高中数学人教课标A版必修1-高一数学热点问题赏析 公开课教学设计课件资料

第一讲高考中集合问题的热点回顾

集合是高中数学的基础，是进一步学习数学的工具.高考中，集合问题常以选择题、填

空题的形式出现，主要考查集合的基本概念、基本运算以及数形结合（Venn图，数轴）等

数学思想，但不论以何种形式出现，难度属于中等偏下.为了有针对性地复习这部分内容，

本文就2010年高考中集合的热点问题回顾如下，供复习时参考.

热点1.考查集合的基本运算问题

这类问题主要是为了考查集合的交、并、补运算，常用的解题方法有定义法、列举法、

韦恩图法等.

例L（全国I文科第2题）设全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={1,3,5},

则Nc&M）=（）

A.{1,3}B.{1,5}C.{3,5}D.{4,5}

解析：={2,3,5},；.Nc（电M）={1,3,5}c{2,3,5}={3,5},故选C.

点评：本题考查了集合的交集、补集运算，也可以用Venn图的方法帮助理解，考查同

学们借助于Venn图解决集合问题的能力.

热点2.考查以集合为载体的参数问题

这类问题通常以集合的运算为载体，将参数的求值（包括范围问题）考查融于其中，可

以出现小范围内的综合问题，难度中等.

例2.（江苏卷第1题）设集合A={7,],3}1=匕+21+4}""43},贝（1实数续=.

解析：考查集合的运算推理，3eB,a+2=3,a=l.

点评：本题将集合中的参数问题与集合的交集运算结合考查，另外，不等式中的参数问

题也往往和集合交汇在一起考查，同时考查了数形结合（利用数轴）的数学思想.

热点3.考查集合与其它知识的交汇问题

这类问题通常以集合的运算为载体，与高中数学中的任何知识点交汇起来考查，但最常

见的是与不等式的解法交汇在一起考查.

例3.（安徽卷理科第2题）若集合A={x|k）g142工},则CRA=（）

52

A.(-00,0]U——,+8

C.(-00,0]U—,4-00

解析：由于A={x[k)g]X》L}={x[og[Xelog](')2}二{X；O<XW(L)2=1},那么

2227222

&A二{x|xW0或x>』2},故选A.

2

点评：本题以集合的补集运算为载体，将对数不等式的解法融于其中，这是集合问题的

常见考法，其中的不等式以一元一次不等式和一元二次不等式居多，当然也会涉及到分式不

等式、绝对值不等式以及指数不等式等.

热点4.考查集合方面的创新问题

这类问题通常以集合为载体，给集合定义一种新的运算，解题时必须首先读懂题意.

例4.(福建理科数学第9题)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质”对任意

a=l

x,yeS,必有xyeS"，则当■b?=l时，b+c+d等于()

c2=b

A.1B.-1C.0D.i

解析：由题意,可取a=l,b=-l,c=i,d=-i,所以b+c+d=-l+i+-i=—1,故选B.

点评：本题属于创新题，考查复数与集合的基础知识，读懂题意是解题的关键.集合方

面的创新题是近年来高考命题的新趋势，主要考查对新问题，新概念以及新情景的理解和运

用.

总之，集合问题主要是以集合的基本概念、基本运算，以及集合语言与集合思想为为主

要考查对象，往往与方程、不等式的解法结合在一起，因此，掌握好这部分内容，还必须熟

练掌握有关方程、不等式的解法.

第二讲高考中的函数定义域问题

函数的定义域是决定函数的两大要素之一，它对于研究函数的值域以及性质具有重要意

义，因此必须熟练掌握一些基本初等函数以及简单的抽象函数的定义域求法，本文以近两年

的高考试题为例，将函数的定义域问题分类解析如下，供学习时参考.

一.具体函数的定义域

1.分式函数的定义域

求分式函数的定义域就是求使得分式有意义的自变量的集合，而使得分式有意义，只要

分母不为零即可，同时要注意分子、分母有意义.

AI\X—2.—1

例1.(08年安徽卷)函数/'(x)=Y-----------的定义域为__________.

log2(x-l)

-—1lx—2|—1>0

解析：要使函数/(x)=Y-----------有意义，必须F।,解得

log2(x-l)［log2(x-l)0,JIx-1>0

x>3.

二原函数的定义域为［3,+00),故填［3,+oo).

点评：本题形式上是考查分数函数的定义域，实质上还涉及到对数函数以及无理函数

的定义域问题，所以求解时要考虑周全，不可遗漏.

2.无理函数的定义域

求无理函数的定义域，首先要看根指数是奇数，还是偶数，如果是奇数，则被开方数为

任意实数；如果是偶数，则被开方数为非负数.

例2.（08年全国I卷）函数尸Ji=+«的定义域为（）

A.{x|1}B.{x|x'l}C.{x|x2l或D.{x|0W_r^l}

解析：要使函数有意义，必须1一“'°,解得OWxWl,.•.原函数的定义域为

>>0

{x|0Wg1）,故选D.

点评：本题涉及到的都是根指数是偶数的无理函数，求其定义域时，只要被开方数均为

非负数，解出x的范围即可.

二.抽象函数的定义域

所谓抽象函数就是指没有具体表达式的函数，这类函数的定义域是学生学习的难点，

考试考查的重点，因此必须熟练掌握.

例3.（08年江西卷）若函数y=/（x）的定义域是[0,2],则函数g（x）的定义

x-l

域是（）

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,l)U(l,4]D.(0,1)

解析：要使函数有意义，必须0W2x<2,且XH1,解得xe[0,l）,故选B.

点评：求抽象函数的定义域要抓住两点：L要理解函数的概念；2.要运用整体的思

想.在本题中应把2x看成一个整体，其地位等同与己知条件中的x.

三.与定义域有关的其它问题

例4.（07年辽宁卷）函数y=log1（f-5x+6）的单调增区间为（）

A.B.(3,+8)C.D.(—co,2)

解析：定义域为（—oo,2）U（3,+00）,排除A、C,根据复合函数的单调性

知y=log।-5x+6）的单调增区间为（一00,2）,选D.

2

点评：在求复合函数的单调区间时，一定要在函数定义域的前提下求解，否则会出现错

误.

当然，由于受到所学知识的局限，对于求函数定义域问题，还不可能叙述得一步到位，

但时随着所学内容的增多，将会对函数定义域的求法得到进一步加深.

第三讲高考中的函数奇偶性问题

函数的奇偶性作为函数的重要性质，是研究函数其它性质的基础.高考中，通常以选择

题或填空题的形式直接考查，也有以解答题的形式间接考查，因此熟练掌握其概念、判断方

法以及奇偶函数的性质等问题，就显得尤为重要.本文以2011年高考中函数奇偶性问题例

析如下，供复习时参考.

1.奇偶性的判断问题

由函数奇偶性的概念，不难得出，判断函数奇偶性的步骤为：

(1)求定义域，并判断定义域是否关于坐标原点对称；若定义域不对称，则函数既不是

奇函数，也不是偶函数.

(2)若定义域关于原点对称，求出f(-x)与f(x)：

(3)若f(-x)=f(x),则函数为偶函数；若f(-x)=-f(x),则函数为奇函数；若

f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则函数既为奇函数又为偶函数；若f(-x)rf(x)且f(-x)

H-f(x),则函数既不是奇函数也不是偶函数.

例1(2011年全国新课标卷理科第2题)下列函数中，既是偶函数乂在(0,卡)。)单调递

增的函数是()

A.y=x3B.y=+lC.y=-x2+1D.y-T'

解析：由奇偶函数的概念，得A选项为奇函数，B、C、D选项为偶函数，又由图像得：

在(0,48)单调递增的函数是y=W+l,故选B.

点评：本题将函数奇偶性与单调性的判断结合在一起考查，属于高考中的常见题型，难

度中等，解决问题的关键是抓住函数奇偶性与单调性的判断方法.

例2(2011年广东卷理科第4题)设函数/(幻和g(x.)分别是R上的偶函数和奇函数，

则下列结论恒成立的是O

A.y(x)+|g(x)i是偶函数B.y(x)Tg(x)|是奇函数

c.If(x)|+g(x)是偶函数D.|/(x)g(x)是奇函数

解析：设尸(x)=f(x)+|g(x)1,则F(-x)=f(-x)+1g(-x)|=f(x)+1-g(x)|=

/(x)+1g(x)|=F(x),所以F(x)是R上的偶函数，从而/(x)+1g(x)|是偶函数,故选A.

点评：如果说例1涉及到的是具体函数奇偶性的判断，那么本题考查的则是抽象函数奇

偶性的判断，但不论是什么样的函数，其奇偶性的判断往往都是抓住函数奇偶性的概念.

2.奇偶性的求值问题

与奇偶性有关的求值问题，主要抓住奇偶性的概念进行适当的转化即可.

例3(2011年安徽卷文科第11题)设/(无)是定义在R上的奇函数，当xWO时，

f(x)=2x2-x,则/⑴=.

解析：由/")是定义在R上的奇函数，得/(—1)=—/⑴，即八1)=—/(—1),又当xWO

时,f(x)=2x2-x,A/(-1)=2(-1)2-(-1)=3,/./(I)=-3.

点评：本题主要考查奇函数的求值问题，属中等难度题，解决问题的关键是抓住奇函数

的概念.

例4(2011年湖南卷文科第12题)已知f(x)为奇函数，

g(x)=/(%)+9,g(—2)=3,贝如(2)=.

解析：8(-2)=/(—2)+9=3,贝疗(-2)=—6,又f(x)为奇函数，所以

/(2)=-/(-2)=6.

点评：本题和例3一样也是考查奇函数的求值问题，但难度比例3稍大，解决问题的关

键是首先求出/(-2),再抓住奇函数的概念进行适当转化即可.

3.与奇偶性有关的图象问题

与奇偶性有关的图象问题，主要抓住奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象

关于y轴成轴对称即可.

例5(2011年陕西卷理科第3题)设函数/(x)(XGR)满足/(—x)=/(x),

解析:根据题意，确定函数y=/(x)的性质，再判断哪一个图像具有这些性质.

由/(-x)=/(x)得y=/(x)是偶函数，所以函数y=/(x)的图象关于y轴对称，可知B,

D符合；又由/(x+2)=/(x)得/(2)=/(0),结合图象选B.

点评：本题主要考查偶函数的概念以及其图象特征，同时考查了运用特值法(本题指特

殊点)解决问题的技巧，从而避免了必修1中学生还没有学习的函数周期性问题.

£

例5(2011年陕西卷文科第4题改编)函数y=R的图像是()

-111

解析：由函数解析式得y=/为奇函数，从而排除(A)、(C),当取x=—,，则y=—,

882

一一，当取x=l,则y=l,故选B.

2

点评：类似于例5,本题主要考查奇函数的概念以及其图象特征，同时考查了运用特值

法(本题指特殊点)解决问题的技巧.

另外，函数的奇偶性问题还可以和函数的单调性以及函数的值域等问题结合在一起，但

由于内容所限，本文不再赘述.

第四讲对数函数问题中的6大考点解析

对数函数是高中数学中最重要的初等函数之一，属于高考所必考的热点内容，在高考

中通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等，试题形多样，涉及到定义域、反函数、图

象和单调性等问题，本文就对数函数中的6大考点问题例析如下，供复习时参考.

一.对数函数的定义域问题

定义域作为函数的三大要素之一，是高考中常考的内容，而对数函数的定义域通常是和

其它函数的定义域交汇在一起考查的.

32

例1.函数/5)=1%\+恒(3、+1)的定义域是()

A.(—,+oo)B.(—,1)C,(—)D.(—00—)

33333

解析：由“-，得—<x<1,故选B.

3x+1>03

点评：本题是将对数函数的定义域与分式函数和无理函数等定义域交汇在一起考查的典型

试题.

配套练习1.函数y=Jig?x—2的定义域是()

A.(3,+8)B.[3,+8)C.(4,+8)D.[4,+<=°)

(参考答案：D)

二.对数函数的反函数问题

求对数函数的反函数，只要紧紧抓住对数式与指数式的互相转换关系即可.

X

例2.函数y=log2――(x>l)的反函数是()

X—1

2X2XT-1T-1

A.y=-----(x>0)B.y=-----(x<0)C.y=------(x>0)D..产-----(XO)

2V-12V-1-2X2X

x11

解析：对于X>1,函数y=log2——=log2(l+——)>0,解得——=2'-1,

X—1X—1X—1

12V2X

x~——j-+l=—―->原函数的反函数是y=5--(x>0),选A.

点评：在求反函数时,要特别注意反函数的定义域要通过原来函数的值域来求,而不能通过

反函数的解析式来求,否则要出现错误的结论.

配套练习2.函数y=ln户l(x>0)的反函数为()

(/)尸必(B)y=e*T(xG而(Oy—e'1(x>1){0)y^e~'(A->1)

(参考答案：B)

三.对数函数的图象问题

对数函数与指数函数互为反函数，所以对数函数的图象与指数函数的图象关于直线y=x

对称，但在解决图象问题时，要特别注意底数取值对图象单调性的影响.

例3.函数y=l+a'(O<a〈l)的反函数的图象大致是

(A)(B)(C)(D)

解析：因为函数片4+4(0心<1)的反函数为^=108“。一1),所以它的图象是函数^=108“工

的图象向右移动1个单位得到的，故选A.

点评：本题并没有直接考查对数函数的图象,而是先求函数y=l+a'(O(水1)的反函数，在再

反函数的基础上考查对数函数的图象问题.

配套练习3.函数y=|logzx|的图象是

四.对数函数的单调性问题

对数函数y=log“x,当底数0<。<1时，为减函数，当x=l时，y=0,当x>l时，y

<0,0<xVl时，y>0；当底数a>1时，为增函数，当x=l时，y=0,当x>l时，y>0,

0<xVl时，y<0.

例4.已知0<a<l』og“加<log”〃<0,则()

(A)l<n<m(B)l<m<n(C)m<n<l(D)n<m<l

解析：由0<a<l知函数/(》)=1084x为减函数，由log“/〃<log〃〃<0得

m>n>\,故选择A.

点评：本题主要考查对数函数的单调性及函数值的分布情况，属于基础题.

配套练习4.设P=log23,Q=log32,/?=log2(log32),则()

A.R<Q<PB.P<R<QC.Q<R<PD.R<P<Q

(提示:P=log23>1,0<Q=log32<1,/?=log2(log32)<0,则R<Q<P,选A.)

五.对数方程问题

解对数方程主要是运用对数的运算法则和性质，把对数方程转化为普通的代数方程求

解，在转化过程中，要特别注意验根，否则会产生增根情况.

例5.方程log?(x-1)=2-log2(x+1)的解为.

44

解析：log2(x-l)=2-log2(x+l)«log2(x-l)=log,----,即x-l=-----解得

x+1x+1

x=土亚(负值舍去)，所以x=行.

点评：本题主要运用对数的运算法则和性质，把对数方程转化为普通的分式方程求解,

把求解结果代回原方程验根，舍去增根.

配套练习5.方程1。83。2-1())=1+1083%的解是_,(参考答案：x=5.)

六.与分段函数的交汇问题

与分段函数的交汇是近年来考查对数函数的新趋势，涉及到对数函数求值以及单调性等

问题.

[2ex'',x<2,弘士、心

例6.设y(x)=〈,贝n犷l(/⑵)的值为()

[log3(x-l),x>2.

(A)0(B)l(C)2(D)3

解析：f=f(1)=2,选C.

点评：分段函数的求值问题，主要要抓住自变量在不同范围内取值，要代入不同的解析

式.

exx<0

配套练习6.设g(x)=('_.则g(g(1_))=____.(参考答案：1)

Inx,x>0.22

(3a-l)x+4a,x<1

例7.已知f(x)=<是(-8,+8)上的减函数，那么。的取值范围是()

logax,x>l

(A)(0,1)(B)吗)(C)(D)[1,D

解析：依题意，有0<a<l且3a—1<0,解得0<a<—,又当x<l时，(3a—1)x+4a>7a—1,

3

当x>l时，logax<0,所以7a—120解得a2—故选C.

7

点评：本题设计新颖，该分段函数为(-8,+0。)上的减函数，要求每一段都是减函数.

,（3-tz）x-4a,x<l,

配套练习7.已知/（x）=〈是（-8,+8）上的增函数，那么a的取值

log"X,无21

范围是（）

3

（A）（1,+oo）（B）（-oo,3）（0[-,3）（D）（1,3）

5

（参考答案：C.）

总之，对数函数是非常活跃的函数，它几乎可以和一切初等函数复合，还可以涉及到复

合函数的单调性与值域等许多问题，但由于篇幅所限，在此不再赘述.

第五讲聚焦幕函数问题中的5大考点

累函数是高中阶段所学的基本初等函数之一，是每年高考所必考的，通常以选择题或填

空题的形式出现，难度中等偏易，本文结合实例，就基函数问题中的5大考点解析如下，供

学习时参考.

考点1.考查塞函数的概念

例1.（原创题）下列所给出的函数中，是累函数的是（）

①.y=d（2）.y-x③.y=2x3④.y=x"'⑤y=/⑥y=x）

A.①②③⑥B.②③④⑤C.③④D.@@④⑤⑥

解析：凡是形如>=%”的函数，就叫暴函数，其中x是自变量，a是常数，其结构特

点是：函数式y=x”中的j前系数为1.由此不难选出答案D.

点评：本题不仅考查了事函数的概念，而且紧扣大纲，只考查了a=1、2、3、-1

2

时的5种情况.

考点2.考查嘉函数的图象

例2.（原创题）下列命题中正确的是（）

A.幕函数y=x"的图象都关于y轴对称.

B.基函数的图象都经过（0,0）和（1,1）点.

C.当。=1时函数y=x"的图象是一条直线.

D.廨函数的图象可能出现在第四象限.

解析：对于选项A,只要令a=l,则得出基函数y=x,而基函数y=x的图象并不关

于y轴对称，故不选A：对于选项B,只要令a=T,则得出幕函数y=x7,而幕函数y=

的图象并不经过（0,0）点，故不选B；选项D显然不正确，因为x大于0时，基函数y=/

的值不可能小于0；选项C显然正确，故选答案C.

点评：学习基函数时，只要紧扣大纲，掌握好a=l、2、3、1、T时的5种情况的事

2

函数的图象，并由此总结出某函数图象规律即可.

考点3.考查幕函数的性质

例3.(2010年合肥模拟卷)若函数/(x)=V(xeR),则函数y=/(-x)在其定义域上

是()

A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数

C.单凋递增的偶函数D.单调递增的奇函数

解析：函数f(x)的图象与函数f(-x)的图象关于y轴对称，而图象关于y轴对称

的两个函数的单调性相反，奇偶性一致，又基函数f(X)=X”XG)是R上的单调递增的奇

函数，所以函数y=/(-x)在其定义域上是单调递减的奇函数，故选B.

点评：嘉函数的性质除了单调性和奇偶性外，还包括定义域、值域等，为此，必须熟练

掌握幕函数y=当a=l、2、3、；、T时的5种情况的性质.

考点4.考查塞函数的反函数

例4.下列累函数中，反函数是其自身的函数为()

A.f(x)=X2,XGfO,+oo)B./(x)=x3,XG(-O0,+O0)

11

C.f(x)=X2,XG[0,+00)D.f(x)=—,XG(0,+oo)

X

解析：由函数的反函数求法，不难得出答案D.

点评：本题属于考查寻函数的反函数求法问题，求出反函数后，容易得出反函数是其

自身的函数有/0)=尤1£(-0。,+8)和/。)=,/£(-00,0)口(0,+00)两利1,当然仅考虑

X

基函数y=当a=l、2、3、；、-1时的5种情况.

考点5.考查暮函数的求值问题

l

例5.设函数/幻=户，f2(x)=x-,力(x)=V则工(人(力(2010)))=.

解析：7；(^(^(2010)))=/(^(20102))=/；((20102)-|)=((20102)-,)^2010-1.

点评：本题涉及到的三个函数都属于必须掌握的塞函数，可以由里往外逐层求值.

总之，由于新课标的实施，对于幕函数的考查难度大大降低，学习时，只要紧抓课本，

熟练掌握课本中出现的5个基函数的概念、图象及性质即可，不可盲目追求难度.

第六讲点击函数零点3类运用

如果函数y=f(x)在x=a处的函数值等于零，即/(a)=0,则称a为函数y=/(x)

的零点，因此函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0的根.它不仅把函数和方程紧密地联

系在一起，而且还可以和不等式等许多问题联系在一起，具有广泛的运用，本文仅就函数零

点的三个方面运用，点击如下，供学习时参考.

利用函数零点解不等式

二次函数的图象是连续不断的，当它通过零点(不是二重零点)时，函数值变号，并且

在任意两个相邻的变号零点之间函数值保持同号，根据二次函数变号零点的这一性质，可以

求解一元二次不等式.

例1.(10年安徽专题检测卷)二次函数了="2+法+。的部分对应值如下表：

X-3-2-101234

y60-4—6—6-406

则不等式ax2+bx+c>0的解集是.

分析：分析表格，找到二次函数y="2+加+c的零点是解决问题的关键.

解：由表中数据可知函数的两个零点分别为-2和3,这两个零点将其余实数分为三个

区间：(一8,-2),(-23),(3,+8),在区间(_8,_2))中取特殊值一3,由于/(-3)=6>0,

因此根据二次函数变号零点的性质可得：当xe(Y。,—2)时，都有/(x)〉O；当xe(-2,3)

时，有了(幻<0；当XW(3+8)时，有f(x)>0,故不等式的解集为(_8,-的U&+8).

点评：本题也可以画出草图，运用数形结合的思想，得出答案.

二.利用函数零点研究根的分布

由于函数y=/(x)的零点就是方程/(幻=0的根，所以在研究方程的有关问题，如：

比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等问题时，都可以将方程问题转化

为函数问题，借助函数的零点，结合函数的图象加以解决.

例2.(11年浙江调研卷)已知函数/(%)=(尤一a)(x-力+2(。<力,若a,队a<B)

是方程/(x)=O的两个根，则实数a,b,a,6之间的大小关系是()

A.a<a<b<J3B.a<a<f3<bC.a<a<b</3D.a<a<(3<b

分析：凡是涉及到方程根的问题，都可以考虑和函数的零点以及图象联系起来，从而为

问题的解决打开思路.

解：若令g(x)=(x-a)(x-b),显然函数g(x)的两个零点是a,b,函数/(x)的两个

零点是a,p,而函数/(x)的图象是由函数g(x)的图象向上平移两个单位得到的，结合图

象可知：a<a</3<b,故应选B.

点评：关于根的分布问题，一般都可以和函数的零点联系起来，特别是与二次函数有关

的二次方程的根的分布问题.

三.利用函数零点求参数范围

如果已知含有参数的函数的零点情况，则可以结合零点的存在性定理求已知函数中的参

数范围，当然也可以结合函数图象求其中的参数范围，具体运用哪种方法，因具体问题而定.

例3.若函数f(x)=a，-x-a(a>0且aW1)有两个零点,则实数a的取值范围是.

解析：设函数y=a*(a>0,且“#1｝和函数y=x+a,则函数f(x)=a*-x-a(a>0且

aHl)有两个零点，就是函数y=a*(a>0,且awl)与函数y=x+a的图象有两个交点，

由图象可知：当0<a<l时，两函数图象只有一个交点，不符合；当。>1时，因为函数

y=a*(a>l)的图象过点(0,1),而函数y=x+a的图象过点(0,a)一定在点(0,1)的上

方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是｛a\a>\].

点评：本题虽然涉及到函数的零点，但就本题而言，转化成图象的交点问题，则更容易

解决，实质上，在等价转化的思想上，本题主要考查了指数函数的图象与直线的位置关系，

隐含着对指数函数的性质的考查.

总之，函数零点，是函数的一个重要概念，具有广泛的运用，但由于所学知识的局限，

本文不在赘述.

第七讲盘点高考中的分段函数问题

分段函数作为函数家族中的重要成员，在近年来的高考试题中频频亮相，是高考命题的

新趋势之一，其重要性不言而喻，本文以近两年的高考试题为例，将分段函数问题盘点如下,

供复习时参考.

一、求分段函数的解析式

例1(05年广东卷)在同一平面直角坐标系中，函数

y=/(x)和y=g(x)的图像关于直线y=x对称.现将

y=g(x)图像沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平

移1个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线(如图所

示)，则函数的表达式为()

2x+2,-1<x<02x-2,-l<x<0

/W=|f-2,0<x<2

(A)/(%)=<X(B)

-+2,0<x<2

12

2x-2,l<x<22x-6,l<x<2

(D)

(C)f(x)=<|+l,2<x<4f(x)=<|-3,2<x<4

解析：本题关键是求出函数y=g（x）的表达式，由图，易得y=g（x+2）+l

Xx

-+l,(-2<x<0)、5-1,2)...求出它的反函数得答案A.

2，g(x)=«

2x+l,(0<x<l)2尤-4,(2<x<3)

评注：本题也可以直接运用“逆向平移”得到y=g（x）,再根据对称性得出答案A.

二、分段函数的图象问题

例2（05年湖北卷）函数>=£"回一|了—U的图象大致是（）

ABCD

b（x>1）

解析：因为,=即乂—=|i又x>0时，y=-+x-l>l,故

—+x-l,（0<x<l）x

.X

选D

评注：本题关键是去掉绝对值符号，转化为分段函数，再根据分段函数的表达式研究其

图象问题.

三、求分段函数的反函数

例3（06年安徽卷）函数y=《2x；x—>0的反函数是（）

-x2,x<0

X

一,x20J2x,x>0f'-°D.y=<2x,x>0

A.y=<2B.y=C.y=<

V-x,x<0

J—x,x<00V-x,x<0

解析：先求出每一段函数的反函数，再把所求结果合起来，写成分段函数的形式即可.

因为y=2x,x>0的反函数为y=-x,x>0；y=-x2,x<0的反函数为y=-J；,x<0.所

2

以选C.

评注：分段函数的反函数的求法和一一般函数的反函数的求法在本质上是一样的，只不过

是有几段求几次而已.但本题作为选择题也可用特殊点排除法找到答案：因为原函数上有（1,

2）和（T,-1）两点，所以反函数上有（2,1）和（-1,-1）,经检验知选C.

四、求分段函数的函数值

例4(06年辽宁卷)设g(x)={e*'%—<0..则g(g(—I))=__________

bvc,x>6.2

解析：g(g(g))=g(ln}=e"=；.

评注：只要理解分段函数的概念，本题不难求解，只不过是将分段函数的求值问题与指、

对数函数的运算性质结合在一起考查.

五、求分段函数中的参数问题

(3a-l)x+4a,x<1

例5(06年北京卷)已知/(x)=<是(-oo,+oo)上的减函数，那么

log,x,x>\

。的取值范围是()

(A)(0,1)(B)(0,1)(C)[11)(D)[1,1)

解析：由题意，得：0<a<l且3a—1<0,解得0<a<；,由于f(x)是(T>O,+OO)上的

a<

减函数，所以x=l时，(3a—1)x1+4a>logn1,即a>y,——^,故选C.

评注：本题是对函数单调性概念的深刻考查，如果不能从整体上理解单调性，容易误

选B.

六、求分段函数的最值问题

a.a>b

例6(06年浙江卷)对耳R,记max{a,b}=<,求函数F(x)=

b,a<b

max{|x+l|,|x-2|}(xeR)的最小值是

13

(A)0(B)-(0-(D)3

22

解析：⑴当x<—1时，|x+l|=—x—1,|x—2|=2—x,因为(—x—1)—(2—x)=

-3<0,所以2-x>-x-l；

⑵当一l〈x<L时，x+11=x+l,|x—2|=2—x,因为(x+1)—(2—x)=2x—1<0,x

2

+1<2—x；

⑶当一Kx<2时,x+1>2—x；

2

(4)当xN2时,|x+l|=x+l,|x—2|=x—2,显然x+l>x—2；

2-XXG(-oo,-l))

2-x(xG[-1,­))

2据此求得最小值为士，选c.

故/(x)=,

12

%+l(xe[—,2))

2

X+1(XE[2,+oo))

评注：本题属于分段函数的创新题，考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养；要

求出最小值，首先要求出函数F(x)=max{|x+l|,|x-2|}(xeR)的解析式，再在解析式的

基础上求分段函数的最小值.

第八讲透视函数中的周期问题

函数的周期性作为函数的重要性质，是高中数学教学的重点，学生学习的难点，也是高

考所必考的知识点之一.它常和抽象函数结合考查，难度较大，但现行教材中仅给出了周期

的定义，其它与周期有关的问题并没有涉及，许多学生遇其问题，常常感到无从下手，为此,

本文结合实例，将函数中的周期问题透视如下，供复习时参考.

利用周期求值

1

例1(06年安徽卷)函数/(x)对于任意实数x满足条件/(x+2)=若/⑴=-5,

/(x)’

则/(〃5))=

1

解析：由/(x+2)=①"+听刀后②，把①代入②得〃x+4)=

/(x)

f(x),所以函数f(x)的周期为4,，/(5)=/(1+4)=f(l)=-5,

7(/(5))=/(-5)=/M-l)=/(-I)，又在+2)=中令x=-l得

/(X)

八-1)=吉=4,"(〃5))=T

点评：本题首先根据已知条件找到了函数的周期，并在此基础上两次运用了函数周期的

定义，从而解决了问题.

二.利用周期求函数解析式

例2.(07年杭州月考)已知定义在R上的偶函数f(x),对任意的xeR,都有f(x-l)=f(x+3),

当xe[4,6]时，f(x)=2、+l,求f(x)在区间[-2,0]上的解析式.

解析:由f(x-l)=f(x+3)得f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4,•.•当xe[4,6]时,

f(x)=2*+l,.,.XG[0,2],f(x)=2x+4+l,又：f(x)是定义在R上的偶函数，...xG[-2,

0]时，f(x)=2-v+4+l.

点评：本题把抽象函数的周期性与奇偶性结合起来考查，思维跨度较大，属于中档偏难

的问题，学习时必须引起高度重视.

三.利用周期判断函数奇偶性

例3.(07年浙江模拟)若f(x)的最小正周期为2008,且对于任意的xeR,都有f(1004+x)=

f(1004-x),则£6)是()

A.奇函数但不是偶函数；B.是偶函数但不是奇函数；

C.既是奇函数但又是偶函数；D.既不是奇函数又不是偶函数.

解析：•.•f(x)的最小正周期为2008,且对于任意的xwR,都有f(1004+x)=f(1004-x),

Af(x)=f(x+2008)=f(1004+1004+x)=f(1004-1004-x)=f(-x),

/.f(x)是偶函数但不是奇函数；...选B.

点评：本题把抽象函数的周期性与奇偶性结合起来考查，属于中档题，同时选用极具时

代气息的2008数字作为最小正周期，富有时代感.

四.利用周期比较大小

例4.(06年福建卷)已知/(x)是周期为2的奇函数，当0<x<l时，/(x)=lgx.设

4=/(《)力=/(|)，'=/(|)，贝1

(A)a<b<c(B)b<a<c(C)c<b<a(D)c<a<b

解析：已知/(x)是周期为2的奇函数，当0<xvl时，/(x)=lgx.所以

66444

a=/(-)=/(--2)=/(--)=-/(-)=-1g-，

b=〃|)=/(|—2)=/(一》==—吟，c=/§)=.f(2+}=/(1)=吟，又

/(x)=lgx.增函数，c<a<。,选D.

点评：本题通过函数的周期性把变量转化到已知区间里，再运用已知区间里的函数解析

式进行大小比较.

五.利用周期解决方程根的问题

例5.(05年广东卷)

设函数/(x)在(-00,+8)上满足〃2-幻=/(2+幻，/(7—x)=/(7+x),且在闭区间［0,

7］上，只有/⑴=/(3)=0.(I)试判断函数y=/(x)的奇偶性；(II)试求方程/(%)=0

在闭区间［-2005,2005］上的根的个数，并证明你的结论.

解：(I)由于在闭区间［0,7］上，只有/⑴=A3)=0,故/(0)#0.若/(X)是奇函数,

则/(0)=0,矛盾.所以，/(幻不是奇函数.

由

/(2—x)=/(2+x),/=［/(X)-/(4—x),

rJ得4/(4-%)=/,(14-%)/(X)=/'(%+10)

［/(7-幻=/(7+幻］/(x)=/(14-x)八

y=/(x)是以T=1O为周期的函数.

若/(%)是偶函数,则/(-I)=/(I)=0.又/(-I)=/(—1+10)=/(9),从而

八9)=0.

由于对任意的xe(3,7］上，f(x)^O,又函数y=/(x)的图象的关于x=7对称，

所以对区间［7,11)上的任意x均有f(x)HO.所以，/(9)。0,这与前面的结论矛盾.

所以，函数y=/(x)是非奇非偶函数.

(11)由(D得/*)=0在区间(0,10)有且只有两个解，并且/(0)70.由于函数y=/(x)

是以T=1O为周期的函数，故/(1(U)HO,(ZGZ).所以在区间［—2000,2000］上，方程

/(x)=o共有^292x2=800个解.

10

在区间［2000,2010］上，方程/(幻=0有且只有两个解.因为/(2001)=/(1)=0,

/(2003)=/(3)=0,所以，在区间［2000,2005］上，方程/(x)=0有且只有两个解.

在区间［—2010,-2000］上，方程/(X)=0有且只有两个解.因为

/(-2009)=/(I)=0,/(-2007)=/⑶=0,所以，在区间［—2005,—2000］上，方程

f(x)=O无解.

综上所述，方程/(X)=0在［—2005,2005］上共有802个解.

点评：本题蕴涵了一个一般化的结论：若函数y=/(x)(xeR)的图象关于二直线

x=a,x=0(0>a)皆对称，则函数y=/(x)是以2(0—a)为周期的周期函数.(证明略).

六.与周期有关的对称问题

例6.(06年浙江联考)设函数f(x)是(-00,+8)上的奇函数,且£6+2)=-£&).当0或*忘1

时,f(x)=x4!jf(7.5)=()

(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-l.5

解析1：Vf(7.5)=f(2+5.5)=-f(5.5)=-［f(2+3.5)］=f(3.5)=f(2+1.5)=-f析.5)=-

［f(2-0.5)］

=-［-f(-0.5)］=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5

.,.选(B).

解