析中积累数学活动经验、增强空间观念，形成对大概念的理解和迁移，并在与同伴的实践探究中促进跨学科素养的形成。（1）剖析主题，在问题梳理中形成结构认知。数学跨学科主题学习中的问题是基于真实情境的劣构问题，具有挑战性。这就意味着学生面对的是开放的、非常规性的问题，在学习推进中，首先要通过头脑风暴，梳理出相关的学习实践路径（如图1），学生在头脑中初步形成完整的认知网络：“校园路线设计”中涉及校园的测量、方位的确定、图纸与校园大小关系的确定等围绕数学概念展开的任务，还涉及构图、着色等美术知识，以及景点描写等语文知识的跨学科任务。通过对主题的剖析，可以建立跨学科的联系，帮助学生在真实的问题情境中形成跨学科的结构认识，更加客观、全面、多元地去审视、分析问题。（2）任务推进，在持续探究中深度理解概念。数学跨学科主题可分解成多个任务、有层次地推进，而每个子任务都要围绕对数学概念的深度理解展开，学生要真实地参与基于证据的学习。“校园路线设计”主题学习分解为三个任务。任务一，绘制草图。主要学习实践：观察校园，了解校园及各建筑的实际大小（亲自测量或调查询问），绘制校园平面草图。涉及的相关知识：用方向和距离确定位置，测量（科学）。任务二，精致化平面图。主要学习实践：测量图纸的大小，商定合适的比例尺并进行方案可行性讨论，了解平面图的绘制要求，绘制精准的平面图。涉及的相关知识：图像的放大与缩小，比例的意义和基本性质、解比例，比例尺的意义和应用，构图的要素（美术）。任务三，路线介绍。主要学习实践：设计参观路线，现场讲解。涉及的相关知识：用方向和距离描述简单的行走路线，描述景点要素（语文）。每一项任务都需要指向对数学概念的深度理解。以任务二中“商定合适的比例尺”为例，学生需要通过校园实际长度与图纸长度之间的关系，结合“长与宽的比”或“长的比与宽的比”确定比例尺，学生将围绕“如何判定比例尺是合适的”“你们如何调整比例尺的大小”等问题展开方案的可行性讨论，从而促进每一位同伴在不断的思考中形成对核心概念的深度理解。（3）定制支架，在评价调控中提升学习技能。学习技能是一系列的能力，使学生能够获得、组织、综合和使用信息，可转化并在新的情境下应用，包括认知学习技能、元认知学习技能和情感学习技能[14]。定制适切的学习支架可以有效提升相应的学习技能，在数学跨学科主题学习深入推进中具有不可或缺的重要价值。在“校园路线设计”中至少需要定制四类学习支架：KWL图表，帮助学生思考与校园路线相关的数学概念及跨学科概念；问题梳理单，帮助学生梳理并记录路线探究中出现的问题及主要的解决方案；小组分工单，帮