2012年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2012年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

(考试时间：5月13日上午8：30-11：00)

一、选择题(每小脏6分，共36分)

1.已知集合4={x|l£x44},B={y|y=log,x.xcA],则4CB=()

A.[0,2]B.[0,1]C,[1,2]D.[2.4]

【答案】C

【解答】由条件知，B=[0,2],=

2.已知直线x=2，x=4与函数y=k>g《x的曲象交于/、3两点，与函数y=lnr的国

段交于C、O两点，则直线与C。(>

A.相交，且交点在第~象限B.相交,且交点在第二象限

C.相交，且交点在第四条限D.相交，且交点在坐标原点

【答案】D

—**

1

【解答】由条件知，A(2,~).fi(4,1),C(2,ln2).D(4,2ln2).

所以，直线,48方程为y-1=；(x-4)：直线C。方程为y-ln2=^Cr-2).

由此可得，两直战相交，互交点在坐标原点.

3.已知集合4,如果存在实数马，使得对任意正数。，都存在xs/，使得0<|x-xJva,

则称/为集合/的“聚点”.绘出下列四个集合；①{三"WZ,"ZOj；②

IJ

{x|x€R,且xwO};③④Z.其中以0为“聚点”的集合有（）

A.②、③B.①、②C.①、③D.②、④

【答案】A

【解答】对于集合①，若取4H：，则不存在X，使得0v|x-0k。；

对于④，若取，则不存在X,使得0<|x-0|<a（只要avl的正数均可）.

显然，②、③符合要求.

4.已知四面体/6CD四个顶点的坐标分别为彳（2,0.0）、氏0,2,0）、C（0,0.1）,

ZX0,0,0）,则直线£>C与平面/8C所成角的正弦值为《）

【答案】D

【解答】取中点E,则由条件知，ABIDE.AB1CD,

wn年HHt省商一«t学竞赛试题参考答案及评分标存।

所以，48J■面CAE,IIICDF.\ABC.N0CE就是直线/X：与平面48。所成的甬.

又CO=】，£>E=&,CEr、回，因此，&n，DCE=7久回

\133

5.已知x,7是两个不相等的正数，且满足条件=/->2,则［9乃］的最大值为

）f符号［*］表示不超过x的最大整数）

%才.丫、-x-rvl

A.4B.3C.2D,1

【答案】B

【解答】由—”知，/+D+V=-八v=a+»-（x+『）。

由x,夕为正数知，xy>Oex+7>lo

又由xj<里知,（x+»』（x+y）<!»：,it此解得,l<（x+y）《2。

443

所以，xy=(x+>)?-(Jr+y)=(x+y_L)'・」w(0,&)©0<9xy<4.

249

又，当个二；，》+»=耳互，即x、），是方程P-士鲁r+；=0的两根时（容易验证

该方程有两个不相同的正根），9xy=3.

因此，［9到1的最大值为3・

6.函数〃x)=疫=i+48-3x的最大值为()

A,而B.26C.而D.岳

【答案】D,

【解答】由柯西不等硒

(V2x-6+V18-3x)J=(V2-7x^3+6瓜工¥

f［(应产+(6尸］,［(Jx-3尸十(j6-x)，=15.当且仅当(3亍=即x=5•时

等号成立.所以，/(x)的最大值为后.

另解：易知，34x46.设x=3sin'a+3,OSa,

2

则/(x)=J6sina+内cosa=Ji7sin(a+p).因此，/(x)的最大值为而\

二、填空题《每小题6分，共38分)

7.已知过点43,-2)的直线/交x轴近半轴于点8,交直线//x-2y=0于点C，旦

|卜2|BC|,则直线/在y轴上的载距为.

【答案I7

【解答】由|/8|=2|8C|知，点C的级坐标为1,点C的坐标为C'(2,l),因此•宜战

AC即直线/的方程为p+2=-3*-3)。

所以，直线，在y轴上的截距为7.”「"二"

2011年柏建省K一畋学竟姿长区参考替鬃及评分标准2'.工三.

8,若关于X的不等式2*+3*-*《'NO在区间［1,2］上有解，则人的最大值为<

【答案】噂干

*

【解答】依题意，不等式(y+(；)一口0,*匕(9'+(今在区间［1,2］上有机

由于“X)=(；)'吗'在区间【1，2］上为减函数，其最小值为/⑵=；+；=：，•

jJL.

11

所以，A的最大值为掾.?w■-一二,

36

9.在三梭椎D-41C中，已知4gHBC=怂♦&，HD=AC=2,BCj.AD,则三棱

,椎D-X8c外接球的表面积为■•

【答案】6*

【解答】由4B=BC=4D-M，8。=4c=2知，0/2.48，BC1AB.

又3c■L/D，因此，面/8C，BCJ.面所以，DA1AC,08J.BC。

取DC中点。，则。4=O3=OC=。。，。是三棱维D-48c外接球的球心.

所以，三棱推D-4BC外接球半径手，其表面积S=4"R?q6"•

—2

10.三个手径都是2的圆，其圆心分别为/。川、8(3,6)、C(7,12),直线/斜率为

旦过点(1,1).若。/、08、0C位于直线/某一侧的部分的面积和等于位于直线？另一侧的

部分的面枳和.贝必=.

【答案】2_

【解答】由条件知，直线/将GU面积分成相等的两部分，因此，03、OC位于直线/某

一侧的部分的面枳和等于位于直线/另一侧的部分的面积和.'

所以，直线，过8(3,6八C(7.12)的中点D｛5,9)・♦・共=2・

5-1■

11.已知函数〃x)=1X-°.则方程/(x)=x在区间(0,10)内所有实根的和

/(x-l)+lx>0

为，

【答案】45.

【解答】设g(x)・f(x)-x,则Ovx4M/(x)=/(x-l)+l-2,'\^(i)=2x-'-x.

••・函数y=2'-‘(0<xG)的图象与直线)=、有且只有1个横坐标为1的交点，

方程g(x)=0在区间(0川上仅有一个实根x•=1。

又x>0时，g(x+l)=/■(x-«-l)-(x+l)»/(Jf)+l-(x+l)=/(x)-x=g(x)..

:.方程g(x)=O在区间(1,2]上仅有一个实根x=2；在区间(2,3]上仅有一个实根

x=3：…，在区间(8,9]上仅有一个实根x=9：在区间(9,10]上仅有一个实根x=10.

:.方程f(x)=x在区间(0JQ)内所有实根的和为1+2+3+“-9=45・

20“年播*省1岛一蚊学史要试JS参考答*足评分标准3

12.符号[x]表示不超过X的最大整数，符号｛工｝表示X的小数部分，即｛*｝=x-[xj.

若实数x满足[2x]+[4x]+[6x卜[gx]=2Q12,mU｛x｝的最小值为.，

【答案】\

3

【解答】依题意有x=[x]+｛x｝,设｛1｝=/,0</<1.

2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2[x]+[2r]+4[x]+[4/]+6[x]+[6/]+8[x]+[&]

=20[x]>[2i]b[4，卜[6/]+[]=2012.

所以，[2]+[4/]+[&]+[8/)=12.

又当f时，[2“+[4”+[6/卜[8/卜12,符合要求.

r<]时，[4442,[6“<4,[8445,

所以，[2r]+[4/]+[6/]+[8r]<1+2+4+5=12不符合要求.

所以，r的最小值,即｛*｝的最小值为;.

三、解答题(第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分)

13.已知〃r)h，+2"-2在区间卜2,0］上的最小值为g(p)•

(D求g(p)的表达式：*.

(2)当g(p)=-3时，求在区间［-2,0］上的最大值.

【解答】〈I)/(x)=x2+2px-2=(x+p)1-p2-2,

当-p<-2,即p>2时，/(x)在区间xw［-2,0］上的最小值为〃-2)=2-4p；

...................................4分

当-24-p40,即OS”2时，/(x)在区间xw［-2,0］上的最小值为-2।

......................................8分

当一p>0,即p<0时，/(x)在区间xe［-2,0)上的最小值为〃0)=-2・

2-4pp>2

g(P)=，-p2-2QSpS2.........*•••：”…,12分

-2p<Q

p>2或04P42

(2)由以p)=-3知,

2-4pa-3

所以，p=L/(*)«=+2x-2=(x+1)3-3.

所以，/(x)在区间［-2,0］上的最大值为-2・16分

|4.已知IEC:(x-2)’=/n♦点彳(4,6)、B(s,t),

(1)若3s-4/=-12,且直线加3被圆C裁得的弦长为4,求m的值；

(2)若s,f为正整数，且I2C上任意•点到点人的荏高与到点B的距离之比为定值4

求m的值。

【解答】＜1)V3*4—4X6=-】2,S3S-4/=-I2»

:.直线48的方程为3*-4y=-l2,即3x-4"12=0・..................4分

•；直线祓例C鼓得的弦长为4,且国心C到直线月8的距离为4=也展U=2,

:.圆半径r=2&,即、*=2应，m=8・'.............................8分

(2)设尸(xj)为圆C上任意一点，则由条件知，华学士❷二空•2%，

郎(万-1)/+(^-1)/-2(AJj-4)x-2(&-6)y-筋(『+力-52=0,..............①

由点P为圆C上任意一点知，方程①表示的轨迹与圆C是同一条曲线.

...............................................12分

公$-4,*-6AJ(?+?)-52

所以,—=-----=2,-；——

2J-1万T

、2、4X(s'+「)-52

所以.$=2+9r=2+9m=08------—]'—•

由知，2<$<4.结合s为正整数知.3=3,4=Ji,因此，/=4»加工10.

所以.w=10•................................16分

15.对任意的正整数人以及任意〃个互不相同的正整数马，叫，…，4,若不等式

（上尸+二］+…+二尸<2恒成立.求整数2的最小值.

【解答】；i+LLL”>2,

23412

••若％41,则有（，+（；）'+（!）'+（；）"士1+j+；+:>2与要求不符.

:.2>1・..........................................................4分

当Z22时，山田，&为〃个互不相同的正整数知，

（f'+6尸+…+6）”《（;）”+（;）”+（;）“•"+（：）"

.........................................................8分

,.111111

W1+-X—4--X-•4,1*■**,X-........................・・・・•・・♦♦・♦•♦♦“・•・・・一・•♦♦•127T

)223«-]n

S14-（1—1）+（［-1）+•••+（------）=2---<2o

223k一1nn

:.当；122时，不等式+…+（JL><2对任意找个互不相同的汇整数q,

4%可

氏恒成立•

:.整数Z的最小值为2.,......................................................16分

16.如图，PA、PH为圆。的两条切线，A.8为切点:.PC0为圆。的割线，C、。为

割战与的交点.过C作直畿交48于点£、交3于点F，且CE=£F。

求证।CE//PA,

【解答】如图，作。M1CD于M,联结OM、ME、"3、8C,第”国图

则M为CD的中点.

在△CFD中，由CE=EF,“为CD的中点，^EM//FD.

,；.N师=/必。...............■芬-―

VA~D.3、C四点并圆，/

:./B/D=N8C。：从而C、E、M、8四点共圆.

：.ZEBM=4ECM.……①............8分AAZA

VPA.尸8为圆。的两条切线，ROM1PM,Ij

:.P、4、MB四点共圆（都在以OP为直径的圆\N?A]

±）...............12分Xy/

.*.UPM=&BM.........②---

由①、②fthZAPM=£ECM第16廖答题图

:.CE//PA,............16分

17.在直角坐标平面x6,内有2012个点，元这2012个点组成的点集为尸，已知点生P中

任何两点的连线与坐标轴既不平行也不重合.

证明：在点集『中，存在E、G两点，使得以£G为对角线，且边与坐标轴平行或重合

的矩形EFGH内（不包括边提）至少含有点失尸中的402个点.

【解答】设/是点集尸中纵坐标最大的点，8是点集尸中纵坐标最小的点，C是点失尸中

横坐标最大的点，。是点集尸中横坐标最小的点.

则点集P被四条直线x=x”x=x。、＞=以、）,=%所形成的矩形所发盖，记此矩形为

矩形0.....................4分

记以线段,婚,为对角线，且边与坐标轴平行或重合的矩形为“如，矩形J““内（不包括边

界》含有点集尸中的点的个数为.

（D若,4、8、C、。四点中有重合的情形.

由于点集尸中任何两点的连线与坐标轴既不平行也不重合，因此，点力与点8不重合，

点C与点。不里合.’.

①若/、3、C、。重合为2个不同的点.

由对称性，不妨设/与D重合、8与C重合，则显然矩形J“符合要求.

......................7分

②若4、B、C、。重合为3个不同的点.

由对称性不妨设/与。重合，则矩形。板三个小矩形J,.、%、•/口所覆盖，因此，点

集尸也被三个小矩形乙“、小4.’所覆盖。

因此，7；e+Tw+^＞2009,即，,、小、工”中至少有一个不小于670,从而符合条件

的点片、G存在.

由①、②知，当/、B、C,。四点中有重合情形时，结论成立.

.......................10分

（2）若4、3、C,"四点两两不堇合..

易知矩形。被五个小矩形Jv、J加、小〃.八，，所覆盖，因此点失尸也被这五个小

矩形所覆能（如图所示）.

所以，加*4+。+小&22008。

所以，丁人口、心、心、兀＜、乙,中至少有一个不小于402.

因此，符合条件的点E、G存在.

由（1）、（2）知，结论成立.

2024福建省中学数学竞赛

(考试时间：2013年9月7日上午9：00-11：30,满分160分)

一、填空题(共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上)

1.已知数列也｝满足％=32,%+「4=2〃(〃e”)，则，的最小值为=

【答案】—

3

I解答】由％=32,q+i-«=2〃知，

an~a»-i-»”"_1-4_2=2(“一2)，””，4一°1=2><1,4=32。

上述〃个等式左右两边分别相加，得4=〃(〃-1)+32。

%=〃_1+上，又〃=5时，％=工；〃=6时，%

,

〃〃〃5ncj\c)gi.corrLcn/scjing

2.对于函数了=/(x)，xeD,若对任意的wcD,存在唯一的马©“，使得

”(皿，则称函数在。上的几何平均数为胫。已知/")=好-/+1,

xe［l,2］,则函数/⑺=1一/+i在［1,2］上的几何平均数N_

【答案】炳

【解答】*/当l<x<2时，f(x)=3x2-2x=x(3x-2)>0,

二/8)=d-/+1在区间［1,2］上为增函数，其值域为［1,5］。

，根据函数了(x)几何平均数的定义知，M=0

3.若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足+:=士，则称a、b、c是调和的；若

abc

满足a+c=S,则称a、b、c是等差的。已知集合凶=；x|b|42013Z),集合F是集

合M的三元子集，即尸=｛叫入。｝匚M。若集合P中元素a、b.c既是调和的，又是等差

的，则称集合F为“好集”。则不同的“好集”的个数为。

【答案】1006blog.sirjE/sc］irig

T1_Z

【解答】若a、b、c既是调和的，又是等差的，则Z+b=a=-2b,c=4ba

a+c=2b

即“好集”为形如；-乃，34幻（匕=0）的集合。

由“好集”是集合M的三元子集知，-2013W4bW2013,beZ,且8x0。

-503</?<503,beZ,且6工00符合条件的b可取1006个值。

/.“好集”的个数为1006.

4.已知实数x,了满足砂+l=4x+y,且x>l,则（x+l>。的最小值

为。

【答案】27

【解答】由号+l=4x+y矢口，了=4"-1。

(x+1M+2)x"誓/+=隼产2.1)

设工一1=3贝算>0,

/，、/小3(x+l)(2x-l)3(£+2)(2r+l)“1、，=皿

(x+l)(y+2)=———-----=———------=66+-)+15227。

x-1rt

当且仅当£=；,即f=l,x=2,y=7时等号成立。

(x+1M+的最小值为27。blDg.siri8i.corrLcri/sc]irjg

(x+l)(y+2)—27=(工+1)(i——+2)—27=—>0

1-J7X~1.

5,如图，在四面体中，4B_L平面ECZ),△8CD是边长

为3的等边三角形•若那=2,则四面体4BCZ)外接球的面积

为

【答案】16〃

【解答】如图，设正△88的中心为q,四面体458外接球的

球心为。。则OQJ.平面8CQ,OOJ/AB,5Q=-x—x3=V3.

ii32

取中点

由04=08知，O£_L^,OE//OXB,Oq=E8=l。

于是，OA^OB=2.

，四面体45ao外接球半径为2,其面积为164。

bl吗sineLC^ffLcri/sqing

6.在正十边形的10个顶点中，任取4个点，则以这4个点为顶点的四边形为梯形的概

率为•

【答案】；2

【解答】设正十边形为444°.则

以44为底边的梯形有4444。、4444、4444共3个。同理分别以44、44、

44、，,、44）、为底边的梯形各有3个。这样，合计有30个梯形.

以44为底边的梯形有4444。、4444共2个.同理分别以&&、司司、44、，,、

44、44为底边的梯形各有2个。这样，合计有20个梯形。

以44为底边的梯形只有44441个。同理分别以44、44、44、”、44、44

为底边的梯形各有1个。这样，合计有io个梯形.

30+20+102

所以，所求的概率尸=

7

Y；y1

7,方程sin"=--2+-在区间必2句内的所有实根之和为.（符

号［x］表示不超过x的最大整数）。

【答案】12

【解答】设｛；｝=；-；，则对任意实数x,0<｛；卜1。

原方程化为sin/=（-1+-a

Ll2J2J

①若则sin4X=/X1+1=0,"=左耳«左cZ,）。,

I2J2LI2J2Jolog.siriELCorrLcn/sqirig

9.已知集合月的元素都是整数，其中最小的为1,最大的为200。且除1以外，力中每

一个数都等于/中某两个数（可以相同）的和。贝UI囿的最小值为。（符号A\

表示集合幺中元素的个数）

【答案】10

【解答】易知集合/={1,2,3,5,10,20,40,80,160,200}符合要求。此时，|图=10。

下面说明|*=9不符合要求。

假设集合A=[\,y\,x2,xi,x^,x5,x(1,x1,200},a<三<三<%<W</<当符合要求。

则玉=1+1=2,毛M2+2=4,X3<8,x4<16,<32,x6<64,xy<128o

由于线+X7g64+128=192<200,因此，200=f+毛，x7=1000

同理，由毛+升W32+64=96<100,知，毛=100=4+毛，x6=50o

由4+/=16+32=48<50,知，/=50=鼻+/，々=25。

25

由天8+16=24<25,知，/=25=2+z，x4=?与4为整数矛盾。

/.图=9不符合要求，141H9。同理，|4区8也不符合要求。

因此，|川的最小值为10。

'X,若x为无理数

10,已知函数/(x)=|q+1辛q甘山”■口后底，则函数了3在

-——，若x=[,其中p,qe丛，且/?、q互质，p〉q

PP

7Q

区%,9)上的最大值为一

打心勺,5/sqm勺

16

【答案】

8

【解答】若x为有理数，且xcd/）。设工=&€（Zt）（*北犷），

89a+几89

,7a8,「9”生+84……

由<〈知，《,7A<a<8^a

8a+A97a+7^<8a

当N=1时，a不存在；

当4=2时，存在唯一的a=15,此时xJ5,/（x）=16.

1717

当N23时，设&=74+M，其中1«加4几一1,且附已曾二此时/伏）=必士竺

8N+%

16H+m+1-m-17A(-m卞加8~17)

17-a+w=174&切=)1^侬)

，若x为有理数，则工=£时，/（x）取最大值;二

又x为无理数，且xe乙8）时，/（x）=x<8<16

89917blog.sinei.cD/scjirig

综合以上可知，在区间乙号）上的最大值为16。

8917

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程）

11.将各项均为正数的数列;%J排成如下所示的三角形数阵（第冏行有附个数，同一行中，

下标小的数排在左边）.与表示数阵中，第附行、第1列的数。已知数列为等比数列，且

从第3行开始，各行均构成公差为d的等差数列（第3行的3个数构成公差为d的等差数列；

第4行的4个数构成公差为d的等差数列，，,,,）,4=1,4=17,%=34。

3）求数阵中第那行、第附列的数次加，冏）（用冽、附表示）.

⑵求的值;

（3）2013是否在该数阵中？并说明理由。

%

%%

%%a6

%%%«10

【解答】（1）设⑼的公比为q。blog^irjc!.corrLcri/s;c|ifjg

依题意，%为数阵中第5行、第2列的数；%为数阵中第6行、第3列的数。

2=1,b=qn~1=^4+c/=17,a..=c/5+2d=34„„...........5分

1tU/lo*a

***q=2,d=1,b=2"一10

A（m,t）=6+（第1）左*刎+/1............................10分

（2）由1+2+3+―+62=1953,1+2+3+…+62+63=2016,2013-1953=60知，

。加13为数阵中第63行，第60列的数。

，%）B=262+59。............................15分

（3）假设2013为数阵中第冽行、第附列的数。

第/行中，最小的数为2吁1最大的数为2所】+加一1,

2海-1«201342加-1+附一1”,①。

由于活£10时，2秋」+切_1«29+9=512<2。13,因此切410不符合①；

由于加211时，2W-1>210=1024>2013,因此附之11不符合①；

/.上述不等式①无正整数解.

2013不在该数阵中。3sir国&。血c门腹地Fig

12,已知/、8为抛物线C：*=4x上的两个动点，点/在第一象限，点8在第四象限。

4、4分别过点/、8且与抛物线C相切，户为4的交点。

（1）若直线过抛物线C的焦点歹，求证：动点E在一条定直线上，并求此直线方程;

（2）设C、Z）为直线匕、4与直线工=4的交点，求面积的最小值.

【解答】（1）设收（，入），8百，为）（片〉0>为）。

易知《斜率存在，设为片，贝叫方程为」-片=%8-。）。

由<"（x-4）得，片尸-4了+4入-占了；=0..........

①

/=4x

由直线4与抛物线C相切，知△=16一4片（4八-左］｝；）=0。

于是，片=2,4方程为了=工工+1万。

K居2

21

同理，4方程为了=工+-了2。

力22

联立4、4方程可得点F坐标为打牛，丐力）

h»log.E；iricLc；ofrj.crjJVc|irjg

•/上.="一々=4，方程为了-居=48-*）,45过抛物线C的焦点

尤』为+必X+%4

44

秋1,0）。

4y2

工一%二（1一;），为为二一4。

片+为4

，x=月7=-1，点F在定直线工=一1上。................10分

4

或解：设/（不，居），B（X2,y2）,则4方程为入了=2（工+%）,乙方程为%7=20+%）°

.................................5分

设E（%，为），贝以为=2（%+%）,y2y0=2（x0+X2）a

，点/（工1，入），8%，九）坐标满足方程»0=2（/+x）。

，直线AB方程为yyQ=2（%+x）。

由直线过点F0,O）,知0=2（%+1）。

%=-1。点尸在定直线工=-1上。5叫:号什归口力仃）,二创为ing

O1Q1

（2）由（1）知，C,Q的坐标分别为C（4,士+!%）、。（4,+上为）。

了12y22

.**CD1=('+%)-(8+1%)5了2-16)3vy)2

112

典2为2乂%

•s一14%匕|I。八16）8-1y/.................

-S△皿一24-4卜|2加015分

设了仍=一/（f>。），卜「了21=加，

由=仇-力）2+4为力=疗-4尸“知，m>2t,当且仅当为+为=0时等号成立。

1户口j加一16用m-t+1行2£2%("6)£+(16)

|一把=ir§一代=。

£8

港（产+1。22(产+16)2Tf-(尸+16)2_(3产-16)(y+1①

设/©=

3t，贝U/M8t2-8t2

J0<f<4f时，/.）<o；”4’时，了©>0。在区间（o,华］上为减函数；

住区间「生叵，+8］上为增函数。

L3）

***'=:时，/V）取最小值了°M吗介尼Lsrn.cn/sqing

迎c16aH44时，△■PS面积取最小值I2干

当必+必=0,月月=-§，即九=耳，厉=一生

20分

13.如图，在△腑中,4=90°,它的内切圆分别与边羽、CA,那相切干点。、E、

F,连接M,与内切圆相好另一点匕跳PC、PE、PF、FD、ED.

(2)^PE//BC,求证:PC1PF.

【解答】⑴由条件M,UFP=/ADF,又/期=/期D。

AD即

：.MFPSMDF,=—O

AFDF5画浙获隔/那叫

同理，由即=/2。百，/口百=/£4D知,A

PPAp

/\AEPs/\ADE,—=—o

DEAE

：AF=AEt

.EPAPAPFP

**DE~AE~AF~DFa

BDC

.FPEP

FDED

.............................10分

(2)：PE//BC

，APED=NEDC=ADPE=ZCED.

△DPEs^CDE.

.EP_PD

分

**ED=DC.............................15

FPnp

结合Cl)可知，----=------o

FDDC

又4FFD=/FDC,

APFDs/\PDC,ZPCB=APDF=NFFA3blog,sinci.corn.cn/scjing

/.P、F、B.C四点共圆。

又"=90°,

/.AFPC=90°,PC1.PFa20分

14.已知/(x)=21n(x+l)+―-——1。

x(x+l)

(1)求/(X)在区间［1,+OOI上的最小值；

(2)利用函数/'(%)的性质，求证：Inl+ln2+ln3+…+In冏>包a~(nwN”,且对之2)；

2n

(3)求证：In2l+ln22+ln23+-+In2M?(附e犷,

且附22)。

4附3

22x+l2X3+2x2-2x-l(2X3-1)+2x(x-1)

【解答】(1)：「3

x+1x2(x+l)2x2(x+l)2^(x+l)2

，X21时，r(x)>Ot即/(x)在区间［1,+m上为增函数。

，/(x)在区间［l，+oo।上的最小值为了⑴=21n2-...........5分

(2)由(1)知，对任意的实数x21,21n(x+l)+J、-1221n2-1>0恒成立。

x(x+l)2

1

对任意的正整数左，21n3+1)+=一-l>0,EP21n(^+l)>l-(--))恒成立。

k(k+1)