2025届高考数学一轮复习核心素养测评第三章3.2利用导数研究函数的单调性理含解析北师大版

PAGE10-核心素养测评十四利用导数探讨函数的单调性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=f(x)=x3-x2+QUOTE的图像大致是 ()【解析】选A.因为f(0)=QUOTE,所以解除C;因为f′(x)=3x2-2x,令f′(x)>0,所以x∈(-∞,0)或x∈QUOTE时f(x)单调递增,令f′(x)<0,所以x∈QUOTE时f(x)单调递减,解除B,D.2.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 ()A.f(x)=sin2x B.f(x)=xexC.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+lnx【解析】选B.对于A,f(x)=sin2x的单调递增区间是QUOTE(k∈Z);对于B,f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数;对于C,f′(x)=3x2-1,令f′(x)>0,得x>QUOTE或x<-QUOTE,所以函数f(x)=x3-x在QUOTE和QUOTE上单调递增;对于D,f′(x)=-1+QUOTE=-QUOTE,令f′(x)>0,得0<x<1,所以函数f(x)=-x+lnx在区间(0,1)上单调递增.3.函数f(x)=cosx-x在(0,π)上的单调性是 ()A.先增后减 B.先减后增C.单调递增 D.单调递减【解析】选D.易知f′(x)=-sinx-1,x∈(0,π),则f′(x)<0,所以f(x)=cosx-x在(0,π)上递减.4.若函数f(x)=QUOTE在(0,+∞)上单调递增,那么实数a的取值范围是()A.a≥0 B.a>0C.a≤0 D.a<0【解析】选A.因为f(x)=QUOTE=ax-QUOTE,所以f′(x)=a+QUOTE.因为函数f(x)=QUOTE在(0,+∞)上单调递增,所以f′(x)=a+QUOTE≥0在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,即a≥-QUOTE在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,所以a≥0.【变式备选】若函数f(x)=kex+x在(0,+∞)上单调递减,则k的范围为 ()A.k≥-1 B.k≤-1C.k≥1 D.k≤1【解析】选B.f′(x)=kex+1.由题意得kex+1≤0在(0,+∞)上恒成立,即k≤-QUOTE,x∈(0,+∞).当x∈(0,+∞)时,-QUOTE∈(-1,0),所以k≤-1.5.(2024·南昌模拟)已知函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)=sinx-x,设a=fQUOTE,b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为 世纪金榜导学号()A.b<a<c B.c<a<bC.b<c<a D.a<b<c【解析】选A.因为函数f(x+1)是偶函数,所以函数f(x)的图像关于直线x=1对称,所以a=fQUOTE=fQUOTE,b=f(3),c=f(0)=f(2).又因为当x∈(1,+∞)时,函数f(x)=sinx-x,所以当x∈(1,+∞)时,f′(x)=cosx-1≤0,即f(x)=sinx-x在(1,+∞)上为减函数,所以b<a<c.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数y=f(x)(x∈R)的图像如图所示,则不等式xf′(x)≥0的解集为________________.

【解析】由f(x)图像特征可得,在QUOTE和[2,+∞)上f′(x)≥0,在QUOTE上f′(x)<0,所以xf′(x)≥0等价于QUOTE或QUOTE解得0≤x≤QUOTE或x≥2,所以xf′(x)≥0的解集为QUOTE∪[2,+∞).答案:QUOTE∪[2,+∞)【变式备选】设函数y=f(x),x∈[a,b]其导函数的图像如图所示,则函数y=f(x)的单调递减区间是________________.

【解析】因为函数y=f(x)的减区间是导函数小于零的区间,由题干图知函数y=f(x)的单调递减区间是(x2,x4).答案:(x2,x4)7.已知函数f(x)=ax+lnx,则当a<0时,f(x)的单调递增区间是________________,单调递减区间是________________.

【解析】由已知得f(x)的定义域为(0,+∞).当a<0时,因为f′(x)=a+QUOTE=QUOTE,所以当x>-QUOTE时,f′(x)<0,当0<x<-QUOTE时,f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为QUOTE,单调递减区间为QUOTE.答案:QUOTEQUOTE8.(2024·西安模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,则m的取值范围是________________. 世纪金榜导学号

【解析】因为f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),所以a+b=4,①f′(x)=3ax2+2bx,则f′(1)=3a+2b.由题意可得f′(1)·QUOTE=-1,即3a+2b=9.②联立①②两式解得a=1,b=3,所以f(x)=x3+3x2,f′(x)=3x2+6x.令f′(x)=3x2+6x≥0,得x≥0或x≤-2.因为函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,所以[m,m+1]⊆(-∞,-2]∪[0,+∞),所以m≥0或m+1≤-2,即m≥0或m≤-3.答案:(-∞,-3]∪[0,+∞)三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.(1)求a,b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)因为函数f(x)的图像过点P(1,2),所以f(1)=2.所以a+b=1.①又函数图像在点P处的切线斜率为8,所以f′(1)=8.又f′(x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=5.②解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.(2)由(1)得f′(x)=3x2+8x-3,令f′(x)>0,可得x<-3或x>QUOTE;令f′(x)<0,可得-3<x<QUOTE.所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,-3),QUOTE,单调减区间为QUOTE.10.设函数f(x)=xex+QUOTEax2+ax(a∈R).探讨函数f(x)的单调性. 世纪金榜导学号【解析】f′(x)=ex+xex+ax+a=(x+1)(ex+a),①当a≥0时,由f′(x)>0得x>-1,由f′(x)<0得x<-1,所以f(x)在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增.②当-QUOTE<a<0时,由f′(x)>0得x<ln(-a)或x>-1,由f′(x)<0得ln(-a)<x<-1,所以f(x)在(ln(-a),-1)上递减,在(-∞,ln(-a)),(-1,+∞)上递增.③当a=-QUOTE时,f′(x)≥0,所以f(x)在R上递增.④当a<-QUOTE时,由f′(x)>0得x<-1或x>ln(-a),由f′(x)<0得-1<x<ln(-a),所以f(x)在(-1,ln(-a))上递减,在(-∞,-1),(ln(-a),+∞)上递增.(15分钟35分)1.(5分)(2024·南昌模拟)已知函数f(x)=xsinx,x1,x2∈QUOTE,且f(x1)<f(x2),那么 ()A.x1-x2>0 B.x1+x2>0C.QUOTE-QUOTE>0 D.QUOTE-QUOTE<0【解析】选D.由f(x)=xsinx,得f′(x)=sinx+xcosx=cosx(tanx+x),当x∈QUOTE时,f′(x)>0,即f(x)在QUOTE上是增加的,又因为f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),所以f(x)为偶函数,所以当f(x1)<f(x2)时,有f(|x1|)<f(|x2|),所以|x1|<|x2|,QUOTE-QUOTE<0.2.(5分)(2024·东莞模拟)已知函数f(x)=e|x|-ax2,对随意x1<0,x2<0,且x1≠x2,都有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))<0,则实数a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由题意可知函数f(x)是(-∞,0)上的单调递减函数,且当x<0时,f(x)=e-x-ax2,f′(x)=-QUOTE-2ax=-QUOTE≤0,可得:2axex+1≥0,即a≤QUOTE恒成立,令g(x)=xex(x<0),则g′(x)=ex(x+1),据此可得函数g(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,0)上单调递增,函数g(x)的最小值为g(-1)=-QUOTE,则QUOTE=QUOTE,故实数a的取值范围是QUOTE.3.(5分)已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(2)=5,对随意的x都有f′(x)<QUOTE,则f(x)<QUOTEx+4的解集是________________.

【解题指南】构造函数F(x)=f(x)-QUOTEx-4,则F′(x)<0,故而F(x)为减函数,且F(2)=0,从而得出F(x)<0的解集,即f(x)<QUOTEx+4的解集.【解析】设F(x)=f(x)-QUOTEx-4,则F′(x)=f′(x)-QUOTE<0,所以F(x)是减函数,因为F(2)=f(2)-5=0,所以当x>2时,F(x)<0,即f(x)<QUOTEx+4,当x<2时,F(x)>0,即f(x)>QUOTEx+4.答案:(2,+∞)【变式备选】函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对随意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为________________.

【解析】由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F′(x)=f′(x)-2,因为f′(x)>2,所以F′(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增,而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.答案:(-1,+∞)4.(10分)已知函数f(x)=x3-ax-1. 世纪金榜导学号(1)若f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.(2)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求a的取值范围.(3)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.【解析】(1)因为f′(x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].(2)由题意得f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,所以a≥3x2在(-1,1)上恒成立.因为-1<x<1,所以3x2<3,所以a≥3,即当a的取值范围是[3,+∞)时,f(x)在(-1,1)上为减函数.(3)由题意知a>0.因为f(x)=x3-ax-1,所以f′(x)=3x2-a.由f′(x)=0,得x=±QUOTE,因为f(x)在区间(-1,1)上单调递减,所以QUOTE=1,即a=3.5.(10分)已知函数f(x)=QUOTEx2+(a+1)x+2ln(x-1). 世纪金榜导学号(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线2x-y+1=0平行,求出这条切线的方程.(2)探讨函数f(x)的单调区间.【解析】(1)f′(x)=ax+a+1+QUOTE,得切线斜率为k=f′(2)=3a+3,据题设,k=2,所以a=-QUOTE,故有f(2)=QUOTE,所以切线方程为y-f(2)=2(x-2),即6x-3y-10=0.(2)f′(x)=ax+a+1+QUOTE=QUOTE=QUOTE(x>1).当a=0时,f′(x)=QUOTE,由于x>1,所以f′(x)=QUOTE>0,可知函数f(x)在定义区间(1,+∞)上单调递增,当a≠0时,f′(x)=QUOTE.若a>0,则QUOTE<1,可知当x>1时,有f′(x)>0,函数f(x)在定义区间(1,+∞)上单调递增,若a<0,则QUOTE>1,得当x∈QUOTE时,f′(x)>0;当x∈QUOTE时,f′(x)<0.所以,函数f(x)在区间QUOTE上单调递增,在区间QUOTE上单调递减.综上,当a≥0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞);当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为QUO