湘教版八年级上册数学全册教学课件

第1章分式1.1分式1.分式的基本性质：（1）分式的分子与分母都乘_________________，所得分式与原分式相等.（2）分式的分子与分母都除以它们的一个________，所得分式与原分式相等.知识回顾同一个非零整式公因式2.把下列多项式因式分解：(1)a2-2a=________a2-4a+4=_______(2)x2-9=____________x2+6x+9=________a(a-2)(a-2)2由此得它们的公因式是____.a-2(x+3)(x-3)(x+3)2由此得它们的公因式是____.x+3归纳：由以上可得2.把一个分式的分子与分母的________约去的运算叫作分式的约分.约分的依据是_______________.1.分子与分母没有__________的分式叫作

.

公因式分式的基本性质公因式最简分式（1）把分子与分母因式分解，找出分子与分母的公因式.约分的一般步骤:（2）根据分式的基本性质约去分子与分母的公因式.自我检测交流1.下列分式，最简分式的个数是（）

①②③④

A.1B.2C.3D.4a2-b2________(a-b)2a-b______a+bx-y_______y-xx2+1_______x+1B-x-y=-(x+y)(-x-y)2

=(x+y)2

y-x=-(x-y)(y-x)2

=(x-y)2

提示：找公因式时要熟悉以下转化关系

思考：当x=5，y=3时，怎样求分式的值？当x=5，y=3时，约分的应用方法：先约分化成最简分式，再代值计算.第1章分式1.2分式的乘法和除法背景导入上节课我们学习了：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等。能对分式进行约分。将一个分式化成最简分式。接下来我们将学习分式的乘除法运算。一、做一做，回顾分数的乘除法。１、

２、

解:(1)(2)回顾分数的乘、除法法则分数的乘法法则：分数乘分数，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母。然后约去分子与分母的公因数。分数的除法法则：分数除以分数，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘。提问：你能用代数式表示上题的计算过程吗？经观察、类比，不难发现：分式的乘、除法法则：分式的乘法法则：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母。然后约去分子与分母的公因式。分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。例题讲解例１计算：（１）（２）例题解答解：（１）

（２）

注意：分式运算的最后结果要化为最简分式。（２）（分析：若分式的分子、分母可以因式分解，则先分解因式，再进行计算）例２计算：（１）解：（１）（２）教学总结提问：通过本节课的学习，你学到了哪些知识和数学思想？１、分式的乘除法。２、数学中重要的一种思想—类比转化思想。由小学所学的分数的乘除法类比分式的乘除法，分式的除法可以化归为分式的乘法。第1章分式1.3整数指数幂说一说正整数指数幂的运算法则有哪些？am·an=am+n(m，n都是正整数)；(am)n=amn(m，n都是正整数)；(ab)n=anbn(n是正整数).(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)；

(b≠0，n是正整数).

在前面我们已经把幂的指数从正整数推广到了整数.

可以说明：当a≠0，b≠0时，正整数指数幂的上述运算法则对于整数指数幂也成立.am

·an=am+n(a≠0，m，n都是整数)，(am)n=amn(a≠0，m，n都是整数)，(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整数).①②③即实际上，对于a≠0，m，n是整数，有(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)；因此，同底数幂相除的运算法则被包含在公式①中.am

·

an=am+n(a≠0，m，n都是整数)而对于a≠0，b≠0，

n是整数，有因此，分式的乘方的运算法则被包含在公式③中.(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整数)③例7设a≠0，b≠0，计算下列各式：

（1）a7·

a-3；（2）(a-3)-2；

（3）a3b(a-1b)-2.

举例解：（1）a7·a-3（2）(a-3)-2=a7+(-3)=

a(-3)×(-2)=a4.=a6.（3）a3b(a-1b)-2=a3b·a2b-2=a3+2b1+(-2)=a5b-1=举例例8计算下列各式：练习1.设a≠0，b≠0，计算下列各式：（1）-a

·

(-a)3；答案：a4.（2）(-a)3·(a-1)2

；（3）[(-a)2]-1；（4）a-5(a2b-1)3.答案：-a.答案：.答案：.2.计算下列各式：

第1章分式1.4分式的加法和减法

类似地，同分母的分式的加、减法运算法则是：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

即同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减.

例1

计算：举例

分式运算的最后结果要化为最简分式.分式运算的最后结果要化为最简分式.注意下列等式是否成立？为什么？说一说

因为所以

因为所以例2

计算：举例练习1.计算：答案：x-y2.计算：答案：1做一做

；

.计算：

异分母的分数相加减，要先通分，化成同分母的分数，再加减.

类似地，异分母的分式进行加、减运算时，也要先化成同分母的分式，再加减.

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.动脑筋如何把分式通分？

通分时，关键是确定公分母.

一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.2x的因式有2，x；

两式中所有因式的最高次幂的积是6xy，3y的因式有3，y，

所以这两个分式的最简公分母为6xy.

从而可以根据分式的基本性质，分别把原来各分式的分子和分母都乘同一个适当的整式，使各分式的分母都化成6xy.通分过程如下:举例例3通分：解:

最简公分母是12xy2.最简公分母是20a2b2c2.举例例4通分：解

最简公分母是x(x-1).最简公分母是2(x+2)(x-2).

练习

1.通分：2.通分：动脑筋

从甲地到乙地依次需经过1km的上坡路和2km的下坡路.已知小明骑车在上坡路上的速度为v

km/h，在下坡路上的速度为3v

km/h，则他骑车从甲地到乙地需多长时间？

这是异分母的分式的加法，因此我们应先把它们化成同分母的分式，然后再相加，即

小明骑车走1km上坡路和2km下坡路的时间分别为，，那么骑行所需的总时间为.因此，小明骑车从甲地到乙地需.举例例5计算：解：举例例6计算：解:原式举例例3计算：注意

把“x+1”看作“”，有助于寻找两个分式的公分母.练习

1.计算：2.计算：3.甲、乙两城市之间的高铁全程长1500km，列车的运行速度为bkm/h.经过长时间试运行后，铁路部门决定将列车运行速度再提高50km/h，则提速后列车跑完全程要少花多长时间？答：提速后列车跑完全程要少花中考试题例1化简：的结果是（）.A.-x-y

B.y-x

C.x-y

D.x+y解析A中考试题例2计算：=

.解析1中考试题例3解析当时，=

.

当时，原式第1章分式1.5可化为一元一次方程的分式方程动脑筋

某校八年级学生乘车前往某景点秋游，现有两条线路可供选择：线路一全程25km，线路二全程30km；若走线路二平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min，则走线路一、二的平均车速分别为多少？

设走线路一的平均车速为xkm/h，则走线路二的平均车速为1.5xkm/h.又走线路二比走线路一少用10min，即因此，根据这一等量关系，我们可以得到如下方程：走线路一的时间-走线路二的时间=像这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程.议一议

分式方程的分母中含有未知数，我们该如何来求解呢？

联想到我们在七年级已经学过一元一次方程的解法，因此我们应通过“去分母”，将分式方程转化为一元一次方程来求解.方程两边同乘6x，得解得x=30.25×6-30×4=x

.经检验，x=30是所列方程的解.

由此可知，走线路一的平均车速为30km/h，走线路二的平均车速为45km/h.

从上面可以看出，解分式方程的关键是把含未知数的分母去掉，这可以通过在方程的两边同乘各个分式的最简公分母而达到.例1解方程

：举例解：方程两边同乘最简公分母x(x-2)，得5x-3(x-2)=0.

解得x=-3.检验：把x=-3代入原方程，得因此x=-3是原方程的解.左边==右边，分式方程的解也叫作分式方程的根.例2解方程

：举例

解：方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-2)，得

x+2=4.

解得x=2.检验：把x=2代入原方程，方程两边的分式的分母都为0，这样的分式没有意义.因此，x=2不是原分式方程的根，从而原分式方程无解.

从例2看到，方程左边的分式的分母x-2是最简公分母(x+2)(x-2)的一个因式.

这启发我们，在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；

如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根.

例2解方程：

解分式方程有可能产生增根，因此解分式方程必须检验.说一说解可化为一元一次方程的分式方程的基本步骤有哪些？可化为一元一次方程的分式方程一元一次方程一元一次方程的解

把一元一次方程的解代入最简公分母中，若它的值不等于0，则这个解是原分式方程的根；若它的值等于0，则原分式方程无解.方程两边同乘各个分式的最简公分母求解检验练习1.解下列方程：答案：x=5答案：无解2.解下列方程：答案：x=0答案：x=4动脑筋

A，B两种型号机器人搬运原料.已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.

设B型机器人每小时搬运xkg，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg.由“A型机器人搬运1000kg所用时间=B型机器人搬运800kg所用时间”由这一等量关系可列出如下方程：方程两边同乘最简公分母x(x+20)，得1000x=800(x+20).解得x=80.检验：把x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，因此x=80是原方程的根，且符合题意.由此可知，B型机器人每小时搬运原料80kg，A型机器人每小时搬运原料100kg.例3国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴200元，若同样用11万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多10%，则该款空调补贴前的售价为多少元？举例分析本题涉及的等量关系是：

补贴前11万元购买的台数×(1+10%)=补贴后11万元购买的台数.解:

设该款空调补贴前的售价为每台x元，由上述等量关系可得如下方程：即方程两边同乘最简公分母x(x-200)，

解得x=2

200.

得1.1(x-200)=x.检验：把x=2

200代入x(x-200)中，它的值不等于0，

因此x=2

200是原方程的根，且符合题意.答：该款空调补贴前的售价为每台2200元.练习1.某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天就可盖成；如果由建筑一队、二队同时施工，那么30天能完成工程总量的.现若由二队单独施工，则需要多少天才能盖成？解设由二队单独施工需x天完成任务，则

答：由二队单独施工，则需225天才能盖成.2.一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆水航行48km所需时间相同.已知水流的速度是2km/h，求轮船在静水中航行的速度.解设轮船在静水中航行的速度为xkm/h，则

答：轮船在静水中航行的速度为18km/h.中考试题例1分式方程的解是（）

A.-3B.2C.3D.-2A解析将各选项的值代入检验或者直接解出方程.只有A项正确，故选A.中考试题例2

解分式方程，方程的解为（）

A.x=2B.x=4C.x=3D.无解解析在方程两边同乘(x-2)，约去分母，得1-x+2(x-2)=-1，1-x+2x-4=-1，x=2.检验，当x=2时，x-2=2-2=0，所以x=2是增根.所以原方程无解.D中考试题例3

轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同.已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为

.解析V顺=(x+3)千米/时，V逆=(x-3)千米/时，故中考试题例4

在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨.先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务.已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需多少天？解：设甲工程队单独完成任务需x天，则乙工程队单独完成任务需(x+2)天.依题意，得化简，得x2-3x-4=0，解得x=-1或x=4.

检验：当x=4和x=-1时，x(x+2)≠0，

x=4和x=-1都是原分式方程的解.

但x=-1不符合实际意义，故x=-1舍去.

乙单独完成任务需要x+2=6(天).

答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天.小结与复习1.举例说明分式的基本性质、运算法则.2.举例说明如何利用分式的基本性质进行约分和通分.3.整数指数幂有哪些运算法则？4.解可化为一元一次方程的分式方程的基本思路是什么？解分式方程时为什么要检验？本章知识结构分式基本性质运算可化为一元一次方程的分式方程乘、除运算整数指数幂的运算加、减运算注意1.分式与分数有许多相似之处，在学习分式的性质与运算时，可类比分数.2.解分式方程的关键在于去分母，这时可能产生增根，因此必须检验.

除了要看求出的未知数的值是否使最简公分母的值为0外，在实际问题中还需检查求出的根是否符合实际问题的要求.第2章三角形2.1三角形观察

观察下图，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来.你还能举出一些实例吗？不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.三角形可用符号“△”来表示，如图中的三角形可记作“△ABC

”，读作“三角形ABC

”.其中，点A，B，C叫作△ABC的顶点；∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角（简称△ABC的角）；线段AB，BC，CA叫作△ABC的边.通常∠A，∠B，∠C的对边BC，AC，AB可分别用a，b，c来表示.

在三角形中，有的三边各不相等，有的两边相等，有的三边都相等.

两条边相等的三角形叫作等腰三角形.

在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，

另外一边叫作底边，

两腰的夹角叫作顶角，

腰和底边的夹角叫作底角.腰腰底边顶角底角底角

三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.

等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形.

在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度之间有怎样的大小关系？为什么？动脑筋

在△ABC中，BC是连接B，C两点的一条线段，由基本事实“两点之间，线段最短”可得AB+AC>BC.同理可得AB+BC>AC，AC+BC>AB

.结论三角形的任意两边之和大于第三边.一般地，我们可以得出：做一做

有三根木棒，其长度分别为2cm，3cm，6cm，它们能否首尾相接构成一个三角形？举例例1如图，D是△ABC的边AC上一点，AD=BD，试判断AC与BC的大小.解在△BDC中，有BD+DC>BC（三角形的任意两边之和大于第三边）.又AD=BD，所以BD+DC=AD+DC=AC，所以AC>BC.练习1.（1）如图，图中有几个三角形？把它们分别表示出来.答：五个三角形.（2）如图，在△DBC

中，写出∠D的对边，BD

边的对角.答：∠D的对边是BC，

BD边的对角是∠BCD.2.三根长分别为2cm，5cm，6cm的小木棒能首尾相接构成一个三角形吗？答：能.

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.

如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是△ABC的BC边上的高.如图，试画出图中△ABC的BC边上的高.做一做D

在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.

如图，∠BAD=∠CAD，则线段AD是△ABC的一条角平分线.

在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.

如图，BE=EC，则线段AE是△ABC的BC边上的中线.

任意画一个三角形，画出三边上的中线.你发现了什么？做一做EFDEFD

事实上，三角形的三条中线相交于一点.

我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.

如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点G，则点G为△ABC的重心.G举例例2如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来.解（1）图中有6个三角形，它们分别是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.（2）其中哪些三角形的面积相等？解：因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC.因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，所以S△ABD=S△ADC.又练习1.利用三角尺（或直尺）、量角器任意画出一个三角形，并画出其中一条边上的中线、高以及这条边所对的角的平分线.2.如图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线，

BF是△EBD的角平分线，根据已知条件填空：ADC90AEABEBFDBE动脑筋

在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作（如图），知道三角形的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？

上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角.结论三角形的内角和等于180°.举例例3

在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解：设∠B为x，则∠A为(3x)°，∠C为(x+15)°，从而有3x+x+(x+15)=180.解得x=33.所以3x=99，x+15=48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.议一议

一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？

三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角.

三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，

有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形.锐角三角形直角三角形钝角三角形

直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.

在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.

两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.

如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.

像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.

对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角.D

探究

在图中，外角∠ACD和与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？

我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.因为∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD-∠A-∠B=0（等量减等量，差相等），于是∠ACD=∠A+∠B.结论

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.练习1.填空：（1）在△ABC中，∠A=60°，∠B=∠C，则∠B=

；（2）在△ABC中，∠A-∠B=50°，∠C-∠B=40°，则∠B=

.60°30°2.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAC的度数.答：∠DAC的度数是34°.3.如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度数.答：∠C的度数是70°.第2章三角形2.2命题与证明学习目标1.学会判断命题的真假2.掌握如何证明命题

引入三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角.我们前面学习了许多有关三角形的概念，如：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫三角形.

像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.

例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义.“同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义.下列叙述事情的语句，哪些是对事情作出了判断？（1）三角形的内角和等于180°;（2）如果|a|=3，那么a=3;（3）1月份有31天;（4）作一条线段等于已知线段;（5）一个锐角与一个钝角互补吗？

一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.

如上述语句中,（1）（2）（3）都是命题，（4）（5）没有对事情作出判断，不是命题.观察下列命题的表述形式有什么共同点？（1）如果a=b且b=c，那么a=c；（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.

它们的表述形式都是“如果……，那么……”.

命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.

例如，对于上述命题（2），“两个角的和等于90°”就是条件，“这两个角互为余角”就是结论.（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.

有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词“如果”、“那么”.

如：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以简写成“对顶角相等”；

“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”可以简写成“同角的余角相等”.做一做（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：命题条件结论①能被2整除的数是偶数②有公共顶点的两个角是对顶角③两直线平行，同位角相等④同位角相等，两直线平行那么这个数是偶数如果一个数能被2整除那么这两个角是对顶角如果两个角有公共顶点那么它们的同位角相等如果两条直线平行那么这两条直线平行

如果两个同位角相等（2）上述命题③与④的条件与结论之间有什么联系？③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.

命题③与④的条件与结论互换了位置.

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.

例如，上述命题③与④就是互逆命题.

从以上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.1.下列语句，哪些是命题，哪些不是命题？（2）两点之间，线段最短；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？（1）如果x=3，求的值；2.将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）个位数字是5的整数一定能被5整除；（3）互为相反数的两个数之和等于0；（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角.练习3.写出下列命题的逆命题：（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；（2）如果m是整数，那么它也是有理数；（3）两直线平行，内错角相等；（4）两边相等的三角形是等腰三角形.4.在下列空格上填写适当的概念：（1）垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的

.

（2）在数轴上，表示一个实数的点与原点的距离叫作这个实数的

.垂直平分线绝对值练习议一议

下列命题，哪些是正确的，哪些是错误的？说一说你的理由.（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数；（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.错误错误错误正确上面五个命题，命题(4)是正确的，命题(1)(2)(3)都是错误的.我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.

（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数；（3）同位角相等.

（4）同角的补角相等.结论（1）如果a是整数，那么a是有理数；解:

如果a是整数，根据有理数的定义：“整数和分数统称为有理数”,得出a是实数.因此命题(1)为真．（2）如果a是有理数，那么a是整数.解:

0.5是有理数，因此命题(2)为假．但是0.5不是整数.

像此例的第(1)题那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证明.

像此例的第(2)题那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作举反例.判断下列命题为真命题是根据什么呢？

分别根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出判断．（1）如果a是整数，那么a是有理数；（2）如果三角形ABC是等边三角形，那么它是等腰三角形．

从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.

对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫作基本事实.有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫作定理.

古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.

欧几里得本书中，我们把少数真命题作为基本事实.

例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.基本事实同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.我们把经过证明为真的命题叫作定理.

例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”.

定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.

例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形的外角定理”.

当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.

例如，“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它的逆命题“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角”就是假命题.

如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.

我们前面学过的定理中就有互逆的定理.

例如，“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆的定理.

采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得360°．

另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°．此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题．要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.动脑筋

已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.

求证︰∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.证明:∵∠BAF=∠2+∠3，

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3).∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.经过刚才三站的“证明”之旅，你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？（1）根据题意，画出图形.（2）结合图形，写出已知、求证.（3）写出证明过程，并且步步有依据.依据(定义)(定理)(推论)(基本事实)（真命题）条件结论

数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.

证明的每一步都必须要有根据.推理例1

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证明：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理）,

∠B=∠C（已知）,∴∠DAC=2∠B（等式的性质）.又∵AE平分∠DAC（已知）,∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）,∴∠DAE=∠B（等量代换）,∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）.例2

已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.

分析这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”“有两个”“有三个”这三种情况.如果直接来证明，将很烦琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等

于60°,即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.

像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.

反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确2.已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.

求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.证明：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（两直线平行,内错角相等）,∠3+∠4=180°（两直线平行,同旁内角互补）.∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.3.已知：如图，AB与CD相交于点E.求证：∠A+∠C=∠B+∠D.证明：∵

AB与CD相交于点E，∴∠AEC=∠BED（对顶角相等）.又∵∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形内角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.4.已知：如图,有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.

求证：a//b.Aabc证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A.那么过点A

就有两条直线a、b分别与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾,故假设不成立.∴a//b.证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：第一步第二步第三步画出图形写出已知、求证写出证明的过程根据题意根据命题的条件和结论，结合图形通过分析，找出证明的途径第2章三角形2.3等腰三角形

我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？探究

任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图.

作△ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：D12ABABBAD射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线

；线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段

；点B的像是点C，点C的像是点

；线段BC的像是线段CB.从而等腰三角形ABC关于直线

对称.由于点D的像是点D，因此线段DB的像是线段

，从而AD是底边BC上的

.由于射线DB的像是射线DC，射线DA的像是射线

，因此∠BDA

∠CDA=

°，从而AD是底边BC上的

.由于射线BA的像是射线CA，射线BC的像是射线

，因此∠B

∠C.DC中线DA=90高CB=结论由此得到等腰三角形的性质定理：

等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.

等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).

结论

等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).动脑筋因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=AC，从而∠C=∠A=∠B.由三角形内角和定理可得：∠A=∠B=∠C=60°.

如图，△ABC是等边三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？由此得到等边三角形的如下性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.结论

由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.例1已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E

在边BC上，且AD=AE.求证：BD=CE.举例证明:

作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.∴BF=CF，∴BF-DF=CF-EF，DF=EF，即

BD=CE.F

如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上.（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.（2）这时BC处于水平位置，为什么？议一议练习1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.答：∠BAD=24.5°，DC=2.2.如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD=80°，AD=AP，求∠DPC的度数.答：∠DPC=20°.

我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？探究

如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？我测量后发现AB与AC相等.3cm3cm事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C.沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，则∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形内角和定理得∠ADB=∠ADC.D12沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.从而点B与点C重合，于是AB=AC.结论有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).结论三个角都是60°的三角形是等边三角形.

由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E

分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.

求证：△ADE为等腰三角形.举例证明∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.于是△ADE为等腰三角形.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？动脑筋如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形内角和定理,得∠A+∠B+∠C=180°.如果顶角∠A=60°，那么∠B+∠C=180°-60°=120°.又AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠B=∠C=∠A=60°.∴△ABC是等边三角形.由此得到另一条等边三角形的判定定理：结论有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形例3已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E

分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.

求证：△ADE是等边三角形.举例证明∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，又AD=AE，∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.练习1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.

求证：△OBC为等腰三角形.ABCDEO证明∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABD=∠DBC=，∠ACE=∠ECB=，∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，ABCDEO2.

已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE=60°.求证：△ACE是等边三角形.证明:∵CD平分∠ACB，∴在△ACE中，∠CAE=180°-

∠E-∠ACE=60°,又∵∠ACE=60°，∴∠BCD=∠E=60°，∴∠ACD=∠DCB.∴∠ACD=∠DCB=60°.又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°,∴△ACE是等边三角形.3.已知：如图，AB=BC，∠CDE=120°，

DF∥BA，且DF平分∠CDE.求证：△ABC是等边三角形.证明:∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形.∴∠EDF=∠FDC=60°.又∵DF∥BA，中考试题例1

一个等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形的周长为（）

A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.14cmB解析

另一边长为2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三边关系定理，∴周长为5+5+2=12（cm）.中考试题例2

若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）

A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°解析

因为50°可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选D.D第2章三角形2.4线段的垂直平分线操作指出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）问题怎样做出一条线段的垂直平分线？2.过点E、F作直线。1.分别以点A、B为圆心，大于长为半径，画弧交于点E、F；尺规作图作法：探究测量证明测量线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离已知，如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB,P是MN上任意一点.求证：.线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.定理

如图，在四边形ABCD中，直线AC垂直平分BD于点O.（1）图中有多少对全等三角形，请把它们写出来；（2）任选（1）中一对全等三角形加以证明.例1范例学习针对性训练1、如图，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CD

B．∠DAC=∠B

C．∠C

＞2∠B

D．∠B+∠ADE=90°2、如图，在△ABC中，BC的中垂线交斜边AB于点D，图中相等的线段有（）A、1组B、2组C、3组D、4组针对性训练3、已知，如图，y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B、C在x轴上。（1）若点C的坐标为（3，0），则点B的坐标是________；（2）若点B的坐标为（m，0），则点C的坐标是________。针对性训练4、已知如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长为_______。针对性训练5、公路l同侧的A、B两村，共同出资在公路边修建一个停靠站C，使停靠站到A、B两村距离相等，你如何确定停靠站C的位置。针对性训练思考

你能写出上述定理的逆命题吗？它是真命题吗？逆命题定理与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。定理范例学习例2已知：如图，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，DE＝DF。求证：AD垂直平分EF。整理小结

一个方法证明线段相等的新方法：利用线段垂直平分线的性质。

两条定理线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

三种作图折纸过中点作垂线

尺规作图法样，也可能因讨厌一位老师而讨厌学习。一个被学生喜欢的老师，其教育效果总是超出一般教师。无论中学生还是小学生，他们对自己喜欢的老师都会有一些普遍认同的标准，诸如尊重和理解学生，宽容、不伤害学生自尊心，平等待人、说话办事公道、有耐心、不轻易发脾气等。教师要放下架子，把学生放在心上。“蹲下身子和学生说话，走下讲台给学生讲课”;关心学生情感体验，让学生感受到被关怀的温暖;自觉接受学生的评价，努力做学生喜欢的老师。教师要学会宽容，宽容学生的错误和过失，宽容学生一时没有取得很大的进步。苏霍姆林斯基说过：有时宽容引起的道德震动，比惩罚更强烈。每当想起叶圣陶先生的话：你这糊涂的先生，在你教鞭下有瓦特，在你的冷眼里有牛顿，在你的讥笑里有爱迪生。身为教师，就更加感受到自己职责的神圣和一言一行的重要。善待每一个学生，做学生喜欢的老师，师生双方才会有愉快的情感体验。一个教师，只有当他受到学生喜爱时，才能真正实现自己的最大价值。义务教育课程方案和课程标准（2022年版）简介新课标的全名叫做《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，文件包括义务教育课程方案和16个课程标准（2022年版），不仅有语文数学等主要科目，连劳动、道德这些，也有非常详细的课程标准。现行义务教育课程标准，是2011年制定的，离现在已经十多年了；而课程方案最早，要追溯到2001年，已经二十多年没更新过了，很多内容，确实需要根据现实情况更新。所以这次新标准的实施，首先是对老课标的一次升级完善。另外，在双减的大背景下颁布，也能体现出，国家对未来教育改革方向的规划。课程方案课程标准是啥？课程方案是对某一学科课程的总体设计，或者说，是对教学过程的计划安排。简单说，每个年级上什么课，每周上几节，老师上课怎么讲，课程方案就是依据。课程标准是规定某一学科的课程性质、课程目标、内容目标、实施建议的教学指导性文件，也就是说，它规定了，老师上课都要讲什么内容。课程方案和课程标准，就像是一面旗帜，学校里所有具体的课程设计，都要朝它无限靠近。所以，这份文件的出台，其实给学校教育定了一个总基调，决定了我们孩子成长的走向。各门课程基于培养目标，将党的教育方针具体化细化为学生核心素养发展要求，明确本课程应着力培养的正确价值观、必备品格和关键能力。进一步优化了课程设置，九年一体化设计，注重幼小衔接、小学初中衔接，独立设置劳动课程。与时俱进，更新课程内容，改进课程内容组织与呈现形式，注重学科内知识关联、学科间关联。结合课程内容，依据核心素养发展水平，提出学业质量标准，引导和帮助教师把握教学深度与广度。通过增加学业要求、教学提示、评价案例等，增强了指导性。教育部将组织宣传解读、培训等工作，指导地方和学校细化课程实施要求，部署教材修订工作，启动一批课程改革项目，推动新修订的义务教育课程有效落实。

本课件是在MicorsoftPowerPoint的平台上制作的，可以在Windows环境下独立运行，集文字、符号、图形、图像、动画、声音于一体，交互性强，信息量大，能多路刺激学生的视觉、听觉等器官，使课堂教育更加直观、形象、生动，提高了学生学习的主动性与积极性，减轻了学习负担，有力地促进了课堂教育的灵活与高效。部分内容取材于网络，如有雷同，请联系删除！作品整理不易，仅供下载者本人使用，禁止转载！第2章三角形2.5全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等图形。下列同一类的图形有什么特点？下面各组图形是不是全等图形？为什么？（1）（2）（3）边长都是10cm的两个正方形。（4）半径相等的两个圆。两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，如A与D,互相重合的边叫做全等三角形的对应边，如AB与DE。互相重合的角叫做全等三角形的对应角，如∠A与∠D。FEDCBA能够重合的两个三角形叫做全等三角形。三角形全等的表示方法“全等”可用“≌”来表示，如ΔABC和ΔDEF全等，记做“ΔABC≌ΔDEF”，读做“三角形ABC全等于三角形DEF”。注意

表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上。FEDCBA已知图中的两个三角形全等，请你找出它们的对应角和对应边，并用符号表示这两个三角形全等。练一练如图，已知ΔOCA≌ΔOBD，请说出它们的对应边和对应角。ODCBA对应边：CO和BO，对应角：∠A和∠D，∠C和∠B，∠COA和∠BOD。AO和DO。CA和BD，答案：AB=CD，AD=CB，BD=DB练一练：请找出右图中对应的边.ABCDABD≌CDB1、已知：ABCDEABC≌AED2、已知：请找出右图中对应的角.答案：ABCDE3、已知：ABC≌DCE请找出图中对应的顶点.答案:A与D，B与C，C与E.总结寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；（5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？观察与思考全等三角形的对应边相等，对应角相等。

∵△ABC≌△DFE,∴AB=DF,BC=FE,AC=DE

（）,∴∠

A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E（）.全等三角形的性质应用全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等CBAD12例题如图,AD平分∠BAC,AB=AC.△ABD和△ACD全等吗?BD与CD相等吗?∠B与∠C呢?请说明理由.1、能够

的两个图形叫全等形；2、两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做

；互相重合的边叫做

；互相重合的角叫做

；3、全等三角形的对应边

，对应角

；完全重合对应顶点对应边对应角相等相等小结4、记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在

；例如△ABC≌△DFE，对应顶点分别是

.

5、两个三角形全等时，对应顶点所在的角是

，对应边所对的角是

，对应角所对的边是

。对应位置点A和点D、点B和点F、点C和点E对应角对应角对应边2.5全等三角形（2）

三角形全等的判定定理（SAS）思考(2)三条边(1)三个角(3)两边一角(4)两角一边当两个三角形满足六个条件的三个时，有四种情况:不能!???继续探讨三角形全等的条件：两边一角思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC图一图二在图一中，∠A是AB和AC的夹角，符合图一的条件，它可称为“两边及其夹角”。符合图二的条件，通常说成“两边和其中一边的对角”探究

在纸上的不同位置分别画一个三角形,它的一个角为50°,夹这个角的两边分别为2cm,2.5cm.将这两个三角形叠在一起,它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？探究

(1)△ABC和△A′B′C′

的位置关系如图2-38.

图2-38A’B’C’在△ABC和△A′B′C′中,∠ABC=∠A′B′C′

,AB=A′B′,BC=B′C′

.探究(2)△ABC和△A’B’C’

的位置关系如图2-39.

图2-39在△ABC和△A’B’C’

中,∠ABC=∠A’B’C’

,AB=A’B’,BC=B’C’

.

探究(3)△ABC和△A’B’C’

的位置关系如图2-40.

图2-40在△ABC和△A’B’C’

中,∠ABC=∠A’B’C’

,AB=A’B’,BC=B’C’

.

探究(4)△ABC和△A’B’C’

的位置关系如图2-41.

图2-41CABA’（B’）（C’）在△ABC和△A’B’C’

中,∠ABC=∠A’B’C’,AB=A’B’,BC=B’C’.