2023人教版新教材高中数学B选择性必修第一册同步练习

2023人教版新教材高中数学B选择性必修第一册

第二章平面解析几何

2.4曲线与方程

基础过关练

题组一曲线与方程的关系及其应用

L（2020辽宁沈阳月考）“点M在曲线x2=4y上”是“点M的坐标满足方程

x=24”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2022黑龙江哈尔滨三中模拟）已知点（xo,y）在曲线g+；=2上,则点（-

0m\y\

x0,y0）,（x0,-y0）,（-x0,-y0）,（y0,x0）中,也在该曲线上的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2020辽宁抚顺模拟）已知直线1的方程是f（X,y）=0,点M（x。,y0）不在直线1上,

则方程f（x,y）-f（xo,y0）=0表示的曲线是（）

A.直线1

B.与1垂直的一条直线

C.与1平行的一条直线

D.与1平行的两条直线

4.（2020四川成都外国语学校模拟）方程x2y2=l的曲线是（）

D

5.(2020山西怀仁大地学校月考)若直线y=x+b与曲线y=3-反逗有公共点,则

b的取值范围是()

A.[-1,1+2V2]B.[1-2V2,1+2^2]

C.[1-2V2,3]D.[1-V2,3]

题组二求曲线的方程

6.(2020广东深圳中学月考)当点P在圆x2+y2=l上移动时,它与定点Q(-3,0)的

连线PQ的中点的轨迹方程是()

A.(x+3)2+y2=4

B.(x-3)2+y2=l

C.(2x-3)2+4y=l

D.(2x+3)2+4y=l

7.(2022陕西黄陵中学抽测)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足两•丽=12,

则点P的轨迹方程为()

2

A.—+y2=lB.x2+y2=16

16

C.y2-x2=8D.x2+y2=8

8.(2021山西太原理工大附中模考)已知方程①x-y=0;②4=0;③x?-

y2=o;④t1,其中能表示平面直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的

y

序号是.

9.已知动点P（X,y）与两定点M（-1,O）,N（1,O）连线所在直线的斜率之积等于常数

入（入W0）,则动点P的轨迹方程为.

10.（2020吉林省实验中学月考）已知线段AB的长等于10,两端点A,B分别在x

轴、y轴上移动,若点M在线段AB上,且前+4加=0,则点M的轨迹方程

是.

11.（2021江西高安中学期中）已知圆0:x2+y2=9与x轴交于点A,B,过圆0上的动

点M（M不与A,B重合）作圆0的切线1,过点A,B分别作x轴的垂线,与切线1分

别交于点C,D,直线CB与AD交于点Q,Q关于M的对称点为P,求点P的轨迹方程.

12.已知4ABC|AB|=2,]AC|=V2|BC|.

（1）请建立合适的平面直角坐标系,求点C的轨迹方程,并指出该轨迹的形状;

⑵求AABC面积的最大值.

题组三根据曲线方程研究曲线的性质

13.（多选）（2020广东佛山期末）在平面直角坐标系中,曲线C上任意一点P与两

个定点A（-2,0）和B（2,0）连线的斜率之和恒等于2,则关于曲线C的结论正确的

是（）

A.曲线C是轴对称图形

B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外

C.曲线C是中心对称图形

D.曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于2

14.（2020北京房山期末）已知曲线W的方程为y+x2-5x=0.

⑴请写出曲线W的一条对称轴的方程；

⑵求曲线W上的点的横坐标x的取值范围.

答案与分层梯度式解析

第二章方程

基础过关练

1.B若点M在曲线x2=4y上，则x=±2后;当点M的坐标满足方程x=2折时,必有

x-4y,即点M在曲线x2=4y上,故应为必要不充分条件.

2.D由(x°,y。)在曲线自+/2上，知高+32，

..--------IIIII

%x

l-^oI|yolloll-yol卜%oll-yoIlyoIlolkoi\y0\

故点(-Xo,y0),(x0,-y0),(-x0,-y0),(Yo,x。)都在该曲线上.

3.C因为点M(x0,y0)不在直线1上,所以f(xo,y0)是不为0的常数，所以方程

f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的是过点M(x0,y0)且与直线1平行的一条直线.故选C.

4.P方程x2y2=l可化为xy=l或xy=-l,即y=§或y=?,故选项D中的曲线为方程

x2y2=l的曲线.

5.C如图所示,曲线y=3-V^R即(x-2)2+(y-3)M(l<y<3)是一个以⑵3)为圆

心,2为半径的半圆，

当直线过点(0,3)时,b=3,

当直线与半圆相切时，圆心⑵3)到直线y=x+b的距离等于半径2,可得与料=2,

，b=l+2&(不合题意,舍去)或b=l-2夜，

结合图像可得1-2/WbW3.故选C.

6.P设PQ的中点的坐标为(x,y),贝UP(2x+3,2y),因为点P在圆x2+y2=l上,所

以(2x+3)2+(2y)2=1,即(2x+3)2+4y2=l.故选D.

7.B设P(x,y),则丽=(-2-x,-y),PN=(2-x,-y),

因为前,丽=12,所以x2-4+y2=12,即x2+y2-16,故选B.

8.答案①

解析根据题意可知,C的方程为y=x.

由x-y=O得y=x,故①满足题意；

点(T,-1)在第三象限的角平分线上,但其坐标不满足方程万=0,故②不满足

题意；

点(T,1)满足方程x2-y2=0,但它不在曲线C上,故③不满足题意；

点(0,0)在曲线C上,但其坐标不满足方程,1,故④不满足题意.

9.答案x2-^=l(X^0,x^±l)

A

解析由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,所以kPM•kpN=*=入，

整理得x2-(入WO,xW±1).所以动点P的轨迹方程为x2-^=l(X#0,x#+l).

10.答案16x2+y2=64

解析设M(x,y),A(a,0),B(0,b),因为|AB|=10,所以折中=10,即a2+b2=100.因

为育+4前=0,所以前=4通,所以伊算(蒿:贝嵋I?；代入a2+b2=100,可得

25x2+等=100,即16x2+y2=64.

11.解析如图所示,不妨令A(-3,0),B(3,0),设M(x(),y°)(y()W0),P(x,y).

22

过点M(x。,y0)的圆x+y=9的切线1的方程为x0x+y0y=9,所以43,岁),咆手斗

'9-3%00

y-o=^^(x+3),_

联立空里。解得［二贽

y-0=^(x-3),2,

、就+羽=9,

所以点Q&削.

因为点p(X,y),Q1。削关于点M(x。,y。)对称，所以兽二；；；即｛；：：|y(

22

又点M(x0,y0)在圆x+y=9上，

把｛；：：v代入圆的方程，得x2+y=9,又y=|y°W0,

所以点P的轨迹方程为x2+iy2^9(yWO).

12.解析(1)(答案不唯一)以标的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y

轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(-1,0),B(1,0).

设C(X,y),由|AC=V21BC|,得(x+l)2+y2=2[(x-l)2+y2],即(x-3)2+y2=8.

易知点C不在x轴上，

所以点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=8(yWO),

故该轨迹是以点⑶0)为圆心,2段为半径,去掉点(3+2V2,0)和点(3-2V2,0)的圆.

⑵因为|AB|=2,

所以ABC=|X2Xy|=|y|.

因为(x-3)2+y2=8(ywo),所以0〈Iy|W2他

所以SAABC^2V2,

即AABC面积的最大值为2V2.

13.BC设P(x,y),xWO,xW±2,依题意有£+9=2,整理,得x2=xy+4,于是曲线C

的方程为y=xq(xWO,xW±2),容易判断曲线C不是轴对称图形,而是中心对称

图形,原点是它的对称中心,因此A选项错误,C选项正确;又因为x2+y2=x2+(z-

^2=2x2+if-8^2^2x2.if-8=8V2-8>2,所以曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外,故

B选项正确;易得点(1