2023苏教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第3章 圆锥曲线与方程

第3章圆锥曲线与方程

(全卷满分150分，考试用时120分钟)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的)

1.已知点A(5,t)在抛物线y2=2px(p>0)±,若点A与抛物线的焦点F之间的距离等于8,则焦点

F到抛物线准线的距离等于()

A.2B.3C.6D.12

2.已知椭圆C的两个焦点分别为Fi(-3,0),F2(3,0),点P为椭圆C上一点,且PF,+PF2=10,那么椭

圆C的短轴长是()

A.6B.7C.8D.9

2

3.动圆M经过双曲线x2-^-=l的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是()

A.y-8xB.y--8xC.y-4xD.y--4x

4.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点，则PA+|PF的最小

值为()

79

-B-

22

22一

5.已知双曲线台-3=1(a>0,b>0)的实轴长为4V2,虚轴的一个端点与抛物线x=2py(p>0)的焦

点重合,直线y=kx-l与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则p=()

A.4B.3C.2D.1

22

6.设双曲线孑-三=1的左、右焦点分别为F„F2I过F,的直线1交双曲线左支于A,B两点，则

1612

AF2+BF2的最小值为()

A.20B.21C.22D.23

22

7.椭圆自+S=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,C是点A关于原点的对

称点，若CF，AB,CF=AB,则椭圆的离心率6为()

A.V3-1B.2—y/3

C.V6-V3D.—

8.设A,B分别是双曲线x2-^=l的左、右顶点,设过P©,t）的直线PA,PB与双曲线分别交于点

M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的右支于S,T两点,且页=2所,则4BST的面

积为（）

.9V35口3V17

A.-------D.-------

164

「3V15「3

C.-------L）.—

82

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目

要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分）

9.已知椭圆C的中心在原点,焦点F„F2在y轴上,且短轴长为2,离心率为彳,过焦点用作y轴

的垂线,交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是（）

22

A.椭圆方程为骨x?=lB.椭圆方程为?y?=l

C.PQ=^D.△PF2Q的周长为4V3

10.设F是抛物线C:yJ4x的焦点,直线1过点F,且与抛物线C交于A,B两点,0为坐标原点,则

下列结论正确的是（）

A.AB24

B.0A+0B>8

C.若点P（2,2）,则PA+AF的最小值是3

D.A0AB的面积的最小值是2

11.已知入艮分别是双曲线C:9-x2=l的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，

并且以线段FR为直径的圆经过点M,则下列说法正确的有（）

A.双曲线C的渐近线方程为y=±V2x

B.以FR为直径的圆的方程为x?+y2=2

C.点M的横坐标为土行

D.△MFF2的面积为百

12.已知抛物线C:y2=2px过点P（l,1）,则下列结论正确的是（）

A.点P到抛物线焦点的距离为|

B.过点P作过抛物线焦点的直线,交抛物线于另一点Q,则AORQ的面积为最

C.过点P且与抛物线相切的直线的方程为x-2y+l=0

D.过点P作两条斜率互为相反数的直线分别交抛物线于另两点M,N,则直线MN的斜率为定值

三、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分）

22

13.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p的值

45

为.

14.一动圆过定点A(2,0),且与定圆B:x2+4x+y2-32=0内切，则动圆圆心M的轨迹方程

是.

15.如图,在aABC中,AB=4,点E为AB的中点,D为线段AB的垂直平分线上的一点,且DE=3V5,AB

是固定边,在平面ABD内移动顶点C,使AABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点，且C,D

在直线AB的异侧,在移动过程中，当CD-CA取得最大值时，AABC的面积为.

16.已知曲线C是平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=-l的距离之和等于3的动点P的轨迹，则

曲线C的一条对称轴的方程是,PF的最小值是.(本题第一空3分,第二空2

分)

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

22一

17.(本小题满分10分)(1)求与双曲线有相同焦点，且经过点(3a,2)的双曲线的标准

164

方程；

(2)已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=^,求m的值.

18.(本小题满分12分)设抛物线T：y2=4x的焦点为F,直线1:x-my-n=0经过F且与T交于A,B

两点.

⑴若AB=8,求m的值；

⑵设0为坐标原点，直线A0与T的准线交于点C,求证:直线BC平行于x轴.

22

19.(本小题满分12分)已知椭圆［+\=1内有一点P(l,1),F为椭圆的右焦点,M为椭圆上一

2516

点.

(1)求MP-MF的最大值；

(2)求MP+MF的最大值；

(3)求使得MP+|MF的值最小时点M的坐标.

20.(本小题满分12分)在平面xOy内，已知点F(0,2),动点P与点F之间的距离比点P到x轴

的距离大2.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

⑵过点F任作一直线1与曲线C交于A,B两点,直线0A,0B与直线y=-2分别交于点M,N,求证:

以线段MN为直径的圆经过点F.

21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(-2,0),过动点P作直线x=-4的垂线,垂

足为M,且而•AP=-4.记动点P的轨迹为曲线E.

⑴求曲线E的方程；

⑵过点A的直线1交曲线E于不同的两点B,C.

①若B为线段AC的中点，求直线1的方程；

②设B关于x轴的对称点为D,求4ACD的面积S的取值范围.

22

22.(本小题满分12分)已知半椭圆靠+/1(y>0,a>b>0)和半圆(+丁+(代0)组成曲线L.如

图所示,半椭圆内切于矩形ABCD,CD与y轴交于点G,点P是半圆上异于A,B的任意一点.当点P

位于点M停,小)处时,AAGP的面积最大.

⑴求曲线L的方程；

(2)连接PC,PD,分别交AB于点E,F,求证:AE'+BF?为定值.

答案全解全析

1.C由抛物线的定义可知，点A与抛物线的焦点F之间的距离为5+舁8,解得p=6,因此,焦点F到抛物线准线的距

离为6,故选C.

2.C设椭圆C的标准方程为真+白(a>b>0).

依题意得,2a=10,；.a=5,又c=3,；.b三aJc2=16,即b=4,

因此椭圆的短轴长是2b=8,故选C.

3.B记双曲线x2-^=l的左焦点为F,则F(-2,0),动圆M经过F且与直线x=2相切，则圆心M到点F的距离与到

其直线x=2的距离相等，由抛物线的定义知圆心M的轨迹是焦点为F,准线方程为x=2的抛物线,其方程为y2=-8x.

故选B.

4.C由椭圆5x2+9y2=45可得差+^=1,a2=9,b2=5,c2=9-5=4,A离心率e=^=|,PA+|PF=PA+抑,过A作左

准线的垂线，垂足为B,如图，，根据椭圆的第二定义,知LPF=PQ,则PA+：PF的最小值为AB的长,又AB=1+-=1+

e2c

/.PA+|PF的最小值为

5.A由抛物线xJ2py(p〉0)可知其焦点为(0,9,所以b4,又a=2位,所以双曲线方程为9—胃=1,其渐近线方程

为y=±^=x.直线y=kx-l与双曲线的一条渐近线平行，则不妨设k=品,由可得X、2P(品xR=

系x-2p,即--系x+2p=0,则A=(-^)Z-8p=0,解得p=4.故选A.

6.C由题意得,a=4,b=2V3,由双曲线的定义可得AF2-AF,=2a=8,BF2-BF,=2a=8,所以AF2+BF2-(AF,+BFI)=16,由过双

曲线的左焦点R的直线1交双曲线左支于A,B两点,可得AR+BF尸AB,即有AF2+BF2-(AF,+BF,)=AF2+BF2-AB=16,当线

段AB是双曲线的通径时,AB最短,所以AR+BF2=AB+16》9+16=午+16=22,故选C.

7.C设另一焦点为F',连接AF',BF',CF',则四边形FAF'C为平行四边形，.\AF=CF=AB,且AF'±AB,则△ABF'为

等腰直角三角形.

设AF'=AB=x,贝x+x+V2x=4a,即x=(4-2V2)a,AF'+AF=2a,AAF=(2V2-2)a.

在△AFF'中，由勾股定理得AF'2+AF=FF'2=(2C)2,

则(9-6&)a2=c)即e2=9-6V2,/.e=V6-V3,故选C.

8.A双曲线x2g=l的左、右顶点分别为A(T,O),B(l,O).^.•pG，t),.^.直线PA的方程为x=誓l,直线PB的方程

%=型-1

为X=-^+l,联立2f；可得品-i)y2一?=°-解得y=°或%枭，将归黑代入x亭t可得x要捍即

X....3..-1

/27+4t236C\

\27-4t2127-4t2/

=一二+1

联立•2y2”可得偿-l)y2-口=0,

--=1

3

解得y=0或丫记、将yq%代入x=W+l,可得x=第，

3—3-4-2t3—

即目n、/-仁3-4产，尊12t\•

设Q(s,0),由M,N,Q三点共线,可得服=心,即有也出=",

XM-%N%N6

将M,N的坐标代入，化简可得巧=,解得s=2,

9-4tz-3-4tz-s(3-4tz)

即Q(2,0),

设过Q的直线的方程为*F丫+2,

联立卜一万一°得(3m2-1)y2+12my+9=0,贝!IA=144m;!-36(3m2-1)=36(m"+l)>0恒成立,

lx=my+2

设S3,yj,TG,y>,可得"y否-舄,yly2=就，

又贡=2行,2y=.y计—悬,可得W舄,祗2=-2加2=募解得

可得SA"瓶Q•|y-y2|=i|yl-y2|=R(yi+内尸内/

黜

=3%3x.故选A.

i埸16

9.ACD由已知得,2b=2,即b=l,士=底，又a2=b2+c2,.,.a2=3,

a3

椭圆方程为9+x2=l,

则PQ邛=专=竽,APF.Q的周长为4a=4V3,故选ACD.

10.ACD易知F(l,0),不妨设点A在第一象限.

若直线1的斜率不存在,则A(1,2),B(1,-2),

此时AB=4,0A+0B=20A=2V5<8,此时SA1MB=1X4X1=2,故B错误;

若直线1的斜率存在,设直线1的斜率为k,

显然k#0,则直线1的方程为y=k(x-l),

联立匕消去y>得k2x2-(2kM)x+kM,

24

设A(xi,yj,B(x2,y2),则xi+xj-^=2+专，

AB=Xi-*-x+2=4+—4>4,

2fcz

原点0到直线1的距离d=*,

Vfc2+1

XABxd=：X(4+^x-^==2J1+专>2,

综上,AB24,SAOMN2,故A正确，D正确；

如图,过点A向准线作垂线,垂足为N,则PA+AF=PA+AN,

故当P,A,N三点共线时,PA+AF取得最小值,最小值为3,故C正确.

故选ACD.

11.AD由双曲线方程。-x'l知a=V2,b=l,焦点在y轴上,渐近线方程为y=±^x=+V2x,A正确；c=>/由+庐=

2b

V3,以FR为直径的圆的方程是x2+y2=3,B错误;由尸+1=3,得厂】片或『=-4由［/+y2=3,得

｛；_:/或所以点的横坐标是±1，C错误;S/XMF12=1p|F2,lx«l=1x2V3x1=V3,D正确.故选AD.

12.BCD因为抛物线C:y2=2px过点P(l,1),所以P=p所以抛物线方程为y2=x,焦点坐标为6,0),记Fg,O).对于

A,PE=1+；=?故A错误.对于B,k“W，所以直线PF的方程为与y2=x联立,并消去x,得4y2-3y-l=0,所以

4433\4/

yp+y。弓,yPyQ=一：,所以SAEgOF•yr-yoxxJ(yp+M故B正确•

对于C,依题意知斜率存在,设直线方程为yT=k(xT),与/=x联立,得ky2-y+l-k=O,

令"ikd-lOR,解得k苫(二重根)，所以切线方程为x-2y+l=0,故C正确.对于D,依题意知斜率存在,设

22

L.“:yT=k'(x-1),与y=x联立,并消去X,得k'产y+1-k'=0,所以％+1噎即y/-l,贝ijxu=Q-l),所以点

M(G-I)文1)•同理，得N((击1)，击1)，

/1(61)_

所以1二故D正确.故选BCD.

(却)，令1)2

13.答案6

解析二•双曲线的方程为一■-^-=1,.*.a2=4,b2=5,可得c=Va24-b2=3,

45

因此双曲线^—的右焦点为(3,0),

45

・・・抛物线y'2Px(p>0)的焦点与双曲线的右焦点重合，，舁3,解得p=6.

14.答案?+?=1

解析圆B的方程化为标准形式为(x+2)z+y?=36,则其半径为6.

如图，设动圆圆心M的坐标为(x,y),与定圆B的切点为C.

由图知，定圆的半径与动圆的半径之差等于两圆圆心之间的距离，即BC-MC=BM,又BC=6,所以BM+CM=6,因为MA=MC,

所以BM+MA=6,由椭圆的定义知，点M的轨迹是以B(-2,0),A(2,0)为焦点,线段AB的中点0(0,0)为中心的椭圆.设

椭圆方程为m+g=l(a>b>0),则a=3,c=2,=逐,所以圆心M的轨迹方程是1+4=1.

D495

15.答案6V5

解析以AB所在直线为x轴,DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(荏的方向为x轴正方向,反的方向为y轴

正方向),则A(-2,0),B(2,0),不妨设D(0,-3V5),AABC的内切圆切AC,AB,BC分别于G,H,F,则

CA-CB=AG-BF=AH-HB=2〈4=AB,；.C点的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支(不含与x轴的交点)，且

a=l,c=2,bJc—aF,；.C点的轨迹方程为x2-^=l(x>l).

*/CA-CB=2,ACA=CB+2,则CD-CA=CD-CB-2,

则当C为线段BD与双曲线右支的交点时,CD-CA最大,BD所在直线的方程为9-舒1,即3而x-2y-6逐=0.

(3V5x-2y-6V5=0,_

联立，外解得y=3V5

(x-T=1-c;

AABC的面积S=1x4x3V5=6V5.故答案为6曲.

16.答案x=0;1

解析设P(x,y),由题意可得PF+1y+11=3,即尸而可+ly+H=3,

当Iy+11>3,即y>2或y<-4时,等式无法成立;

当TWyW2时,J/+（y-l）2=2-y,则x2=-2y+3（-l^y<|）,此时曲线C的一条对称轴的方程是

x=0,PF=Vx2+（y-l）2=2-y,由TWyW|,得产2-yW3,即此时PF的最小值是今

当-4Wy〈-l时,yjx2+（y-l）2=y+4,则x2=10y+15（-|<y<-1）,此时曲线C的一条对称轴的方程是

x=0,PF=Jx2+（y-l）2=y+4,由一|Wy〈7,得|Wy+4〈3,即此时PF的最小值是|.

综上，曲线C的一条对称轴的方程是x=0,PF的最小值是今

17.解析⑴•：所求双曲线与双曲线最一胃=1有相同焦点，

164

•••设所求双曲线的方程为工一*=1（-4〈人<16且AWO）,（2分）

16—A4+A

;所求双曲线过点（3企,2）,

.•.鲁一六=1,；2=4或N=T4（舍去）.（4分）

16-A4+A

所求双曲线的标准方程为最-4=1.（5分）

128

（2）椭圆方程可化为立4--^=i（m>0）,（6分）

m--

m(?n+2)->0,(8分)

/.a"=m,b"=-^-,c=Va2-b2=im(m+2)

由e=?得用i=T-解得m=L(10分)

18.解析设A(xi,yj,B(X2,ye).

(1)由题意知F(l,0),将(1,0)代入x-my-n=0,得n=l,

故直线1的方程为x=my+l,将其代入y2=4x,得y2-4my-4=0,

所以yi+yz=4m,y»z=-4,(3分)

2222

所以AB=V(Xi-x2)+(yt-y2)=y/(m+l)[(yj+y2)-4y1y2]=4(nr'+D=8,

解得m=±l.(6分)

(2)证明:抛物线y2=4x的准线方程为x=T,设C(T,门)，易得直线OA的方程为y=^x,

X1

由点C在直线0A上，得y#=一工由⑴知yk4,即y一工

xiyiyi

所以y3=y2,即B,C的纵坐标相等,故直线BC平行于x轴.（12分）

19.解析⑴由题意得£=25,b2=16,所以c2=9,即F（3,0）,当点M,F,P三点不共线时,MP-MFVPF;如图1,当M,F,P

三点共线时,MP-MF=PF,即MP-MFWPF,所以MP-MF的最大值是PE=V（3-1）2+（0-I）2=V5.

/铝，4

（4分）

（2）设椭圆的左焦点为R,则F,（-3,0）,根据椭圆的定义可知MF=2a-MF:故MP+MF=MP-MF,+2a^PFl+2a,如图2,当

P,三点共线时，等号成立，

又PF,=V（-3-l）2+（0-I）2=V17,所以MP+MF的最大值是VT7+10.

（8分）

⑶椭圆的右准线方程为x=^,设椭圆上的点M到右准线的距离为d,因为竽=所以MF=|d,MP+/F=MP+d,如图

3a553

3,MP+d的最小值是点P到直线x号的距离,即g-1=等所以MP+|MF的最小值是等此时点M的纵坐标是1,代入

椭圆方程可得X、产字,所以MP+jMF的值最小时点M的坐标为（字」）.

（12分）

20.解析（1）：动点P与点F之间的距离比点P到x轴的距离大2,

•••动点P与点F之间的距离等于点P到直线y=-2的距离，

故点P的轨迹是以点F为焦点的抛物线,故动点P的轨迹C的方程为x2=8y.（4分）

（2）证明：易知直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+2,A（%i，%）,B（%2，胃），

则lo*:yqx,lOB:y=*,由一啜得'（色,-2）,

同理可得N（^,-2）,：.FM=管,-4）,丽=管㈤,（8分）

2

由巴卜：+2'得x-8kx-16=0,所以x1x2=-16,

则丽•丽=(^,-4)•管㈤=£x段+(-4)x(-4)=16+=16+即FM±FN,

因此，以