2024-2025学年新教材高中数学 第3章 排列、组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.1 第1课时 基本计数原理教案 新人教B版选择性必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.1第1课时基本计数原理教案新人教B版选择性必修第二册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析本节课的主要教学内容来自2024-2025学年新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理的3.1节，具体是3.1.1第1课时基本计数原理。内容聚焦于排列与组合的基本概念及其应用，涉及加法原理与乘法原理的阐述和运用。这一部分教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在先前数学学习中已经接触过基本的数数方法，了解了一一对应原则，并掌握了简单的逻辑推理。本节课将在此基础上，引导学生理解排列组合在解决实际问题中的应用，特别是在解决有序与无序问题时的区别和联系，如排列数公式与组合数公式的推导和应用，进一步拓展学生对计数问题的认识，强化逻辑思维能力和解决实际问题的能力。核心素养目标本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：一是逻辑推理能力，通过基本计数原理的学习，使学生能够理解和运用加法原理与乘法原理，解决实际问题，加强对逻辑推理过程的认识；二是数学建模能力，学生能够运用排列组合知识构建模型，解决实际生活中的计数问题，提高数学应用意识；三是数据分析能力，培养学生对大量数据进行有效分析，归纳总结规律，为决策提供依据；四是抽象概括能力，通过排列组合的学习，使学生能够从具体问题中抽象出一般性规律，形成数学概念，提升抽象思维水平。这些目标与新教材要求相契合，有助于学生全面发展。学习者分析1.学生已经掌握了相关知识：学生在之前的数学学习中，已经熟悉了基础的数数方法，理解了一一对应原则，掌握了简单的逻辑推理，能够解决一些基本的计数问题。此外，学生在代数方面具备了一定的基础，能够理解和使用基本的数学符号和公式。

2.学习兴趣、能力和学习风格：高中阶段的学生通常对具有逻辑性和挑战性的数学问题表现出较高的兴趣。他们对数学问题的解决能力和逻辑思维能力较强，喜欢通过探索和实践来学习新知识。在学习风格上，学生更倾向于合作学习和讨论学习，通过小组合作解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在理解排列组合的概念时，学生可能会对有序与无序的问题区分不清，导致在实际应用时出现混淆。此外，排列组合的计算公式较多，学生在记忆和应用上可能存在困难。对于一些复杂的实际问题，学生可能难以将其抽象为数学模型，从而感到挑战。教学资源1.硬件资源：多媒体教学设备、黑板、白板、计算器。

2.软件资源：教学课件、电子教案、数学软件（如GeoGebra、Mathematica等）。

3.课程平台：学校教学管理系统、在线学习平台。

4.信息化资源：电子图书、教学视频、数字教材、在线习题库。

5.教学手段：课堂讲授、小组讨论、案例教学、问题驱动的探究学习、课后在线辅导。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解排列组合的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习排列组合原理做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确教学目标和重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，提高学生学习排列组合的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入排列组合的学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的计数原理，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为学习新课打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解排列组合的基本概念和计数原理，结合实例帮助学生理解。

突出重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕排列组合的实际问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

设计实践活动，让学生在实践中体验知识的应用，提高实践能力。

在新课呈现结束后，对排列组合知识点进行梳理和总结。

强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对排列组合知识的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍排列组合在科学研究、工程设计等领域的应用，拓宽学生的知识视野。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合排列组合内容，引导学生思考数学与生活的联系，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的排列组合内容，强调重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-《趣味计数问题》：收集了一些有趣的计数问题，通过这些问题引导学生深入理解排列组合在实际生活中的应用。

-《排列组合的应用实例》：选取了几个典型领域，如体育比赛、密码学、遗传学等，详细介绍了排列组合在这些领域中的应用。

-《二项式定理及其应用》：拓展了二项式定理的相关知识，包括定理的证明、性质及其在数学和实际生活中的应用。

2.课后自主学习和探究：

-研究排列组合在其他学科中的应用，例如在物理中的组合电路设计、在化学中的分子结构分析等。

-探索排列组合问题在计算机科学中的重要性，如算法设计、编程语言中的排列组合函数等。

-通过实际调查或收集数据，运用排列组合知识解决生活中的问题，例如学校运动会项目安排、超市商品组合优惠等。

-深入学习二项式定理的推广形式，如多项式定理，以及它们在数学分析中的应用。

-尝试解决一些经典的排列组合问题，如错排问题、圆排列问题、整数划分问题等，并理解它们背后的数学原理。

-研究排列组合在概率论和统计学中的应用，如事件的组合、概率分布的计算等。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在本节课中，我采用了问题驱动的教学方法，通过设置有趣的计数问题，激发学生的好奇心和探究欲，让学生在解决问题的过程中自然地学习和掌握排列组合的知识。

2.我还尝试了将数学软件和多媒体资源融入课堂教学中，比如使用GeoGebra进行动态演示，帮助学生更直观地理解排列组合的概念和计算过程，提高了学生的学习兴趣和效率。

（二）存在主要问题

在教学组织方面，我发现课堂时间分配上还存在一定的问题，尤其是在新课呈现环节，讲解和互动探究的时间安排不够合理，导致部分学生可能没有足够的时间消化和理解新知识。

在教学评价方面，我意识到对学生的即时反馈不够充分，课堂上的练习和讨论环节缺少针对性的个别指导，这可能影响学生的学习效果。

（三）改进措施

针对上述问题，我计划在今后的教学中采取以下改进措施：

首先，我将优化课堂时间管理，确保新课呈现环节中知识讲解和互动探究的时间更加合理，让学生有足够的时间吸收和内化新知识。

其次，我将加强对学生的个别辅导，特别是在巩固练习环节，及时给予学生反馈，帮助他们及时发现并纠正错误，提高学习效率。

最后，我打算结合学生的实际情况，设计更多元化的教学评价方式，比如小组互评、学生自评等，以更全面地评估学生的学习进度和效果，同时也促进学生之间的交流与合作。通过这些改进，我相信能够更好地提升教学质量和学生的学习体验。板书设计1.条理清楚、重点突出：

①排列与组合的概念

②加法原理与乘法原理

③排列数公式与组合数公式

④排列组合的实际应用

2.简洁明了：

⑤用流程图展示排列组合的基本步骤

⑥简化公式表示，突出关键参数

⑦列举典型例题，突出解题思路

3.艺术性和趣味性：

⑧使用彩色粉笔区分重点与非重点

⑨设计有趣的排列组合小游戏

⑩引入与排列组合相关的数学故事或历史背景重点题型整理1.排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2.组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑顺序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

二、加法原理与乘法原理

1.加法原理：完成一件事情，有m类方法，第一类方法有n1种不同的方式，第二类方法有n2种不同的方式，……，第m类方法有nm种不同的方式，那么完成这件事共有n1+n2+…+nm种不同的方式。

2.乘法原理：完成一件事情，需要分成k个步骤，做第1步有n1种方法，做第2步有n2种方法，……，做第k步有nk种方法，那么完成这件事共有n1×n2×…×nk种不同的方法。

三、排列数公式与组合数公式

1.排列数公式：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，记作P(n,m)，公式为：P(n,m)=n!/(n-m)!

2.组合数公式：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，记作C(n,m)，公式为：C(n,m)=n!/m!(n-m)!

四、排列组合的实际应用

1.计算机科学：在计算机科学中，排列组合被广泛应用于算法设计、数据结构、网络优化等方面。例如，图的遍历、排列组合生成器等。

2.经济学：在经济学中，排列组合被应用于市场分析、投资组合优化等方面。例如，股票投资组合、保险产品组合等。

3.生物学：在生物学中，排列组合被应用于基因分析、生物多样性研究等方面。例如，基因序列排列、物种组合等。

4.体育：在体育中，排列组合被应用于运动员排列、比赛安排等方面。例如，体操运动员的排列组合、足球比赛对阵表等。

5.游戏：在游戏中，排列组合被应用于游戏策略、游戏规则设计等方面。例如，扑克牌组合、棋类游戏排列等。

五、典型例题

1.例题1：从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字，求所有可能的排列数。

解答：P(4,3)=4!/(4-3)!=4×3×2=24

2.例题2：从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字，求所有可能的组合数。

解答：C(4,3)=4!/3!(4-3)!=4

3.例题3：一个密码锁有4个转盘，每个转盘上有数字0到9共10个数字，求