（新教材人教A版2019）高中数学必修第一册分章节基础知识

第1章集合与常用逻辑用语

§1.1集合的概念

1.集合定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.

集合三要素：确定性.互异性.无序性.

2.集合的相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.

3.元素和集合的关系：属于(aeA)和不属于.

4.常见数集：自然数集：N,正整数集：N*或N+，整数集：Z,有理数集：Q,实数集H.

5.集合的表示方法：

(1)列举法：把集合的所有元素---列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.

(2)描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征尸(X)的元素x所组成的集合表示为

{xeA|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.

§1.2集合间的基本关系

1.子集：对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合8中的元素，则称集合A是集合8的

子集，记作AqB.

2.真子集：如果集合AqB,但存在元素xeB,且x走A,则称集合A是集合8的真子集.记作：集合At)B

(或3VA).

3.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.记作：。.并规定：空集合是任何集合的子集.

4.子集个数：如果集合A中含有n个元素，则集合A有2"个子集，2"—1个真子集.

§1.3集合的基本运算

1.并集：由所有属于集合A或集合3的元素组成的集合，称为集合集合A是集合B与B的并集.记作：

.即A|j8={x|xeA,或xe8}.

2.交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A是集合B与B的交集.记作：AD8.

即AD8={x|xeA,JLrG.

3.补集：对于集合Z,由全集U中不属于集合4的所有元素组成的集合称为集合4相对于全集U的补集，

记作：Q/A,即={x|xG[/,JLr^U}.

§1.4充分条件与必要条件

1.命题：可以判断真假的陈述句叫命题；

2.充分条件.必要条件与充要条件

如果“若，，则4”为真命题，是指由〃通过推理可以得出4,我们就说由〃可以推出4,记作〃=4,

并且说P是4的充分条件，4是P的必要条件；

如果“若P,则4”为假命题，那么由条件P不能提出结论4,记作，力4,我们就说，不是4的充分条

件，4不是P的必要条件：

如果“若P,则4”和它的逆命题“若4,则P"均是真命题，即既有P=4,义有q=p,就记作p=4

此时则，是g的充分条件，也是4的必要条件，我们就说，是4的充分必要条件，简称为充要条件.

如果〃0那么，与4互为充要条件.

§1.5全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题

短语“所有的"''任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.

含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.记为VxeM,〃(x).

(2)存在量词与存在量词命题

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示.

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.记为*eM,“(x).

2,全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)全称量词命题，：VxeM,p(x),它的否定力：3XGM,^/?(X).

(2)存在量词命题P：HxeM,〃(x),它的否定r?：VxeM，r?(x).

第2章一元二次函数、方程和不等式

§2.1等式性质与不等式性质

1.作差法比较大小

a>b<=>a-b>0；a<b<=>a-b<0；a=b<=>a-b=O.

2.不等式的基本性质

(1)(对称性)a>h<^>b>ci

(2)(传递性)a>b,b>c^a>c

(3)(可加性)a>b<^>a+c>b+c

(4)(可乘性)a>b,c>0=>ac>bea>b,c<O^>ac<bc

⑸(同向可加性)a>h,c>d=>a+c>h+d

(6)(正数同向可乘性)a>b>O,c>d>Onac>bd

(7)(正数乘方法则)a>b>O^a">b"(neN,S.n>l)

§2.2基本不等式

①重要不等式：a2+b2>2ab(a,beR),(当且仅当a=Z?时取"="号).

变形公式：2(a2+b2)>(a+b)2(a,b&R)

②基本不等式：(a,beR*),(当且仅当a=〃时取到等号).

变形公式：a+h>2\[ab：.

用基本不等式求最值时(积定和最小，和定积最大)，要满足条件：“一正.二定.三相等”.

§2.3二次函数与一元二次方程.不等式

A>0A=0A<0

y=cvc+ZZX+C(Q>0)

\]/

的图象立

秋O尸21

2

ax++c=0(a>0)Xpx2(x,<x2)b没有实数根

V五

的根

cue2+bx+c>0(a>0){x|xV%,或%}R

的解集

2（。）00

ax+/?x+c<0>0<X<x21

的解集

第3章函数的概念与性质

§3.1函数的概念及其表示

1.设A.8是非空的实数集，使对于集合A中的任意一个数X,如果按照某种确定的对应

关系了,在集合B中都有惟一确定的数y和它对应，那么就称/:AfB为集合A到

集合8的一个函数，记作：y-f(x),x&A.

2.函数的构成要素为：定义域.对应关系.值域.

3.区间：闭区间、开区间、半开半闭区间

4.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

5.分段函数

§3.2.函数的基本性质

§3.2.1单调性与最大(小)值

1.函数单调性的定义：

设函数/(X)的定义域为/,区间如果V%、々G。，当王<%2时，都有：

/(X1)</(X?)或/(玉)-/(X,)<0,就称/(X)在区间。上单调递增；

特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是增函数：

/(m)>/(/)或/(苞)—/(z)>°，就树10)在区间。上单调递减.

特别地，当函数在它的定义域上单调递戒时，就称它是减函数；

2.最大值、最小值：

设函数)(x)的定义域为/,

如果存在实数M满足：(1)VXG/,都有/(x)KM;(2)it。e/,使得/(%)=M,

我们就称M是函数y=/(x)的最大值.

如果存在实数N满足：(1)VxeZ,都有/(x)NN；(2)三天6/,使得/(为)=77,

我们就称N是函数y=/(x)的最小值.

§3.2.2奇偶性

1,定义：设函数/(x)的定义域为/,如果Vxe/,都有一xe/,

且/(—x)=/(x)(或/(-x)—/(x)=0),那么就称函数/(x)为偶函数.

偶函数图象关于y轴对称.

且若/(r)=—/(x)(或/(一x)+/(x)=0),那么就称函数/(x)为奇函数.

奇函数图象关于原点对称.

2,奇函数的性质：

若奇函数/(x)的定义域为/,如果Oe/,则有/(O)=O.

3.奇偶性与单调性：

奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.

§3.3瓶函数

1.露函数的解析式：y=x",x是自变量，a是常数.

2.几种取函数的图象：

3.赛函数的性质：

(1)定点：(1,1).

(2)单调性：

当a>0时，>在(0,+oo)上单调递增;

当a<0时，y=x"在(0,+oo)上单调递减:

第4章指数函数与对数函数

§4.1指数

§4.1.1。次方根与分数指数暴

1.如果X”=Q,那么X叫做。的〃次方根.其中〃>N+.

2.当〃为奇数时，=

当〃为偶数时，”/二同.

3.规定：

⑴=\/a^(a>0,m,N\n>V)；

*11

(2)。"-——=—=(a>0,m,n^N\n>1).

J"

(3)0的正分数指数森等于0.0的负分数指数幕无意义.

4.运算性质：

(1)„=a'"'(a>0,r,s£Q)；nj=ars

⑵(优)=a,s(a>0,r,5G2)；=(〃')=(")=〃

(3)(ab)"=arb'(a>0,人>0/£Q).

§4.1.2无理指数系及其运算性质

运算性质：

(1)aras=，+s>0/,s£R)；nJ=ar~s

⑵(a)=ars(a>0,r,5G/?)；n(")==ars

⑶(ab)'=arhr(tz>0,/?>0,re7?).

§4.2指数函数

1.定义：函数y=优(。>0,。wl)叫做指数函数，定义域为R.

2.性质:

1.定义：如果优=N(a>0,aol)；

那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=log«N,a叫对数的底数，N叫真数.

2.指数与对数间的关系：当a>O,a#l时，a"=Nox=log«N

3.对数恒等式：产，N=N,log,,aN=N.

4.两个特殊对数：

(1)以10为底的对叫做常用对数，并把log1。N记为IgN；

(2)以无理数e=2.71828....为底数的对数称为自然对数，并把log,N记为InN：

5.基本性质：(1)108“1=0；(2)108"=1；(3)负数和0没有对数.

6.积、商、蕊的对数运算法则：当a>0,aH1,M>0,N>0时：

(1)bg“(MN)=log“M+log„N：

⑵log"(引=log“"-log“N；

⑶logaMn-〃log,M.

5.换底公式：logab=———(a>0,。w1,c>0,cw1,b>0).

log,a

m]

6.推论：(1)log"/?'"=—logab(2)log“Z?=------(a>O,a^\,h>O,h^\).

anlog/

§4.4.对数函数

1.定义：函数y=log”元(。>°，。H1)叫做对数函数，定义域是(0,+℃).

2.性质：

a>\0<a<1

y\x=l

图

象

0/(1,0)XO\XX

(1)定义域：(0,+8)

性(2)值域：R

质(3)过定点(1,0),即x=1时，y=0

(4)在(0,+8)上是增函数(4)在(0,+8)上是减函数

(5)x>l,logrtx>0:(5)x>l,logtzx<0；

0<x<l,logrtx<00<x<Llog”x>0

§4.5.函数的应用

4.5,1函数的零点与方程的解

1.方程/(无)=0有实数解。函数y=/(x)的图象与x轴有公共点o函数y=/(x)

有零点.

2.函数零点存在性定理：

如果函数y=/(x)在区间以㈤上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(。)"俗)<0,

那么函数y=/(x)在区间内至少有一个零点，即存在ce(a,b),使得/(c)=0,这

个c也就是方程/(X)=0的解.

3.用二分法求方程的近似解

对于在区间［a,。］上图象连续不断且/(<—"(/?)<0的函数y=/'(x),通过不断地把它零点

所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做

二分法.

第5章三角函数

§5.1.1.任意角

1.正角、负角、零角、象限角的概念.

正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

零角：一条射线没有任何旋转，就称它形成了一个零角。

2.旋转与运算：

(1)痢的加法：角。的终边旋转角夕后所得的终边对应的角是0

(2)角的减法：6)。

3.与角a终边相同的角的集合：{P|夕=。+左360•次ez}.

§5.1.2.弧度制

1.1弧度角：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

2.弧度公式：|a|=，(r为圆的半径，弧长为/的弧所对的圆心角为a)。

r

3.弧长公式：/=|同

元/।OQ\°

4.角度与弧度换算：180°=^-rad=>1°=-rad；\rad=----。

180\7U)

5.扇形面积公式：S="N-=L/R=』a|/?2.(R为圆的半径，扇形弧长为/,圆心角

3602211

为a)

§5.2.1.三角函数的概念

1.三角函数定义1：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),则：

把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina.即y=sina；

把点尸的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa.即九二cosa；

把点尸的纵坐标y与横坐标x的比值上叫做a的正切函数，记作tana.即

x

y/、

—=tan6r(x^0)o

正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：

正弦函数：y=sinx,xe/?

余弦函数：y=cosx,xe/?

正切函数:

2.三角函数定义2：设点P（尤,y）（不与原点重合）为角。终边上任意一点，点P与原点

2

的距离为：r=Jx^+y,则：sincr=—,cosa=—ftana=—.

rrx

3.sin。、cos。、tana在四个象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

§5.2.2.同角三角函数的基本关系式

sincc

1.平方关系：sin26r+cos2a-\.2.商数关系：tana=------.

cosa

§5.3.诱导公式

1.诱导公式一：2.诱导公式二:

sin(6Z+2左")=sina.-).-smtz,

Z«).

cos(6Z+=coscr,(其中:.一cosa,

«).

tan(cr+2k/r)=tana.tana.

3.i秀导公式二：4.诱导公式四：

sin(—a)=-sin。，sin(7一a)=sin0，

cos(-a)=cosa,cos(万一a)=-cosa,

tan(-a)=-tana.tan(〃-a)=-tana.

5.诱导公式五：6.诱导公式六：

§5.4.正弦、余弦函数的图象与性质

1.正弦.余弦函数图象：

2.会用五点法作图.

jr3乃

y=sinx在工£[0,24]上的五个关键点为：(0,0),(—,1),(万,0),(,一1),(24,0).

jr27r

y=cosx在工£[0,21]上的五个关键点为：(0,1),(—,0),(小一1),(^—,0),(2%,1).

3.周期函数定义：函数/(X)定义域为。，如果存在一个非零常数了，使得对每一个XG。，

都有x+Te£>,且.f(x+T)=.f(x),那么函数/(x)就叫做周期函数，非零常数7"叫做这

个函数的周期.

最小正周期：如果周期函数/(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那这个最小正数叫

/(元)的最小正周期.

4.正余弦函数的周期：

正弦函数是周期函数，(AeZ且后。0)都是它的周期，最小正周期是2"；

余弦函数是周期函数，2k兀(AeZ且AxO)都是它的周期，最小正周期是2"；

5.正切函数的图象：

5.正弦.余弦.正切函数的图像及其性质：

y=sinxy—cosxy=tanx

：y1

yI

y=sinx,xER¥

!I

,：R।psinxjgRi

J由zn/J

图象J-

产0F;X

匹丁75^兀：'靛^力-;v-

—T—千一-i-1-4

r1

ITIf

71

定义域RR{x\x^—+kjr,kGZ}

值域[-1,1][-1,1]R

7t,

x=Ikjr+—2，&wZ时，■ymax=1

工=攵时，

最值2E4£2yimx=1

7V,

兀x=2A7r+;rMwZ时，y=-1

x=2k----MwZ时，ym.n=-1min无

周期性T=2〃T=2TTT=兀

奇偶性奇偶奇

在［2.-参2版+自上单调递增

在每一个区间

单调性在［2%万-肛上单调递增

在120+工,2"+红］上单调递

keZ22在［2%肛2卜兀+»］上单调递减(k兀-?卜兀+与上单调递增

减

7F