新高考数学一轮复习讲义 第39讲 圆的方程、直线与圆的位置关系（含解析）

第39讲圆的方程、直线与圆的位置关系（精讲）题型目录一览①圆的方程②点与圆的位置关系③与圆有关的轨迹问题④直线与圆相交⑤直线与圆相切、相离一、知识点梳理一、知识点梳理一、圆的基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．二、圆的基本性质、定理与公式1．圆的四种方程（1）圆的标准方程：SKIPIF1<0，圆心坐标为（a，b），半径为SKIPIF1<0（2）圆的一般方程：SKIPIF1<0，圆心坐标为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0（3）圆的直径式方程：若SKIPIF1<0，则以线段AB为直径的圆的方程是SKIPIF1<0（4）圆的参数方程：①SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数）；②SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数）．注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数，SKIPIF1<0为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．2．点与圆的位置关系判断（1）点SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系：①SKIPIF1<0点P在圆外；②SKIPIF1<0点P在圆上；③SKIPIF1<0点P在圆内．（2）点SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系：①SKIPIF1<0点P在圆外；②SKIPIF1<0点P在圆上；③SKIPIF1<0点P在圆内．三、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交四、直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，则SKIPIF1<0：SKIPIF1<0直线与圆相交，交于两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0直线与圆相切；SKIPIF1<0直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由SKIPIF1<0，消元得到一元二次方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0判别式为SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0直线与圆相交；SKIPIF1<0直线与圆相切；SKIPIF1<0直线与圆相离．【常用结论】关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的圆的切线方程为SKIPIF1<0．（2）过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的圆的切线方程为SKIPIF1<0（3）过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的圆的切线方程为SKIPIF1<0（4）求过圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0的圆的切线方程时，应注意理解①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为SKIPIF1<0，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于SKIPIF1<0的方程，求出SKIPIF1<0值．若求出的SKIPIF1<0值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的SKIPIF1<0值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一圆的方程策略方法求圆的方程的两种方法【典例1】已知圆SKIPIF1<0过三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的圆心和半径分别为（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用斜率可以推出SKIPIF1<0是直角三角形，而直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，据此求解.【详解】由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是直角三角形，且SKIPIF1<0为斜边，直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，又SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，圆心是SKIPIF1<0的中点，即SKIPIF1<0.故选：A【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）若方程SKIPIF1<0表示圆，则SKIPIF1<0实数的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式，由此求得SKIPIF1<0的取值范围.【详解】由圆的一般式方程可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】将圆的方程配成标准方程，可求得圆心坐标.【详解】圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0.故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的对称轴，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据圆心在直线SKIPIF1<0上可求得结果.【详解】由圆SKIPIF1<0方程得：圆心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的对称轴，SKIPIF1<0圆心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则其外接圆的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先设圆的方程为SKIPIF1<0，根据题意，列出方程组求解，即可求出结果.【详解】设SKIPIF1<0的外接圆的方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0即为所求圆的方程.故选：A.【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，利用待定系数法求解即可，属于基础题型.5．（2023·全国·高三专题练习）以点SKIPIF1<0为圆心，且与直线SKIPIF1<0相切的圆的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】求出圆心到直线的距离即得圆的半径，即得圆的方程.【详解】由题得圆心到直线的距离SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0.故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）圆C：SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的圆的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据点关于直线SKIPIF1<0对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.【详解】由圆C：SKIPIF1<0，可知圆心坐标：SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，所以圆C：SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的圆的方程是SKIPIF1<0，故选：C7．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程SKIPIF1<0表示一个圆的充要条件是（

）.A．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据圆的一般式方程可得答案.【详解】关于x、y的方程SKIPIF1<0表示一个圆的充要条件是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D8．（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知圆SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则四边形SKIPIF1<0的面积为（

）．A．6 B．12 C．14 D．18【答案】B【分析】求出圆心和半径，得到切线长，求出四边形的面积.【详解】依题意，圆SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径为3，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

故SKIPIF1<0，由对称性可知，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0全等，故四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0．故选：B9．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且圆心在直线SKIPIF1<0上的圆与SKIPIF1<0轴相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【分析】由题意设圆的圆心、半径分别为SKIPIF1<0，则圆的方程为SKIPIF1<0，结合已知条件即可求出圆的方程，在圆的方程中令SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的坐标，由此即可得解.【详解】因为圆心在直线SKIPIF1<0上，所以设圆的圆心、半径分别为SKIPIF1<0，则圆的方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入圆的方程有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圆的方程为SKIPIF1<0，在圆的方程中令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.二、填空题10．（2023秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考开学考试）已知圆SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据圆的一般方程得出圆的半径，然后根据已知列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，圆的半径SKIPIF1<0.所以，圆的面积为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.11．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知圆SKIPIF1<0的半径为3，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，根据题意列出方程，即可求解.【详解】将圆SKIPIF1<0的方程转化为SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0的半径为3，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中校考开学考试）请写出一个过点SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0相切的圆的标准方程，为．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【分析】写出一个符合条件的圆的标准方程即可.【详解】设SKIPIF1<0为直径的一个端点，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，可知半径SKIPIF1<0，又若圆心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所求圆的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一）．13．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过SKIPIF1<0四点的圆的方程为.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意，设圆的方程为SKIPIF1<0，取三个点的坐标代入，得到方程组，求解即可得到结果.【详解】设圆的方程为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0的坐标分别代入可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0则可得圆的方程为SKIPIF1<0故答案为:SKIPIF1<014．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）圆心与圆SKIPIF1<0的圆心重合，且过点SKIPIF1<0的圆的方程为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据同圆心设出方程SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0即可求解.【详解】依题意，设所求圆的方程为SKIPIF1<0，由于所求圆过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以所求圆的方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：SKIPIF1<0，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用配方法，结合二次函数的性质、圆的几何性质进行求解即可.【详解】SKIPIF1<0，所以半径SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，半径最小，此时圆心为SKIPIF1<0，圆心到原点的距离为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<016．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，经过直线SKIPIF1<0与两坐标轴的交点及点SKIPIF1<0的圆的方程为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据直线的方程求出直线与坐标轴的交点，利用待定系数法及点在圆上即可求解.【详解】令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0,设圆的方程为SKIPIF1<0,则因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点都在圆上，所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0故所求圆的方程为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.题型二点与圆的位置关系策略方法判断集合关系的三种方法在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．【典例1】“m<1”是“点P（1，1）在圆C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据点与圆的位置，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由x2＋y2﹣2mx＝0可得SKIPIF1<0，该方程表示圆，所以有SKIPIF1<0，当点P（1，1）在圆C：x2＋y2﹣2mx＝0外时，有SKIPIF1<0，所以此时SKIPIF1<0，显然由SKIPIF1<0不一定能推出SKIPIF1<0，但是由SKIPIF1<0一定能推出SKIPIF1<0，所以“m<1”是“点P（1，1）在圆C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的必要不充分条件，故选：B【题型训练】一、单选题1．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）设圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点个数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上都有可能【答案】C【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可．【详解】解：SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在圆内，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点个数为SKIPIF1<0个．故选：SKIPIF1<0．2．（2023·全国·高三专题练习）已知两直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点在圆SKIPIF1<0的内部，则实数k的取值范围是（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果.【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则两直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，依题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0外一点，则直线SKIPIF1<0与该圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【分析】利用点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，结合点到直线的距离公式即可求解；【详解】因为点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0外一点，所以SKIPIF1<0.圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，所以圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以直线SKIPIF1<0与该圆的位置关系为相交.故选：A.4．（2023·辽宁·校联考二模）已知圆SKIPIF1<0，直线l：SKIPIF1<0，若l与圆O相交，则（

）．A．点SKIPIF1<0在l上 B．点SKIPIF1<0在圆O上C．点SKIPIF1<0在圆O内 D．点SKIPIF1<0在圆O外【答案】D【分析】根据l与圆O相交，可知圆心到直线的距离小于半径，列出不等式，再判断点与直线和圆的关系.【详解】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，则有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，所以点不在直线l上，故A错误；又SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0在圆O外，故D正确.故选：D．5．（2023·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0在圆C：SKIPIF1<0的外部，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据条件得到圆SKIPIF1<0的标准方程，再由圆的半径的平方大于0得到SKIPIF1<0；再根据点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0的外部得到SKIPIF1<0，即可求解得到SKIPIF1<0的取值范围.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0①，又∵点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0的外部，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0②，由①②得SKIPIF1<0，故选：B．二、填空题6．（2023·全国·高三专题练习）若坐标原点在圆SKIPIF1<0的内部，则实数SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据原点在圆内可建立不等式，求解即可.【详解】∵原点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0的内部，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<07．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知圆SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，并且点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则满足条件的点SKIPIF1<0的个数为.【答案】3【分析】设SKIPIF1<0，根据点P到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，得到SKIPIF1<0，取得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，进而求得满足条件的点的个数，得到答案.【详解】设SKIPIF1<0，由点P到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0两边平方整理得到SKIPIF1<0①因为SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②联立①②得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由①②可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，由①②可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0综上，满足条件的点P的个数为SKIPIF1<0.故答案为：3.8．（2023·全国·高三专题练习）设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则SKIPIF1<0的最大值为.【答案】12【解析】由平面向量的数量积公式，可得SKIPIF1<0的解析式；再由SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的动点，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范围；从而求得SKIPIF1<0的最大值．【详解】SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值为：12故答案为：SKIPIF1<0．题型三与圆有关的轨迹问题策略方法求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．【典例1】已知直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于原点对称，若直线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由SKIPIF1<0求出点SKIPIF1<0的轨迹，由直线SKIPIF1<0与此轨迹存在公共点求出SKIPIF1<0的范围作答.【详解】依题意，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，而点SKIPIF1<0既在直线SKIPIF1<0上，又在圆SKIPIF1<0上，因此直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有公共点，又圆SKIPIF1<0的圆心为原点，半径为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：B【题型训练】一、单选题1．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知A，B是SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的两个动点，P是线段SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则点P的轨迹方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由圆的垂径定理得SKIPIF1<0，利用勾股关系求得SKIPIF1<0，结合圆的定义即可求出点P的轨迹方程.【详解】因为SKIPIF1<0中点为P，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为SKIPIF1<0.故选：C.2．（2023秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）在平面内，SKIPIF1<0是两个定点，SKIPIF1<0是动点，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线【答案】A【分析】由平行四边形法则易得SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，可判断点SKIPIF1<0的轨迹为以线段SKIPIF1<0为直径的圆.【详解】设SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时也满足SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹为以线段SKIPIF1<0为直径的圆.故选:A.3．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）平面直角坐标系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0为等腰三角形的点SKIPIF1<0个数为（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】设SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0可得动点SKIPIF1<0的轨迹方程为圆SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0为等腰三角形分析即可求解.【详解】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，记为圆SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰三角形，则有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交，故满足SKIPIF1<0点SKIPIF1<0有2个；因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交，故满足SKIPIF1<0点SKIPIF1<0有2个，故使SKIPIF1<0为等腰三角形的点SKIPIF1<0共有4个.故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】直接设SKIPIF1<0，根据两点间距离公式SKIPIF1<0代入运算整理．【详解】∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0故选：B．5．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第四中学校校考模拟预测）已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，过动点P分别作圆SKIPIF1<0、圆SKIPIF1<0的切线PA，PB（A，B为切点），使得SKIPIF1<0，则动点P的轨迹方程为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由条件结合圆的切线性质可得出SKIPIF1<0，结合两点间的距离公式可得出答案.【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．因为两圆的半径均为1，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以点P的轨迹方程为SKIPIF1<0．故选：D6．（2023秋·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）已知直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于原点对称，若直线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由SKIPIF1<0求出点SKIPIF1<0的轨迹，由直线SKIPIF1<0与此轨迹存在公共点求出SKIPIF1<0的范围作答.【详解】依题意，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，而点SKIPIF1<0既在直线SKIPIF1<0上，又在圆SKIPIF1<0上，因此直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有公共点，又圆SKIPIF1<0的圆心为原点，半径为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：B7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0，若平面内一个动点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离是它与点SKIPIF1<0距离的SKIPIF1<0倍，则SKIPIF1<0的面积的最大值为（

）A．64 B．12 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，线段SKIPIF1<0的垂直平分线为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0求出点SKIPIF1<0的轨迹方程，再根据圆的知识可求出结果.【详解】以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，线段SKIPIF1<0的垂直平分线为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，以SKIPIF1<0为半径的圆上，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最大值为SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的面积的最大值为SKIPIF1<0.

故选：D二、填空题8．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，过动点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为切点），使得SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹方程为.【答案】SKIPIF1<0【分析】由勾股定理得SKIPIF1<0后列式求解【详解】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<09．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P满足SKIPIF1<0，则点P到点C距离的最大值为．【答案】10【分析】设SKIPIF1<0，根据题意求出点P的轨迹方程，然后利用圆的性质求得答案.【详解】设SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0．则点P的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，半径等于4圆，∵SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故答案为：10．10．（2023春·云南红河·高三开远市第一中学校校考阶段练习）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点M满足SKIPIF1<0，则点M到直线SKIPIF1<0的距离可以是．（写出一个符合题意的整数值）【答案】0或1(只写一个即可)【分析】由题设知SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0，根据圆心到SKIPIF1<0距离得到SKIPIF1<0到直线距离的范围，即可写出一个值.【详解】由题设知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，且圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，即直线过圆心，所以M到直线SKIPIF1<0的距离范围SKIPIF1<0，所以点M到直线SKIPIF1<0的距离的整数值可以是0或1.故答案为：0或1(只写一个即可)11．（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，M是抛物线SKIPIF1<0准线上的一点，点P在圆SKIPIF1<0上.若MP的中点在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，由已知条件求点P轨迹方程，与圆SKIPIF1<0联立方程组，求交点坐标，代入SKIPIF1<0中求取值范围.【详解】抛物线SKIPIF1<0的准线方程为x=1，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，MP的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由题意，知SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0消去x可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由P在圆SKIPIF1<0上，可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.综上所述，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<012．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）点P圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，O坐标原点，且SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的横坐标的取值范围为．【答案】SKIPIF1<0【分析】设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，由条件可得点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，由条件列不等式可求点Q的横坐标的取值范围.【详解】因为点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，故设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，又点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，所以两圆有交点，又圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的横坐标的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.13．（2023·四川成都·三模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0内一点，对圆O上任意一点P都有SKIPIF1<0为定值，则mn的值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正常数），把SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示后整理即得圆SKIPIF1<0方程，由此可求得SKIPIF1<0，得出结论．【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正常数），显然SKIPIF1<0，否则SKIPIF1<0点轨迹是线段SKIPIF1<0的中垂线，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，这就是圆SKIPIF1<0的方程，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．题型四直线与圆相交策略方法直线与圆的相交问题（1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长SKIPIF1<0、弦心距SKIPIF1<0和半径SKIPIF1<0之间形成的数量关系SKIPIF1<0．（2）弦长问题=1\*GB3①利用垂径定理：半径SKIPIF1<0，圆心到直线的距离SKIPIF1<0，弦长SKIPIF1<0具有的关系SKIPIF1<0，这也是求弦长最常用的方法．=2\*GB3②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．=3\*GB3③利用弦长公式：设直线SKIPIF1<0，与圆的两交点SKIPIF1<0，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：SKIPIF1<0．【典例1】直线l：SKIPIF1<0截圆SKIPIF1<0所得的弦长等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据给定条件，求出圆的圆心和半径，再利用几何法求出弦长作答.【详解】圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以所求弦长为SKIPIF1<0.故选：C

【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）圆SKIPIF1<0与直线S