2020年高中数学必修第一册：指数幂的扩充 教学设计（北师大版）

第三章指数运算与指数函数

第1节指数塞的扩充

3.1.1指数塞的扩充

教材分析

初中学习了整数指数幕的运算，本节将整数指数扩充到有理数指数和实数指数，着重是有理数

指数(分数指数)的运算，完成了指数基运算的扩充，一方面使指数运算知识更加完整，揭示了开

方(根式)运算与乘方(指数式)运算的内在联系，另一方面为学习指数的运算性质和指数函数的

性质奠定了基础。

教学目标与核心素养

⑴知识目标：

掌握有理数指数幕的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数

基的运算；理解实数指数基的含义。

(2)核心素养目标：

通过实数指数塞的扩充和相关运算，使学生了解指数运算的发展过程，提高学生数学运算的核

心素养。

教学重难点

(1)正分数指数幕的含义和运算；

(2)有理数指数塞的运算；

(3)根式与分数指数累的相互转化。

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、知识引入

在初中，学习了整数指数基的运算及性质

an=a-a-a......a__i

、“个a.«°=1a，

，，

am.a"=a"^,(am)n=a™,(a・•炉

思考讨论:

（1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积S（单位hn?）与年数t

（年）的关系式为

S=SyL057r

其中“为侵害面积的初始值

10

如果求10年后侵害的面积，则5=S0-1.057；如果求］5.5年后侵害的面积，就需要

计算S=So・LO57i5：这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？

提示：指数是分数.

27二

（2）对于分数指数塞，该如何运算呢？如'"?.

鬲2=32=3(⑨2=337=V3

提示:，乂，口J见.

二、新知识

m

1、给定正数。和正整数L且m%素），若存在唯一的正数》，使得〃=心，则称》为a的晟次

事.

m

b=a；

记作，这就是正分数指数幕.

13

八乙则T513t=5"

例如:J，则

注意:

mmIcm

antin=0右

①当是正整数时，分数指数基满足:

7

3^=V3a>0.a：=Va"府读作“n

②与类似，当底数时,,其中

胪”，也叫根式运算.

次根号下

京=限=2版277=7272=9

例如:

m

Q；a>0

③根据分数指数'幕的定义，分数指数幕的条件是：底数

^7二一？，但不能写成(-27)1=-3

虽然

例1.把下列各式中的正数》写成正分数指数幕的形式:

65=20h4=25

⑴(2)

⑶〃=3m(mneN+)；⑷9m

b"=71(mneN+)

b=2；

i(Jb=2°z

解：⑴(2)

m9mJn

b=37b=JT==7T-n"

(3)(4)

2、类似负整数指数基的定义，给定°,正整数瓶7”且6箱互素），定义

1_1

至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了.

那么，指数是无理数的情况呢？以为例说明如下

0=1.414213…,所以

因为

L4<1.41<L414<-<V2<-<1.415<1.42<1.5

证左边的数称为企的不足近似值，右边的数称为迎的过剩近

上式

似值

10L4<10L41<10L414<•••<<...<1OL41S<10L42<10L5

1°”越来越趋近于同一个数，即lO^5=25.954-

借助计算器，可算出

一般的，给定正数a,对任意无理数匕°都是一个确定的实数.

a-a=-

同理

这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了.

3注意:

心都大于0

①给定一个正数°,对任意实数°,指数塞;

②0的任意正实数幕都等于0；

③0的0指数幕和负实数指数基都没有意义。

例2.计算:

⑶5

4227

(1)(2)

解：⑴熨=砂=23=8

27T=(33)4=尸=；

(2)

(/=(2T)T=26=64

⑶16

思考讨论(综合练习)

(1)计算下列各式:

9?+6)-27

(2,严_0r2+Q缴+100n0

①②

(2)用分数指数幕表示下列各式(字母均表示正实数).

…(ab3y/a^

①yja-\/a

②

aia

92+(：)-2=(32)7+22=31

提示:(1)①2

②

(2护5—0.1-2+仅算;+100/=停用-(总7+吟)产+100=那短

(2)①^Ja-y/a=(a-aT=(tfp=a?

②而I而___==(曲_•成1S即1=33叶n1=两311

三、课堂练习

教材P76,练习1、2.

四、课后作业

教材P77,习题3-1：A组第1、2、3,B组第1题.

教学反思