2025高考数学一轮复习-第6讲-函数的概念及其表示方法【课件】

第6讲

函数的概念及其表示方法第二章

基本初等函数1．下列图象表示函数关系y＝f(x)的是 (

)激活思维DABCDAD(－∞，1)∪(1，4]26【解析】由题意得f(1)＝5，f(－3)＝21，所以f(1)＋f(－3)＝26.【解析】5．给定函数f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R，m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则m(x)＝________________________________．1．函数的概念及表示聚焦知识概念设A，B是两个________的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有________的元素y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中将所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的__________，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的________．三要素(1)函数的三要素：__________、____________、________．(2)如果两个函数的__________相同，并且____________完全一致，则这两个函数为同一个函数．表示方法(1)解析法(2)列表法(3)图象法非空唯一定义域值域定义域对应关系值域定义域对应关系2．分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，且每个子区间的解析式不同，则这种函数称为分段函数．3．定义域的求法(1)分母不为0；偶次根式被开方数非负；

零指数幂底数不为0；实际问题有意义；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；(2)复合函数的定义域：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同．对函数概念的理解举题说法1【解析】【答案】A对于f：x→y＝x2，取x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，B错误；对于f：x→y＝|x|，当x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，C错误；对于f：x→y＝x－1，当x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，D错误．(2)已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是 (

)【解析】D1ABCD对于A，存在点使一个x与两个y对应，不符合，排除；对于B，当2＜x≤4时，没有与之对应的y，不符合，排除；对于C，y的范围超出了集合B的范围，不符合，排除；对于D，满足函数关系的条件，正确．【解析】对于B，若f：x→y，y＝2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；对于C，若f：x→y，y＝2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；对于D，若f：x→y，y＝x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意．【答案】A函数的定义域2【解析】【解析】2由题意知，ax2－4ax＋2＞0的解集为R.当a＝0时，2＞0恒成立，满足题意；D【解析】2B【解析】D【解析】D(3)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2－x，求f(x).【解答】3【解析】因为函数定义域为R，所以ax2＋ax＋2≠0在x∈R上恒成立．当a＝0时，ax2＋ax＋2＝2≠0满足要求；当a≠0时，要满足Δ＝a2－8a＜0，解得0＜a＜8.综上，0≤a＜8.B函数的解析式3【解答】(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；【解答】(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，所以a＝2，b＝7，所以f(x)＝2x＋7.变式

(1)已知二次函数f(x)满足f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，求f(f(1))；【解答】【解答】分段函数4【解析】【解析】当a≤0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a＝0；当a＞0时，f(a)＝lna＝1，解得a＝e.－20或e【解析】令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1.当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2；当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1.综上所述，a＝－2或－1.D随堂练习【解析】要使得函数有意义，则4－x2≥0，且x＋1≠0，解得x∈[－2，－1)∪(－1，2].CB【解析】f(9)＝f(f(14))＝f(2×14－15)＝f(13)＝2×13－15＝11.【解析】D4．设f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1.若f(3)＝－5，则f(x)的解析式为 (

)A．f(x)＝2x－11或f(x)＝－2x＋1 B．f(x)＝－2x＋1C．f(x)＝2x－11 D．f(x)＝2x＋1【解析】综上所述，f(x)＝－2x＋1.【答案】B配套精练A组夯基精练一、

单项选择题1．下列选项中表示同一个函数的是

(

)【解析】【答案】D对于A，因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一个函数；对于B，因为f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一个函数；【解析】Af(9)＝f(9－3)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝2.【解析】B4．若函数f(x)＝lg(ax2－2x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围为 (

)A．(－1，0) B．[－1，1]C．(0，1) D．(1，＋∞)D【解析】由函数f(x)＝lg(ax2－2x＋a)的定义域为R，所以ax2－2x＋a＞0恒成立，令h(x)＝ax2－2x＋a.综上，实数a的取值范围为(1，＋∞).二、

多项选择题5．下列是函数图象的是

(

)ABD【解析】对于A，若y＝sgn(x)的图象关于y轴对称，则y＝sgn(x)为偶函数，应该满足sgn(－1)＝sgn(1)，但sgn(－1)＝－1，sgn(1)＝1，即sgn(－1)≠sgn(1)，故A错误；对于B，因为ex＞0，所以对任意x∈R，sgn(ex)＝1，故B正确；【答案】BCD对于D，当x∈(0，1)时，－lnx＞0，y＝xsgn(－lnx)＝x∈(0，1)，当x＝1时，－lnx＝0，y＝xsgn(－lnx)＝0，当x∈(1，＋∞)时，－lnx＜0，y＝xsgn(－lnx)＝－x∈(－∞，－1)，即函数y＝xsgn(－lnx)的值域为(－∞，－1)∪[0，1)，故D正确．【解析】x2－2x＋2(x≥1)【解析】[－2，－1)【解析】四、

解答题10．(1)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求函数f(x－5)的定义域；【解答】因为f(x)的定义域为[－1，5]，所以f(x－5)需满足－1≤x－5≤5，解得4≤x≤10，所以f(x－5)的定义域为[4，10].(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0，3]，求函数f(x)的定义域；【解答】因为f(x－1)的定义域为[0，3]，所以0≤x≤3，－1≤x－1≤2，所以f(x)的定义域为[－1，2].10．(3)若函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m＞0)的定义域．【解答】【解答】B组滚动小练12．已知函数y＝ln(x2－3x)的定义域为A，集合B＝{x|1≤x≤4}，则(∁RA)∪B等于

(

)A．[0，4] B．(0，4]C．[1，3) D．[1，3]A【解析】由题意可知，x2－3x＞0，所以x＜0或x＞3，所以A＝{x|x＜0或x＞3}，故∁RA＝{x|0≤x≤3}．因为B＝{x|1≤x≤4}，所以(∁RA)∪B＝[0，4].13．(多选)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的有 (

)A．φ(5)＝φ(10)B．φ(2n－1)＝1C．φ(32)＝16D．φ(2n＋2)＞φ(2n)，n是正整数【解析】【答案】AC由题意得φ(5)＝φ(10)＝4，故A正确；当n＝4时，φ(2n－1)＝φ