教案：高中数学人教B版 必修 第一册 均值不等式及其应用

2.2不等式

《2.2.4均值不等式及其应用》教学设计

第1课时

教学目标

1.学会推导并掌握均值不等式定理.

2.能够简单应用定理求最值.

教学重难点

教学重点：1.均值不等式定理的证明和应用.

2.会用均值不等式解决简单的最大（小）问题.

教学难点：注意运用定理求最大（小）值的条件

课前准备

课件.

教学过程

一、整体概述

问题1：阅读课本第7广75页，回答下列问题：

（1）本节将要研究哪类问题？

（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？

师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题.

预设的答案：（1）本节将要研究均值不等式及其应用.（2）起点是不等式的性

质以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用均值不等

式解决简单的最大（小）问题.进一步提升数学运算、逻辑推理等素养.

设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内

容的框架.

二、探索新知

1.情境与问题

问题1：给定两个正数a,b,数*称为a,力的算术平均值；数而称为a,

2

6的几何平均值.两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的

中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均

值之间有什么相对大小关系呢？

【尝试与发现】

（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b,求与这个矩形周长相等的正方形的

边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；

（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，

猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说

出结论的几何意义.

a12

b14

a+b13

2

4ab12V2

师生活动：学生完成上述问题，从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均

值大于或等于它们的几何平均值.教师总结.

2.探究新知

知识点1均值不等式

均值不等式如果a」都是正数，那么学2而

当且仅当天8时，等号成立.

师生活动：学生证明，教师指点！

证明因为a,6都是正数，所以

2

ci+b1—~〃+6_2dab(A/^-y[b)

-----7ab=—20,

222

即以向

而且，等号成立时，当且仅当（G-6）2=0,即产。

教师点评：值得注意的是，均值不等式中的a,力可以是任意正实数，因此我

们可以代入任意满足条件的数或式子，比如=N强一定是正确的.

2

设计意图：均值不等式的证明不是太难，放手让学生自己证明，这样既能较好

地复习不等式的性质和证明方法，又能帮助学生准确地理解定理中等号成立的条

件.其证明方法还可能是综合法、分析法和反证法等.

综合法证明如下：因为（a-420,ma2+b2-2ab>0,所以

a?+Z?2+2ab—4ab20.

BP（a+b）2>4ab.又因为a〉0,b>0,所以a+即巴心显然，

2

当且仅当（a-。）2=0,即a=b时，等号成立.

知识点2均值不等式的几何意义

问题2：均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a,力还可以为零），

其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.那么，均值不等

式有什么几何意义呢？

师生活动：与学生一起探讨：将均值不等式两边平方可得(3)2

如果矩形的长和宽分别为a和b,那么矩形的面积为ab,(生心『可以看成与

矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一

定的矩形中，正方形的面积最大.

【想一想】你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三

角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？

预设的答案：正三角形，圆

设计意图：通过类比可以发现新的问题，得到新的结论.类比思想是我们学习

过程中常用的合情推理！

问题3：如图所示半圆中，N6为直径，0为圆心.已知/年a,BOb,。为半圆

上一点，且。算出0。和切，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？

师生活动：与学生一起探讨：在RtAN劭中，由于。利用射影定理可得

CD=4^b，又CO=巴也，由图可知CO2CD,所以巴心2疝，变形为

22

a+b>14ab.

结论：均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦.

三、初步应用

例1(1)已知x〉0,求丁=%+工的最小值，并说明x为何值时y取得最小值.

X

(2)已知xG(―1,3),求广(1+x)(3—x)的最大值，以及y取得最大值

时x的值.

7

(3)求函数y=x(1—x),的最大值.

师生活动：与学生一起探讨如何利用均值不等式求最值，教师书写规范解答.

预设的答案：解：(1)因为x>0,所以根据均值不等式有

其中等号成立当且仅当％,即x2=l,解得后1或七一1(舍).

X

因此产1时，y取得最小值2.

(2)当(-1,3)时，一"x〈3,因此l+x>O,3—x〉0.

由均值不等式可得J(l+x)(3—x)<x=2.

从而(1+x)(3—x)W4,即jW4.

当且仅当1+尸3—x,即A=1时，等号成立.

从而尸1时，y取得最大值4.

(3)错解：由g<x<l,易知1—x〉0,从而y=x(l_x)k+(；-,2=；.所

以y的最大值为

4

117?

2

正解：y^x(\-x)--x+x--(x--)'+—,当x=§时，ymax=—.

设计意图：通过该例说明可利用均值不等式求一类函数最值.

方法总结：(1)在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”：

一正，a,6均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能

取到，即，力有解.(2)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正

数的和为常数时，它们的积有最大值.（3）利用均值不等式求最值时，等号必

须取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到

另一种形式解答.

例2（1）已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的

周长最短？最短周长是多少？

（2）已知矩形的周长为36,则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？

最大面积是多少？

师生活动：师生一起分析：在（1）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求

长与宽之和的两倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，

要求长与宽的积的最大值.教师书写规范解答.

预设的答案：解：（1）设矩形的长与宽分别为x与为依题意得叱100.

因为x〉0,y>0,所以苫工2而=455=1O

所以2（x+y）》40.

当且仅当A=K时，等号成立，由「‘，可知此时A=F=10.

xy=100

因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40.

（2）设矩形的长与宽分别为x与y,依题意得2（x+y）=36,即x+尸18.

因为x>0,y>0,所以更二山2日

因止匕历49，即盯W81.

当且仅当后y时，等号成立，由「‘，可知此时尸产9.

x+y=18

因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81.

设计意图：通过该例说明如何利用均值不等式求解实际应用问题.

方法总结：求实际问题中最值的一般思路：（1）读懂题意，设出变量，列出函

数关系式；

（2）把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求

函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的

条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解.（4）正确地写出

答案.

练习：教科书々6练习加，3

补充练习：（1）已知a为大于。的常数，x>Q,求y=x+3的最小值，并求y取

得最小值时相应的承值；

（2）已知x<0,求丁=兀+工的最大值，并求y取得最大值时相应x的值；

x

（3）已知x〉l,求丁=x+—一的最小值，并求y取得最小值时相应x的值；

X-1

（4）已知x〈l,求丁=%+一一的最大值，并求y取得最大值时相应x的值.

x-1

师生活动：学生思考后回答，教师完善.

设计意图：进一步熟悉利用均值不等式求最值.

参考答案为：（1）当x=&时，y有最小值为26；

（2）当x=—1时，y有最