高考数学 热点题型和提分秘籍 专题02 命题与量词、基本逻辑联结词 理（含解析）

专题二命题与量词、基本逻辑联结词【高频考点解读】1．理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.【热点题型】题型一四种命题及其真假判断【例1】有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．【提分秘籍】1．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”．2．判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除．【举一反三】1．命题“若△ABC有一内角为eq\f(π,3)，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析：原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为eq\f(π,3)”，它是真命题．答案：D【热点题型】题型二充分条件和必要条件的判定【例2】“1<x<2”是“x<2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【提分秘籍】判断充分条件与必要条件的策略(1)寻求q的必要条件p，即以q为条件推出结论p；(2)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p；(3)寻求q的充要条件p，从上述两方面入手，若得到的结论都正确，则p为q的充要条件．【举一反三】“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的()A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分必要条件 D．必要不充分条件【热点题型】题型三充要条件的应用【例3】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．【解析】(1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,m＝9，))这样的m不存在．【提分秘籍】解决与充要条件有关的参数问题的方法：解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．【举一反三】“x∈{3，a}”是“不等式2x2－5x－3≥0成立”的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．a≥0 B．a<0或a>2C．a<0 D．a≤－eq\f(1,2)或a>3【高考风向标】1．（·安徽卷）“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】ln(x＋1)<0⇔0<1＋x<1⇔－1<x<0，而(－1，0)是(－∞，0)的真子集，所“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．2．（·北京卷）设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当a1<0，q>1时，数列{an}递减；当a1<0，数列{an}递增时，0<q<1.故选D.3．（·福建卷）直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为eq\f(1,2)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4．（·湖北卷）U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（·陕西卷）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假6．（·天津卷）设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7．（·浙江卷）已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（·重庆卷）已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0，q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．綈p∧綈qC．綈p∧qD．p∧綈q9．（·安徽卷）“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（·北京卷）“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点，∴sinφ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，故选A.11．（·福建卷）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“AB”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a＝3时，A＝{1，3}，AB；当AB时，a＝2或a＝3，故选A.12．（·湖北卷）在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(p)∨(q)B．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q13．（·山东卷）给定两个命题p，q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（·陕西卷）设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（·天津卷）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的eq\f(1,2)，则其体积缩小到原来的eq\f(1,8)；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝eq\f(1,2)相切．其中真命题的序号是()A．①②③B．①②C．①③D．②③16．（·浙江卷）已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝eq\f(π,2)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【随堂巩固】1．命题“若x>1，则x>0”的否命题是()A．若x>1，则x≤0 B．若x≤1，则x>0C．若x≤1，则x≤0 D．若x<1，则x<0解析：由否命题的定义可知应选C.答案：C2．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为()A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行3．“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，设命题p：eq\f(a,sinB)＝eq\f(b,sinC)＝eq\f(c,sinA)，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，CD”的()A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件6．下列命题：①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc；②数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝An2＋Bn是数列{an}为等差数列的必要不充分条件；③在△ABC中，A＝B是sinA＝sinB的充分不必要条件；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别为P，Q，则eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)是P＝Q的充分必要条件，其中正确的命题是()A．①④B．①②③C．②③④D．①③7．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．8．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．9．下列四个结论中，正确的有________(填所有正确结论的序号)．①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0))”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件．答案：①②④10．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．11．给出下列命题：①存在实数x，使得sinx＋cosx＝2；②f(x)＝x＋eq\f(4,x)(x>0)的最小值为4；③函数f(x)＝x3－x2在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))上单调递减；其中真命题的序号是________．12．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．13．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．解析：y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴eq\f(7,16)≤y≤2，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B，∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4)，故实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).14．已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．15．设条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a16．已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|