![教案:高中数学人教B版 必修 第一册 均值不等式及其应用_第1页](http://file4.renrendoc.com/view12/M06/27/3B/wKhkGWasnCqAYK5wAAEHgKV3XDk032.jpg)
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文档简介
2.2不等式
《2.2.4均值不等式及其应用》教学设计
第1课时
教学目标
1.学会推导并掌握均值不等式定理.
2.能够简单应用定理求最值.
教学重难点
教学重点:1.均值不等式定理的证明和应用.
2.会用均值不等式解决简单的最大(小)问题.
教学难点:注意运用定理求最大(小)值的条件
课前准备
课件.
教学过程
一、整体概述
问题1:阅读课本第7广75页,回答下列问题:
(1)本节将要研究哪类问题?
(2)本节研究的起点是什么?目标是什么?
师生活动:学生带着问题阅读课本,并在本节课中回答相应问题.
预设的答案:(1)本节将要研究均值不等式及其应用.(2)起点是不等式的性
质以及比较法,目标是知道均值不等式,会证明均值不等式定理,会用均值不等
式解决简单的最大(小)问题.进一步提升数学运算、逻辑推理等素养.
设计意图:通过阅读读本,让学生明晰本阶段的学习目标,初步搭建学习内
容的框架.
二、探索新知
1.情境与问题
问题1:给定两个正数a,b,数*称为a,力的算术平均值;数而称为a,
2
6的几何平均值.两个数的算术平均值,实质上是这两个数在数轴上对应的点的
中点坐标,那么几何平均值有什么几何意义呢?两个数的算术平均值和几何平均
值之间有什么相对大小关系呢?
【尝试与发现】
(1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b,求与这个矩形周长相等的正方形的
边长,以及与这个矩形面积相等的正方形的边长,并比较这两个边长的大小;
(2)如下表所示,再任意取几组正数,算出它们的算术平均值和几何平均值,
猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小,并根据(1)说
出结论的几何意义.
a12
b14
a+b13
2
4ab12V2
师生活动:学生完成上述问题,从具体实例中可以看出,两个正数的算术平均
值大于或等于它们的几何平均值.教师总结.
2.探究新知
知识点1均值不等式
均值不等式如果a」都是正数,那么学2而
当且仅当天8时,等号成立.
师生活动:学生证明,教师指点!
证明因为a,6都是正数,所以
2
ci+b1—~〃+6_2dab(A/^-y[b)
-----7ab=—20,
222
即以向
而且,等号成立时,当且仅当(G-6)2=0,即产。
教师点评:值得注意的是,均值不等式中的a,力可以是任意正实数,因此我
们可以代入任意满足条件的数或式子,比如=N强一定是正确的.
2
设计意图:均值不等式的证明不是太难,放手让学生自己证明,这样既能较好
地复习不等式的性质和证明方法,又能帮助学生准确地理解定理中等号成立的条
件.其证明方法还可能是综合法、分析法和反证法等.
综合法证明如下:因为(a-420,ma2+b2-2ab>0,所以
a?+Z?2+2ab—4ab20.
BP(a+b)2>4ab.又因为a〉0,b>0,所以a+即巴心显然,
2
当且仅当(a-。)2=0,即a=b时,等号成立.
知识点2均值不等式的几何意义
问题2:均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的a,力还可以为零),
其实质是:两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.那么,均值不等
式有什么几何意义呢?
师生活动:与学生一起探讨:将均值不等式两边平方可得(3)2
如果矩形的长和宽分别为a和b,那么矩形的面积为ab,(生心『可以看成与
矩形周长相等的正方形的面积,因此均值不等式的一个几何意义为:所有周长一
定的矩形中,正方形的面积最大.
【想一想】你能推广这个结论吗?比如所有周长相等的三角形中,什么样的三
角形面积最大?平面上,周长相等的所有封闭图形中,什么样的图形面积最大?
预设的答案:正三角形,圆
设计意图:通过类比可以发现新的问题,得到新的结论.类比思想是我们学习
过程中常用的合情推理!
问题3:如图所示半圆中,N6为直径,0为圆心.已知/年a,BOb,。为半圆
上一点,且。算出0。和切,是否可以给出均值不等式的另一个几何意义?
师生活动:与学生一起探讨:在RtAN劭中,由于。利用射影定理可得
CD=4^b,又CO=巴也,由图可知CO2CD,所以巴心2疝,变形为
22
a+b>14ab.
结论:均值不等式的几何意义是:一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦.
三、初步应用
例1(1)已知x〉0,求丁=%+工的最小值,并说明x为何值时y取得最小值.
X
(2)已知xG(―1,3),求广(1+x)(3—x)的最大值,以及y取得最大值
时x的值.
7
(3)求函数y=x(1—x),的最大值.
师生活动:与学生一起探讨如何利用均值不等式求最值,教师书写规范解答.
预设的答案:解:(1)因为x>0,所以根据均值不等式有
其中等号成立当且仅当%,即x2=l,解得后1或七一1(舍).
X
因此产1时,y取得最小值2.
(2)当(-1,3)时,一"x〈3,因此l+x>O,3—x〉0.
由均值不等式可得J(l+x)(3—x)<x=2.
从而(1+x)(3—x)W4,即jW4.
当且仅当1+尸3—x,即A=1时,等号成立.
从而尸1时,y取得最大值4.
(3)错解:由g<x<l,易知1—x〉0,从而y=x(l_x)k+(;-,2=;.所
以y的最大值为
4
117?
2
正解:y^x(\-x)--x+x--(x--)'+—,当x=§时,ymax=—.
设计意图:通过该例说明可利用均值不等式求一类函数最值.
方法总结:(1)在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”:
一正,a,6均为正数;二定,不等式一边为定值;三相等,不等式中的等号能
取到,即,力有解.(2)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正
数的和为常数时,它们的积有最大值.(3)利用均值不等式求最值时,等号必
须取得到才能求出最值,若题设条件中的限制条件使等号不能成立,则要转换到
另一种形式解答.
例2(1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的
周长最短?最短周长是多少?
(2)已知矩形的周长为36,则这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?
最大面积是多少?
师生活动:师生一起分析:在(1)中,矩形的长与宽的积是一个常数,要求
长与宽之和的两倍的最小值;在(2)中,矩形的长与宽之和的两倍是一个常数,
要求长与宽的积的最大值.教师书写规范解答.
预设的答案:解:(1)设矩形的长与宽分别为x与为依题意得叱100.
因为x〉0,y>0,所以苫工2而=455=1O
所以2(x+y)》40.
当且仅当A=K时,等号成立,由「‘,可知此时A=F=10.
xy=100
因此,当矩形的长和宽都是10时,它的周长最短,最短周长为40.
(2)设矩形的长与宽分别为x与y,依题意得2(x+y)=36,即x+尸18.
因为x>0,y>0,所以更二山2日
因止匕历49,即盯W81.
当且仅当后y时,等号成立,由「‘,可知此时尸产9.
x+y=18
因此,当矩形的长和宽都是9时,它的面积最大,最大面积为81.
设计意图:通过该例说明如何利用均值不等式求解实际应用问题.
方法总结:求实际问题中最值的一般思路:(1)读懂题意,设出变量,列出函
数关系式;
(2)把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求
函数的最大值或最小值时,一般先考虑用均值不等式,当用均值不等式求最值的
条件不具备时,再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解.(4)正确地写出
答案.
练习:教科书々6练习加,3
补充练习:(1)已知a为大于。的常数,x>Q,求y=x+3的最小值,并求y取
得最小值时相应的承值;
(2)已知x<0,求丁=兀+工的最大值,并求y取得最大值时相应x的值;
x
(3)已知x〉l,求丁=x+—一的最小值,并求y取得最小值时相应x的值;
X-1
(4)已知x〈l,求丁=%+一一的最大值,并求y取得最大值时相应x的值.
x-1
师生活动:学生思考后回答,教师完善.
设计意图:进一步熟悉利用均值不等式求最值.
参考答案为:(1)当x=&时,y有最小值为26;
(2)当x=—1时,y有最
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