2020-2021学年北京市昌平区高二（下）期末数学试卷（解析版）

2020・2021学年北京市昌平区高二（下）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）.

1.已知全集4={X上忘4},B={xeZ|x>-1},则AA3=()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-1,0,1,2}D.{x\-l<x^2}

2.已知x,yeR,且x>0,y>0,x+y=2,那么孙的最大值为（）

A.B.--C.1D.2

42

3.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0,1）上单调递增的是（）

A.y=l-%2B.y=2因C.y=4D.y—lnx

4.在等差数列｛斯｝中，“5=4,数列｛〃〃｝的前9项的和为（）

A.4B.8C.36D.72

5.若不等式"2-x-c>0的解集为囱一则函数/（X）=52-尤-。的图象可以

6.为了调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方

法从该地区调查了500位老年人，结果如表:

男女

需要志愿者4030

不需要志愿者160270

经计算可得整心9.967.由尸（相》6.635）=0.01,下列结论正确的是（）

A.有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关

B.有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关

C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供

帮助与性别无关

D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供

帮助与性别无关

ff（x）,x>0_

7.已知奇函数y=4../如果/（x）="工（。>0且aWl）对应的图象如图所示,

g（x）,x<0.

那么g（X）=（）

8.”克拉茨猜想”又称“3〃+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大

会上公布的一个猜想：任给一个正整数〃，如果〃是偶数，就将它减半；如果〃为奇数就

将它乘3加1.不断重复这样的运算，经过有限步后最终都能够得到1,得到1即终止运

算.已知正整数左，经过6次运算后得到1,则%的值为（）

A.32B.32或5C.64D.64或10

9.设无穷等比数列｛斯｝,则是“｛3｝为递减数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加.已

知甲、乙两个小区在［0,H这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量。与时间r的关系如图所

示.给出下列四个结论：

①在Z，句这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；

②在贝，句这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；

③在玄时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；

④甲小区在［0,［红，>］,［攵，△］这三段时间中,在贝，旬的平均分出量最大.

其中所有正确结论的序号是（）

QA

A.①②B.②③C.①④D.③④

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11.已知全集〃=｛0,1,2,3,4,5｝,集合A=｛0,1,2,3｝,B=｛3,4｝,则(CuA)U

B=.

12.命题p：3x>0,无2+x-i2o,则-'p：.

13.函数/(x)=I.2x-1)的定义域为___________________.

71-x

14.已知数列｛〃〃｝满足〃i=17,飙+1=斯-4,则当几=时，数列｛〃〃｝的前〃项和取得最

大值.

15.已知函数/CO则/(1)=；若函数g(x)=/(x)-小有两个零点，

则实数根的取值范围是.

16.数列｛如｝：〃2,…，an,•••；[bn]：bi,bi,•••,bn,­••

定义数列斯&瓦:a\,。2,万3,。4,〃5，,〃7,***

①设斯=11'上芸，儿=1,1W〃W29,则数列斯&仇的所有项的和等于；

[2,n为偶数

②设。〃=5几，bn=^n-1,1W〃W29,贝!J数歹！J为与儿&。〃有个公共项.

三、解答题(本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知等差数列｛斯｝满足。3+。5=20,〃6=4〃2.

(I)求数列｛念｝的通项公式；

(II)设数列｛为｝是各项均为正数的等比数列，Cn=Q〃+儿，再从条件①、条件②、条件

③中选择两个作为一组已知条件，求数列｛0｝的前n项和s〃.

条件①：bi=l；

条件②：。5=8/?2；

条件③：岳+。3=6.

32

18.已知函数/(x)=ix-x+l.

o

(I)求曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程；

(II)求函数/(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.

19.记数列｛斯｝的前〃项和为为,若对于任意的正整数"，都有a=於/2n.

(I)求。2；

(II)设为=。〃+2,求证：数列｛/?〃｝是等比数列;

(III)求数列｛斯｝的前〃项和

20.已知函数/(x)—Inx-(〃+1)x+1,Q€R.

(I)当a=0时，求证：f(x)WO；

(II)若函数g(x)=fG)1在X=1处取得极大值，求实数”的取值范围.

21.已知集合4=｛1,2,3,•••,n],〃eN*.集合A含有％个元素的子集分别记为4,i,

4,2,4,3,…，4,机，其中1W左W几，ZEN*,meN*.

当IW/Wm,JEN*时，设4,J=｛X1,X2,.......，Xk｝,且xiVx2V尤3V…＜双.

定义：S(4,。=xk-Xk-x^-Xk-i-••,+(-1)k+lxi；

7U]=S(A%,i)+S(A%,2)+S(A%,3)+・・・+S(Az,帆).

(I)若n=5,

(i)写出满足S(A4,J)=2的一个集合A4,/,并写出/的最大值；

(ii)求7Il]+7I2]+[3]的值;

(II)若存在唯一的〃€N*,使得711]+八2]+…+7：川=1024,求〃的值.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）.

1.已知全集A={%MW4},B={XEZ\X>-1},则AG5=()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-1,0,1,2}D.{x\-l<x^2}

【分析】可求出集合A,然后进行交集的运算即可.

解：・・・A={R-2W%W2},B={xeZ\x>-1},

.\AC\B={xEZ\-l<x^2}={0,1,2).

故选：A.

2.已知x,yeR,且x〉0,y>0,x+y=2,那么孙的最大值为（）

A.—B.—C.1D.2

42

【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得盯W（等）2=L即可得答案•

解：根据题意，x>0,y>0,x+y=2f

则xyW（等）2=1,当且仅当尤=y=l时等号成立，

即孙的最大值为1.

故选：C.

3.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0,1）上单调递增的是（）

A.y=l-x2B.y=2wC.D.y=lnx

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案.

解：根据题意，依次分析选项：

对于A,丫=1-/，是二次函数，是偶函数，在区间（0,1）上为减函数，不符合题意;

'2Xx>0

对于2,y=2M=',既是偶函数，又在区间（0,1）上单调递增，符合题意;

l2-x,x<0

对于C,y=n，其定义域为［0,+°°）,不是偶函数，不符合题意；

对于。，y=lnx,是对数函数，，其定义域为（0,+8）,不是偶函数，不符合题意；

故选：B.

4.在等差数列｛斯｝中，恁=4,数列｛斯｝的前9项的和为（）

A.4B.8C.36D.72

【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式直接求解.

解:在等差数列｛。，｝中，的=4,

数列｛诙｝的前9项的和为：

Q

=

Sg=y(a1+a9)9a5=36.

故选：C.

5.若不等式ox2-x-c>0的解集为｛x|-则函数/(x)=c/-x-a的图象可以

根与系数的关系分析a、c的值，即可得/(x)的解析式，分析可得答案.

解：根据题意，不等式加-X-c>0的解集为｛x|-

则方程办2-X-C=0的解为XI=-1或X2=g且a<0,

(-DW(a=2

则有42,解可得［_-

(-l)X$上Id

Na

函数/(X)=cx2-X-a=-x2-x+2,是开口向下，对称轴为x=-，■的二次函数,

故选：C.

6.为了调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方

法从该地区调查了500位老年人，结果如表:

需要志愿者

不需要志愿者

经计算可得相心9.967.由尸(¥》6.635)=0.01,下列结论正确的是()

A.有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关

B.有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关

C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供

帮助与性别无关

D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供

帮助与性别无关

【分析】利用独立性检验中烂的统计意义判断.

解：因为9.967>6,635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮

助与性别有关.

故选：B.

(f(x),x〉0_

7.已知奇函数y=《如果/(x)=a*(。>0且aWl)对应的图象如图所示,

g(x),x<0.

那么g(X)=()

23

B.C)x

D.-2K

【分析】根据函数的奇偶性，先求出函数/(无)的图象即可得到结论.

解：当x>0时，函数单调递减，则

V/(l)=《，

2

即函数/(x)=(告)x,

当X<0,贝1J-Q0,贝1|/(7)=(当-=-/(X),

贝g尸—（£）一工=—23

即g（x）=-2r,x<0,

故选：D.

8.“克拉茨猜想”又称“3附+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大

会上公布的一个猜想：任给一个正整数“如果〃是偶数，就将它减半；如果〃为奇数就

将它乘3加1.不断重复这样的运算，经过有限步后最终都能够得到1,得到1即终止运

算.已知正整数灯经过6次运算后得到1,则人的值为（）

A.32B.32或5C.64D.64或10

【分析】利用正整数％经过6次运算后得到1,按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到

k的所有可能的取值.

解：根据题意，正整数％经过6次运算后得到1,

所以正整数k经过5次运算后得到2,经过4次运算后得到4,经过3次运算后得到8或

1（不符合题意，舍去），

经过2次运算后得到16,则经过1次运算后得到32或5,

所以正整数上的值为64或10,

故选：D.

9.设无穷等比数列｛。”｝,则“0<°2<a1”是"｛3｝为递减数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】由已知求出等比数列的公比范围，然后结合通项公式判断｛砺｝的单调性，举出

反例说明“｛%｝为递减数列”不能得到，进一步得出结论.

解:因为无穷等比数列

所以公比q满足0<q=^<1,

al

所以有。">斯+1=斯4，即｛诙｝为递减数列；

而无穷等比数列｛3｝如果是递减数列，它的第一项和第二项可以为负，

如A，0,-1,-2........，所有不一定可以得到

842

所以“0<°2<0”是“｛斯｝为递减数列”的充分而不必要条件,

故选：A.

10.2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加.已

知甲、乙两个小区在［0,H这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量。与时间r的关系如图所

示.给出下列四个结论：

①在Z，切这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；

②在［5印这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；

③在女时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；

④甲小区在［0,3，Z，句，上2,打］这三段时间中，在山，旬的平均分出量最大.

A.①②B.②③C.①④D.③④

【分析】利用平均变化率、瞬时变换率的含义理解统计表，并进行选项判断.

解：①在Z，句这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以甲的平均分出量小于乙,

说法错误.

②在他，句这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以乙的平均分出量大于甲，说

法正确.

③在/2时刻，乙的图象比甲的图象陡，瞬时增长率大，说法正确.

④甲的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误.

故选：B.

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11.已知全集。={0,1,2,3,4,5},集合A={0,1,2,3},B=［3,4},则(CuA)U

B={3,4,5}.

【分析】进行补集和并集的运算即可.

解：Vt/={0,1,2,3,4,5},A={0,1,2,3},B={3,4},

•,•CuA={4,5},(CuA)UB={3,4,5).

故答案为：{3,4,5).

12.命题夕：3x>0,x2+x-1^0,则一'p：Vx>0,d+xTVO

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

解：命题为特称命题，则命题的否定为：Vx>0,x2+x-1<0.

故答案为：Vx>0,x2+x-l<0.

_lg(2x-l)

13.函数/(x)的定义域为4

V1-x

【分析】由题意根据函数的定义域的求法，得出X的范围.

解：对于函数/(%)=1差g(2火-1)，应有2x-1>0,1-x>0,

71-x

求得可得函数的定义域为(《，1),

22

故答案为：(4,1).

14.已知数列｛斯｝满足ai=17,an+i=an-4,则当"=5时,数列已”｝的前〃项和取得最

大值.

【分析】根据条件求得数列｛斯｝是首项为17,公差为-4的等差数列，进而分析出何时

项为正，何时为负即可求解结论.

解：•数列｛%｝满足ai=17,an+\=an-4,

•••数列｛厮｝是首项为17,公差为-4的等差数列，

'.an—17-4(n-1)=21-4n,

・・・当〃W5时，斯>0,

当n>5时，an<0,

・・・当〃=5时，数列｛斯｝的前〃项和取得最大值，

故答案为：5.

15.已知函数/(x)=xex,则/(1)=0；若函数g(x)=/(x)-加有两个零点，

则实数机的取值范围是(0,.

e

【分析】根据题意，求出函数的导数，将x=l代入可得第一空答案，由函数的导数分析

/(X)的单调性，可得/(X)的最值，据此作出函数的大致图像，分析可得答案.

解：根据题意，函数/(x)=xex,则其导数/(x)=(无)'ex+x("*)'=(1-x)

e~x,

则#(1)=(1-1)e1=0,

f'(x)=(1-x)"x,

在区间(-8,1)上，f(x)>0,则/(x)为增函数,

在区间(1,+8)上，f(X)<0,则/(%)为减函数，

则/(龙)Wf(1)=—,

e

在区间(-8,0)上，/(%)<0,

在区间(0,+8)上，0</(x)^―,

e

若函数g(x)=/(%)-加有两个零点，即函数y=/(x)与直线y=机有且仅有2个交

点，

必有0VMiW』，即”的取值范围为(0,—).

ee

故答案为：0,(0,-).

e

16.数列｛〃〃｝：a\,〃2,…，如，…；｛bn］：bi,历，…，bn,…

定义数列诙&仇：。2,加，。4,。5,be,〃7,…

①设斯=<’1':时为杂左k，仇=1,1W〃W29,则数列Qn&bn的所有项的和等于19;

2,n为偶数

②设。〃=5〃，bn=4n-1,1W〃W29,则数列〃与瓦&。〃有2个公共项.

【分析】①由题意可以得到数列〃〃&勿的通项公式，然后根据｛〃〃｝、｛"〃｝的通项公式可以

知道29个项里面有9个1,10个-1,10个2,从而得到问题解答；

②由题意可以得到数列鹿和心&丽的通项公式，再令。〃&儿=狐&即即可得至Un、m

的关系式，最后根据5的倍数与4的倍数的特征可以得到解答.

解：①由题意可得：

3k,k€N*

11

an&bn=)

b.，n=3k,k€N*

・・・当1时，数列an&bn的所有项的和为:

9X1+(15-5)X(-1)+(14-4)义2=19；

②由题意可得：

[5n,n#3k,kCN*4m-1,m?^3k,k€N*

an&bn=<,bm&am=\,

4n-l,n=3k,kN*[5m,m=3k,k€N*

很显然，要使an&bn^bm&am,必须〃、m同时为3的倍数或者同时不为3的倍数,

若〃、用同时为3的倍数，则有5加=4〃-1,贝!]〃=24或〃=9,止匕时加=19或加=7,不

成立；

若n、m同时不为3的倍数，则有5n=4m-1,则加=4或14或19或29,此时对应的有

〃=3或11或15或23,

把与题意相矛盾的舍去，剩下加=14,〃=11或加=29,几=23,

即〃11&万11=/714&〃14或〃23&岳3=人29&〃29，

即数列dn&bn与瓦&斯有2个公共项；

故答案为19；2.

三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知等差数列｛〃〃｝满足“3+45=20,〃6=4〃2.

（I）求数列｛念｝的通项公式；

（II）设数列｛瓦｝是各项均为正数的等比数列，Cn=Q〃+瓦，再从条件①、条件②、条件

③中选择两个作为一组已知条件，求数列｛0｝的前n项和S〃.

条件①：。1=1;

条件②：85=8/72；

条件③：62+83=6.

【分析】（I）设等差数列｛念｝的首项为的，公差为"，由已知列关于首项与公差的方程

组，求解首项与公差，即可求得数列｛念｝的通项公式；

（II）设数列｛勿｝的公比为g分别取条件①②、条件①③、条件②③作为已知条件，列

关于首项与公比的方程组，求解首项与公比，即可求得数列｛为｝的通项公式，再由数列

的分组求和及等差数列与等比数列的前n项和公式求解.

解：（I）设等差数列｛斯｝的首项为公差为d,

中2a产5卞6d4=2⑸0+d)'解得]al=1

由已知可得，

d=3

.,.an=ai+(n-1)d=3n-2,

则数列｛如｝的通项公式为an=3n-2；

（II）设数列｛为｝的公比为q,

电=1b]=l

选择条件①②作为已知条件:则4解得

4

b1q=8b1q,q=2

n-1n1

••bn=b1q=2-

b[=l

b1=lb<1=1

选择条件①③作为已知条件:则,解得《1或1(舍)，

2

bjq+bjq=6q=2q=-3

n-1n1

••bn=b1q=2'

4

b,q=8biqbl=l

选择条件②③作为已知条件:则；，解得，

电q+br2=6q=2

n1n1

•••bn=b1q"=2-

cn=an+bn=3n_2+2n1.

2n-1

则Sn=[l+4+7+...+(3n-2)]+(l+2-t2+...+2)

l-2nn(3n-l)

+2n-l-

-1-2=2~

・,•数列｛5｝的前〃项和&=述鼾-+2”-1.

18.已知函数/(x)="^~X3_(2+1.

O

（I）求曲线y=/（无）在点（1,/（I））处的切线方程;

（II）求函数/（x）在［-2,2］上的最大值和最小值.

【分析】（I）求出函数的导数，就是/（I）,f（1），求出切线方程即可；

（II）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值,

最值即可.

解：(I)f(x)=N-2X,则/(1)=-1,

V/(l)=4’.•.切点是(1,[■),

OO

故切线方程是y-£=-(x-1)即3x+3y-4=0；

o

2

(II)令f(x)=x-2x=0f解得：％=0或x=2,

x,f(x),/(x)在［-2,2］的变化如下：

X-2(-8,0)0(0,2)2

f(X)++0-0

f(x)17递增极大值递减2

~3

：.f(x)在［-2,0)递增，在(0,2］递减,

・"(x)地方极大值是/(0)=1,又/(2)=-/(-2)=-耳,

OO

：.f(X)在［-2,2］的最大值是「(0)=1,

-17

/(x)在I-2,2］在最小值是/(-2)=-岩.

O

19.记数列｛斯｝的前〃项和为S”，若对于任意的正整数"，都有&=提ain

(I)求672；

(II)设劣=%+2,求证：数列仍“｝是等比数列；

(III)求数列｛斯｝的前n项和S”.

【分析】(I)直接利用数列的递推关系式和赋值法的应用求出结果；

(II)利用递推关系式的应用求出数列为等比数列；

(III)利用(II)的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和.

解：(I)数列｛%｝的前〃项和为S”若对于任意的正整数小者B有S,=^an-2n.

当〃=1时，解得。1=4,

-

当〃=2时，S2=a1+a2^a2-4»解得。2=16.

(II)由于Sn得a/2n①，

Q

-

当心2时，Sn.i=^an_1-2(n-1)②，

①-②得：猴=3。〃一1+4,

由于bn=an+2,

所以为+1=斯+1+2=3。〃+6,

故筌得叫

所以数列｛d｝是以6为首项，3为公比的等比数列；

Ilrl

(III)由(II)得：bn=6X3.

故an—bn-2=6X3〃i-2,

所以Sn多n-2n=|-(6X3n-1-2)-2n=2-2n-3.

20.已知函数/(x)=lnx-(tz+1)x+1,〃GR.

(I)当。=0时，求证：f(x)WO；

(II)若函数g(x)=/(X)+色2-1在x=l处取得极大值，求实数Q的取值范围.

【分析】(I)求出了(X),令f(X)=0,求出X的值，然后利用了(X)的正负确定

函数/CO的单调性，由函数极值的定义求出函数/(X)的极值，即函数/(X)的最值,

从而得到了(X)的取值范围，即可证明；

(II)求出g'(工),然后分OVaVl和。21三种情况，分别利用导数判断函数

的单调性，结合函数极值的定义分析求解即可.

【解答】(I)证明：函数/(%)=lnx-(a+1)x+1,定义域为(0,+8),

当Q=0时，f(x)=lnx-x+L则/(x)="I,

X

令f(x)=0,解得％=1,

当OVxVl时，f(x)>0,则/(x)单调递增，

当龙>1时，f(%)<0,则/(x)单调递减，

所以当％=1时，函数/(%)取得唯一的极大值/(I)=0,

故/(x)的最大值为0,

所以/(x)W0；

(II)解：函数g(九)=于3+斗2-1,

2

则g⑴=&x-(a+1)■+!,二(乂-1)(软二一1),

XX

①当时，则QX-1<0,